DẠNG 2. BÀI TOÁN ĐẾM SỐCÓ ĐIỀU KIỆN Bài 1: Hỏi từ10 chữsố0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thểlập được bao nhiêu sốgồm 6 chữsốkhác nhau, sao cho trong các chữsố đó có mặt số0 và 1. Lời giải: Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau laø: − 6 5 10 10 A A = 9.9.8.7.6.5 = 136080 Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau vaø ñeàu khaùc 0 laø: 6 9 A = 9.8.7.6.5.4 = 60480 Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau vaø ñeàu khaùc 1 laø: − 6 5 9 9 A A = 8.8.7.6.5.4 = 53760 Vaäy soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau trong ñoù ñeàu coù maët 0 vaø 1 laø: 136080 – 60480 – 53760 = 21840 soá.
Trang 1DẠNG 2 BÀI TỐN ĐẾM SỐ CĨ ĐIỀU KIỆN
Bài 1: Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho
trong các chữ số đĩ cĩ mặt số 0 và 1
Lời giải:
* Số các số có 6 chữ số khác nhau là:
−
6 5
10 10
A A = 9.9.8.7.6.5 = 136080
* Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 0 là:
6
9
A = 9.8.7.6.5.4 = 60480
* Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 1 là:
−
6 5
9 9
A A = 8.8.7.6.5.4 = 53760
Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau trong đó đều có mặt 0 và 1 là:
136080 – 60480 – 53760 = 21840 số
Bài 2: Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và khơng chia hết cho 5
Lời giải:
* Trước hết ta tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau:
Có 4 khả năng chọn chữ số hàng ngàn (không chọn chữ số 0)
Có 3
4
A khả năng chọn 3 chữ số cuối
⇒ Có 4 3
4
A = 4.4! = 96 số
* Tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5:
Nếu chữ số tận cùng là 0: có 3
4
A = 24 số Nếu chữ số tận cùng là 5: có 3 khả năng chọn chữ số hàng nghìn, có 2
3
A = 6 khả năng chọn 2 chữ số cuối Vậy có 3.6 = 18 số
Do đó có 24 + 18 = 42 số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5
Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5
Bài 3: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Từ các chữ số đã cho ta cĩ thể lập được:
1 Bao nhiêu số chẵn cĩ bốn chữ số và bốn chữ số đĩ khác nhau từng đơi một
2 Bao nhiêu số chia hết cho 5, cĩ ba chữ số và ba chữ số đĩ khác nhau từng đơi một
3 Bao nhiêu số chia hết cho 9, cĩ ba chữ số và ba chữ số đĩ khác nhau từng đơi một
Lời giải:
1 Số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau có dạng:
abc0 hoặc abc2 hoặc abc4
* Với số abc0 ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c
⇒ Có 5.4.3 = 60 số
* Với số abc2 hoặc abc4 ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c
⇒ Có 4.4.3 = 48 số abc2 và 48 số abc4
Vậy có: 60 + 48 + 48 = 156 số chẵn
2 Số chia hết cho 5 và gồm ba chữ số có dạng ab0 hoặc ab5
* Với số ab0 ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b
⇒ Có 5.4 = 20 số
* Với số ab5 ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b
⇒ Có 4.4 = 16 số
Vậy có: 20 + 16 số cần tìm
3 Gọi abc là số chia hết cho 9 gồm ba chữ số khác nhau Khi đó {a,b,c} có thể là: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}
* Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì các số phải tìm là: 405, 450, 504, 540
CÁC DẠNG TỐN ĐẾM TRỌNG TÂM – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2→ có 4 số
* Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thì số phải tìm là hoán vị của 3 phần tử → có 3! = 6 số
Vậy có: 4 + 6 + 6 = 16 số cần tìm
Bài 4: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập các số mà mỗi số cĩ năm chữ số trong đĩ các chữ số khác nhau từng đơi
một Hỏi
1 Cĩ bao nhiêu số trong đĩ phải cĩ mặt chữ số 2
2 Cĩ bao nhiêu số trong đĩ phải cĩ mặt hai chữ số 1 và 6
Lời giải:
Xét số năm chữ số a a a a a1 2 3 4 5
1 Xếp chữ số 2 vào một trong năm vị trí: có 5 cách xếp
Sau đó xếp 5 chữ số còn lại vào 4 vị trí còn lại: có 4
5
A = 120 cách
Vậy có 5.120 = 600 số
2 Xếp các chữ số 1 và 6 vào 5 vị trí: có 2
5
A cách
Xếp 4 chữ số còn lại vào 3 vị trí còn lại: có 3
4
A = 24 cách
Vậy có 2
5
A 3
4
A = 480 số
Bài 5: Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và trong đĩ
phải cĩ mặt chữ số 0
Lời giải:
Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ 6 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 là: 5 3
5
A = 300 Trong các số nói trên, số các số tự nhiên không có mặt chữ số 0 là: 4
5
A = 120 Vậy số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số
Bài 6: Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Hỏi cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, trong đĩ nhất
thiết phải cĩ mặt chữ số 4
Lời giải:
Giả sử số cần tìm có dạng: A = a a a a a a1 2 3 4 5 6
+) Nếu a1 = 4 thì các chữ số còn lại của A là một trong 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7 Vậy có 5
7
A =
2520 số
+) Nếu a1 ≠ 4 thì vì a1 ≠ 0 nên chỉ có 6 cách chọn a1 Vì số 4 phải có đúng một trong 5 vị trí còn lại là a2, a3, a4, a5, a6 Khi đó các vị trí khác (không có chữ số 4) sẽ chỉ còn 4
6
A số khác nhau Vậy trường hợp này có 6.5 4
6
A = 10800 số
Vậy tất cả có: 2520 + 10800 = 13320 số
Bài 7: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số cĩ 5 chữ số khác nhau và
trong đĩ phải cĩ chữ số 5
Lời giải:
Ta sử dụng 5 ô sau để viết số có 5 chữ số:
• Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0:
Có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0 Sau đó còn 4 cách chọn vị trí cho chữ số 5 Số cách chọn 3 chữ số cọn lại là: 3
5
A
⇒ Số các số thu được là: 4.4 3
5
A = 960 số
• Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0:
Có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 5
Số cách chọn 4 chữ số còn lại là: 4
5
A
⇒ Số các số thu được là: 5 4
5
A = 600 số
Vậy có tất cả: 960 + 600 = 1560 số
Bài 8: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể thiết lập được bao nhiêu số cĩ 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6
khơng đứng cạnh nhau?
Lời giải:
Số các số gồm 6 chữ số khác nhau là: 6! = 720
Trang 3Trong đó, số các số có chứa 16 là 5! = 120
số các số có chứa 61 là 5! = 120 Vậy số các số cần tìm là: 720 – 240 = 480 số
Bài 9: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 9 chữ số mà chữ số 9 đứng ở vị trí
chính giữa?
Lời giải:
Ta chỉ có 1 cách chọn vị trí cho chữ số 9
Khi đó số cách xếp 8 chữ số còn lại là 8!
Vậy tất cả có: 8! = 40320 số
Bài 10: Tính tổng tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đơi một được lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8
Lời giải:
Kí hiệu X là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một lập từ 6 chữ số 1, 3, 4,
5, 7, 8
Xét x = a a a a a1 2 3 4 5 ∈ X
Nếu chọn a5 = 1 thì a a a a1 2 3 4 ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử 3, 4, 5, 7, 8 ⇒ có 4
5
A số có chứ hàng đơn vị là 1
Tương tự có 4
5
A số có chứ hàng đơn vị là 3; …
⇒ Tổng tất cả chữ số hàng đơn vị của các phần tử x ∈ X là: (1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8) 4
5
A = 3360 Lập luận tương tự, tổng tất cả chữ số hàng chục của các phần tử x ∈ X là: 3360.10; …
Vậy tổng tất cả các phần tử của X là:
S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000 = 3360.11111 = 3732960
Bài 11:
1 Cĩ bao nhiêu số chẵn cĩ ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5
2 Cĩ bao nhiêu số cĩ ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các số đĩ nhỏ hơn số
345
Lời giải:
1 Xét các số chẵn x = abc với 3 chữ số khác nhau; a, b, c ∈ {1;2;3;4;5} = E
Vì x chẵn nên c ∈ {2;4} ⇒ có 2 cách chọn c
Với mỗi cách chọn c, có 2
4
A cách chọn bc Vậy tất cả có: 2 2
4
A = 24 số chẵn
2 Xét x = abc với 3 chữ số khác nhau thuộc E = {1;2;3;4;5;6}
* Nếu a ≥ 4 thì x > 345
* Nếu a = 1 hoặc 2 thì với mọi chỉnh hợp chập 2 (b,c) của E \ {a} ta đều có x = abc < 345 Loại này có: 2 2
5
A = 40 số
* Nếu a = 3 thì x = 3bc < 345 ⇔ = ∈ { }
b 1hoặc 2; c E \ a,b
b 4; c 1hoặc 2 Loại này có: 2.4 + 1.2 = 10 số
Vậy có tất cả: 40 + 10 = 50 số
Bài 12: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số chẵn cĩ ba chữ số khác nhau và khơng
lớn hơn 789?
Lời giải:
Ta xét các trường hợp sau:
1 Chữ số hàng đơn vị là 2, 4, 6 ⇒ có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị
a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: Khi đã chọn chữ số hàng đơn vị, ta còn 5 cách chọn chữ số hàng trăm Sau khi đã chọn chữ số hàng đơn vị và hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng chục
⇒ Số các số thu được là: 3.5.7 = 105 số
b) Chữ số hàng trăm bằng 7: Sau khi chọn chữ số hàng đơn vị, ta còn 6 cách chọn chữ số hàng chục
⇒ Số các số thu được là: 3.6 = 18 số
2 Chữ số hàng đơn vị là 8:
Trang 4a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: có 6 cách chọn chữ số hàng trăm Sau khi đã chọn chữ số hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng chục
⇒ Số các số thu được là: 6.7 = 42 số
b) Chữ số hàng trăm bằng 7: có 6 cách chọn chữ số hàng chục
⇒ Số các số thu được là: 6 số
Vậy tất cả có: 105 + 18 + 42 + 6 = 171 số
Bài 13: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số cĩ 6 chữ số khác nhau và chữ
số 2 đứng cạnh chữ số 3
Lời giải:
Ta coi cặp (2;3) chỉ là một phần tử “kép”, khi đó chỉ có 5 phần tử là 0, 1, (2; 3), 4, 5 Số hoán vị của 5 phần tử này là P5, phải loại trừ số trường hợp phần tử 0 ở vị trí đầu gồm P4 trường hợp Chú
ý rằng đối với phần tử kép, ta có thể giao hoán nên số trường hợp sẽ được nhân đôi Nên số các số tự nhiên thoả mãn đề bài là: 2(P5 – P4) = 192 số
Bài 14: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số cĩ 6 chữ số và thoả mãn điều
kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đĩ tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối một đơn vị
Lời giải:
Coi số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau được chọn từ tập 6 chứ số đã cho có dạng: a a a a a a1 2 3 4 5 6 (ai ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}; ai ≠ aj ) sao cho: a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 – 1
⇔ a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1
⇔ 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1
⇔ a4 + a5 + a6 = 11 ⇒ a1 + a2 + a3 = 10 (1)
Vì a1, a2 a3 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} nên hệ thức (1) chỉ có thể thoả mãn trong 3 khả năng sau:
• a1, a2, a3 ∈ {1; 3; 6}
• a1, a2, a3 ∈ {1; 4; 5}
• a1, a2, a3 ∈ {2; 3; 5}
Mỗi bộ số a1, a2, a3 nêu trên tạo ra 3! hoán vị, và mỗi hoán vị đó lại được ghép với 3! hoán vị của bộ số a4, a5, a6 Vì vậy tổng cộng số các số tự nhiên gồm 6 chữ số thoả mãn yêu cầu đề bài là: 3.3!.3! = 108 số
Bài 15: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số
khác nhau?
Lời giải:
Các số phải lập là chẵn nên phải có chữ số đứng cuối cùng là 0 hoặc 2, 4, 6, 8
• Trường hợp chữ số đứng cuối là 0: thì 6 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 6 của 8 phần tử
Do đó có 6
8
A số thuộc loại này
• Trường hợp chữ số đứng cuối là một trong các chữ số 2, 4, 6, 8: thì 6 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 6 của 8 phần tử (kể cả số có chữ số 0 đứng đầu) Vậy số các số loại này là: 4.( 6− 5)
8 7
A A Vậy tất cả có: 6
8
A + 4.( 6− 5)
8 7
A A = 90720 số
Bài 16: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 245
Lời giải:
Gọi số cần tìm là: x = a a a1 2 3
Vì x < 245 nên a1 = 1 hoặc a1 = 2
• a1 = 1: x = 1a a2 3
a2, a3 là chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử: 2, 3, 4, 5
⇒ Có: 2
4
A = 4.3 = 12 số
• a1 = 2: x = 2a a2 3
a2 có 2 khả năng:
* a2 < 4 ⇒ a2 ∈ {1, 3} ⇒ a2 có 2 cách chọn, a3 có 3 cách chọn trong 3 số còn lại ⇒ Có 2.3 = 6 số
* a2 = 4; a3 ≠ 5, 2, 4 ⇒ a3 có 2 cách chọn ⇒ Có 2 số
⇒ Có 6 + 2 = 8 số x = 2a a2 3
Trang 5Vậy có tất cả: 12 + 8 = 20 số thoả yêu cầu đề bài
Bài 17: Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số lẻ, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau
Lời giải:
Số cần tìm có dạng: a a a a1 2 3 4
Chọn a4 từ {1, 5, 9} ⇒ có 3 cách chọn
Chọn a1 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {0, a4} ⇒ có 3 cách chọn
Chọn a2 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a4} ⇒ có 3 cách chọn
Chọn a3 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a2, a4} ⇒ có 2 cách chọn
Vậy tất cả có: 3.3.3.2 = 54 số thoả mãn yêu cầu đề bài
Bài 18: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau
và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8
Lời giải:
Gọi x = a a a a a a1 2 3 4 5 6 là số cần lập
YCBT: a3 + a4 + a5 = 8 ⇒ a3, a4, a5 ∈ {1, 2, 5} hoặc a3, a4, a5 ∈ {1, 3, 4}
a) Khi a3, a4, a5 ∈ {1, 2, 5}
• Có 6 cách chọn a1
• Có 5 cách chọn a2
• Có 3! cách chọn a3, a4, a5
• Có 4 cách chọn a6
⇒ Có: 6.5.6.4 = 720 số x
b) Khi a3, a4, a5 ∈ {1, 3, 4}, tương tự ta cũng có 720 số x
Vậy tất cả có: 720 + 720 = 1440 số x
Bài 19: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và
nhất thiết phải cĩ 2 chữ số 1, 5
Lời giải:
• Cách 1: Gọi x = a a a a a1 2 3 4 5 là số cần lập
Trước tiên ta có thể xếp 1 và 5 vào 2 trong vị trí: có 2
5
A = 20 cách
Sau đó, ta có 5 cách chọn 1 chữ số cho vị trí còn lại đầu tiên
4 cách chọn 1 chữ số cho vị trí còn lại thứ hai
3 cách chọn 1 chữ số cho vị trí còn lại thứ ba
Vậy tất cả có: 20.5.4.3 = 1200 số
• Cách 2:
* Bước 1: Xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: có 2
5
A = 20 cách
* Bước 2: có 3
5
A = 60 cách xếp 3 trong 5 số còn lại vào 3 vị trí còn lại
Vậy có 20.60 = 1200 số
Bài 20: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đĩ chữ số 0 cĩ mặt đúng 2 lần, chữ số 1 cĩ mặt đúng 1 lần và
hai chữ số cịn lại phân biệt?
Lời giải:
Chọn 2 vị trí xếp chữ số 0: có 2
4
C cách
Chọn 1 vị trí xếp chữ số 1: có 3 cách
Chọn 2 chữ số xếp vào 2 vị trí còn lại: có cách
Vậy tất cả có: 2
4
C 3 2
8
A = 1008 số thoả yêu cầu đề bài