Hướng Dẫn Cách Giải:. Bài 1.[r]
Trang 1bài tập giới hạn và liên tục của hàm số
(Dạng các bài mới do laisac biên soạn.)
? ? ? ? ? ? ? ? ?F ? ? ? ? ? ? ? ??
1
A Giới Hạn Của Hàm Số.
Bài 1 lim
x−→1
(x3− 2x + 1)2010 (x3− 4x2+ 5x − 2)1005
Bài 2 lim
x−→+∞
√
x + 2010 −
√
x + 209
√
x + 2009 −√x + 208
Bài 3 lim
x−→0
cosx.√1 + x − 1
x
Bài 4 lim
x−→−∞x
√
x2+ 2010 −
√
x2+ 1009
Bài 5 lim
x−→1
x2010+ 4x4+ 3x3− 8
x2010+ x3+ 2x2− 4
Bài 6 lim
x−→∞
(2x + 1)2010(x2+ 3x + 4) (2x + 3)2009(2x3− 4x + 7)
Bài 7 lim
x−→2 +
√
x −
√
2 +√x − 2
√
x2− 4
Bài 8 lim
x−→
π
3
2 cos x − 1
tanx−
√ 3
Bài 9 lim
x−→1
√
x + 3 + x3+ x2− 4
√
x + 8 − 3 cos(x − 1)
Bài 10 lim
x−→0
1 −√cosx
√ 2x2+ 2010 −
√
x2+ 2010
Bài 11 lim
x−→1
√
x + 3.√3
x + 7 − 4
x − 1
Bài 12 lim
x−→π +
√
1 + cosx x−π
Bài 13 lim
x−→0
√
1 + sinx −√1 − sinx
x
Bài 14. lim
x−→−∞
√
2010x2 + 1 + x
√
2009x2 + 1 + x
Bài 15 lim
x−→+∞
√
x2− 3x + 2 + 4x + 1
3
√
8x2+ 1 + 2 − x
Bài 16 lim
x−→0
√
3 − 2 cos 2x − 1
tan23x − tan2x
Trang 2Bài 17 lim
x−→0
2 sin x − sin 2x
tan3x − tanx.tan33x
Bài 18 lim
x−→0
1 − cot x cot 2x
1 − cot 2x cot 4x
Bài 19 lim
x−→0
cos2010x.cos2009x − 1 cos2009x.cos2008x − 1
Bài 20 lim
x−→1
2010√
1 + x − 1
2009√
1 + x − 1
Bài 21 lim
x−→0
2010x − 1
2009x − 1
B Hàm số liên tục:
Bài 22.Hàm số sau đây có liên tục tại x = 0, không?
f (x) =
√
1 − cos 2x
cos
x + 2007π
4
+ cos
x − 2009π
4
, x ≥ 0
Bài 23 Cho hàm số f (x) = √cos2x − 1
x2+ 1 − 1.
Tính f(0) để hàm số liên tục tại x =0.
Bài 24 Cho hàm số f (x) =
(2x − π)
√ tan2x + 1; x > π2
A sin x; x ≤ π2 Tìm A để hàm số liên tục tại x = π
2.
Bài 25 Cho hàm số f (x) =
6
√
3x − 2 − 1
x − 1 ; x > 1
1
m.
√
x2 − 2x + 1
x − 1 ; x < 1 Đinh m để hàm số f(x) liên tục tại x =1.
Bài 26 Định k để hàm số sau đây liên tục trên tập số thực R.
f (x) =
(
x cos 1
x ; x 6= 0 k; x = 0
2Nguyễn Lái.GVTHPT chuyên Lương Văn Chánh.
Trang 3C Hướng Dẫn Cách Giải:
Bài 1 lim
x−→1
(x3− 2x + 1)2010 (x3− 4x2+ 5x − 2)1005 = limx−→1
(x − 1)2010(x2+ x − 1)2010 (x − 1)2010(x − 2)1005
Bài 2. lim
x−→+∞
√
x + 2010 −√x + 209
√
x + 2009 −
√
x + 208 =x−→+∞lim
√
x + 2010 +√x + 209
√
x + 2009 +
√
x + 208
Bài 3 lim
x−→0
cosx.√1 + x − 1
x = limx−→0
cosx. √1 + x − 1
+ cosx − 1
= lim
x−→1
cosx
√
1 + x + limx−→1
cosx − 1
x
Bài 4 lim
x−→−∞x
√
x2+ 2010 −
√
x2+ 1009
= lim
x−→−∞
−1 r
1 +2010
x +
r
1 + 2009
x
Bài 5 lim
x−→1
x2010+ 4x4+ 3x3− 8
x2010+ x3 + 2x2− 4 = limx−→1
(x2010− 1) + (x − 1) (4x3+ 7x2+ 7x + 7) (x2010− 1) + (x − 1) (x2+ 3x + 3)
Bài 6 lim
x−→∞
(2x + 1)2010(x2+ 3x + 4) (2x + 3)2009(2x3− 4x + 7) = limx−→∞
2 + 1
x
2010
1 + 3
x+
4
x2
2 + 3
x
2 − 4
x+
7
x2
Bài 7 lim
x−→2 +
√
x −
√
2 +√x − 2
√
x2− 4 = limx−→2 +
√
x −
√ 2
√
x2− 4 + limx−→2 +
1
√
x + 2
Bài 8. lim
x−→
π
3
2 cos x − 1
tanx−
√
3 = lim
x−→
π
3
2
cosx−1
2
tanx−
√
3 = lim
x−→
π
3
2
cosx − cos π
3
tanx − tanπ
3
Bài 9 lim
x−→1
√
x + 3 + x3+ x2− 4
√
x + 8 − 3 cos(x − 1) = limx−→1
√
x + 3 − 2
+ x3+ x2− 2
√
x + 8 − 3 + 3 (1 − cos(x − 1)) =
=
lim
x−→1
√
x + 3 − 2
x − 1 + limx−→1
x3+ x2 − 2
x − 1
lim
x−→1
√
x + 8 − 3
x − 1 + 3 limx−→1
(1 − cos(x − 1))
x − 1
Bài 10 lim
x−→0
1 −√cosx
√ 2x2+ 2010 −√x2+ 2010 = limx−→0
(1 − cosx)
√
2x2+ 2010 +
√
x2+ 2010
x2(1 +√cosx)
Bài 11 lim
x−→1
√
x + 3.√3
x + 7 − 4
x − 1 = limx−→1
√
x + 3 √3
x + 7 − 2
+ 2
√
x + 3 − 2
x − 1
Bài 12. lim
x−→π +
√
1 + cosx x−π = limx−→π +
√
2
cosx2
x−π = limx−→π +
√ 2
sinπ − x2
x−π
Bài 13 lim
x−→0
√
1 + sinx −√1 − sinx
x = limx−→0
2 sin x
x √1 + sinx +√1 − sinx
Trang 4Bài 14. lim
x−→−∞
√
2010x2 + 1 + x
√
2009x2 + 1 + x =x−→−∞lim
−x
r
2010 + 1
x2 + x
−x
r
2009 + 1
x2 + x
Bài 15. lim
x−→+∞
√
x2− 3x + 2 + 4x + 1
3
√
8x2+ 1 + 2 − x
Bài 16 lim
x−→0
√
3 − 2 cos 2x − 1
tan23x − tan2x = limx−→0
2 (1 − cos2x) (tan3x − tanx) (tan 3x + tanx) √3 − 2 cos 2x + 1
Bài 17 lim
x−→0
2 sin x − sin 2x
tan3x − tanx.tan33x = limx−→0
2 sin x (1 − cosx)
tanx (tanx − tan3x) (tanx + tan3x)
Bài 18 lim
x−→0
1 − cot x cot 2x
1 − cot 2x cot 4x = limx−→0
sinx.sin2x − cosx.cos2x sin2x.sin4x − cos2x.cos4x .
sin 4x sin 2x = limx−→0
−cos3x
−cos6x.
sin 4x sin 2x
Bài 19 lim
x−→0
cos2010x.cos2009x − 1 cos2009x.cos2008x − 1 = limx−→0
cos2010x (cos2009x − 1) + cos2010x − 1 cos2009x (cos2008x − 1) + cos2008x − 1
Bài 20 .áp dụng hằng đẳng thức :an− bn = (a − b) (an−1+ an−2b + + an−1)
Có thể đặt ẩn số phụ.
Bài 21 áp dụng công thức : lim
x−→0
ax− 1
x = ln a
Bài 22 Ta có f (0) = cos
2007π
4
+ cos
2009π
4
= −
√ 2
và lim
x−→0 +f (x) = lim
x−→0 −f (x) = −
√ 2
Bài 23 Ta có: lim
x−→0
cos 2x − 1
√
x2+ 1 − 1 = limx−→0
−2 sin2x.
√
x2+ 1 + 1
Do đó để hàm số liên tục tại x = 0 thì f(0) = -4.
Bài 24 ta có: lim
x−→ π
2
f (x) = f π
2
= A
Bài 25 Ta có f (1) = 1
2
lim
x−→1 +f (x) = lim
x−→1 +
6
√
3x − 2 − 1
x − 1 =
1 2
lim
x−→1 −f (x) = lim
x−→1 −A.
√
x2− 2x + 1
x − 1 = limx−→1 −A |x − 1|
x − 1 = −A
Bài 26 Ta có − |x| ≤ |x| cos1
x ≤ |x| ⇒ limx−→0|x| cos 1
x = 0
Suy ra lim
x−→0x cos1
x = 0
hết