Chứng minh tam giác ABC đều.. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi D là trung điểm của cạnh BC.. Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống cạnh AB, AC và H là hình chiếu
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
HÀ TĨNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 -2013
ĐỀCHÍNH THỨC Môn: TOÁN
(Đề có 01 trang) Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1 a) Tính giá trị biểu thức: 3 3 1
3
x , y 3 17 12 2 3 17 12 2 b) Giải phương trình:
3
5 1 1
2
2
x x
x
x
Bài 2 a) Giải hệ phương trình:
9 6 12
4 3
2 3 3
2 2
x y x x
x y
x
.
b) Tìm các số tự nhiên a, b, c phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên
Pab 1 bc abc 1 ca 1 .
Bài 3 Tam giác ABC có chu vi bằng 1, các cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức:
1 1 1 23
c b
b a
a
Chứng minh tam giác ABC đều.
Bài 4 Cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi D là trung điểm của cạnh BC Lấy điểm
M bất kỳ trên đoạn thẳng AD (M không trùng với A) Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của N xuống đường thẳng PD.
a) Chứng minh AH vuông góc với BH.
b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng
Bài 5 Các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: xyz 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
z z
y z y
y y
x y x
x F
4 2
2
4 2
2
4
.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: .
SỞ GIÁO DỤC - Đ ÀO TẠO HÀ TĨNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THCS - NĂM HỌC 2012 -2013
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Trang 2Bài Đáp án Điểm Bài 1
5,0 điểm
a) 2.5 đ iểm Ta có M = (x – y)(x2 + xy + y2 + 3) = x3+ 3x – (y3 + 3y) 0.5
3
3
y 3 17 12 2 3 17 12 2 3 24 2 3 3 3 24 2
0,75
b) 2,5 đ iểm
5 1 1
1 1
1
2
x
x x
x
1
3 3
5 1
1 1
2
t t
t
1.0
5 7
2 0
7 5 ) 2 ( 0 14 3
5 2
t
t t
t t
x
= 1
1.0
Bài 2
5,0 điểm
a) 2.5 đ iểm
1 )
2 (
1 2
2 3 2 2
y x
y x
1 1
3 3 2 2
y a y a
2 ) 1 ( ) 1 ( 1 , 1 1 , 1
2 2 3 3 2 2
y y a a y a y a y a
y a
1.0
y
1 0
y a
0 1
y a
Thay vào ta có nghiệm
1 2
y x
0 3
y x
1.0 b) 2,5 đ iểm Điều kiện có nghĩa là a, b, c 0.
nguyên
0.5
abc c b a
1 1 1 1
Hơn nữa ta có
abc a c b a
1 1 1 1 1
+) S = 1 Ta có 1 = a1b1c1 abc1 < a1 b11c < a3
a
3
2
b
1
0,5
bc
2
1
b
1
+c1 -21bc = 21 Suy ra b2 > 12 b
< 4
0,5
Trang 3Từ đó 2 b 4 b = 3 Thay vào được c = 5 Vậy a = 2, b = 3 , c = 5
+) S = 2 Ta có 2 = a1b1c1 abc1 < a1b1c1 < a3
2
3
Thay vào được
b
1
+
c
1
-bc
1
b
2
a.
Kết hợp các trường hợp và do vai trò bình đẳng nên các số (a, b, c) cần tìm là:
(2,3,5), (2,5,3), (3,5,2), (3,2,5), (5,3,2), (5,2,3)
0,5
Bài 3
2,5 điểm
z b
a
y a
c
x c
b
thì x, y, z dương và
2
, 2
, 2
z y x c y z x b x z y
2
3 2
3 1 1 1 2
3 2
1 2
1 2
1
z
y y
z z
x x
z y
x z
y
1,0
Bài 4
5,0điểm
x
D
C
I
M
N
P
E H
a) 2.5 đ iểm
Vẽ tia Bx // AC, cắt tia PD tại E
Ta có BE = PC = BN
0,5
đường tròn đường kính NE Suy ra
0
45
1,0
Tương tự hai điểm A, H cùng thuộc đường tròn
BH
AH
1,0
b) 2.5 đ iểm Từ giả thiết suy ra AIB 90 0 nên I là điểm chính giữa của cung
là góc nội tiếp chắn cung AIB của đường tròn đường kính AB, nên tia HN phải
đi qua I
Do đó 3 điểm H, N, I thẳng hàng
1,5
Bài 5
y x y
x y x
y x y x y x y x
x
4 4 2
2
4 4 4 4 2
2
4 2
1,0
y x y x
y x
4
3 4
5 4
1 2
1 2 2
y
4
3 4
5 2
2 2
4
z
4
3 4
5 2
2 2
4
1,0
Trang 4Vậy 2F .
4
1 2
1 2
4
3 4
5
x = y = z =
3
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của F là
4
1
_ Hết _
Ghi chú: Mọi cách giải đúng và gọn đều cho điểm tối đa tương ứng