Toán Hay Lớp 8

Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất... Học Sinh: Nguyễn Phựng Tất Hoa Trường Thcs Thuận Trung Đụ lương Nghệ An 6... Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011-2

Trang 1

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011-2012

C xuống đường thẳng AB và AD

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

Trang 2

Học Sinh: Nguyễn Phùng Tất Hoa

Trường Thcs Thuận Trung (Đô lương Nghệ An)

2

Trang 3

Trang 4

ĐỀ SỐ 2 Câu1

a Phân tích các đa thức sau ra thừa số:

d Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Câu 3 Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD Kẻ ME⊥AB, MF⊥AD.

a Chứng minh: DE CF=

b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.

c Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

= (x 2 + 7x + 11) 2 - 5 2

= (x 2 + 7x + 6)( x 2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x 2 + 7x + 16)

4

Trang 5

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

2

x2

−

=

4A3

A5

b DE, BF, CM là ba đường cao của ∆EFC⇒ đpcm (2 điểm)

c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi

Trang 6

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8 Năm học: 2011-2012

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

(1 điểm)

Đề thi SỐ 3

Câu 1 : (2 điểm) Cho P=

8 14 7

4 4

2 3

− +

a

a a a

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức :

P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Câu 3 : (2 điểm)

a) Giải phơng trình :

18

1 42 13

1 30

11

1 20

9

1

2 2

+ +

+ + +

+ +

+

− +

+

−

c b

c a

b a

c b a

b) DM,EM lần lợt là tia phân giác của các góc BDE và CED.

c) Chu vi tam giác ADE không đổi.

Học Sinh: Nguyễn Phựng Tất Hoa

Trường Thcs Thuận Trung (Đụ lương Nghệ An)

6

Trang 7

3 2

− +

a ; ta thấy P nguyên khi a-2 là ớc của 3,

mà Ư(3)={− 1 ; 1 ; − 3 ; 3} 0,25

Từ đó tìm đợc a ∈{− 1 ; 3 ; 5} 0,25

Câu 2 : (2đ)

a)(1đ) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a+b chia hết cho 3 0,25

Ta có a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 )=(a+b)[(a2 + 2ab+b2 ) − 3ab]=

=(a+b)[(a+b) 2 − 3ab] 0,5

Vì a+b chia hết cho 3 nên (a+b) 2 -3ab chia hết cho 3 ;

Do vậy (a+b)[(a+b) 2 − 3ab] chia hết cho 9 0,25

6 (

1 )

6 )(

5 (

1 )

5 )(

4 (

1

= + +

+ + +

+ +

1 6

1 5

1 4

+

− +

+ +

− +

+ +

1 4

; 2

y x c z x b z

Trang 8

+ +

+

) ( ) ( ) ( 2

1 2 2

z z

y x

z z

x y

x x

y z

y x y

z x x

z y

BD =

Từ đó suy ra Dˆ1 = Dˆ2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE

Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED 0,5

c) (1đ) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC

xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25

Từ đó ta tìm đợc các giá trị của x , y , z là : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; 0,25

8

3 2 1

2 1 x

y

E D

B

A

Trang 9

Tuyển tập đề thi HSG Tốn 8 Năm học: 2011-2012

phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên

Câu 3( 1 đ): tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x4 − 3x3 +ax b+ chia hết cho đa

thức B x( ) =x2 − + 3x 4

Câu 4( 3 đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx của góc AHB và phân giác Hy của góc

AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy.

Chứng minh rằngtứ giác ADHE là hình vuông

Câu 5( 2 đ): Chứng minh rằng

Đáp án và biểu điểm

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

Trang 10

Tuyển tập đề thi HSG Tốn 8 Năm học: 2011-2012

0,5 đ 0,5 đ 4

3 đ

Tứ giác ADHE là hình vuông

Hx là phân giác của góc ·AHB ; Hy phân giác của góc ·AHC mà ·AHB

và ·AHC là hai góc kề bù nên Hx và Hy vuông góc

Hay ·DHE = 90 0 mặt khác ·ADH AEH = · = 900

Nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( 1)

0 0

90 45

AHB AHD

AHC AHE

AHD AHE

Hay HA là phân giác ·DHE (2)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác ADHE là hình vuông

0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

ĐỀ THI SỐ 5

Bài 1: (4 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Trường Thcs Thuận Trung (Đơ lương Nghệ An)

10

Trang 11

a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông

b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất

Trang 12

Trang 13

Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân

giác của ·BAC

b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF

Suy ra 3AD + 4EF = 7AD

⇒OFD OED ODF 90· + · + · = o(1)

Ta có OFD· + ω +OED· + β +ODF· + α =270o(2)

21x1990

17

x

=

++

−+

1x

1

=+

Tính giá trị của biểu thức: A = x2 +yz2yz+ y2 +xz2xz+ z2 +xy2xy

O A

Trang 14

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn

vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ sốhàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm

a) Tính tổng

'CC

'HC'BB

'HB'AA

'HA

++

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và gócAIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM

c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức 2 2 2

2

'CC'

BB'

AA

)CABCAB(

++

xyz

xzyz

xy+ + = ⇒ + + =

x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )

Do đó:

)yz)(

xz(

xy)

zy)(

xy(

xz)

zx)(

yx(

yzA

Trang 15

⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41

m–k = 11 m–k = 33

m = 67 m = 37

k = 56 k = 4 (0,25điểm) Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm)

'HABC

'

AA.21

BC'

HA.2

1S

'HCS

S

ABC

HAB = ;

' BB

' HB S

S

ABC

HAC = (0,25điểm)

S

SS

S'CC

'HC'

BB

'HB

HAB ABC

=+

+ (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:

AI

ICMA

CM

;BI

AINB

AN

;AC

BI

1BI

IC.AC

ABAI

IC.BI

AI.AC

ABMA

BB'

AA

)CABCAB

(

2 2

2

≥+

+

++

(0,25điểm)Đẳng thức xảy ra ⇔BC = AC, AC = AB, AB = BC

hoặc hoặc

⇔

Trang 16

ĐỀ S Ố 7

Bài 1 (4 điểm)

2 3

1

1:1

1

x x x

x x

Bài 3 (3 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho Tìm phân số đó

a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh

b, Cho AB = 4cm Tính các cạnh của tứ giác AMNI

Bài 6 (5 điểm)

Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O Đường thẳng qua O

và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N

a, Chứng minh rằng OM = ON

b, Chứng minh rằng

MN CD AB

2 1

)(

1 (

) 1 )(

1 ( :

1

2

2 3

x x x x x

x x x

+

− +

1 )(

1 (

) 1 )(

1 ( : 1

) 1

x x x

x x x x

+

− +

+

−

− + +

16

Trang 17

5 (

3

5 1

Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi ( 1 +x2 )( 1 −x) < 0 (1) 0,25đ

Vì 1 +x2 > 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 −x< 0 ⇔ x> 1

KL

0,5đ0,25đ

Bài 2 (3 điểm)

Biến đổi đẳng thức để được

bc ac ab c

b a ac a

c bc c

b ab

b

a2 + 2 − 2 + 2 + 2 − 2 + 2 + 2 + 2 = 4 2 + 4 2 + 4 2 − 4 − 4 − 4

0,5đ

Biến đổi để có (a2 +b2 − 2ac) + (b2 +c2 − 2bc) + (a2 +c2 − 2ac) = 0 0,5đBiến đổi để có (a−b) 2 + (b−c) 2 + (a−c) 2 = 0 (*) 0,5đ

Vì (a−b) 2 ≥ 0;(b−c) 2 ≥ 0;(a−c) 2 ≥ 0; với mọi a, b, c

nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a−b) 2 = 0;(b−c) 2 = 0 và (a−c) 2 = 0;

0,5đ0,5đ

Trang 18

a,(1 điểm)

Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 0,5đb,(2điểm)

OM = ,

AC

OC AB

Lập luận để có

AC

OC DB

OM

= (1), xét ∆ADCđể có

AD

AM DC

OM

= (2)

Từ (1) và (2) ⇒ OM.(

CD AB

1

AD

AD AD

DM AM

0,5đ

M

B A

Trang 19

Chứng minh tương tự ON.( 1 + 1 ) = 1

CD AB

2 1

S DOC

AOD

AOB S

S

DOC

BOC S

S

⇒ S AOB.S DOC = (S AOD) 2

Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009

à i 1:

Cho x = 2 2 2

2

b c a bc

Cho ∆ABC; AB = 3AC

Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C

ĐỀ

S Ố 9 B

Trang 20

b/ Tìm các giá trị của x để A<1

c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên

Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên Biết rằng đa thức

x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x) Tính P(1)

Bài 4 (3,5 điểm):

Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD Nối D với

E Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK Gọi G là giao điểm của DK và EM

c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên

Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình:

Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ,

6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h

Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy?

Bài 4: (2 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M ∈ AB và N ∈AD) Chứng minh:

a) BD // MN

20

Trang 21

b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC

1: (2điểm)

a) Cho x2 −2xy 2y+ 2 −2x 6y 13 0+ + = Tính

2

3x y 1N

Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ

Bài

4: (3 điểm)

Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F Gọi I là trung điểm của EF AI cắt CD tại M Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N

a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi

b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC

b, Cho a, b, c ≠0 Tính giá trị của D = x2011 + y2011 + z2011

Biết x,y,z thoả mãn: x22 y22 z22

a b c

2 2

Trang 22

Rút gọn biểu thức:

ab c

ca b

bc a

N

2

1 2

1

2 2

Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau khi đi được 15 phút, người

đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km

Tính quãng đường AB

Bài 4: (3điểm)

Cho hình vuông ABCD M là một điểm trên đường chéo BD Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD

a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau

b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy

c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất

Bài 5: (1điểm)

22

Trang 23

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:3x2 +5y2 =345

§

Ề S Ố 14 Bài 1: (2,5điểm)

Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x5 + x +1b) x4 + 4c) x x- 3x + 4 x-2 với x > 0

Bài 2 : (1,5điểm)

Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức:

2 2

2 1

+ +

=

c ac

c b

bc

b a

ab

a A

Bài 3: (2điểm)

Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0

Tính: 4a2 b2

ab P

a) Tính chu vi tứ giác AEMF Biết : AB =7cm

b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân

c) Tính : ANB + ACB = ?

d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của ∆ ABC

để cho AEMF là hình vuông

Bài 5: (1điểm)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :

52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23

§Ò S Ố 15 Bài

1: (2 điểm)

a) Phân tích thành thừa số: (a+b+c) 3 −a3 −b3 −c3

b) Rút gọn:

9 33 19

3

45 12 7

2

2 3

− +

x

x x

Tính xem trong bao lâu thì giếng sẽ hết nước

Trang 24

a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN

b) So sánh hai tam giác ABC và INC

09

00 1

99 224

9 sè 2 -

1 3

6

6 4

2 3

2

x

x x

x x x

x x

a) Rút gọn p

b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / =

4 3

c) Với giá trị nào của x thì p = 7

d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên

Câu 4 : ( 3 ñieåm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1

Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0

Câu 5 : ( 3ñieåm)

Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lầnlượt tại M và N Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75(cm)

Câu 6 : ( 4 ñieåm ) Cho tam giác đều ABC M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai

cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏnhất

24

Trang 25

đề

SỐ 17 Bài 1: (2 điểm)

Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:

3 Tìm số d trong phép chia của biểu thức (x+ 2) (x+ 4) (x+ 6) (x+ + 8) 2008 cho đa thức x2 + 10x+ 21.

Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H∈BC) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn

Trang 26

⇔ =x 1; x= 3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)

Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là x=1.

0,5 0,5 2.2

c c

b a

b c

a b

a c

b a c b a

c

b b

c a

c c

a a

b b

26

Trang 27

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)

Suy ra: ãBEC= ãADC= 135 0(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).

Nên ãAEB= 45 0 do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra:

BE=AB =m

1,0

0,5 4.2

BC = ìBC = ìAC (do BEC∆ : ∆ADC)

mà AD AH= 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)

BC = ìAC = ì AC = AB = BE (do ABH∆ : ∆CBA)

Do đó BHM∆ : ∆BEC (c.g.c), suy ra: ãBHM = ãBEC= 135 0 ⇒ ãAHM = 45 0

0,5 0,5

0,5 4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.

Trang 28

Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút Nếu ngời ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của ngời đó

Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010

b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1 Chứng minh rằng:

1 2 1 2 2

Đáp án và biểu điểm Bài 1: Phân tích:

28

Trang 29

Trang 30

Gọi khoảng cách giữa A và B là x (km) (x > 0) 0,25đ

Vận tốc dự định của ngời đ xe gắn máy là:

a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD

 PO là đường trung bình của tsm giác CAM

 AM//PO

⇒tứ giác AMDB là hình thang 1đ

b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)

Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB

Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc IEA

Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 1đ

Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng 1đ

c) ∆MAF : ∆DBA g g( − ) nên MF AD

FA = AB không đổi (1đ)

30

C D

O M

P

I E

F

Định dạng
Số trang	41
Dung lượng	2,81 MB