ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI HSG TỈNH VÀ CHỌN THI HSG QUỐC GIA

ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI HSG TỈNH VÀ CHỌN THI HSG QUỐC GIA ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI HSG TỈNH VÀ CHỌN THI HSG QUỐC GIA ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI HSG TỈNH VÀ CHỌN THI HSG QUỐC GIA ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI HSG TỈNH VÀ CHỌN THI HSG QUỐC GIA ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI HSG TỈNH VÀ CHỌN THI HSG QUỐC GIA ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI HSG TỈNH VÀ CHỌN THI HSG QUỐC GIAĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI HSG TỈNH VÀ CHỌN THI HSG QUỐC GIAĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI HSG TỈNH VÀ CHỌN THI HSG QUỐC GIAĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI HSG TỈNH VÀ CHỌN THI HSG QUỐC GIA

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU

_

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2010 – 2011

ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN LỚP 12

Thời gian làm bài thi : 180 phút Ngày thi : 02/11/2010

Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số y =

2 2 1

x mx m x

 

 ( 1 ) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt và tiếp tuyến với đồ thị (1) tại 2 điểm đó vuông góc với nhau

Câu 2 (5 điểm)

1 Giải hệ phương trình : 2 2 4





   

2 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số :ytan2x16cosx khi ;

4 3

x   

  

Câu 3 (4 điểm)

1 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , các mặt bên có góc ở đỉnh S số đo là  ( 0 < <

2

 )

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cách đều các mặt phẳng chứa lần lượt các mặt của hình chóp là =

4



2 Cho H là trực tâm của tam giác ABC không cân và góc A nhọn, hình chiếu của H trên AB,

AC theo thứ tự là E, F Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng BC, P;Q là giao điểm của các đường tròn đường kính AD , đường kính BC

Chứng minh : Ba điềm H, P , Q thẳng hàng và các đường thẳng BC ,EF , PQ đồng quy

Câu 4 (4 điểm): Cho hàm số f : RR thỏa mãn : x R: f x(  1) f x( ) 2 và f2( )x 2 (f x2)

Chứng minh:

1    x R; m Z f x m: (  ) f x( ) 2 m

2  q Q f q: ( )2q

Câu 5 (3 điểm) : Gọi T là phép biến đổi trên dãy số như sau: chọn 19 số hạng của dãy số và mỗi số

hạng này được cộng thêm 1, các số hạng còn lại của dãy số giữ nguyên

Cho dãy số gồm 2010 số nguyên a a a1; 2; 3; ;a2010

Chứng minh rằng : Từ dãy số đã cho, sau một số hữu hạn phép biến đổi T , ta có thể được dãy

số gồm 2010 số bằng nhau

-HẾT -

Họ và tên thí sinh:……… Chữ ký giám thị 1:………

SỞ GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH BÀ RỊA –VŨNG TÀU LỚP 12 DỰ THI QUỐC GIA, NĂM HỌC 2010-2011

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài thi 180 phút

Ngày thi: 07/12/2010

Câu 1( 4 điểm )

a/ Giải phương trình: 2

2( x x1)(1 x  1) x x b/ Giải bất phương trình: 2

log (x 2x  1) 1 log x

Câu 2( 4 điểm )

Cho tam giác ABC vuông ở A và nội tiếp trong đường tròn (O) Trên tia đối của các tia

BA, CA ta lấy các điểm E và F sao cho BE = CF = BC M là điểm chạy trên (O)

Chứng minh rằng : MA + MB + MC  EF

Câu 3( 4 điểm ) Cho dãy số (un) thỏa :

1

1

1 1 61

;

15 , 64

u

 

  





a) Chứng minh dãy số (un) có giới hạn

b) Tìm limu n

Câu 4( 3 điểm )

Tìm tất cả các hàm số f :[0; ) [0;), thoả mãn:

f x(  f y( )) f y(  f x( ))2( ( ) 3f y  xy);x y, 0

Câu 5( 5 điểm )

a) Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số sao cho 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ

số cuối giống nhau và khác không?

b) Trên mặt phẳng cho 2 x 2010 điểm ; trong đó không có bất kì 3 điểm nào thẳng hàng.Người ta tô 2010 điểm bằng màu đỏ và tô 2010 điểm còn lại bằng màu xanh Chứng minh rằng:bao giờ cũng tồn tại một cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả các điểm màu xanh bởi 2010 đoạn thẳng không có điểm nào chung

-

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

Tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUY ỂN HỌC SINH GIỎICẤP

TỈNH THPT, NĂM HỌC 2010 – 2011

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN THI: TOÁN

( Hướng dẫn chấm có 03 trang )

Câu 1

(4 điểm)

 Phương trình hoành độ giao điểm: x2mx m 0(2)

 Đồ thị (1) cắt 0x tại 2 điểm phân biệt m< 0 hoặc m>4

 TXD : D = R

2 2

'

1

y

x





 Hai giao điểm M1x1, 0 ; M2x2, 0

Vì x x là hai nghiệm của phuương trình (2) 1; 2

Hai tiếp tuyến vuông góc y x'( ) '1 y x 2  1

2

      

Vậy: m=-1 thỏa yêu cầu bài toán

1

1

0.5

1

0,5

Câu 2

(5 điểm)

1 ( 2, 5 điểm)

 Đk : x 0 , y 0







 Đặt

10

2

U V

 



10

5 25

U V

U V

 







y





 x = y = 2

2 (2.5 điểm)

cos

x

1

1

0,5

0,5

 Đặt cos , , 1;1

xt x    t  

   => y= f(t) = 2

1

16t 1

t  

 f’(t) = - 23 16

t  , f’(t) = 0 t = 1

2

 f(t) tăng trên đoạn 1;1

2

 

 

 

 

 

1

1

1 16

1 11 2

( ) inf

f

f

Maxy Maxf t

Miny

 

 

   

   

   

   

   

   

 

 

1

1

Câu 3

(4 điểm)

1 ( 2 điểm )

 Các mặt phẳng lần lượt chứa các mặt của hình chóp cắt mặt cầu ngoại tiếp của

hình chóp theo giao tuyến là các đường tròn ngoại tiếp các mặt

 Ta có d2 R2R C2 trong đó d khoảng cách ,R bán kính mặt cầu ngọai tiếp, R C

bán kính đường tròn giao tuyến

 ycbtR SAB R ABCD

2



2 ( 2điểm)

 PQ trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính (BC) và đường kính (AD)

 Gọi AHBCA ta c1, ó HA HA 1HE HC  H PQ

 Gọi K=EF  BC ( vì tam giác ABC không cân )

Ta có KB KC KE KF KA KD1

( Xét đường tròn ( BC ), đường tròn Ơ –le)

=> Phương tích của điểm K đối với đường tròn đường kính ( BC ) = Phương tích của

điểm K đối với đường tròn đường kính ( AD) => Đpcm

0,5

1

0,5

1

1

Câu 4

(4 điểm)

1 (2 điểm )

   

*

2

f x m f x m

( Thực hiện m-1 lần liên tiếp )

2 ( 2 điểm )

m

q Q q m Z n N

n

1

1

2 2

2

2

1

2

      



1

2

Từ (1) và (2) => f m 2m

  

 

  (đpcm)

1

1

Câu 5

(3 điểm)  Ta chỉ xét dãy các số hạng không bằng nhau

Gọi d Max a k min a k

 Không giảm tính tổng quát gọi a là số hạng có giá trị nhỏ nhất Ta xếp các số hạng 1

của dãy lên một vòng tròn

 Gọi ( x, y) là một nghiệm nguyên dương của phương trình : 19x= 2010y + 1 ( pt

này có nghiệm nguyên dương )

 Bắt đầu từ a ta thực hiện liên tiếp x lần phép T theo một hướng ( Mỗi bước 19 số 1

liên tiếp ) thì ta được mỗi số hạng đều tham gia y lần riêng a tham gia y+1 lần => 1 a 1

được tăng nhiều hơn các số còn lại 1 đơn vị và các số còn lại tăng như nhau Nếu dãy

số có nhiều số hạng bằng a thì ta thực hiện tương tự 1

 Mỗi lần thực hiện như trên d giảm 1 , mà d là số tự nhiên do đó sau hữu hạn lần

thực hiện thì d =0 => đpcm

1

1

1

Chý ý :

 Tổ chấm tự thống nhất cách chia điểm thành 0,25 nhưng không làm thay đổi tổng số điểm từng thành phần

 Điểm bài thi giữ nguyên không làm tròn

HẾT

SỞ GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH BÀ RỊA –VŨNG TÀU LỚP 12 DỰ THI QUỐC GIA, NĂM HỌC 2010-2011

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ DỰ BỊ

MÔN THI:TOÁN

( Hướng dẫn chấm có : 5 trang )

Đặt 1 cos 2 , 0

4

x



* (1) trở thành: 2(1 2 sin )(cos 2t tsin 2 ) 1t  (2)

* (2)2(1 2sin )(cos 2 2t tsin 2 ) 1t   2 sint

* sin(4 ) sin

4

;

3 20

cos 10

t  x



2 Giải bất phương trình: log (3 x22x  1) 1 log2x (1)

* (1) 2log (3 x  1) 1 log2x Điều kiện x > 0

Đặt tlog2 x x 2t (1) trở thành:

1

t t

    

      

f t     f t    

* f(1) = f(3) = 3, lập luận được f’ có nghiệm duy nhất t0 và t0(1;3)

* Lập BBT, suy ra f t( ) 31 t 3

* Nghiệm: 2 < x < 8

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

Áp dụng định lí ptoleme vào tứ giác ABMC ta có : MA.BC = MB.AC + MC.AB

Áp dụng bất đt B.C.S ta có :

2

2

2

EF

BC



Dấu “=” xảy ra MB MC MBC AFE MBC EFA

AF AE

1

1

1

1

,

u   u u   u   n N

Xét hs : f(x) = 3 15

64

x  f tăng trên R

Chứng minh : u n1u n , n N*(1) bằng QN Thật vậy : Với n = 1 : 2 1 1 15 13

64

u u u  u

(4u11)(16u12  4u1 15) 0 ( HN đúng vì 1 1 1; 61

  

Giả sử ( 1) đúng vớ n = k 1, nghĩa là : u k1u k

Với n = k + 1, (1)u k2u k1 f u( k1) f u( k)( HN đúng vì f tăng)

Chứng minh : 1 1; 61 , *(2)

n

    

Thật vậy : Với n = 1 : 1 1 1; 61

  

1

1

M

A

B

C

Giả sử ( 2) đúng vớ n = k 1, nghĩa là : 1 ;1 61

k

  

Với n = k + 1 3

1

15

( ) 64

u   u   f u

1 ;1 61

k

  

f   f u f   

Suy ra : 1 1 1 61

4 u k 8



(1), (2) suy ra Đpcm b) Đặt L = lim n



Từ Câu a) suy ra 1 1 61



  

1

1 4

1 61 8

L

L



  













 



So với đk suy ra: lim 1 61

8

n







1

Giải pt hàm: f x(  f y( )) f y(  f x( ))2( ( ) 3f y  xy);x y, 0

* Đặt f(0) = a 0, cho x  y 0 f a( )a Cho x0,y a f(2 )a 3a; cho xa y,  0 f(2 )a 7a

Vậy 7a = 3a nên a = 0 Suy ra f(0) = 0

* Cho y = 0 ta có f f x( ( )) f x( )6x Xét dãy số (xn) : x1 = x, x2 = f(x), xn+1 = f(xn) , n = 1,2,3,…

Ta có : xn+2 + xn+1 – 6xn = 0 Pt đặc trưng : t2 + t – 6 = 0 có 2 nghiệm -3, 2

Vậy x n ( 3) n.2n, với n =1 và n = 2 ta có :

*

( ) 2

10

f x x x





 





2 1

0

0

n n

n

x

x 









;

n

        

* Cho n dần đến vô cực, ta có  0 Vậy f(x) = 2x

* Thử lại, ta thấy f(x) = 2x thoả đề bài

0,5

1

1

0,5

Câu 5 5điểm

a/ Số phải tìm có dạng : aabb a b, N,1a b, 9

(1) , ,31 100

aabb  k kN  k

1100a 11b k 11(100a b) k (2)

Từ (2) 2

k

 chia hết 11, 11 nguyên tố suy ra k chia hết 11

Mà 31 < k < 100 nên suy ra k {33; 44;55;66;77;88;99} Thay vào ( 1) ta được k = 88

Vậy số cần tìm : 7744

b/ Xét tất cả các cách nối 2010 cặp điểm( đỏ với xanh ) bằng 2010 đoạn thẳng

các cách nối như vậy luôn tồn tại và do đó chỉ có 2010 cặp điểm cho nên

số tất cả cách nối như vậy là hữu hạn

Do đó, ắt tìm được một cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng là ngắt nhất.Ta chứng minh rằng đây chính là cách nối phải tìm

Thật vậy: giả sử ngược lại ta có hai đoạn thẳng AX và BY mà cắt nhau tại điểm O(Giả sử A và B tô màu đỏ , còn X và Y tô màu xanh).Khi đó , nếu ta Thay đoạn thẳng AX và BY bằng hai đoạn thẳng : AY và BX , các đoạn đã nối khác giữ nguyện thì ta có cách nối này có tính chất :

AY + BX < (AO +OY) + (BO + OX) = (AO +OX) + (BO + OY) Suyra : AY+BX<AX+BY

Như vậy : việc thay hai đoạn thẳng AX và BY bởi hai đoạn thẳng AY và

BX , ta nhận đựợc một cách nối mới có tổng độ dài các đoạn thẳng là nhỏ hơn Vố lý , vì trái với giả thiết là đã chọn cách nối có tổng độ dài là bé nhất .Điều vô lý đó chứng tỏ : cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng là ngắn nhất là không có điểm chung

1

1

1

1

1

LƯU Ý:

- Tổ chấm thống nhất điểm thành phần đến 0,25đ

- Điểm bài thi giữ nguyên không làm tròn

-HẾT -

A

Y

O

X

B