Một số phương pháp giải các bài toán trong chủ để giải phương trình vô tỷ

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN ------ BÀI THU HOẠCH RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM THƯỜNG XUYÊN III ĐỀ TÀI: Một số phương pháp giải các bài toán trong chủ để giải phương trình vô... Trong

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN - -

BÀI THU HOẠCH RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM THƯỜNG XUYÊN III

ĐỀ TÀI: Một số phương pháp giải các bài toán trong chủ để giải phương trình vô

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU

Việc giải môt phương trình vô tỷ là một nội dung quan trọng trọng trong cấu trúc các đề thi đại học- cao đẳng, cũng như ứng dụng trong giải quyết các bài toán thực tiển Đây là một đề tài hấp dẫn của đại số, lôi cuốn nhiều người, đồng thời đây là một nội dung có thể phát triển tốt tư duy cho học sinh

Tuy nhiên, việc giải một bài toán Phương trình vô tỷ không hề đơn giản Để giải một bài toán Phương trình vô tỷ ta cần có Phương pháp giải một cách khoa học Trong việc giải Phương trình vô tỷ có rất nhiều Phương pháp giải, một bài toán có thể dung Phương pháp này để giải mà không thể dung Phương pháp khác hoặc có thể có nhiều Phương pháp để có thể giải một bài toán Tuy nhiên cần có một cái nhìn tổng quan để có thể áp dụng các Phương pháp một cách thích hợp nhất, làm cho bài làm trở nên ngắn gọn, dể hiểu, khoa học Nhất là trong các kì thi tuyển sinh đại học thì đó

là nhưng vấn đề quan trọng đối với các thí sinh, nhất là những em học không được tốt

Để giúp các bạn học sinh lớp 10, các thí sinh tham gia các kì thi tuyển sinh đại học

có thể tiếp cận và khái quát lại phần Phương trình vô tỷ tài liệu này xin trình bày lại một số Phương pháp giải phương trình vô tỷ thường gặp:

phương pháp nâng luỹ thừa

phương pháp biến đổi về tích

phương pháp trục căn thức

phương pháp đặt ẩn phụ

phương pháp sử dụng sự biến thiên của hàm số

Ngoài ra còn nhiều phương pháp giải phương trình vô tỷ khác hay và độc đáo nhưng tài liệu này xin phép không trình bày vì nó không được phổ biến như: phương pháp đánh giá; phương pháp lượng giác hoá; phương pháp tính chất của vecter; Phương pháp đưa về Phương trình có dấu giá trị tuyệt đối

Cấu trúc của tài liệu này xin trình bày lí thuyết các Phương pháp giải các bài toán Phương trình vô tỷ, sau đó là một số ví dụ để người đọc có thể hiểu (thường là các bạn chưa làm quen với Phương pháp này) và nhìn lại một cách khái quát cách giải bài toán Phương trình vô tỷ (thường là các bạn thí sinh) Sau đó là một số bài tập từ cơ bản đến nâng cao, ở đây có lòng vào một số để thi đại học để các bạn làm thử Một số bài sẻ có hướng dẩn, đáp số cho các bạn qua phần bài tập hi vọng sẻ giúp người đọc rèn luyện kỉ năng nhìn nhận, đánh giá và giải các bài toán một cách linh hoạt Bài tập

ở đây đã được phân dạng để các bạn có thể rèn luyện kỉ năng trước, hy vọng sẻ giúp ích được cho bạn đọc Đồng thời hy vọng người đọc có thể cảm nhận thêm vẻ đẹp của toán học qua các bài toán Phương tình vô tỷ

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng còn nhiều thiếu sót Hy vọng người đọc thông cảm và góp ý, làm cho tài liệu ngày càng tốt hơn

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

I PHƯƠNG PHÁP NÂNG LUỸ THỪA

A PHƯƠNG PHÁP:

Áp dụng cho các dạng`

n

AB( A,B là nhị thức) ở đây nếu n là bậc chẳn ta có 2 cách làm như sau:

Cách 1 Biến đổi tương đương

A  B(ví dụ trường hợp f x( )  g x( )ta biển đối về hệ Phương trình

Thử lại ta có x=1 là ngiêm của phương trình

Vd2 Giải phương trình sau:

x x x x x

x x

x x

x x

x  x  x d) (x3) x2 4x2  9

e) x 3 7x  2x 8 f) x2 3x  5 2 x

g) (x 3) x2  3x 2  x2  8x 15 h) (x 4) 10 x2  x2  2x 8

II PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI VỀ TÍCH

A PHƯƠNG PHÁP

Ta đưa phương trình đã cho về phương trình tích rồi giải từng Phương trình thừa

số Thường áp dụng cho các dạng phương trình

Thử lại ta có nghiệm của phương trình là x=0 hoặc x=1

Vd2.( đề dự bị khối D năm 06) Giải phương trình sau:

Thử lại ta thấy x=5 và x=4 là nghiệm của phương trình đã cho

Vd3 Giải phương trình sau:

3 2 3 2

3 x 1 x 3 x x x0

Điều kiện:  x Ta có

Thử lại ta thấy x=1 là nghiệm của phương trình

Cách 2: ta thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình Chia hai vế cho 3

x x





III PHƯƠNG PHÁP TRỤC CĂN THỨC

Ta cũng có thể giải Phương trình (2) bằng nhiều cách khác đơn giản hơn, trong có

Vậy f(x) đồng biến trên 2 / 3; 

Mà f(2)=5 suy ra x=2 là nghiệm của phương trình

Vd2 Giải phương trình sau

nên (*)vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=2

Vd3 (B-2010) Giải phương trình sau

2

3x 1 6 x 3x 14x 8 0

Giải: Nhẩm nghiệm ta thấy x=5 là một nghiệm của phương trình, là một số thích hợp để phá 2 căn

Giải: Điều kiện 1 6

Giải (3) theo Phương pháp nâng luỹ thừa ta tìm được x

Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình

Từ đó tính giải Phương trình mới đơn giản hơn

Vd1 Giải phương trình sau

2 3 3 2 3 6 3

x  x  x  x 

Giải: với mọi x Ta có

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x=1 hoặc x=2

Vd2 Giải phương trình sau

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

Bài 5 Giải phương trình

HD: Nghiệm x2, P x( ) vô nghiệm 0

Bài 6 Giải phương trình

IV PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

A PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN ĐỐI VỚI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

Có nhiều trường hợp khi giải Phương trình vô tỉ mà biến đổi tương đương sẻ đưa

ra một Phương trình phức tạp, bậc cao Khi đó ta sử dụng Phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về các Phương trình đơn giản hơn Có 3 bước cơ bản cho Phương pháp này: Bước 1 Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn phụ

Bước 2 Đưa Phương trình ban đầu về Phương trình có biến là ẩn phụ, giải Phương trình vừa tạo với ẩn mới

Bước 3 Đối chiếu điều kiện, rồi thế ẩn củ vào, ta được Phương trình theo ẩn củ, ta giải ra nghiệm, đối chiếu điều kiện, kết luận nghiệm

Mấu chốt ở đây là ở bước một phải đặt ẩn phụ như thế nào để việc bài toán trở nên đơn giải nhất dưới đây xin trình bày một số cách đặt sau:

Vd2.(A-2002) tìm m để phương trình x2 x2 1 2m 1 0 (1) có ít nhất 1 nghiệm trong đoạn 0; 3

Ta tìm được bốn nghiệm là: t1,2   1 2 2;t3,4  1 2 3

Do t  nên chỉ nhận các gái trị 0 t1  1 2 2 ,t3  1 2 3

Từ đĩ tìm được các nghiệm của phương trình l: x 1 2 và x 2 3

Cách khác: Ta cĩ thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện

2

2x 6x  1 0

Ta được: x2(x3)2 (x1)2  , từ đĩ ta tìm được nghiệm tương ứng 0

Đơn giản nhất là ta đặt : 2y 3 4x và đưa về hệ đối xứng 5

Suy ra yêu cầu bài toán

được thoả mản khi 2 1  m 1

B ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ĐỐI VỚI 2 BIẾN

Suy ra yêu cầu bài toán được thoả mản khi  1 m1/ 3

4

4 2

x   x Khi đó đặt

2 2

Vậy Phương trình có 2 nghiệm x  1

C PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN

PHƯƠNG PHÁP: Ta đặt ẩn phụ t theo biến x, rồi xuất hiện một Phương trình mới

có cả 2 biến, ta coi x là tham số, t là ẩn, từ đó ta giải ra t, thế lại theo x ta có nhưng Phương trình đơn giản hơn theo x mà việc giải nó để tiến hành hơn

Vd1 Giải phương trình 2 2

x  x  x x  (1) Giải: đặt t x2   1 t 1 x2t21 Khi đó (1) viết lại:

 

2 2

t x khi đó ta có hệ:

3

3 3 3

Thử lại ta thấy Phương trình có 3 nghiệm phân biệt

1

5 1 2

5 1 2

x x x

Vậy Phương trình có nghiệm x=1 hoặc x 2  2

ở đây ta cũng có thể giải bài toán bằng cách khác như sau:

12

t x

Ta đặt ( )

( )

n n

2 3

27

x

x x

x x

b) 3 1

22

x x

a) (x2) x2 x4 2x HD: bình Phương rồi chia cho x2, ta đặt t x 4

x

 0;5

a x , thay vào PT ta được 3 2

36a 136a 200a1000a1

5x 14x9 x x20 5 x1

HD: Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được

1 52

Thay vào phương trình có : 3u6v uv  7 0 (2)

Thay (1) vào (2) và rút gọn được (2vu u)(  v 3)0 x0

Bài 15 (Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình)

V SỬ DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

đó phương trình vô nghiệm

Bước 3: kết luận ssVậy x là nghiệm duy nhất của phương trình 0

2 Dạng 2: f(x)=f(y)

Phương trình có ngiệm x=y khi f(t) là hàm đơn điệu

f x  y   với ysuy ra hàm f là hàm đồng biến trên

R vậy Phương trình có nhiệm t= x+1 Hay

f x  x  x  x

Với x1 x2  f x 1  f x 2 vậy hàm số f(x) đồng biến trên R

Vậy x = -2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 4 Tìm m để phương trình có nghiệm : 2

KẾT LUẬN

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng tài liệu này chỉ trình bày một cách sơ đẳng về các dạng toán và Phương pháp giải các bài toán Phương trình vô tỷ các bài toán này là bài toán thu hút được học sinh và người ham học hỏi nghiên cứu các Phương pháp giải là rất đa dạng vì vậy hi vọng bạn đọc có thể thông qua tài liệu này nắm được một chút kỉ năng giải Phương trình vô tỷ, có một cái nhìn tổng quan về các dạng toán

và Phương pháp giải thích hợp hi vọng người đọc không còn lúng túng, gặp khó khăn khi gặp các bài toán giải Phương trình vô tỷ đặc biệt là các bạn thí sinh sắp tham gia các mùa thì cử có thể làm tốt bài toán này

Tuy nhiên toán học là con đường không ngừng tìm đến cá mới, cái tiến bộ hơn, hi vọng thong qua tài liệu này, người đọc còn có thể tìm tòi để tìm ra các Phương pháp giải Phương trình vô tỷ một cách tốt hơn; và cũng không nên quá gò bó đối với việc giải Phương trình vô tỷ theo một cách nào đó theo kiểu rập khuôn máy móc

Do thời gian có hạn và kinh nghiệm còn hạn chế nên trong quá trình viết khó tránh được những sai sót trong cách trình bày cũng như hệ thống các bài tâp đưa ra còn hạn chế , chưa đầy đủ, chưa khoa học rất mong bạn đọc bỏ qua và nếu có thể có thể cho ý kiến để tài liệu trở nên tốt hơn

Trong quá trình làm làm hy vọng thí sinh không mắc phải những lỗi sơ đẳng trong làm bài như: thiếu điều kiện đối với một số Phương trình Hoặc khi đặt điều kiện lại không thử lại nghiệm ở Phương pháp nâng luỹ thừa, người đọc nên nắm thật chắc hai Phương pháp biến đổi hệ quả và biến đổi tương đương, tránh sử dụng nhầm lẩn ở Phương pháp biến đổi về tích, người đọc cần chú ý muốn tách các biểu thức dưới dấu căn khi đó là căn bậc chẳn thì cần xem xét điều kiện để biểu thức căn có nghĩa Dùng Phương pháp trục căng thức người đọc cần đoán ra dạng toán đúng, thường thì dạng toán này ta có thể nhẫm ra nghiệm đặc biệt của Phương trình Sử dụng Phương pháp đặt ẩn phụ, đây là Phương pháp thường được sử dụng, bởi sự độc đáo và đa dạng của

nó, sử dụng cách nào trong Phương pháp này, người đọc cần chú ý luôn đối chiếu điều kiện của ẩn mới đối với ẩn củ còn Phương pháp sử dụng hàm số, thường thì nó

sẻ được sử dụng sau khi ta sử dụng một phương pháp khác( chú ý, Phương pháp này khác với việc khảo sát một hàm số rồi từ đồ thị hàm số ta giải ra nghiệm của phương trình như một số bài ta dùng ở Phương pháp đặt ẩn phụ)

Chúc các bạn thành công

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Bộ Sách đại số 10 cơ bản và nâng cao Do bộ giáo dục và đào tạo ban hành

2 Bộ sách bài tập đại số 10 cơ bản và nâng cao Do bộ giáo dục và đào tạo ban hành

3 Tài liệu internet (violet.vn; Vnmath.vn;hocmai.com )

4 Một số sách tham khảo luyện thi đại học

5 Báo toán học tuổi trẻ

6 Các đề thi đại học năm trước