CHƯƠNG III. TỔHỢP, XÁC SUẤT VÀ SỐPHỨC BÀI 1. CÁC BÀI TOÁN VỀCÔNG THỨC TỔHỢP, CHỈNH HỢP I. DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC k n C BẰNG ĐẠO HÀM 1. Các bài tập mẫu minh họa: Bài 1.Chứng minh rằng: − 1 2 n n 1 n n n C + 2C + ...+ n.C = n2 Giải Xét: (1 + x) n = o 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n n n n n n n C C x C x C x ... C x C x − − + + ⋅ + ⋅ + + + Lấy đạo hàm cả2 vếta có: ( ) n 1 1 2 3 2 n n 1 n n n n n 1 x C 2C x 3C x nC x − − + = + ⋅ + ⋅ + + ⋅ … Thếx = 1 vào đẳng thức trên ta có: 1 2 n n 1 n n n C 2C ... n.C n2 − + + + = Bài 2.Chứng minh rằng: − − − 2 3 n n 2 n n n 2.1.C + 3.2.C + ...+ n(n 1)C = n(n 1)2 Giải Xét: ( ) 1 n x + = o 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n n n n n n n C C x C x C x ... C x C x − − + + ⋅ + ⋅ + + + Lấy đạo hàm cả2 vếta có: ( ) n 1 1 2 3 2 n n 1 n n n n n 1 x C 2C x 3C x nC x − − + = + ⋅ + ⋅ + + ⋅ … Lại lấy đạo hàm ta có: ( ) ( ) n 2 2 3 n
Trang 1CHƯƠNG III TỔ HỢP, XÁC SUẤT VÀ SỐ PHỨC
BÀI 1 CÁC BÀI TOÁN VỀ CÔNG THỨC TỔ HỢP, CHỈNH HỢP
I DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC C k n BẰNG ĐẠO HÀM
1 Các bài tập mẫu minh họa:
C + 2C + + n.C = n2
Giải
Xét: (1 + x)n = Con +C x1n +C2n ⋅x2 +C3n ⋅x3 + +Cn 1n−xn 1− +C xnn n
n 1 x+ − =C +2C ⋅x+3C ⋅x +…+nC ⋅x −
Thế x = 1 vào đẳng thức trên ta có: C1n +2C2n+ n.C+ nn =n2n 1−
2.1.C + 3.2.C + + n(n 1)C = n(n 1)2
Giải
Xét: (1+x)n = Con +C x1n +C2n ⋅x2 +C3n ⋅x3 + +Cn 1n−xn 1− +C xnn n
n 1 x+ − =C +2C ⋅x+3C ⋅x +…+nC ⋅x −
n n 1 1 x− + − =2C +3.2.C x+…+n(n 1)C x− −
Thế x = 1 vào đẳng thức trên ta có:2.1.C2n+3.2.C3n+ + n(n 1)C− nn=n(n 1)2− n 2−
Bài 3 (Đề thi TSĐH khối A − 2005): Giải phương trình:
2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1
C 2.2C + 3.2 C 4.2 C + + 2n + 1 2 C = 2005
Giải
1+x n+ =C n+ +C n+ x+C n+ x + +C k n+ x k + +C n n++ x n+
Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có:
2n+1 1+x n =C n+ +2C n+ x+ +kC k n+ x k− + + 2n+1 C n n++ x n
Thay x = −2 vào đẳng thức ta có:
2n+1 =C n+ −2.2C n+ + + −2 k− kC k n+ + + −2 n 2n+1 C n n++
Phương trình đã cho ⇔ 2n + 1 = 2005 ⇔ n = 1002
Trang 2Bài 4 Giải phương trình:
2C 3.2C + + 1 k k 1 2 C + 2n 2n + 1 2 C = 110
Giải
1−x n+ =C n+ −C n+ x+C n+ x − + −1 k C k n+ x k + −C n n++ x n+
Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có:
2n 1 1 x n C n+ 2C n+ x 1 k kC k n+ x k− 2n 1 C n n++ x n
Lại lấy đạo hàm cả 2 vế ta có: 2n(2n+1 1) ( −x)2n−1 =
2C n+ 3C n+ x 1 k k k 1 C k n+ x k− 2n 2n 1 C n n++ x n−
Thay x = 2 vào đẳng thức ta có: −2n(2n+1) =
2C n+ 3.2C n+ 1 k k k 1 2k− C k n+ 2n 2n 1 2 n− C n n++
Phương trình đã cho ⇔ 2n(2n+1)=110⇔2n2 +n−55=0⇔n=5
2 Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
Bài 1 Chứng minh rằng: C n0 +3C1n +5C n2 + +(2n+1)C n n =(n+1)2n
Bài 2 Chứng minh rằng: 2n−1C n1 +2.2n−2C n2 +3.2n−3C n3 + +n C n n =n.3n−1
Bài 4 Chứng minh rằng:
2
2
1 !
n
n
n
−
−
∀n ≥ 2
Bài 6 Chứng minh rằng:
1
n
n
−
1
n
n
k k n k
=
Bài 10 CMR: (−1)n−120C1n+ −( 1)n−22 21 C n2 − + −( 1)n k− 2k−1kC n k + 2+ n−1nC n n = n
Trang 3II DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC C k n BẰNG TÍCH PHÂN
1 Các bài tập mẫu minh họa:
n+1
1 + C + C + + C =
Giải
Xét (1 + x)n = Con +C x1n +C2n ⋅x2 +C3n ⋅x3 + +Cn 1n−xn 1− +C xnn n
n 1
n
0 0
∫
0
C +C x+C ⋅x +C ⋅x + +C −x − +C x dx=
∫
n+1
( 1)
Giải
Ta có : (1 − x)n = C0n −C x1n +C x2n 2 + + −( 1) C xn nn n
⇒
( 1)
+
−
Mặt khác
1
n
=
−
Bài 3 Chứng minh rằng:
( )
−
n+1
Giải
Ta có:
1
3
n 1
+ +
Trang 4Mặt khác: ( )
P(x) dx= C ⋅x +C ⋅x + +C ⋅x + dx
=
1
0
+
+
+
…
Vậy
( )
n 1
+
−
…
2 Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
Bài 1 Chứng minh rằng:
n
C
Bài 2 Chứng minh rằng:
n
( 1)
−
Bài 3 Chứng minh rằng:
+
Bài 4 Chứng minh rằng:
n 1
+
n
Bài 6 Chứng minh rằng: ( )
+
+
Bài 7 Chứng minh rằng: 0 1 1 1 2 ( 1) 1
n n
−
Bài 8 Chứng minh rằng: C1n +3C n2 +7C n3 + +(2n −1)C n n =3n −2n
Bài 9 Chứng minh rằng:
−
Bài 10 Đặt Sn = 1 1 1 1
n 1
n 1
1
n
−
−
−
Trang 5III DẠNG 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC C k n BẰNG ĐỊNH NGHĨA
1
1
n
k
−
−
= ( k<n) ; nC n m m+ =(m+1)C n m m++1 ; C n m⋅C m k =C n k ⋅C n k m k−− (k ≤ m ≤ n) ;
1
1
2
+
1 0
n
k
−
−
−
=
2
C +C − = C ++ ;
1
2
C + +C + +C + + +C + ++ + +C ++ = ;
2
2
C + +C − + C =C ++ ;
IV DẠNG 4: CHỨNG MINH BẰNG CÔNG THỨC C n k =C n n k− ;C n k−−11+C n k−1 =C n k
1
C +C − +C − + +C + +C =C ++ ; C n k +3C n k−1 +3C n k−2 +C n k−3 =C n k+3
2C n k +5C n k+ +4C n k+ +C n k+ =C n k++ +C n k++ ; 1
0
m
n k n m k
=
=
∑
4
C + C − + C − + C − +C − =C +
V DẠNG 5: CHỨNG MINH BẰNG KHAI TRIỂN NEWTON
C +C + +C = ; C21n +C23n + +C22n n−1 =C20n +C22n + +C22n n =22n−1
3n C n +3n− C n + +3C n n− +C n n =4n ; C n0 +6C1n +62C n2 +63C n3 + +6n C n n =7n
( )
C −C +C −C + + − C = ; 20C1n +2 21 C n2 +2 32 C n3+ 2+ n−1.nC n n=n.3n−1
2n 10 2n 10 2n 10 2n 10 n 2n n 10 n 2n n 81n
2n C n −2n− C n +2n− C n − + −1 k 2n k− C n k + + −1 n C n n =1
( )
4n C n −4n− C n +4n− C n − + −1 n C n n =C n +2C n +2 C n + + 2n C n n
n n
n
−
Trang 6VI DẠNG 6: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC BẰNG CÁCH ĐỒNG NHẤT HỆ SỐ THEO 2 CÁCH KHAI TRIỂN
2
( 0)2 ( )1 2 ( )2
2
( 0 )2 ( 1 )2 ( 2 )2 ( 2 1)2
( 0 )2 ( 1 )2 ( 2 )2 ( 2 )2 ( )
n n n
1 Giải các phương trình sau đây:
2n 20 n
4
1
24 23
n n
A
5 5
720
n
n n
P
A P
+
−
= ; 72A1n −A n3+1=72 ;
C + C + C = n − n; P A n n2 +72=6(A n2 +2P n) ;
C −C =C ;
4
C − −C − − A− = ; C n m++11:C n m+1:C n m+−11 =5 : 5 : 3 ; A n3 +C n n−2 =14n;
n
C ++ = A + ; 35C2n n−1=132C2n n−2 ;
C −C =C ;
n C −− +xC −− = x+ C ; 3C2n n−1=2C2n n−+11 ; A n3 +C n2 =14C n n−1
2 Giải các bất phương trình sau đây:
4
2 !
n
n
A
P
n
+
≤
4
4
2 !
n
n
A
P n
+
≤
2 1 2 1
2
n n
n n
A
P C
− +
−
3 3 1
4
n
A
+ +
4 4 2
4
n
A
+ +
2
6
x
− ≤ + ; C13n ≥C1311−m; 41 31 5 22 0
4
C − −C − − A− = ; 12C1n +C n−+11 ≥162;
1
72A n −A n+ ≤72; 2C n2+1+3A n2 <30 ; C n3+1≥100+C n n+−11
3 Giải các hệ phương trình sau đây:
;
2 2
3
;
( )( )
3 2
4
3
y y x
x
C
−
−