Ôn thi ĐH môn Toán câu 1

Ph ng pháp:.

Gi s I là m t kho ng ho c n a kho ng ho c m t đo n , f là hàm

s liên t c trên I và có đ o hàm t i m i đi m trong c a I ( t c là đi m thu c I nh ng không ph i đ u mút c a I ) Khi đó :

· N u f'( )x > v0 i m i x ÎI thì hàm s f đ ng bi n trên I

· N u f'( )x < v0 i m i x ÎI thì hàm s f ngh ch bi n trên kho ng I

· N u hàm s f liên t c trên éëa b; ùûvà có đ o hàm f '( )x < trên 0kho ng ( )a b thì hàm s; f ngh ch bi n trên éëa b; ùû

· o hàm f'có th tri t tiêu t i đi m x 0 nh ng hàm s f không

nh lý 2: Gi s hàm s f liên t c trên kho ng ( )a b ch; a đi m x và 0

có đ o hàm trên các kho ng ( )a x; 0 và ( )x b0; Khi đó :

f x - +

( )

f x f a ( ) ( )

f x +

0 - ( )

f x

( )0

f x

f a ( ) f b ( )

IV Bài toán giao đi m

nh lí : S giao đi m c a hai đ th hai hàm s y = f x( ) và y =g x( )chính là s nghi m c a ph ng trình:f x( )=g x( )

T đ nh lí này s d n t i hai bài toán giao đi m sau

Bài toán 1: Bi n lu n s nghi m c a ph ng trình: F x m( , )= 0 (m là tham s )

Bài toán 2:Bi n lu n s giao đi m c a hai đ th ( ) :C y = f x( ) và ( ') :C y =g x( )

nh lí 1: o hàm c a f x t( ) i x =x0 là h s góc c a ti p tuy n

t iM x( 0;f x( )0 )

Nh n xét: H s góc c a m i ti p tuy n đ u có d ngf '( )x0

2 Các bài toán v ph ng trình ti p tuy n:

Bài toán 1: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s y = f x( )

t i đi m M x( ; ( ))0 f x0

Ph ng pháp:

Bài toán 3: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s y = f x( ),

bi t ti p tuy n đi qua đi m ( ; )A x A y A

Vì ti p tuy n đi qua A nên ta có:y A = f x'( )(0 x A -x0)+y0, gi i

ph ng trình này ta tìm đ c x0suy ra ph ng trình ti p tuy n

Tr l i bài toán: i u mà các b n hay nh m l n là áp d ng ngay k t

qu trên vào (1) L u ý VT c a (1) ch a ph i là tam th c b c hai vì h

s a =m+2 nh n giá tr 0 Do đó ta c n chia làm hai tr ng h p

Nh n xét: L i gi i trên xem ra có v đúng và h p lí, tuy nhiên v m t

lí lu n thì trình bày nh trên là ch a th a đáng? Các b n th ngh xem ch a th a đáng ch nào ? Ta nên trình bày th nào cho ch t

Nh n xét: N u y' là m t tam th c b c hai ho c tri t tiêu và cùng d u

* m = - Þ2 y'(1)= - < Þ1 0 x =1 là đi m c c đ i Þm = -2không th a y u c u bài toán

s th y rõ h n b ng cách gi i bài toán sau:

Ta có: y' = Û0 2 (x -2)2 + =1 m x( -2) (1) t t = -x 2 thì (1) tr thành

4

t t

Hàm s có hai đi m c c tr th a mãn x CÐ.x CT =1Û (1) có hai nghi m x x th1, 2 a mãn: |x x1 2 | 1=

Nh n xét Chúng ta đã gi i quy t bài toán liên quan đ n hoành đ

c a đi m c c tr Ghi nh r ng các hàm đa th c hay phân th c h u t luôn có đ o hàm t i m i đi m thu c t p xác đ nh nên hoành đ đi m

c c tr bao gi c ng là nghi m c a ph ng trình y' =0 Th ng thì các b n ch g p nh ng hàm s mà y' là m t tam th c b c hai ho c tri t tiêu và cùng d u v i m t tam th c b c hai, do đó nh ng bài toán liên quan đ n đi m c c tr c a đ thi hàm s th ng chuy n v bài toán liên quan đ n nghi m c u m t ph ng trình b c hai và đ nh lí Viet là công c t t nh t đ gi i quy t

Ví d 9.1 Cho h đ ng cong (C m) :y =2x3 +mx2 -12x -13 Tìm m đ (Cm) có đi m c c đ i và c c ti u và các đi m này cách đ u

tr c tung

L i gi i Hàm s xác đ nh trên ¡

Ta có y' =2(3x2 +mx -6)Þy' = Û0 3x2 +mx - =6 0 (2)

Vì (2) luôn có hai nghi m phân bi t nên đ th hàm s luôn có hai c c

tr G i x x 1, 2 là hoành đ hai c c tr , hai đi m c c tr cách đ u tr c tung Û|x1| |= x2 |Ûx1 = -x2 Ûx1 +x2 =0(vì x1 ¹x ) 2

III Bài toán giao đi m

N i dung liên quan c a bài toán này là d a vào đ nh lí sau

nh lí: S nghi m c a hai đ th ( ) :C y = f x( ) và ( ') :C y =g x( )

chính là s nghi m c a ph ng trình

( ) ( )

f x =g x (1) Nghi m c a ph ng trình chính là hoành đ c a các giao đi m nên nó còn đ c g i là ph ng trình hoành đ giao đi m

T đ nh lí trên s n y sinh ra hai bài toán ng c nhau

Bài toán 1: D a vào đ th (C): y = f x( ), bi n lu n s nghi m c a

L u ý: 1) bài toán trên ta có th gi i theo cách sau

f x khi x y

y

-4

O

1

Ph ng trình hoành đ giao đi m c a d và ( )C :

21

ì >

ï

Û í ¹

ïî Khi đó x M = k x; N = - k

Ti p tuy n t i M và N vuông góc v i nhau Ûy'( k y) '(- k)= - 1

+

=+ (C)

1 Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C)

2 Ch ng minh r ng đ ng th ng d y: = - +x m luôn c t (C) t i hai

đi m phân bi t A,B Tính đ dài đo n AB theo m

G i x1, x2 là hai nghi m c a (*) Khi đó :

+

=

- có đ th (C)

1 Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C), bi t ti p tuy n có h s góc k = -4

2 Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C), bi t ti p tuy n c t hai

tr c t a đ t i hai đi m A B, sao cho tam giác OAB là m t tam giác vuông cân

3 Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C) t i M , bi t IM vuông góc v i ti p tuy n, trong đó I(1;2)

4 Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C), bi t ti p tuy n đi qua (1; 5)

A

L i gi i

G i M x y( ;0 0) là ti p đi m, khi đó ti p tuy n D có ph ng trình:

0 0

2

0 0

+-

04

2( 1)

x

y x

x x

é =-

34

1( 1)

x

x x

é =-

Cách 1 cho chúng ta l i gi i ng n g n h n Tuy nhiên cách 2 có ý ngh a t ng quát h n Khi thay đ bài b ng các câu h i khác liên quan

đ n tam giác OAB (Ch ng h n OA=2OB ho c DAOB có di n tích b ng k …) thì l i gi i th nh t không còn hi u qu n a, trong lúc

đó cách gi i th hai ta v n áp d ng đ c

3 Ti p tuy n D có VTCP:

2 0

41;

316

1( 1)

x

x x

1 Ti p tuy n c a đ th (C m) t i đi m có hoành đ x = -1 t o v i

đ ng th ng d :y = +x 1 m t góc 45 0

2 Trên (C m) có đúng b n đi m mà ti p tuy n c a (C m) t i đó t o

v i hai tr c t a đ m t tam giác vuông cân

( , ) 45 cos( , ) cos 45

d d

u u

D D

uur uuruur uur

t a đ tam giác vuông cân thì ph ng trình (2) có hai nghi m phân

bi t và không có nghi m chung v i (1)

0 0

x x

1 0 (II)

ïî

11

y n

2 Tìm hai đi m A B, thu c hai nhánh c a (C) sao cho AB nh nh t

3 Tìm N Î( )C sao cho kho ng cách t N đ n Ox g p đôi kho ng cách t N đ n Oy

21

2 6( ) ( ) 1 2 6

-êë( , ) ( ) 2 6 1

ab

ì =ï

=ïî(1 3;1 3), (1 3;1 3)

-0 0

11

1 Tìm trên đ th (C2) nh ng c p đi m đ i x ng qua O

2 Tìm m đ trên (C m) t n t i m t c p đi m đ i x ng nhau qua Oy

2m 0 m 0

Û - > Û <

V y m < là nh0 ng giá tr c n tìm

Ví d 21.1 Cho hàm s y =(m+2)x3 -3(m -2)x +m + (7 C ) m

Ch ng minh r ng h đ ng cong (C m) luôn đi qua ba đi m c đ nh

và ba đi m này n m trên m t đ ng th ng

luôn nghch bi n trên ¡

Bài 3.1 Ch ng minh r ng hàm s sau không th luôn đ ng bi n trên

t o thành m t tam giác nh n g c t a đ làm tr c tâm

Bài 10.1 Cho hàm s y =x3 -3x2, (d) là m t đ ng th ng đi qua O

và có h s góc k V i giá tri nào c a k thì (d) c t đ thi hàm s t i ba

y = +x m c t nhau t i hai đi m n m v hai phía tr c Oy

y = - +x + x 1)Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s đã cho

-2)Tìm trên đ th (C) hai đi m phân bi t M, N đ i x ng nhau qua tr c

1

x y x

+

=-1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th ( )C c a hàm s đã cho

2) Cho đi m M x y( 0; 0) thu c đ th ( )C Ti p tuy n c a ( )C t i M

c t các ti m c n c a ( )C t i các đi m A và B Ch ng minh M là trung

2) L p ph ng trình ti p tuy n v i (C) bi t ti p tuy n đó qua giao

2) Tìm các giá tr c a m đ ti p tuy n c a đ th hàm s t i đi m có hoành đ x = -1 đi qua đi m A( )1;2 (A1 – 2008 )

+

=+ (1) 1) Kh o sát và v đ th hàm s (1) khi m =1

2) Tính di n tích c a tam giác t o b i các tr c to đ và ti p tuy n v i

+

=+ (1)

1 Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1)