tài liệu ôn cđ+dh môn toán

Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số b... log sin sin x x x x Bài 2: Giá trị lớn nhất nhỏ nhất, phơng trình có tham số Một số kiến thức cần nhớ  Phơng pháp hàm số: Bài toán Max,

Trang 1

ôn thi đại học cấp tốc

Chuyên đề số 1: Khảo sát

hàm số và ứng dụng

Bài 1: Khảo sát hàm số và các câu

hỏi phụ

Một số kiến thức cần nhớ

Phơng pháp khảo sát hàm số

Nội dung các bài toán tiếp tuyến, giới thiệu

nội dung 3 bài toán tiếp tuyến

Bài toán sự tơng giao giữa các đồ thị của

hàm số, điều kiện để 2 đờng cong tiếp xúc

Các bài toán về cực trị của hàm số: Hàm đa

thức, hàm phân thức phơng trình đờng thẳng

đi qua các điểm cực trị

Xây dựng điều kiện để hàm số đồng biến

hay nghịch biến trên một khoảng hay một

đoạn

Các ví dụ

Bài 1: Cho hàm số

) 1 ( 3

6

2

+

+ + +

=

x

m x x y

1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm

số với m = 0

2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

(1;+∞)

) 1 ( 1

2 2

2

−

+

−

=

x

x x y

số

2) Tìm toạ độ 2 điểm A,B nằm trên (C ) và

đối xứng nhau qua đờng thẳng x-y+4=0

) 1 ( 1

2 2

2

−

+

−

=

x

mx x

y

số khi m=1

2) Tìm m để hàm số (1) có 2 điểm cực trị A,B

CMR khi đó đờng thẳng AB song song

với đờng thẳng 2x-y-10=0

) 1 ( 3 ) (x m 3 x

số khi m=1

2) Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

điểm có hoành độ x=0

3) Tìm k để hệ sau có nghiêm











≤

− +

<

−

1 ) 1 ( log 3

1 log

2

1

0 3

1

3 2

2

3

x x

k x x

) 1 ( 3

1 2 2 3

1 3 + 2 − − −

y

1) Cho m =1/2 Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số , Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng D: y=4x+2

2) Tìm m thuộc khoảng (0;5/6) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và các

đờng thẳng x=0, x=2, y=0 có diện tích bằng 4

) 1 ( 3 1

2

m x

m mx

x y

−

− + +

=

số m=1 2) Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nằm về

2 phía của trục tung Bài 7: Cho hàm số

) 1 ( 1

) 2 (

2

+

− + +

=

x

m x m x y

số m=-1 2) Tìm m để đờng thẳng y=-x-4 cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm đối xứng nhau qua đ-ờng thẳng y=x

) 1 ( 1

1

−

+

=

x

x y

1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm 2) Tìm m để đờng thẳng D:y=2x+m cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A, B song song với nhau

3) Tìm tất cả các điểm M thuộc (C ) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm 2 đờng tiệm cận là ngắn nhất

) 1 ( 1

1 2

−

=

x

x y

1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số

2) Gọi I là giao điểm 2 đờng tiệm cận ủa (C ) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với dờng thẳng IM Bài 10: Cho hàm số

) 1 ( 1

2 2 2

y

số khi m=1 2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân

Bài 11 Cho hàm số

) 1 ( 1

2

+

=

x x y

Trang 2

ôn thi đại học cấp tốc Cho điểm A(0;a) Xác định a để từ A kẻ đợc 2

tiếp tuyến tới (C) sao cho 2 tiếp điểm tơng ứng

nằm về 2 phía đối với trục Ox

HD a# -1 va a> -2 có 2 nghiệm phân biêt

Y1.y2<0 ĐS a>-2/3 và a khác 1

Bài 2: ứng dụng của khảo sát hàm

số

Phơng pháp tìm GTLN,GTNN trên một

khoảng, một đoạn

Xác định tham số để các phơng trình hoặc

bất phơng trình có nghiệm VD

F(x)=m  m thuộc [MaxF(X);

minF(x)]

F(x)>m với mọi x <=>

m<minF(x)

F(x)>m có ngiệm <=>

m<MaxF(x)

Chú y khi đổi biến phải tìm ĐK của biến

mới có thể sử dụng phơng pháp miền giá trị

Các ví dụ

Bài 1: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên

đoạn [-1;2]

1

2 +

+

=

x

x y

đoạn [1;e3]

x

y = ln2

đoạn [-1;1] y =x6 +4(1−x2)3

Bài 4: Tìm m để bất phơng trình sau có

nghiệm với mọi x thuộc [-1/2;3]

) 3 5 2 ( )

3 ).(

2

1

( + x −x >m+ x2 − x+

HD Đặt t= (1+2x).(3−x) Từ miền xác

đinh của x suy ra 











∈

4

2 7

; 0

t

Biến đổi thành f(t)=t2+t>m+2

Tìm miền giá trị của VT m<-6

Bài 5: Tìm a nhỏ nhất để bất phơng trình sau

thoả mãn với mọi x thuộc [0;1]

2 2

.(x +x− ≤ x +x+

a

HD Đặt t=x2+x dùng miền giá trị suy ra

a=-1

nghiệm

m x

x x

x2 + +1+ 2 − +1=

HD -1<m<1

nghiệm với mọi x

0 12 24

36

cos 15 sin

36 3 cos 5 cos

3

2

2 4

≥

− +

+

−

m m

x x

HD Đặt t=cosx BBT 0<=m<=2 Bài 8: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm trên [-π/2; π/2]

2

) cos 1 ( 2 sin 2

2+ x=m + x

Bài 9: Tìm GTLN,GTNN của hàm

x x

y =2sin8 +cos42

HD : 3 và 1/27 Bài 10: Tìm GTLN,GTNN của hàm

2x 2 x (4x 4 ) voi 0 x 1x

HD : 3 và 1/27

Bài 3: Tính giới hạn của hàm số, tính đạo hàm bằng định nghĩa

Phơng pháp tính giới hạn của hà số: các dạng vô định

Tính liên tục của hàm số tại một điểm, liên tục bên trái liên tục bên phải

Đạo hàm của hàm số tại một điểm, đạo hàm bên trái bên phải

Các ví dụ

Bài 1: Bài toán giới hạn hàm số

1) Tìm giới hạn

x

x x

I x

3

0

1 1

=

→

2 1

lim

1

x

I

x

→

=

−

x

x x

I

1 2 1 3

3 2

+ +

−

=

→

3 2 0

0

3 4 7

lim

9 2

x

I

x

I

sinx

I

x

→

=

+ −

4

2

3 3

2

lim

2

1

lim

x

x x

I

→∞

=

− −

=

+ − −

=

Trang 3

ôn thi đại học cấp tốc 6) Tìm giới hạn

2

lim 3 2 tach lam 2 chen them x

x

→∞

→−∞

→+∞

2 0

2

0

3 0

0

3

lim

1 cos 2 lim

.sin sin lim

1 cos cos 2 cos3 lim

1 cos sin

3 lim

1 2 s

x

cosx I

tg x x I

I

x

I

x x

I

co x

π

→

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

1 ( 1)

5 6 lim

−

+

−

=

x x I

x

3 2 2 0

3

2 1

1 1 lim

lim

1

x

x I

x

I

x

→

+ −

=

−

Bài 2: Bài toán tính đạo hàm bằng định nghĩa

1) Xét tính liên tục của f(x) tại x=2

khi x 2

1 khi 2

x





2) Tìm a để hàm số liên tục tại x=0

1 cos 4

khi x<0 sin 2

( )

x+a khi 0 x+1

x

f x

x

 −



= 



3) Tìm a để hàm số liên tục tại x=0

2

khi x=0 ( ) cos cos 2

khi 0 x

a

x







4) Cho

2 4 1( 2) ( )

( 2)

x

f x

ax b x

−



= 

số cá đạo hàm tại x=2 5) Cho ( ) ( 2 1). khi x>0

-x -ax+1 khi 0

x

f x

x

−

 +





Tìm a để hàm số cá đạo hàm tại x=0 6) Cho ( ) ( 2 ). khi x<0

ax +bx+1 khi 0

bx

x a e

f x

x

−

 +





Tìm a để hàm số cá đạo hàm tại x=0 7) xét tính liên tục của f(x) tại x=2 8) Cho hàm số ( ) 2 2 3

3 1

f x

x

=

số liên tục tại x=-3 nhng không có đạo hàm tại x=-3

9) Cho

cos cos3 1

khi x 0 ( )

0 khi 0

x x e

x

−



= 



Tình đạo hàm của hàm số tại x=0

Bài tập áp dụng

1) Cho hàm số

) 1 ( 1

2

−

+ +

=

x

m x mx y

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số m =-1

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dơng

2) Cho hàm số

) 1 ( 2

2

−

+

−

=

x

m x x y

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số khi m=1

b) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn [-1;0]

c) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm

0 1 2 3

)

2 (

91 + 1 −t2 − a+ t+ 1 −t2 + a+ = 3) Cho hàm số y =x4 −mx2 +m−1 (1) Tìm

m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4

điểm phân biệt 4) Cho hàm số

) 1 ( ) 1 ( 2

3 3

2

−

+ +

−

=

x

x x y

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số

b) Xác định m để đờng thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm A,B sao cho AB=1

5) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm

Trang 4

2 2

4

2 2

1 1

1 2

) 2 1

1 (

x x

x

x x

m

−

− + +

−

=

= +

−

− +

6) CMR phơng trình sau có 1 nghiệm

) 1 ( 0 1 2

2

5 −x − x− =

x

7) Cho hàm số

) 1 ( 1

1 )

1 (

2

+

+ + + +

=

x

m x m x y

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của

hàm số khi m=1

b) CMR với m bất kỳ đồ thị ( Cm ) luôn

luôn có điểm cực trị và khoảng cách

giữa 2 điểm đó bằng 20

8) Cho hàm số

) 1 ( )

( 2

4 )

1 2

2

m x

m m x m x

y

+

+ + + + +

=

hàm số

b) Tìm m để hàm số có cực trị và tính

khoảng cách giữa hai điểm cực trị của

đồ thị của hàm số

1

2 2

2

−

+

−

=

x

x x y

a Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của

hàm số

b Tìm toạ độ 2 điểm A,B nằm trên (C )

và đối xứng nhau qua đờng thẳng

x-y-4=0

10) Cho hàm số

) 1 ( 2

3 2

2 − +

y

Tìm trên đờng thẳng y= - 2 các điểm từ đó

nhìn đờng cong dới một góc vuông

ĐS M(55/27;-2)

11) Cho hàm số (1)

1

2

+

−

=

x

x x y

hàm số khi

b) Một đờng thẳng thayđổi song song với

đờng thẳng y=1/2.x và cắt đồ thị hàm

số đã cho tại M,N Tìm quỹ tích trung

điểm I của MN

c) Biện luận theo tham số m số nghiệm

phơng trình

0 1 )

1 (

2 − +m x −m− =

x

12) Cho hàm sốy= x4 −4x2 +m (1)

Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm

phân biệt Hãy xác định m sao cho hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành có diện

tích phần phía trên và phần phía dới đối với

trục hoành bằng nhau

HD: ĐK cắt 0<m<4 vẽ minh hoạ gọi x1,

x2, x3, x4, là nghiệm

Strên= Sduói<=>

3

0

x

f x dx= − f x dx

Vận dụng tính chất đối xứng , định ly viét m=20/9

2

9 2

2

−

+

−

=

x

x x y

b) Xác định m để (d) y=m(x-5) + 10 cắt

đồ thị (C ) tại 2 điểm phân biệt nhận A(5,10) là trung điểm

14)Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn

2

4 x x

y = + −

2 2

4 3

2

x

x x y

−

− +

−

=

b) Tìm trên đồ thị 2 điểm đối xứng nhau qua đờng thẳng y=x

16)Cho hàm số 2 2 1 (1)

1

x x y

x

+ +

= +

b) CMR tích các khoảng cách từ M thuộc (C ) dến 2 tiệm cận của (C ) không phụ thuộc vào vị trí của M

17)Cho hàm số

2 (5 2) 2 1

(1) 1

y

x

=

−

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số m=1

b) Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách giữa điểm CĐ,CT nhỏ hơn 2 5

Chuyên đề số 2: Đại số Bài 1: Hệ phơng trình phơng trình

đại số

Một số dạng hệ ph ơng trình th ờng gặp

1) Hệ phơng trình bậc nhất : cách tính định thc

2) Hệ phơng trình đối xứng loại 1 :hệ không thay đổi khi ta thay x bởi y và ngợc lại 3) Hệ phơng trình đối xứng loại 2: nếu trao

đổi vai trò của x và y thì phơng trình này trở thành phơng trình kia và ngợc lại 4) Hệ phơng trình đẳng cấp bậc 2 : Xét 2 tr-ờng hợp sau đó đặt x=t.y

5) Một số hệ phơng trình khác

Các ví dụ

Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản 1) Cho hệ phơng trình







= + + +

= + +

8

) 1 )(

1 (

2

2 y x y x

m y

x xy

a) Giải hệ khi m=12 b) Tìm m để hệ có nghiệm

Trang 5

2) Cho hệ phơng trình

1 1

2

a

x y

 + =





 + = +



Tìm a để hệ phơng trình có đúng 2 nghiệm

phân biệt

1

x xy y







Tìm m để hệ có nghiệm







−

= +

2 2

2 y 6 a x

a y x

a) Giải hệ khi a=2

b) Tìm GTNN của F=xy+2(x+y) biết (x,y)

là nghiệm của hệ









+

= +

+

= +

y m x

x m y

2

) 1 (

) 1 ( Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

6)









=

− +

=

− +

2 2

x y

y x

7)









= + + + + + +

+

= + +

+

m y

x x

y y

x

y x

1 1

3 1 1

a) Giải hệ khi m=6

b) Tìm m để hệ có nghiệm

Bài 2:











+

=

+

=

2 2 2 2

2 3

y

x x

x

y y

(KB 2003)

HD:

Th1 x=y suy ra x=y=1

TH2 chú y: x>0 , y> 0 suy ra vô

nghiệm

Bài 3:









= +

35 8

15 2

3 3

2 2

y x

xy y

x

HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt

S=2x+y và P= 2x.y

Đs : (1,3) và (3/2 , 2)

Bài 4:









= +

−

=

−

) 2 ( 1

) 1 ( 3 3

6 6

3 3

y x

y y x x

HD: từ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 1 hàm số :

f( )t =t3 −3t trên [-1,1] áp dụng vào

ph-ơng trình (1)

Bài 5: CMR hệ phơng trình sau có nghiệm

duy nhất











+

=

+

=

x

a x y

y

a y x

2 2

HD:







=

−

=

2 2 3

2x x a

y x

xét f(x)=2x3 −x2 lập BBT suy ra KQ Bài 6:









=

− +

=

− +

2 2

x y

y x

HD Bình phơng 2 vế, đói xứng loại 2 Bài 7:









−

= +

−

= +

) 1 (

2

x a y xy

y a x xy

xác định a để hệ có nghiệm duy nhất

HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8

Bài 8:









+

=

−

=

−

) 2 ( 5

) 1 ( 20 10

2

y xy

x xy

y y

y

x=5+ 2 = 5 +

Cô si = 5 + y ≥2 5

y x

x2 ≥20 theo (1) x2 ≤20 suy ra x,y

Bài 9:









+ +

= +

−

=

−

2

) 1 (

3

y x y x

(KB 2002)

HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2)

Bài 10:









= +

− +

a y x

a y

x

3

2 1

Tìm a để hệ có nghiệm

HD: từ (1) đặt u= x+1,v= y+2 đợc

hệ dối xứng với u, - v Chỉ ra hệ có nghiệm thì phơng trình bậc hai tơng ứng có 2 nghiệm trái dấu

Bài tập áp dụng 1)









=

−

=

−

49 5

56 2

6

2 2

y xy x

2)









+

= +

+

= +

) ( 3

2 2

y x y

x

y y x x

KD 2003

3)









=

− + +

= + +

0 9 5

18 ) 3 )(

2 (

2

y x x

y x x x

Trang 6

4)









+ +

= +

−

=

−

2

) ( 7

2 2

3 3

y x y x

y x y

x

HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm

5)









+

=

−

=

−

m xy

x

y xy

26

12

2

Tìm m để hệ có nghiệm

6)









=

−

=

−

19

2 ) (

3 3

2

y x

y y x

dặt t=x/y có 2 nghiệm

7)







= + +

6 4

9 ) 2 )(

2 (

2 x y

x

y x x

x

đặt X=x(x+2) và Y=2x+y

8)









=

− + +

=

−

− +

4

) 1 ( 2

2 2 2

x

y x y x

đổi biến theo v,u từ phơng trình số (1)

9)









−

= +

2 2

3 3

3

6

19 1

x xy

y

x y

x

Đặt x=1/z thay vào đợc

hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)

10)









+

=

−

=

−

1 2

1 1

3

x y

y

y x

x

(KA 2003)

HD: x=y V xy=-1

CM x4 +x+2=0 vô nghiệm bằng cách

tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm

11)









+

= +

+

= +

a x y

a y x

2

) 1 (

xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần

và đủ

12)











= +

−

= +

3

3 2 2

xy y x

x

y y

x

HD bình phơng 2 vế

13)











= +

+

= +

78

1 7

xy y xy

x

xy x

y y

x

HD nhân 2 vế

của (1) với xy

Bài 2: Phơng trình và bất phơng trình

phơng trình đại số

Một số dạng ph ơng trình và bất ph ơng trình

th

ờng gặp

1) Bất phơng trình bậc hai

Định ly về dấu của tam thức bậc hai Phơng pháp hàm số

2) Phơng trình ,bất phơng trình chứa giá trị tuyệt đối

B A B B

A

B A

B A B A

<

−

⇔

<







−

<

>

⇔

>

<

⇔

3) Phơng trình ,bất phơng trình chứa căn thức Liệt kê các dạng

Một số ví dụ

Bài 1: Tìm m để (x+1)(x+3)(x2 +4x+6)≥m

Tìm m để bất phơng trình trên nghiệm

đúng với mọi x HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức : m≤-2 Bài 2:

Tìm a để hệ sau có nghiệm









= +

− +

+

≤ +

2 )

1 ( 2

2

a y

x x y

y x

HD:











+

=

− +

−

≤ +

) 2 ( 1 )

2 ( ) 1 (

) 1 ( 2

2

x

y x

TH1: a+1≤0 Hệ vô nghiệm TH2: a+1>0 Ve đồ thị (2) là đờng tròn còn (1) là miền gạch chéo : a≥-1/2

Bài 3: Giải các phơng trình ,bất phơng trình sau

1) 8x2 −6x+1−4x+1≤0

2) x+4− 1−x = 1−2x : x=0 3) 2(x2 −2x)+ x2 −2x−3−9=0 x=1± 5

4) x− x2 −1+ x+ x2 −1 =2 tích 2 nhân

tử bằng 1 suy ra cách giải 5) (x2 −3x) x2 −3x−2≥0 KD 2002 Bài 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm









≤

− +

−

≤ + +

0 1

2

0 9 10

2

m x

x

x x

ĐS m>=4 Bài 5: Giải bất phơng trình

2 2

1

2 x− − +x >x−

HD

 nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT

 Biến đổi về BPT tích chú y ĐK

Bài 6: Giải bất phơng trình

7 2

1 2 2

3

x

x x x

Trang 7

2

+

x x

ra ĐK

Bài 7: Giải bất phơng trình

4 )

1 1

2

−

>

+

x

HD

 Xét 2 trờng hợp chú y DK x>=-1

 Trong trờng hợp x>=4 tiến hành nhân và chia

cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT

Bài 8: Cho phơng trình

m x x x

x+ 9− = − 2 +9 +

Tìm m để phơng trình có nghiệm

HD

 Bình phơng 2 vế chú y ĐK

 Đặt t= tích 2 căn thớc Tìm ĐK t

 Sử dụng BBT suy ra KQ

Bài 9: Giải bất phơng trình (KA 2004)

3

7 3 3

)

16

(

2 2

−

>

− +

−

x

x x

x

1)







= +

−

≤ +

+

0

1 2

2

a

y

x

x y

x

Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất Tìmnghiệm duy nhất đ

ĐS a=-1 và a=3

2) Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm

m x

x−2+ 16−4 ≤

4

3) x+4+ x−4 =2x−12+2 x2 −16

5) 2(1−x) x2 +2x−1= x2 −2x−1

HD đặt t = x2 +2x−1 coi là phơng trình

bậc hai ẩn t

6) (x−1)x + (2+x)x =2 x2

7)

2

3 1

) 2 ( 1

x

8) Cho phơng trình

m x

x x

x+4 −4 + + −4+=

a)Giải phơng trình khi m=6

b)Tìm m để phơng trình có nghiệm

1

2

<

−

x

x x

3 2

) 2 ( ) (x = x− 2 + x−a ≥

Bài 1: Phơng trình và hệ phơng trình

l-ợng giác

•Các công thức biến đổi lợng giác

•Một số dạng phơng trình cơ bản

 Phơng trình bậc 2,bậc 3 theo một hàm số

l-ơng giác

 Phơng trình đẳng cấp bậc nhất với sinx,cosx: asinx+bcosx=c

 Phơng trình đẳng cấp bậc 2 với sinx,cosx: a.sin2x+ b.sinx.cosx+c.cos2x+d=0

 Phơng trình đẳng cấp bậc 3 với sinx,cosx: a.sin3x+b.sin2x.cosx+

c.sinx.cos2x+d.cos3x=0 a.sin3x+b.sin2x.cosx+

c.sinx.cos2x+d.cos3x+m=0

 Phơng trình đối xứng với sinx,cosx a (sinx cosx)+b.sinx.cosx+c=0±

 Phơng trình đối xứng với tgx,cotgx

 Phơng trình đối xứng với sin2nx,cos2nx

Các ví dụ

Bài 1:

x

x tgx

gx

2 sin

4 cos 2

HD: đặt ĐK x= pi/3 +k.pi ±

Bài 2:

) 1 (sin 2

1 3

2 cos

3









 + +











HD: Sử dụng công thức hạ bậc

x

3 cos )

2 cos(

2

ĐS 3 họ nghiệm

Bài 3:

2 sin

2 sin 2 sin

sin

2

2 2

2

= +

x

x x

x

HD: Nhóm , nhân lên và tách 2 thành 2 nhóm

1 3

6

3 cos cos 3 sin

−

=











 +











 −

+

π

x tg

x x x

x

HD: Đặt ĐK rút gọn MS=1

AD công thức nhân 3

ĐS x=-pi/6+k.pi

Bài 5:

0 cos 6 ) sin 2 (

3−tgx tgx+ x + x=

HD: Biến đổi theo sin và cos

0 ) cos 2 1 ( sin ) cos 2 1 ( cos

ĐS x= pi/3+k.pi ±

Bài 6:

Trang 8











+

=

−

= +

) sin(

6 sin 2 2

) sin(

2 sin 6 2

3

x y x

y tg

x y x

y tg

HD: nhân (1) với (2) rút gọn

y

tg2 4sin2











=

2

2 y tg t

t=0, t= can 3 ±

Bài 7:

x x

x x x

2

1 sin 4 cos 2

sin

3

HD : BĐ tích thành tổng rút gọn

Bài 8:

2

1 5

cos 4

cos 3 cos 2

cos

cosx+ x+ x+ x+ x=−

HD: nhân 2 vế với 2.sin(x/2) chú y xet

tr-ờng hợp bằng 0

NX: Trong bài toán chứa tổng

nx x

x

T

nx x

x

T

sin

2 sin

sin

cos

2 cos

cos

+ + +

=

+ + +

bằng cách trên

Bài 9:

) cos sin 2 (cos 3 sin 2 sin

HD: BĐ sau đó đặt t=tg(x/2)

Bài 10

4 2 log

4

2

9











) (sin log

2 log

sin

x

x x

Bài 2: Giá trị lớn nhất nhỏ nhất, phơng

trình có tham số

 Phơng pháp hàm số: Bài toán Max,Min

trên 1 khoảng và một đoạn

 Phơng pháp bất đẳng thức, nhận xét đánh

giá

Các ví dụ

Bài 1: Tìm GTLN,GTNN

x x

cos 2 sin 3

sin 4 cos 3

+

=

HD: t=cos2x, tìm Max,Min trên 1 đoạn

M=8/5 m=4/3

tgx x

m

x= cos 1+

2

1) Giải phơng trình khi m=1

2) Tìm m để phơng trình có nghiện thuộc

đoạn [0; pi/3]

HD: t=tgx, t thuộc [0; căn 3]

Lập BBT f(t) ĐS m∈(1− 3) 1+ 3;1

Bài 3: : Tìm GTLN,GTNN

x x

y=2.sin8 +cos42

HD: t=cos2x, -1≤t≤1 tìm Max,Min trên

1 đoạn f,( )t =0⇔8t3 =−(t−1)3

M=3 m=1/27

Bài 4: : Tìm GTLN,GTNN

1 cos sin sin

y

0 2

sin 2 4 cos ) cos (sin

2 4 x+ 4 x + x+ x+m=

Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiện thuộc đoạn [0; pi/2]

HD: [-10/3;-2]

3 cos 2 sin

1 cos sin

2

+

−

+ +

=

x x

a

1) Giải phơng trình khi a=1/3 2) Tìm a để phơng trình có nghiệm

HD: Đa về dạng (2-a)sinx+(2a+1)cosx=3a+1

ĐS [-1/2,2]

Bài 7: Tìm nghiệm trong khoảng (0, pi)











 − +

=

−

4

3 cos

2 1 2 cos 3 2 sin

Bài 3: Hệ thức lợng trong tam giác

*Một số phép biến đổi thờng dùng + Cung liên kết

+ Công thức cần nhớ

2

2Sin A B Cos A B SinB

2 2

2Cos A B in A B SinB

2

2Cos A B Cos A B CosB

2 sin 2

2Sin A B A B CosB

2

1 SinB Cos A B Cos A B

[ sin( ) ( ) ]

2

1 CosB A B Sin A B

2

1 CosB Cos A B Cos A B

*Một số hệ thức trong tam giác cần nhớ

Trang 9

2 2 2 4 SinB SinC Cos A Cos Cos C

2

sin 2

sin 2 sin 4 1

+tgB+tgC=tgA.tgB.tgC

2 cot 2 cot 2

cot 2

cot

2

cotg A+ g B+ g C = g A g B g C

1 2 2 2

.

2

.

2 tg B+tg B tg C+tg C tg A=

A

tg

cotgA.cotgB+cotgB.cotgC+cotgC.cotgA=1

sC CosACosBCo C

Sin B

Sin

A

C B A C

Cos B Cos

A

Sin2A+Sin2B+Sin2C=4SinA.SinB.SinC

Cos2A+Cos2B+Cos2C=-1-4CosACosBCosC

Các ví dụ

Bài 1: Cho tam giác ABC, CMR

1 2 2 2 2

2

2 tg B+ tg B tg C +tg C tg A =

A

tg

Bài 2:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn CMR:

tgA+tgB+tgC=tgA.tgB.tgC

3 3

≥ +

tgA

dấu “=” xảy ra khi nào?

HD: áp dụng bđt cosin

3

3 tgA tgB tgC tgC

tgB

lập phơng hai vế thay trở lại phơng trình đầu ta đợc

đpcm.

Bài 3: CMR: trong mọi tam giác ABC, ta luôn có

HD: Biến đổi liên tiếp tích thành tổng ở VP.

thực hiện nhân phá ngoặc xuất hiện cos2A, cos2B,

cos 2 B, cos 2 C suy ra đpcm.

Bài 4:CMR với mọi tam giác ABC ta có

( )1

2

1 −Cos2A −Cos2B−Cos2C = CosACosBCo sC

Từ đó suy ra tam giác ABC có một góc tù khi và

chỉ khi

2

2A +Sin B+Sin C<

Sin

Bài 5:Cho tam giác ABC thoả mãn đk:

2tgA=tgB + tgC

CMR tgB.tgC = 3 Và Cos(B-C) = 2CosA

−

+

= +

tgC tgB

tgC tgB C

B tg

1 )

Từ tgB.tgC=3 khi và chỉ khi sinA.sinB=3cosB.cosC (*)

đẳng thức (*)

Bài 6:CMR với mọi tam giác ABC ta có







= +

+

2

cot 2

cot 2 2 2 2 1

sin

1 sin

1

A g

C tg

B tg

A tg

C B

A

2

cot 2

cot 2 cot 2 cot 2 cotg A g B g C = g A+ g B+ g C

áp dụng công thức nhân đôi

Bài 7:CMR trong mọi tam giác ABC ta có

C B A B

A C CCosA

B

C Sin B Sin A Sin

cos sin sin 2 cos sin sin sin

sin 2

2

+ +

= +

+

Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C Thoả mãn đk 4A=2B=C CMR:

c b a

1 1

1 = +

4

5

2A+Cos B+Cos C=

Cos

Bài 9:CMR trong mọi tam giác ABC ta đều có:

C B

A R

r

cos cos

cos

Bài 10:Cho tam giác ABC thoả mãn đk:

bc

a A Sin

2

2 = , CMR tam giác ABC cân Bài 11:Cho tam giác ABC thoả mãn đk

2 2 tgB tg A tg B tgA− = − CMR tam giác ABC cân Bài 12CMR nếu tam giác ABC có

a

c b C

B+cos = +

cos thì tam giác vuông Bài 13: Cho tam giác ABC với BC=a, AC=b, AB=c

Trang 10

ôn thi đại học cấp tốc CMR tam giác ABC vuông hoặc cân tại A khi và

chỉ khi

2

C B tg c

b

c

+

−

Bài 14: Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn

đk:

3(cosB+2sinC) + 4(sinB+ 2cosC) =15

CMR tam giác vuông

Bài 15:Các góc tam giác ABC thoả mãn đk

2

1 2 sin 2 sin 2

sin 2

cos

.

2

cos

.

2

CMR tam giác ABC vuông

Bài 16: Cho tam giác ABC thoả mãn đk

( ) ( )











−

+

=

+

− +

=

−

+

2 4

2 sin

cos

1

1 )

(

2 2

3 3 3 2

b a

b a C

C

a c b a

c

b

a

CMR tam giác ABC đều

Bài 17: Tam giác ABC thoả mán đk:

gC gB

C

1

sin

1







CMR tam giác ABC là tam giác đều

Bài 18: Tam giác ABC thoả mãn đk

2

sin 2

sin 2 sin

tam giác ABC là tam giác đều

Bài 19: tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ

2 2

2

2 2

2 A +Cotg B +Cotg C =

Cotg

Bài 20:CMR nếu trong tam giác ABC ta có

2

cos 2

cos sin

sin

thì tam giác đều

Bài 21: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:

8(p-a)(p-b)(p-c)=abc

CMR tam giác đều

Bài 22: Cho tam giác ABC thoả mãn đk

gC gB

gA

C B A

C g B

g

A

g

cot cot

cot

2 cos

1 2 cos

1 2 cot

.

2

cot

.

2

cot

+

=













+ +

−

Bài 23: tg8A+tg8B+tg8C≥9tgA.tg2B.tg2C

Bài 24: tg6A+tg6B+tg6C =81 Bài 25: Tìm GTNN biểu thức

C B

A

M

2 cos 2

1 2

cos 2

1 2

cos 2

1

−

+ +

=

Bài 26: Tam giác ABC bất kỳ tìm GTLN của: P= cosA+ cosB +cosC

Bài 27: <Dùng phơng pháp BĐ Lợng giác xuất hiện bình phơng một nhị thức>

Cho tam giác ABC bất kỳ Tìm GTLN của biểu thức

) cos (cos

3 cos

Bài 28: Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức:

4

17 ) cos cos

(sin 3 sin

sin cos

Hỏi tam giác ABC là tam giác gi? CM?

1)

2

1 3 sin 2 sin sin 3 cos 2 cos

2) sinx+ 3.cosx+ sinx+ 3.cosx =2

3)

0 2

3 sin 5

2 cos 2

5 sin 2 ) 3 ( sin 3

2

=











−











 +











+

−

x

x x

x

π

π π

π

4)

x

x x

x

cos

1 3 cos 2 sin

1 3 sin

5)

x

x x

g

2 sin

2 cos 1 2 cot

chú y ĐK x=-pi/4+k.pi/2

6) cos2x+cosx(2.tg2x−1)=2 7) 3cos4x−8cos6x+2cos2+3=0

8)

1 1

cos 2

3 sin 4 2 sin 2 cos ) 3 2

=

−

+











 −

−

x

9) 1 + sinx+ cosx+ sin 2x+ cos 2x= 0

Một số đề thi từ năm 2002

1) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của

ph-ơng trình

3 2 cos 2

sin 2 1

3 sin 3 cos sin











+

x

x x

2002

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	0,91 MB