- Yêu cầu học sinh nhắc lại công thức tính đạo hàm của một tích ? Học sinh: (uv)’ = u’v + uv’
- Lấy nguyên hàm hai vế ta được điều gì ?
Học sinh: (uv)'dx (u 'v uv')dx uv vdu udv - Từ đó ta có: udv uv vdu
Trong thực tế có rất nhiều bài toán khi tính tích phân udv thì rất khó khăn (hoặc không thể tính được theo các phương pháp đã học) nhưng nếu chuyển sang tính uv vdu thì sẽ dễ dàng hơn nhiều.
Ví dụ 1: Tính I xcosxdx Giáo viên hướng dẫn:
− Các em hãy tính I bằng phương pháp đặt ẩn phụ hay phân tích ?
− Việc tính I bằng các phương pháp trên là rất khó khăn, mà gần như là không thực hiện được. Vậy các em hãy xem xsin xdx là udv và tính vdu ?
Học sinh:
Đặt x u du dx
v sin x ( cosxdx dv) cosx dv
vdu sin xdx cosx C
− Như vậy việc tính tích phân vdu ở bài toán này dễ dàng hơn so với tích phân ban đầu ( udv ).
Theo công thức chứng minh ban đầu ta có:
udv uv vdu
Áp dụng vào bài toán ta dễ dàng tìm được câu trả lời:
Lời giải:
I xcosxdx
Đặt x u du dx
cosx dv v sin x
I x cos xdx x sin x sin xdx x sin x cos x C
.
Giáo viên: Như vậy với việc dùng phương pháp tích phân từng phần thì việc những tích phân phức tạp sẽ được tính dễ dàng hơn bằng việc tính qua một tích
phân khác. Phương pháp này sẽ phát huy hiệu quả nếu dùng đúng với những hàm số nhất định như hàm lượng giác, siêu việt...
Dấu hiệu nhận biết một số hàm số sử dụng phương pháp tích phân từng phần:
Hàm số Cách đặt
x
P(x)sin xdx ( P(x)cos xdx) P(x)e dx
Với P(x) là đa thức R và R x ln xdx
với R \ 1
Đặt
x
u P(x)
dv sin xdx (dv cos xdx) dv e dx
Đặt u ln x dv x dx
Dù đã có dấu hiệu và cách đặt khá rõ ràng nhưng trong thực tế có nhiều bài toán chúng ta không thể nhìn ngay ra được dạng mà phải phân tích, biến đổi linh hoạt qua nhiều bước. Mở rộng bài toán trên các em hãy làm ví dụ sau:
Ví dụ 2: Tính tích phân bất định I x cos xdx3 Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:
− So với ví dụ 1 thì đa thức P(x) ở đây có bậc như thế nào?
− Nếu đặt u = x3, dv = cosxdx thì kết quả thế nào?
Học sinh:
+) P(x) có bậc cao hơn đa thức ở ví dụ 1 (bậc 3 > bậc 1) +) dv = 3x2, v = sinx
1
3 3 2
I
x cos xdx x sinx 3 x sin xdx
– Lúc này đa thức P’(x) của I1 có bậc như thế nào so với P(x)?
Học sinh: P’(x) có bậc giảm so với P(x) một bậc.
– Sau một lần sử dụng tích phân từng phần thì đa thức P(x) hạ bậc. Nếu chúng ta sử dụng nhiều lần thì sẽ chuyển về đa thức bậc một (đã xét ở ví dụ 1) rất dễ dàng cho việc tính toán.
– Các em hãy tiếp tục tính I1 bằng phương pháp tích phân từng phần để hạ bậc P’(x) sau đó đưa về đa thức bậc một và hoàn thành.
Lời giải:
I x cos xdx3
Đặt
3 2
u x du 3x dx
dv cos xdx v sinx
. Khi đó ta có:
1
3 3 2
I
I x cos xdx x sinx 3 x sin xdx
Đặt
2 du 2xdx
u x
v cos x
dv sin xdx
. Khi đó ta có:
2
2 2
1
I
I x sin xdx x cos x 2 xcoxdx
Sử dụng kết quả từ ví dụ 1 ta có:
2 2
I x sin x cos x C
I1 = – x2cosx + 2I2 = – x2cosx + 2(xsinx + cosx + C2)
3
1
3 2
I x sinx 3I
x sinx 3x cos x 6(x sin x cos x) C
Giáo viên nhận xét:
− Nếu P(x) có bậc n thì phải sử dụng n lần tính tích phân từng phần.
− Những bài toán này có thể giải được nhanh hơn nếu thành thạo công thức. Có thể rút ngắn công đoạn nếu biết đưa hàm số ra khỏi dấu vi phân. Biến đổi về dạng P(x)L(x)dx P(x)du cũng là một hướng giải quyết. (nếu biết vận dụng sẽ rất nhanh). Các em có học lực khá giỏi nên chú ý và có thể áp dụng.
Lời giải: (cách 2)
3 3 3 3
3 2 3 2
3 2 2
3 2
3 2
3 2
I x cos xdx x d(sinx) x sinx sin xd(x ) x sinx 3 x sin xdx x sinx 3 x d(cos x) x sin x 3[x cos x cos xd(x )]
x sin x 3x cos x 6 x cos xdx x sin x 3x cos x 6xd sin x
x sin x 3x cos x 6(x sin x cos x) C
Các dạng toán sử dụng phương pháp tích phân từng phần rất phong phú.
Việc chọn biến để đặt ẩn là yếu tố quan trọng, quyết định sự thành công của việc tính tích phân.
Ví dụ 3: Tính tích phân bất định I sin(ln x)dx Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:
− Hàm số sin(lnx) thuộc dạng nào?
− Xem P(x) là đa thức bậc 0 thì chúng ta phải đặt thế nào? Tính I?
Học sinh:
+) Thuộc dạng hàm lượng giác sinu(x) trong đó u(x) là một hàm siêu việt.
+) Áp dụng bảng dấu hiệu đầu bài: Đặt u sin(ln x) dv P(x)dx dx
.
Suy ra
du 1cos(ln x)dx x
v x
. Khi đó ta có:
I1
I x sin(ln x) x. cos(ln x)dx1 x
x sin(ln x) cos(ln x)dx
− Hãy so sánh sự khác biệt giữa tích phân I1 và I ?
− Nêu đặc điểm đạo hàm của hàm sin, cosin? Tính I1 ?
Học sinh:
+) Hàm sin, cosin có đạo hàm đối nhau, suy ra nguyên hàm cũng đối nhau.
+) Đặt
u cos(ln x) du 1sin(ln x)dx dv dx x
v x
. Khi đó ta có:
I1 x cos(ln x) sin(ln x)dx x cos(ln x) I C – Từ đây ta dễ dàng hoàn thành tiếp với việc phân tích I qua I1. Lời giải:
Đặt
u sin(ln x) du 1cos(ln x)dx dv P(x)dx dx x
v x
. Khi đó ta có:
I1
I x sin(ln x) x. cos(ln x)dx1 x
x sin(ln x) cos(ln x)dx
+) Đặt
u cos(ln x) du 1sin(ln x)dx dv dx x
v x
. Khi đó ta có:
I1 x cos(ln x) sin(ln x)dx x cos(ln x) I C I x sin(ln x) (x cos(ln x) I) C
2I x sin(ln x) x cos(ln x) C I 1x[sin(ln x) cos(ln x) ] + C
2
Giáo viên nhận xét: Qua ví dụ này ta thấy, ở nhiều hàm số mà đạo hàm có tính đối xứng, hoặc không đổi thì phải dùng tích phân luân hồi, (sử dụng tích phân từng phần sau đó phân tích).
Ví dụ 4: Tính x 1 sinx
I e dx
1 cos x
Giáo viên:
– Hãy xét xem hàm số trên có đặc điểm gì? Đối chiếu với bảng dấu hiệu hãy đưa ra cách đặt hợp lí.
Học sinh: Hàm số trên là tích của hàm siêu việt và hàm lượng giác, cả hai hàm đều có tính chất đặc biệt của đạo hàm nên ta sẽ dùng tích phân luân hồi.
– Hãy áp dụng ví dụ 3 để hoàn thành ví dụ trên Lời giải: