Về phương pháp chỉnh hóa và các đánh giá sai số cho bài toán cauchy không thuần nhất ngược thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH- - - - F -ĐỖ MINH TRÍ VỀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA VÀ CÁC ĐÁNH GIÁ SAI SỐ CHO BÀI TOÁN CAUCHY KHÔNG THUẦN NHẤT NGƯỢC THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

- - - - F

-ĐỖ MINH TRÍ

VỀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA VÀ CÁC ĐÁNH GIÁ SAI SỐ CHO BÀI TOÁN CAUCHY KHÔNG THUẦN NHẤT NGƯỢC THỜI GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

- - - - F

-ĐỖ MINH TRÍ

VỀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA VÀ CÁC ĐÁNH GIÁ SAI SỐ CHO BÀI TOÁN CAUCHY KHÔNG THUẦN NHẤT NGƯỢC THỜI GIAN

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

MÃ SỐ: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN ĐỨC

Nghệ An - 2014

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ 4

1.1 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh và các ví dụ minh họa 4

1.2 Khái niệm chỉnh hóa các bài toán đặt không chỉnh và ví dụ minh họa 9

Chương 2 Chỉnh hoá bài toán Cauchy không thuần nhất ngược thời gian 13

2.1 Giới thiệu bài toán 13

2.2 Phương pháp chỉnh hóa và các đánh giá sai số 14

KẾT LUẬN 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO 31

LỜI NÓI ĐẦU

Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuấthiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ, địa vật lý, thủy độnghọc, y học, xử lý ảnh, nên được rất nhiều nhà toán học trong và ngoàinước quan tâm nghiên cứu

Một trong những đặc trưng cơ bản của các bài toán này là tính không

ổn định của nghiệm, tức là một sai số nhỏ trong dữ kiện đo đạc cũng

có thể dẫn đến một sai lệch lớn về nghiệm của bài toán Do đó, để giảiquyết bài toán ta cần đề xuất các phương pháp chỉnh hóa

Để tập dượt nghiên cứu cũng như để làm phong phú thêm các tàiliệu về bài toán ngược, trên cơ sở bài báo "On regularization and errorestimates for non-homogeneous backward Cauchy problem" của các tácgiả M Denche and A Abdessemed đăng trên tạp chí Arab Journal ofMathematical Sciences năm 2012, chúng tôi lựa chọn đề tài cho Luận văncủa mình là : "Về phương pháp chỉnh hóa và các đánh giá sai

số cho bài toán Cauchy không thuần nhất ngược thời gian".Mục đích của luận văn nhằm tìm hiểu phương pháp chỉnh hóa bàitoán Cauchy không thuần nhất ngược thời gian

Chương 1 nhằm mục đích trình bày một số kiến thức liên quan đếnnội dung chương 2 như: khái niệm về bài toán đặt không chỉnh và các ví

dụ về bài toán đặt không chỉnh, khái niệm về chỉnh hóa các bài toán đặtkhông chỉnh và một số ví dụ minh họa

Chương 2 nhằm mục đích trình bày kết quả chỉnh hóa cũng như cácđánh giá sai số của phương pháp cho bài toán Cauchy không thuần nhấttrong bài báo [4]

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo TS Nguyễn Văn Đức Tác giả xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy Nhân dịp này tác giả xin chânthành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, quý thầy cô trong tổ Giải tíchkhoa Sư phạm Toán học - Trường Đại học Vinh, phòng tổ chức TrườngĐại học Sài Gòn và đặc biệt là các anh chị học viên cao học khóa 20Toán giải tích tại Trường Đại học Sài Gòn đã tạo điều kiện thuận lợigiúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt quá trình học tập Mặc

dù có nhiều cố gắng, nhưng chắc chắn luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế thiếu sót Kính mong quý thầy cô và bạn đọc đóng góp ý kiến

để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, năm 2014Tác giả

Đỗ Minh Trí

CHƯƠNG 1MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1.1.2 Định nghĩa Cho phương trình A(x) = f trong đó A là ánh xạ đi

từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y Phần tử x0 ∈ X đượcgọi là nghiệm của phương trình A(x) = f nếu A(x0) = f

1.1.3 Nhận xét Từ định nghĩa 1.1.2, tồn tại ánh xạ R : Y −→ X xácđịnh bởi công thức f ∈ Y, R(f ) = x ∈ X Do đó, việc tìm nghiệm x ∈ Xcủa phương trình A(x) = f dựa vào dữ kiện ban đầu f ∈ Y thường đượcxem xét dưới dạng phương trình x = R(f )

1.1.4 Định nghĩa Cho (X, dX), (Y, dY) là hai không gian mêtric Bàitoán tìm nghiệm x = R(f ) được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y )( hay được gọi là liên tục theo dữ kiện của bài toán ) nếu ∀f1, f2 ∈ Y ,

∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 sao cho dY(f1, f2) ≤ δ(ε) thì dX(R(f1), R(f2)) ≤ ε.1.1.5 Định nghĩa Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Yđược gọi là bài toán đặt chỉnh trên cặp không gian mêtric (X, Y ) nếui) Với mỗi f ∈ Y thì tồn tại nghiệm x ∈ X;

ii) Nghiệm x đó là duy nhất;

iii) Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y )

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn bài toán tìmnghiệm được gọi là bài toán đặt không chỉnh Đôi khi người ta gọi là bàitoán đặt không chính quy hoặc bài toán thiết lập không đúng đắn.1.1.6 Ví dụ

1) Xét phương trình tích phân Fredholm loại I

b

Z

a

K(t, s)ϕ(s)ds = f0(t), t ∈ [c, d],

ở đây nghiệm là một hàm ϕ(s), vế phải f0(t) là một hàm số cho trước

và hạch K(t, s) của tích phân cùng với ∂K∂t được giả thiết là các hàm liêntục Ta giả thiết nghiệm ϕ(s) thuộc lớp các hàm liên tục trên [a, b] vớimetric ( còn được gọi là độ lệch ) giữa hai hàm ϕ1, ϕ2 là

dC[a,b](ϕ1, ϕ2) = max

s∈[a,b]|ϕ1(s) − ϕ2(s)|

Mặt khác sự thay đổi vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian

L2[c, d], tức là khoảng cách giữa hai hàm f1(t), f2(t) trong L2[c, d] đượcbiểu thị bởi

= |N |

r

b − a

2 − 1

2ω sin(ω(b − a)) cos(ω(b + a)).

Dễ dàng nhận thấy hai số N và ω có thể chọn sao cho dL2[c,d](f0, f1) rấtnhỏ nhưng vẫn cho kết quả dL2[c,d](ϕ0, ϕ1) rất lớn Đây là bài toán không

với hệ số (a0, a1, , an, ) ∈ l2 được cho xấp xỉ bởi cn = an+ nε, n ≥ 1

và c0 = a0 Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng

có thể làm cho lớn bao nhiêu cũng được Ví dụ tại t = 0 chuỗi phân kỳ.Điều đó nói lên rằng nếu khoảng cách giữa hai hàm f1 và f2 được xéttrong không gian các hàm với độ đo đều thì bài toán tính tổng của chuỗiFourier là không ổn định khi hệ số của chuỗi có sự thay đổi nhỏ Tuynhiên nếu xét trong không gian L2[0, π], thì

với sai số khá nhỏ, thì các chuỗi Fourier tương ứng cũng sai khác nhaukhông nhiều trong L2[0, π]

3) Xét bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều

Nếu lấy f (x) = f2(x) = ϕ(x) = ϕ2(x) ≡ 0, thì nghiệm của bài toán là

u2(x, y) ≡ 0 Với khoảng cách giữa các hàm cho trước và nghiệm đượcxét trong độ đo đều ta có

dC(f1, f2) = sup

x

|f1(x) − f2(x)| = 0

dC(ϕ1, ϕ2) = sup

x

|ϕ1(x) − ϕ2(x)| = 1

a.Với a khá lớn thì khoảng cách giữa hai hàm ϕ1 và ϕ2 lại khá nhỏ Trongkhi đó, khoảng cách giữa các nghiệm

ổn định

chỉnh và ví dụ minh họa

1.2.1 Định nghĩa Cho phương trình A(x) = f0, với A là một toán

tử từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y , nằm trong mộttập compact M của X và f0 ∈ Y Gọi x0 là nghiệm của phương trìnhA(x) = f0 Toán tử R(f, α), phụ thuộc tham số α, tác động từ Y vào Xđược gọi là một toán tử hiệu chỉnh cho phương trình A(x) = f0, nếui) Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử R(f, α) xác định vớimọi α ∈ (0, α1) và với mọi f ∈ Y : dY(f, f0) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1);

ii) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(f, δ) sao cho ∀ε > 0, ∃δ(ε) ≤ δ1 :

∀f ∈ Y, dY(f, f0) ≤ δ ≤ δ1, dX(xα, x0) ≤ ε, ở đây xα ∈ R(f, α(f, δ)).Trong định nghĩa trên, nếu α được chọn không phụ thuộc f thì ta gọi

là cách chọn tiên nghiệm Nếu α được chọn phụ thuộc cả f và δ thì tagọi là cách chọn hậu nghiệm

1.2.2 Nhận xét

Trong định nghĩa 1.2.1 không đòi hỏi tính đơn trị của toán tử R(f, α).Phần tử xấp xỉ xα ∈ R(fδ, α) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của phươngtrình A(x) = f0, ở đây α = α(fδ, δ) = α(δ) được gọi là tham số hiệuchỉnh Dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa 1.2.1, nghiệm hiệu chỉnh ổn

định với dữ kiện ban đầu.

Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào vế phải củaphương trình A(x) = f0 gồm các bước

1)Tính giá trị z = df (t)dt trong mêtric C, khi f (t) cho xấp xỉ Đạo hàm

z tính được dựa vào tỷ sai phân

R(f, α) = f (t + α) − f (t)

Nếu thay cho f (t) ta biết xấp xỉ của nó là fδ(t) = f (t) + g(t), ở đây

|g(t)| ≤ δ với mọi t, khi đó,

g(t + α) − g(t)

α

≤ 2δ

α .Nếu chọn α sao cho α = η(δ)δ , với η(δ) → 0 khi δ → 0, thì 2δα = 2η(δ) → 0

Vì vậy, với

α = α1(δ) = δ

η(δ), R(fδ, α1(δ)) → z.

2) Bài toán khôi phục hàm số, khi biết hệ số Fourier của nó Giả sử

ϕk(t) là một hệ trực chuẩn đầy đủ có sup

t∈[a,b]

|ϕk(t)| ≤ C0 và hệ số Fourier

→ 0, khin(δ) → ∞ Ngoài ra,

≤ C0





n(δ)

≤ C0pn(δ)δ2

= C0

r[η(δ)

δ2 ] → 0

khi δ → 0.

1.2.4 Nhận xét Trường hợp α = δ, định nghĩa về toán tử hiệu chỉnh

có dạng đơn giản sau:

Toán tử R(f, δ) tác động từ Y vào X được gọi là một toán tử hiệu chỉnh,nếu:

i) Tồn tại một số dương δ1 sao cho toán tử R(f, δ) xác định với mọi

0 ≤ δ ≤ δ1 và với mọi f ∈ Y sao cho dY(f, f0) ≤ δ;

ii) Với ε > 0 bất kì, tồn tại δ0 = δ0(ε, fδ) ≤ δ1 sao cho từ dY(fδ, f0) ≤

δ ≤ δ0 ta có dX(xδ, x0) ≤ ε ở đây xδ ∈ R(fδ, δ)

Nếu R(f, δ) không phải là đơn ánh, thì xδ là một phần tử bất kì của{R(f, δ)}

CHƯƠNG 2CHỈNH HOÁ BÀI TOÁN CAUCHY KHÔNG THUẦN

NHẤT NGƯỢC THỜI GIAN

Xuất phát từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tế trong vật lý, bàitoán ngược của phương trình truyền nhiệt và các bài toán Cauchy ngượcthời gian đã nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu từ những năm

1960 (xem [6, 9]) Các bài toán trên không ổn định, một sai số nhỏ trong

dữ kiện có thể dẫn đến một sai lệch lớn về nghiệm Chính vì vậy, để giảiquyết bài toán, ta cần đề xuất các phương pháp chỉnh hoá Đối với cácbài toán trên, nhiều phương pháp chỉnh hoá đã được đề xuất như: phươngpháp chỉnh hóa Tikhonov ([9]), phương pháp tựa-đảo (quasi-reversibility)của Lattes và Lions ([7]), phương pháp tựa giá trị biên ([5, 3]),· · ·

Trong luận văn này, ta xét bài toán Cauchy không thuần nhất ngượcthời gian có dạng

 ut + Au = f, 0 < t < T

trong đó A là một toán tử dương, tự liên hợp không bị chặn trên khônggian Hilbert H với tích vô hướng h., i và chuẩn k.k sao cho H có một cơ

sở trực chuẩn gồm các hàm riêng {ϕk}k∈N∗ trong H tương ứng với dãy

số dương tăng không bị chặn các giá trị riêng {λk}k∈N∗ của toán tử A

Dữ kiện g ∈ H và f thuộc không gian L2((0, T ), H) Bài toán (BCP) đặtkhông chỉnh, nghiệm của bài toán không phải khi nào cũng tồn tại Hơn

nữa, khi nghiệm của bài toán tồn tại, nó cũng không phụ thuộc liên tụcvào dữ kiện của bài toán.

Trong phần này, chúng ta sẽ chỉnh hóa bài toán Cauchy không thuầnnhất ngược thời gian bởi bài toán

uk(t)ϕk, u(t) ∈ D(A) với mọi t ∈ (0, T ) và u ∈ C1((0, T ), H)

Từ phương trình và điều kiện giá trị cuối trong bài toán (BCP), ta đạt

Bổ đề được chứng minh.

2.2.3 Nhận xét Công thức u(0) trong phần chứng minh Bổ đề 2.2.2,trong bài báo ([4]) là không chính xác Và trong chứng minh trên chúngtôi đã sửa lại.

2.2.4 Định lý ([4]) Nếu g ∈ H và f ∈ L2((0, T ), H) thì bài toán xấp xỉ(ABCP) có nghiệm cổ điển duy nhất uα(t) và nghiệm này phụ thuộc liêntục vào dữ kiện g ∈ H và f ∈ L2((0, T ), H) Hơn nữa, với mọi t ∈ [0, T ]

và p ∈ R∗+ ta có đánh giá

kuα(t)kH 6 1

α

TlogpαT

!p

kgkH+ √

T kf kL2 ((0,T ),H)

 (2.3)

Chứng minh Nếu g ∈ H và f ∈ L2((0, T ), H), nghiệm duy nhất của bàitoán (ABCP) tồn tại và được xác định bởi

.Với α đủ nhỏ, ta có thể lấy λ0 xấp xỉ T1log pαT Khi đó

TlogpαT

!p

Kết hợp đánh giá này với đánh giá (2.5) và bất đẳng thức Cauchy-Schwat,

ta đạt được đánh giá sau với mọi p ∈ R∗+

kuα(t)k ≤ 1

α

Tlog pαT

!2p

kg1 − g2k2

2.2.6 Nhận xét ([4]) Với bài toán Cauchy ngược thời gian (BCP),theo Định lý 2.2.4, nếu ta chọn f = 0 ta sẽ đạt được một sự mở rộng củaphương pháp tựa biên (quasi-boundary method) đã được trình bày trongcác bài báo [3, 5] với đánh giá ổn định tốt hơn và có bậc là α1



T logpαT

p

,

p ∈ R∗+ Các bài báo [3, 5] xử lý với p = 1 và p = 0 tương ứng Trongtrường hợp p = 0, Định lý 2.2.4 vẫn đúng Kết qủa của Định lý 2.2.4trong trường hợp p = 0 là một sự mở rộng của [5] cho trường hợp khôngthuần nhất với đánh giá

kuα(t)k ≤ ku(t)k

αλp1eλ 1 T + 1, ∀t ∈ [0, T ], ∀α > 0Chứng minh Ta có:

eλk sfk(s)ds)ϕk.Suy ra

eλk (s−t)fk(s)ds)2

kgkH.Mặt khác, ta có

mong muốn

2.2.9 Định lý ([4])Với mọi g ∈ H, dãy uα(T ) hội tụ tới g trong H khi

Chứng minh Từ (2.4) ta có đẳng thức sau với β ∈ (0, 2)

kuα(T ) − gk2 = X

k≥1

p k

hk(α, β) = α

β

(αλpk + e−λ k T)2.Hàm số trên có cực đại tại

Do đó nếu chọn β = 2 − ε, ta có đánh giá

kuα(T ) − gk2 =

β

=

β

≤

β

Hai định lý tiếp theo sẽ chứng tỏ rằng với các điều kiện yếu hơn ápđặt lên dữ kiện g cũng có thể đưa ra đánh giá sai số về tốc độ hội tụ củadãy uα(T ) tới g trong không gian Hilbert H

2.2.11 Định lý ([4]) Giả sử rằng g ∈ D(As), ∀s ∈ (0, 1] Khi đó tồn tạimột hằng số c > 0 phụ thuộc vào g ∈ H sao cho

kuα(T ) − gk ≤ c

logs(sαT ).Chứng minh Ta viết

kuα(T ) − gk2 = X

k≥1

p k

αλpk + e−λ k T]2gk2 = X

k≥1

α2λ2p−2sk(αλpk + e−λ k T)2λ2sk g2k.Hàm số

h(λ) = λ

(p−s)

đạt cực đại tại λ0 là nghiệm của phương trình

log T

sα = λT + (p − 1) log λ + log



1 + p − sλT

.Với α đủ nhỏ ta có thể chọn λ0 ≈ T1 log sαT Khi đó ta có

k≥1

λ2sk gk2 = kAsgk2.Định lý được chứng minh

kuα(T ) − gk2 = X

k≥1

α2λ2pk(αλpk + e−λ k T)2gk2

k≥1

α2λ2pklog2sλk(αλpk + e−λ k T)2 log2sλkgk2.Hàm số

p

logsλ(αλp+ e−λT), λ ≥ e, s > 0,thỏa mãn

h(λ) ≤ h1(λ), trong đó h1(λ) = αλp logλspλ+e −λT Hàm số h1(λ) đạt cực đạitại điểm λ0 là nghiệm của phương trình



Với α đủ nhỏ ta có thể chọn λ0 ≈ T1 log sαT Khi đó ta có

Các định lý tiếp theo sẽ khẳng định sự hội tụ cũng như đánh giá tốc

độ hội tụ của phương pháp với mọi t ∈ [0, T ]

2.2.13 Định lý ([4]) Giả sử g ∈ H và f ∈ L2((0, T ), H) Khi đó, bàitoán không thuần nhất (BCP) có nghiệm u(t) nếu và chỉ nếu dãy uα(0)hội tụ trong H Hơn nữa, dãy uα(t) hội tụ tới u(t) đều theo t

Chứng minh Giả sử rằng limα→0uα(0) = u0 ∈ H Đặt

Điều này kéo theo

kuα(t) − u(t)k2 ≤ 2kuα(0) − u(0)k2

t = T thì limα→0uα(T ) = u(T ), sử dụng Định lý 2.2.8 ta có u(T ) = g.Ngược lại, giả sử rằng bài toán không thuần nhất (BCP) có một nghiệm

là u(t), trong trường hợp này, từ Bổ đề 2.2.2 ta có

Định lý được chứng minh

2.2.14 Định lý ([4]) Giả sử g ∈ H, f ∈ L2((0, T ), H), α ∈ (0, eT ) vàbài toán không thuần nhất (BCP) có nghiệm cổ điển duy nhất u(t) thỏamãn kAu(t)kH < +∞ Khi đó ta có kuα(t) − u(t)k ≤ c

logTα, ∀t ∈ [0, T ],trong đó c = T sup

t∈[0,T ]

kAu(t)kH

Chứng minh Ta có

kuα(t) − u(t)k2 = X

k≥1

α2λ2(p−1)k(αλpk + e−λ k T)2λ2k

t∈[0,T ]

kAu(t)kH.Định lý được chứng minh

Bằng cách lập luận tương tự như trong chứng minh các Định lý 2.2.11,2.2.12, với các điều kiện yếu hơn áp đặt lên dữ kiện g ∈ H ta cũng cóđánh giá sai số Cụ thể, ta có các kết quả sau

2.2.15 Định lý ([4]) Giả sử rằng g ∈ H, f ∈ L2((0, T ), H), α ∈ (0, eT )

và u(t) ∈ D(As), s > 0 Khi đó với α đủ nhỏ ta có đánh giá

kuα(t) − u(t)k ≤ c

(log sαT )s, ∀ t ∈ [0, T ],trong đó c phụ thuộc vào s, T và sup

t∈[0,T ]

kAsu(t)kH.Chứng minh Với g ∈ H, f ∈ L2((0, T ), H), α ∈ (0, eT ) và

đạt cực đại tại λ0 là nghiệm của phương trình

 1

T log

Tsα

t∈[0,T ]

kAsu(t)kH.2.2.16 Định lý ([4]) Với giả thiết như trong Định lý 2.2.15, nếu

u(t) ∈ D(logsA)với s > 0 thì với α đủ bé ta có

kuα(t) − u(t)k ≤ c

logs T1 log sαT
, ∀ t ∈ [0, T ],trong đó hằng số c phụ thuộc vào s, T và sup

Xét hàm

p

logsλ(αλp+ e−λT), λ ≥ e, s > 0,thỏa mãn h(λ) ≤ h1(λ), trong đó

h1(λ) = λ

p

αλplogsλ + e−λT.Hàm số h1(λ) đạt cực đại tại điểm λ0 là nghiệm của phương trình

.Với α đủ nhỏ ta có thể chọn λ0 ≈ T1 log sαT Khi đó ta có đánh giá

1α

1logs(T1 log sαT ).Điều này kéo theo

Khi đó tồn tại một nghiệm vα(t) đối với dữ kiện này thỏa mãn

kvα(t) − u(t)k ≤ c

logTα +

Tlog pαT

!p

,với p ∈ R∗+ và t ∈ [0, T ]

Định lý được chứng minh

KẾT LUẬNKết quả đạt được trong Luận văn này là :

- Trình bày khái niệm bài toán đặt không chỉnh và các ví dụ minhhọa

- Trình bày khái niệm chỉnh hóa bài toán đặt không chỉnh và các ví

dụ minh họa

- Trình bày kết quả bài báo([4])

- Chứng minh chi tiết định lý 2.2.15, 2.2.16 mà trong bài báo ([4])không chứng minh

- Đề xuất và chứng minh định lý 2.2.7

CHƯƠNG 2CHỈNH HOÁ BÀI TOÁN CAUCHY KHÔNG THUẦN

NHẤT NGƯỢC THỜI GIAN

Xuất phát từ nhu cầu giải toán thực tế vật lý, bàitốn ngược phương trình truyền nhiệt toán Cauchy ngượcthời gian nhận... 9]) Các tốn khơng ổn định, sai số nhỏ

dữ kiện dẫn đến sai lệch lớn nghiệm Chính vậy, để giảiquyết toán, ta cần đề xuất phương pháp chỉnh hoá Đối với cácbài toán trên, nhiều phương pháp chỉnh. .. class="page_container" data-page="16">

nữa, nghiệm toán tồn tại, khơng phụ thuộc liên tụcvào kiện tốn.

Trong phần này, chỉnh hóa tốn Cauchy khơng thuầnnhất ngược thời gian toán

uk(t)ϕk,