Phương pháp giải tích phân hàm ẩn cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN HÀM ẨN CHO HỌC SINH LỚP 12 ÔN THI THPT QUỐC GIA Người thực hiện: Trần Tuấn Ngọc Ch

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN HÀM ẨN

CHO HỌC SINH LỚP 12 ÔN THI THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Trần Tuấn Ngọc Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THPT Thiệu Hóa SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2019

MỤC LỤC

1.1 Lí do chọn đề tài……… ……… 1

1.2 Mục đích nghiên cứu ……… ………… 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu……….…… ……… 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… … …… 1

II NÔI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM……… … ………… 1

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ……… …… 1

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……… 2

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề ……… ……….… 2

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường ………

19 III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ……….…… …… 20

3.1 Kết luận ……….…… … 20

3.2 Kiến nghị ……….….…… … 20

Tài liệu tham khảo: ……….…………

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình SGK giải tích lớp 12, các dạng tích phân được tính bằng các tính chất của tích phân và tính chất của hàm số (ở đây tôi tạm gọi là hàm ẩn) xuất hiện rất ít, chính vì vậy khả năng thực hành tính toán của học sinh còn nhiều hạn chế hay chưa nói đến là gặp rất nhiều khó khăn

Trước đây, trong các kì thi từ thi tốt nghiệp THPT đến các kỳ thi Đại học, Caođẳng hầu như không xuất hiện các dạng tích phân hàm ẩn, vì vậy sự quan tâm củagiáo viên và học sinh về vấn đề này là không có.

Từ khi Bộ GD&ĐT chuyển hình thức thi môn Toán từ thi tự luận sang thi trắcnghiệm (ngay năm đầu tiên năm 2017) thì dạng tích phân này đã có trong đề thi đãxuất hiện không dưới 2 câu đã tạo cho nhiều học sinh (không chuyên) phải ngậmngùi sau kì thi

Từ những lý do trên cộng thêm niềm đam mê khám phá, học hỏi tôi đã quyếtđịnh chọn đề tài này với mục tiêu dẫn dắt học sinh biết vận dụng những kiến thức

cơ bản, kết hợp các phương pháp được tiếp cận từ sách giáo khoa để tạo được một

thói quen mới, một phương pháp mới cho dạng toán Tích phân hàm ẩn

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Với mục tiêu đã nêu trên, sau khi hoàn thành đề tài này tôi có thể sử dụng đềtại này, vận dụng kiến thức đã được nghiên cứu, đúc kết và sắp đặt có hệ thống vàogiảng dạy cho học sinh Ngoài ra có thể chia sẻ với đồng nghiệp để cùng khai thácnội dung đề tại, truyền thụ được kiến thức đến đông dảo học sinh, nhiều đối tượnghọc sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đề tài này nghiên cứu, tổng kết về các phương pháp giải bài toán tích phân

hàm ẩn.

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Trong đề tài này, tôi chủ yếu sử dụng phương pháp thống kê, xử lý số liệu Xuất phát từ các phương pháp tính tích phân cơ bản học sinh đã được họctrong sách giáo khoa và các bài toán tích phân được sưu tầm từ đề thi THPT QGnăm 2017 và các để thi thử của các trường THPT, các Sở GD & ĐT trên cả nướctôi phân chia thành từng dạng để có phương pháp riêng giải cho mỗi dạng, các dạngđược sắp xếp từ dễ đến khó để phụ vụ cho việc giảng dạy với nhiều đối tượng họcsinh

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Trong các dạng toán tích phân được trình bày trong sách giáo khoa và các bàitoán tích phân học sinh được tiếp cận, chủ yếu là các bài với hàm số là các biểuthức cho trước ( hàm tường mình )

Trong các dạng toán, chủ yếu học sinh phải làm là dựa vào biểu thức của hàm số

đã cho để quyết định phương hướng và lựa chọn phương pháp Tuy nhiên với tích

phân hàm ẩn thì không có hàm số tường minh để dựa vào đó được.

Và vấn đề đặt ra ở đây là học sinh làm như thế nào để nhận dạng và áp dụngphương phán giải hợp lý cho bài toán Vấn đề đó tôi xin được trình bày trong phầnnội dung của đề tài này

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Trước khi SKKN được áp dụng, tôi thấy đa số các em học sinh khi giải một bài

toán thì theo kiểu “ tù mù” Biến đổi, hay đổi biến, hay dùng từng phần! Và nhưvậy học sinh sẽ đánh mất phương hướng, mất nhiều thời gian cho một hướng giảiquyết mù mịt (không biết có ra hay không) dẫn đến mất niền tin và khả năng củamình và từ đó cảm thấy không còn hứng thú trong việc học Toán

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Trên cơ sở kiến thức cơ bản về tích phân đã được trình bày trong sách giáo khoa

Giải tích Tôi đã chia thành các dạng toán cơ bản sau và trên cơ sở đó để thực hiệnmục đích của mình đó nhận biết dạng toán để chọn phương pháp phù hợp

Nội dung đề tài được trình bày cụ thể như sau:

I CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Định nghĩa tích phân

Cho f x là hàm số liên tục trên   a b Giả sử ;  F x là một nguyên hàm của 

 

f x trên a b Hiệu số ;  F b   F a  được gọi là tích phân từ a đến b của hàm

số f x (hay tích phân xác định trên   a b ), kí hiệu là ;   d

- Khi đề cho kết quả các tích phân của cùng một hàm số f x và yêu cầu tính tích 

phân (chỉ khác các tích phân đã cho về cận) của hàm số f x thì ta dùng tính chất 

f x x

4 2 0

02

I x f x  x theo a

(THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh – lần 1 năm học 2017-2018)

Nhận xét: Ta thấy  

1

2 0

I x f x  x có f x  2 1 là hàm hợp của hàm số f t , 

2 1

t x  với nên ta dùng phương pháp đổi biến t x 21 để tính I theo biến t, sau

đó dùng tính chất tích phân không phụ thuộc vào biến ta tính được I heo  

Phương pháp giải: Khi đề bài cho  d

Ví dụ 1:(THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho hàm số

0 0

x f x f x x

   2f  2  3 2.3 3 3  

Ví dụ 2: (THPT chuyên Thái Bình năm học 2017 - 2018) Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;5 , thỏa mãn  f  5 10 và  

d2

Ví dụ 2: (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định 2017-2018) Cho hàm số y f x 

có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  2 1,  

2.5 Tính tích phân hàm số f x bằng cách xác định hàm số  f x dựa vào 

điều kiện cho trước

2.5.1 Xác định hàm số f x khi biết đẳng thức liên hệ giữa   f x và 

Ví dụ 2: Cho hàm số f x liên tục trên  và   3f  x  2f x  tan2x Tính

2.5.2 Xác định hàm số f x  khi biết đẳng thức liên hệ giữa f x  và f' x

Phương pháp giải: Từ đẳng thức liên hệ giữa f x và   f x ta có thể biến đổi' 

theo hai hướng sau:

- Hướng 1: Cô lập f x và   f x về một vế sau đó lấy nguyên hàm hai vế để tìm' 

hàm f x  

- Hướng 2: Nếu không cô lập được f x và   f x về một vế thì ta biến đổi ' 

đẳng thức liện hệ f x và   f x sao cho một vế là đạo hàm có dạng tích, ' 

thương của hàm chứa f x , sau đó lấy nguyên hàm hai vế để tìm hàm   f x  

Ví dụ 1: Cho hàm số f x liên tục và đồng biến trên   1;4 thỏa mãn  f  1 0 và

Nhận xét: Vế trái của đẳng thức x2xf x   f x' 2 có nhân tử chung là x nên

ta đặt x làm thừa số chung rồi cô lập f x và   f x ' 

13

2.5.3 Xác định hàm số f x  bằng cách tạo ra hàm số dưới dấu tích phân có

dạng bình phương của tổng (hoặc hiệu) sao cho tích phân đó có kết quả bằng

0 (gọi tắt là tạo bình phương cho hàm dưới dấu tích phân)

Phương pháp giải: Đối với các bài toán này ta thường gặp ba dạng sau:

Với dạng này ta có thể xác định hàm số f x bằng cách tạo bình phương cho 

hàm dưới dấu tích phân dạng     2d 0

Với dạng này ta có thể xác định hàm số f x bằng cách tạo bình phương cho hàm 

dưới dấu tích phân dạng '    2d 0

Bước 3: Tìm số thực k sao cho '    2d 0

Với dạng này ta có thể xác định hàm số f x bằng cách tạo bình phương cho 

hàm dưới dấu tích phân dạng     2d 0

9d2

9d2

phương cho hàm dưới dấu tích phân dạng  

2 1

Lời giải

- Đặt uf x   duf x x d ,

3 2

3

x

v x x  v

1d7

13( ) d

( ) d

I f x x

Nhận xét: Đây là bài toán dạng 3: đề bài cho ba tích phân  

1

2 0

13( ) d

 nên ta tìm hàm số f x bằng cách tạo bình phương  

cho hàm số dưới dấu tích phân dạng  

1

2 0

Phương pháp giải: Ta chọn một hàm f x thỏa mãn từng đẳng thức dữ kiện của 

bài toán theo hướng sau: Đề cho n đẳng thức dữ kiện thì chọn hàm số có n tham

5 0

Ví dụ 2: (THPT Quảng Xương 1- Thanh Hóa năm 2017-2018)Cho hàm số

Kết quả đạt được :

Sau khi đưa vào áp dụng và giảng dạy cho học sinh trong mùa thi THPT Quốc Gia

năm 2018 đã có nhiều em giải được câu tích phân hàm ẩn

Và trong mùa thi sắp tới (năm 2019) các em đã làm được nhiều bài như vậy từ các

để thi thử của các trường THPT, các trường chuyên và các Sở GD & ĐT, các em cũng đã sẵn sàng cho kì thi cuối cùng này của các em

III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

Với nội dung có hạn của đề tài tôi đã nghiên cứu, tôi xin được kiến nghị đến

Sở GD & ĐT, nhà trường và đồng nghiệp đưa vào ứng dụng và tiếp tục cùng tôi

mở rộng thêm nội dung đề tài này cho rất rất nhiều các nội dung khác của mônToán như: Hàm số, Số phức, hình học tổng hợp, hình học tọa độ….Từ đó tạo đượcniền đam mê học Toán cho học sinh

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình viết, không sao chép nội dung củangười khác

(Ký và ghi rõ họ tên)

Trần Tuấn Ngọc

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Lê Thị Thiên Hương,

Nguyễn Tiến Tài, Cấn Tuất, Giải tích 12, NXB Giáo dục, 2008;

2) Nguyễn Phú Khánh, Huỳnh Đức Khánh, Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm toán

12, NXB Đại học quốc gia Hà Nội;

3) Các đề minh họa và đề thi THPT quốc gia năm 2017, 2018 của Bộ giáo dục

và đào tạo;

4)Các đề thi thử THPT quốc gia của các trường, các Sở giáo dục và đào tạo trêntoàn quốc