Bài viết trình bày phương pháp giải tích - số để tính toán dao động uốn tự do của cầu treo dây võng ba nhịp sau đó so sánh với các phương pháp gần đúng khác.
Trang 1Hình 1 Sơ đồ cầu treo dây võng 3 nhịp
f
S2
z
TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG UỐN TỰ DO ĐỐI XỨNG CỦA CẦU TREO DÂY VÕNG 3 NHỊP BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH - SỐ
CALCULATING THE SYMMETRIC FREE BENDING VIBRATION OF THREE SPANS SUSPENSION BRIDGE BY ANALYTICAL - NUMERICAL METHOD
ThS LÊ TÙNG ANH
Khoa Công trình, Trường ĐHHH Việt Nam
Tóm tắt
Ưu điểm nổi bật của cầu treo dây võng là khả năng vượt nhịp lớn, tuy nhiên nó lại dễ mất ổn định Tần số dao động tự do đóng vai trò rất quan trọng trong việc tính toán ổn định động lực học công trình cầu nói chung và cầu treo dây võng nói riêng Trong bài báo này, tác giả trình bày phương pháp giải tích - số để tính toán dao động uốn tự do của cầu treo dây võng ba nhịp sau đó so sánh với các phương pháp gần đúng khác
Abstract
Outstanding advantage of suspension bridge is the ability to large span, but it easily leads to instability The free vibration frequency plays an important role in the calculation of general bridges dynamic stability and particular suspension bridge In this paper, the author presents the analytical - numerical method to calculate the free bending vibration of three spans suspension bridge then compares with other approximate methods
Key words: free vibration, frequency, suspension bridges, analytical - numerical method
1 Đặt vấn đề
Trong tính
toán ổn định động
lực học công trình
cầu, một vấn đề
quan trọng là tính
toán dao động tự do
của cầu Trên cơ sở
tính toán dao động
tự do, chúng ta có
thể tránh được hiện
tượng cộng hưởng
do tác dụng của đoàn tải trọng di động cũng như có thể tính toán tiếp dao động cưỡng bức của cầu Hiện nay, để tính toán tần số dao động tự do thường thực hiện theo các phương pháp gần đúng Ritz, Rayleigh…, đối với dự án lớn mới có điều kiện thí nghiệm trên mô hình vật lý Trong phạm vi bài báo này, tác giả sẽ nghiên cứu áp dụng phương pháp giải tích - số để tính toán tần số dao động uốn tự do đối xứng cho cầu treo dây võng 3 nhịp (hình 1) Phần cuối của bài báo là ví dụ tính toán mô phỏng số, áp dụng cho một công trình cầu treo dây võng Sau đó sẽ so sánh với kết quả tính toán bằng các phương pháp gần đúng khác, từ đó rút ra độ tin cậy của phương pháp và chương trình tính
2 Mô hình tính toán và phương trình vi phân dao động uốn
Khảo sát tiết diện ngang dầm cứng của cầu treo dây võng (hình 2)
φ(x,t)
y
η(x,t)
B
Hình 2 Chuyển vị thẳng và xoay của tiết diện dầm
Sg
Trang 2Khi hệ dao động thì ngoài các ngoại lực (như lực gió…) trên tiết diện còn chịu tác dụng của
các phản lực đàn hồi từ các thanh treo S(x) Do tiết diện của dầm thực hiện chuyển vị góc cho
nên các phản lực này xuất hiện tại 2 bên thành dầm cứng sẽ khác nhau (S 1 ≠ S 2) và do đó lực
căng ngang động trong 2 dây cáp cũng khác nhau Ở trạng thái tĩnh 2 dây cáp đối xứng, lực căng
ngang tĩnh trong 2 dây bằng nhau và kí hiệu là H g Khi hệ dao động, lực căng ngang động của 2
dây cáp là H 1d và H 2d
Phương trình dao động uốn của cầu treo dây võng [3] được viết đầy đủ như sau:
g
(1) Trong đó:
z
EJ - Độ cứng chống uốn của tiết diện;
q- Trọng lượng 1 đơn vị dài của hệ (gồm cả dầm và cáp treo);
g
H - Lực căng ngang tĩnh, 2
/8
g
H ql f [6], [7];
P
d
H - Lực căng ngang động trung bình, H d P H1dH2d/ 2;
P - Lực cưỡng bức tác dụng lên tiết diện;
( , )x t
- Chuyển vị của tiết diện;
( )
y x - Hàm biểu diễn hình dạng dây cáp ở trạng thái tĩnh với quan hệ: y x( ) q H/ g
Phương trình dao động uốn tự do sẽ nhận được khi P0:
g
Sử dụng phương pháp tách biến, đặt: ( , ) x t X x T t( ) ( ) và H d P H T t d ( ) (3) Thay các biểu thức (2) vào (1) ta được phương trình biên độ:
2
IV
g
g H (4)
Phương trình (4) có nghiệm tổng quát dưới dạng:
2
g
gH
H
trong đó: 1, 2- Các hệ số phụ thuộc q , , H g , EJ z , được xác định như sau:
2 4 4
2
z
q k gEJ
z
H EJ
Để xác định các hằng số tích phân C i, trước tiên xét nhịp giữa sau đó sẽ xét tất cả các nhịp
Trang 32.1 Nhịp giữa
Từ (5) ta có các giá trị đạo hàm như sau:
X C x C x C ch x C sh x
IV
Sử dụng điều kiện biên: (0)X X (0) 0 và X l( ) X ( )l 0 ta có hệ phương trình sau:
0
d g
gH
H
g
H
l
Từ (7) ta biểu diễn được 4 hằng số tích phân C i theo H d như sau:
2
d g
2
d g
C
d g
2
d g
C
trong đó:
2 2 2 2
1
Mặt khác ta có quan hệ giữa H d và X như sau:
0
c c d
c g
l
qE F
L H
trong đó:
c
L - Chiều dài dây cáp giữa hai trụ;
c c
E F - Độ cứng kéo của dây cáp
Thay các hằng số C i vào (5) được biểu thức của X rồi thay vào (9), sau khi thực hiện tích phân và chia cho H d, rút gọn sẽ được phương trình tần số:
3 2 2
2
g c
c c
l H
E F
Để giải phương trình (6) tìm tần số dao động, tác giả sử dụng phương pháp lặp Newton - Raphson Sau đó sẽ xác định được hàm dao động riêng như sau:
2 2 2
1
d g
H
X
Trang 42.2 Tất cả câc nhịp
Tương tự như nhịp giữa, khi xĩt toăn bộ câc nhịp ta có quan hệ sau:
1 1
2
c c d
c g
l l
qE F
H
L H
trong đó: L c - Chiều dăi toăn bộ dđy câp
Đối với từng nhịp sẽ có hăm dao động riíng đối xứng dạng (11) (chú ý đối với nhịp bín cần
thay , , , Z f l lần lượt bằng 1,Z1,f l1 1, ) Nếu độ cứng vă trọng lượng riíng của câc nhịp như sau
sẽ có: 1; ZZ1 Đặt l1/l (do đó 2 f1/ f ), từ đó phương trình tần số có dạng:
3 2 2
2
c
c c
l H L
E F
3 Tính toân mô phỏng số
Ví dụ tính toân ở đđy lă cầu treo dđy võng Cửa Đại, tỉnh Quảng Nam [2] được xđy dựng mô
hình với sơ đồ cầu chính dăi 650m gồm 3 nhịp 150m+350m+150m như hình 3, tiết diện dầm
không đổi thể hiện trín hình 4 Câc thông số chính như sau:
Hình 3 Mô hình dự ân cầu treo dđy võng Cửa Đại, Quảng Nam
Hình 4 Tiết diện dầm cầu điển hình
Trong ví dụ năy, tâc giả sử dụng phần mềm Matlab để tính toân tần số dao động tự do ω
theo câc phương phâp giải tích - số, phương phâp Ritz [1], [3] vă phương phâp Rayleigh [1], [3]
Sau đó lập bảng so sânh kết quả tính toân theo câc phương phâp đó vă kết quả tính toân theo
phương phâp phần tử hữu hạn (PTHH) bằng câch sử dụng phần mềm Sap 2000 (hình 5)
Hình 5 Mô hình cầu trong Sap2000
5000 2000 16.80M
MNTN MNCN 18.80M
DỰ KIẾN 1 GIẾ M
D 22.7x28.0m - L = 40 m
14000 +7.927 m
+7.927 m
2000
14000
4000
2000
4000 4000
M3
+35.736 m
+7.817m
1100 +9.956 m
2000
5000
- 31.244 m
+8.756m
+41.970 m
1800
15X480 250
1800 300
19100
6X500 780
400
40 0
400
812
200
I=1.5% I=1.5%
307
LíP PHñ MƯT CÌU B£T¤NG NHùA DµY 7CM
10500/2 250
2000 250
Trang 5Bảng 1 So sánh kết quả tính toán theo các phương pháp
Tần số tự do
(rad/s)
Phương pháp giải tích – số
Phương pháp Ritz
Phương pháp Rayleigh
Phương pháp PTHH
4 Kết luận
Mục đích của bài báo này là trình bày phương pháp giải tích - số để tính toán dao động uốn
tự do đối xứng của cầu treo dây võng 3 nhịp sau đó so sánh với 1 số phương pháp gần đúng khác Phương pháp này đặc biệt thích hợp với việc lập trình tính toán trên máy tính Từ bảng 1 trên đây cho thấy kết quả tính toán theo phương pháp giải tích chính xác hơn các phương pháp Ritz, Rayleigh và cho giá trị gần đúng với kết quả tính theo phương pháp PTHH (sai số 4,56%) Chương trình tính đã thiết lập cho kết quả tính toán phù hợp tốt với kết quả tính toán bằng phần mềm Sap 2000, điều đó khẳng định sự đúng đắn và độ tin cậy của chương trình tính Như vậy, trong thiết kế sơ bộ cầu treo dây võng nên áp dụng phương pháp giải tích - số để tính toán sẽ hợp
lý hơn các phương pháp Ritz, Rayleigh thường đang áp dụng Hướng phát triển tiếp của bài báo là nghiên cứu tính toán dao động uốn - xoắn của cầu treo dây võng bằng phương pháp đã nêu trên
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Phạm Khắc Hùng, Đào Trọng Long, Lê Văn Quý, Lều Thọ Trình, Ổn định và động lực học công
[2] Lê Văn Lạc, Nguyễn Văn Mỹ, Đặng Phước Toàn, Lập trình tính toán cầu treo dây võng dầm
cứng 3 nhịp, Đại học Bách khoa Đà Nẵng, Đà Nẵng
[3] Nguyễn Văn Tỉnh, Cơ sở tính dao động công trình, NXB KH&KT, Hà Nội, 1987
[4] Nguyễn Viết Trung, Hoàng Hà, Thiết kế cầu treo dây võng, NXB GTVT, Hà Nội, 2003
[5] T Hayashikawa, N Watanabe, Dynamic behavior of suspension bridge under moving loads, Hokkaido University, Hokkaido, Japan, 1982
[6] T Huynh, P Thoft Christensen, Suspension bridge flutter for girders with separate control flaps,
Journal of Bridge Engineering, Vol 6, pp 168-175, 2001
[7] S R K Nielsen, T Huynh, Vibration theory, Vol 7A Special Structures: Aerodynamics of
suspension bridges, ISSN 1395-8232 U9902, Aalborg University, Denmark, 1999
Người phản biện: PGS.TS Hà Xuân Chuẩn; TS Hoàng Mạnh Cường