mặt nón - hình nón ôn thi đại học

Khi quay tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay... a .a= πa Ví dụ 6: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đườn

Trang 1

Ví dụ 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3 Khi quay tam giác vuông

OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

b) Tính thể tích của khối nón

Hướng dẫn giải:

HD: a) * Sxq = πRl = π.OB.AB = 15π

Tính: AB = 5 (∆∨AOB tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy = 15π + 9π = 24π

b) V = 1 2

3πR h = 1 2

3π.OB OA = 1 2

3 4

3 π = 12π

Ví dụ 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

b) Tính thể tích của khối nón

HD: a) * Sxq = πRl = π.OB.SB = 2πa2

* Stp = Sxq + Sđáy = 2πa2 + πa2 = 23πa2

b) V = 1 2

3πR h = 1 2

3π.OB SO = 1 2 3 3

3

π

π.a a = a

Tính: SO = 2 3 3

2 =

a a

(vì SO là đường cao của tam giac SAB đều cạnh 2a)

Ví dụ 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông

Tài liệu bài giảng:

MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN

Thầy Đặng Việt Hùng

2a

S

3 4 A

B O

Trang 2

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân tại S nên A∧ = B∧

= 450

* Sxq = πRl = π.OA.SA = πa2 2 Tính: SA = a 2 ; OA = a (∆∨SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy = πa2 2 + πa2 = ( )1+ 2 πa2

b) V = 1 2

3πR h = 1 2

3π.OA SO = 1 2 3

π

π.a a= a

Ví dụ 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vuông

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên

A∧ = B∧ = 450

* Sxq = πRl = π.OA.SA = π

2

l l =

2

l π

Tính: OA =

2

l (∆∨SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy =

2

l π + 2

2

l π

2

b) V = 1 2

3πR h = 1 2

3π.OA SO = 1 2 3

3 2 2 6 2

π

π .l l = l

Tính: SO =

2

l (∆∨SOA tại O)

Ví dụ 5: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 1200

45

S

B A

l

45

S

B A

O

Trang 3

a) Thiết diện qua trục là tam giác SAB cân tại S nên A B= = 300 hay ASO = BSO = 60 0

* Sxq = πRl = π.OA.SA = π.a 3.2a = 2πa2 3

Tính: OA = a 3; SA = 2a (∆∨SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy = 2πa2 3 + 3πa2 = ( ) 2

2 3+ π3 a

b) V = 1 2

3πR h = 1 2

3π.OA SO = 1 2 3

3

3π a a= πa

Ví dụ 6: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng α

a) * Góc giữa đường sinh và mặt đáy là A∧ = B∧ = α

* Sxq = πRl = π.OA.SA = π lcosα.l = πℓ2cosα

Tính: OA = lcosα (∆∨SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy = πℓ2cosα + πl2cos2α =

1 cos + α π l cos α

b) V = 1 2

3πR h = 1 2

3π.OA SO

= 1 2

3π.l cos lsin = 2α α 3

3

πl cos sin2α α Tính: SO = lsinα (∆∨SOA tại O)

Ví dụ 7: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 2πa2

Tính thể tích của hình nón

120

a S

B A

O

α

l

S

B A

O

Trang 4

* Sxq = πRl ⇔πRl = 2πa2 ⇒R = 2 2 2 2

2

π

* Tính: SO = a 3 (∆∨SOA tại O)

* V = 1 2

3πR h = 1 2

3π.OA SO = 1 2 3 3

3

π

π.a a = a

Ví dụ 8: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 600 và diện tích đáy bằng 9π

Tính thể tích của hình nón

* Thiết diện qua trục là tam giác SAB đều

* Sđáy = πR2 ⇔9π = πR2 ⇔R2 = 9 ⇔R = 3

* SO = 3 2 3 3 3

2 = 2 =

* V = 1 2

3πR h = 1 2

3π.OA SO = 1 2

3 3 3 9 3

3π = π

Ví dụ 9: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a

b) Tính thể tích của khối nó

c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600 Tính diện tích của thiết diện này

a) Stp = Sxq + Sđáy =

2

πa + 2

2

πa = 1 1 2

2 2

  a

b) V = 1 2

3πR h = 1 2

3π.OA SO = 1 2 3

π

π .a a = a

Tính: SO =

2

a (∆∨SOA tại O)

c) Thiết diện (SAC) qua trục tạo với đáy 1 góc 600: SMO=600

2a

S

A

O

60 S

B A

O

C M

45

a

S

B

Trang 5

HD:

a) * Thiết diện qua trục là ∆SAB

vuông cân tại Snên A∧ = B∧ =450

* Sxq = πRl = π.OA.SA =

2

πa

.a =

2

πa

* SSAC = 1

2SM.AC =

1

2.

6 3

a

.2 3

3

a

=

2

2 3 a

* Tính: SM = 6

3

a

(∆∨SMO tại O)

* Tính: AC = 2AM = 2 3

3

a

Tính: OA =

2

* Tính: AM = OA2−OM = 2 3

3

a

* Tính: OM = 6

6

a

(∆∨SMO tại O)

Ví dụ 10: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm

c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết

diện là 12 cm Tính diện tích của thiết diện đó

a) * Sxq = πRl = π.OA.SA = π.25.SA = 25π 1025(cm2) Tính: SA = 1025 (∆∨SOA tại O)

Stp = Sxq + Sđáy = 25π 1025 + 625π

b) V = 1 2

3πR h = 1 2

3π.OA SO = 1 2 2

25 20

3π (cm3) c) * Gọi I là trung điểm của AB và kẻ OH ⊥SI ⇒OH = 12cm

* SSAB = 1

2.AB.SI =

1

2.40.25 = 500(cm

2

)

* Tính: SI = OS.OI

OH =

20 12

.OI = 25(cm) (∆∨SOI tại O)

* Tính: 12 = 1 2 − 12

OI OH OS ⇒OI = 15(cm) (∆∨SOI tại O)

* Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm)

* Tính: AI = OA2−OI2 =20(cm) (∆∨AOI tại I)

l

h O I H

B A

S

Trang 6

c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa

đáy hình nón một góc 600 Tính diện tích tam giác SBC

a) * Thiết diện qua trục là ∆SAB vuông cân tại S nên A∧ = B∧ = 450

* Sxq = πRl = π.OA.SA = 2

2

πa

.a =

2

2 2

πa

Tính: OA =

2

AB = 2

2

a

; Tính: SA = a (∆∨SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy =

2

2 2

πa

+ 2

2

πa =

2

2 1 2

+ π

( ) a

b) V = 1 2

3πR h = 1 2

3π.OA SO = 1 2 2 3 2

3 2 2 12

π

π .a a = a

Tính: SO = 2

2

c) * Kẻ OM ⊥BC ⇒ 0

60

= SMO

* SSBC = 1

2SM.BC = 1 2 2

2 3 3

=

2 2 3 a

* Tính: SM = 2

3

a (∆∨SOM tại O) * Tính: BM =

3 a (∆∨SMB tại M)

C

M

a 2

S

B

Định dạng
Số trang	6
Dung lượng	224,15 KB