Bài tập khảo sát hàm số

NỘI DUNG 1 Hướng dẫn chung 3 1.1 Vài lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Một số điều cần lưu ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Nội dung ôn tập 5 2.1 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Hướng dẫn và đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Thân tặng các bạn học sinh chuẩn bị thi Cao đẳng Đại học 2009 Khảo sát hàm số 1.2. Một số điều cần lưu ý 1 Hướng dẫn chung 1.1 Vài lời nói đầu Câu I gồm 2 phần, để giải quyết chúng một cách trọn vẹn thì ít nhất là chúng ta phải thực hành tốt các nội dung sau: 1. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số có dạng như sau: i. y = ax 3 + bx 2 + cx + d ii. y = ax 4 + bx 2 + c iii. y = ax+b cx+d iv. y = ax 2 +bx+c dx+e 2. Suy đồ thị : từ đồ thị đầu suy ra các đồ thị có chứa | · | 3. Diễn đạt các điều kiện bằng ngôn từ thành mệnh đề dạng đẳng thức hoặ

Trang 1

Các chuyên đề luyện thi cao đẳng đại học 2009

Thân tặng các bạn học sinh chuẩn bị thi Cao đẳng - Đại học 2009

Trang 3

Khảo sát hàm số 1.2 Một số điều cần lưu ý

Câu I gồm 2 phần, để giải quyết chúng một cách trọn vẹn thì ít nhất là chúng ta phải thực hành tốt cácnội dung sau:

1 Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số có dạng như sau:

i y = ax3+ bx2+ cx + d ii y = ax4+ bx2+ c

2 Suy đồ thị : từ đồ thị đầu suy ra các đồ thị có chứa | · |

3 Diễn đạt các điều kiện bằng ngôn từ thành mệnh đề dạng đẳng thức hoặc bất đẳng thức

Ví dụ : (Câu I ý 2 đề A-2008) Cho hàm số

y = mx

2 + (3m 2 − 2)x − 2

x + 3m Tìm các giá trị của m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị hàm số là 45◦.

Mục tiêu của ta là tìm m (1 ẩn) do đó ta cần các phương trình hoặc bất phương trình chứa ẩn m Nhớ rằng hàm hữu tỷ dạng bậc 2bậc 1chỉ có thể có đồng thời một tiệm cận đứng (d 1 ) và một tiệm cận xiên (d 2 ) Do đó

(d 1 ; d 2 ) = (Oy; d 2 ) = 45◦ ⇔ (Ox; d 2 ) = 45◦ ⇔ hsg của (d 2 ) = tan 45◦Như vậy điều kiện của bài toán tương đương với đẳng thức cuối cùng, và ta có thể đưa bài toán về việc giải phương trình để tìm ẩn m.

4 Viết phương trình tiếp tuyến, biết tiếp tuyến thỏa : tiếp xúc với đồ thị tại một điểm, đi qua mộtđiểm cho trước, thỏa một điều kiện nào đó

5 Tính diện tích miền phẳng S được giới hạn bởi các đường cong; hoặc tìm điều kiện của tham số m

để diện tích S thỏa một điều kiện nào đó

Tóm lại, trong nhiều trường hợp của ý 2 câu I, ta cần biết diễn đạt lại điều kiện thành các ràng buộtdạng: phương trình-bất phương trình hoặc hệ phương trình-hệ bất thương trình và giải quyết chúng

1 Khảo sát hàm số theo các mục sau

Dạng hàm số TXĐ y0 y00 Tiệm cận BBT + CTrị BLL + Điểm uốn Đồ thị Hàm đa thức có có có thể không không có có thể không có

2 Cần phải đặt điều kiện tồn tại cho các đối tượng của bài toán

Ví dụ, đối với hàm hữu tỷ thì ngoài đk mẫu khác 0 còn có điều kiện để các tiệm cận được tồn tại, vì nếu không thì hàm hữu tỷ sẽ biến thành hàm đa thức Chẳng hạn, Câu I ý 2 đề A-2008, cho hàm số

y = mx

2 + (3m 2 − 2)x − 2

x + 3m Tìm các giá trị của m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị hàm số là 45◦.

Trang 4

1.2 Một số điều cần lưu ý Khảo sát hàm số

Trước nhất ta cần đặt đk của m để các tiệm cận tồn tại Ta viết

Hoặc, nếu ta muốn làm việc với các điểm cực trị của hàm số, trong khi các cực trị này phụ thuộc vào tham số, thì ta cần phải đặt điều kiện để chúng tồn tại, và đáp số cuối cùng của ta phải thỏa điều kiện này.

3 Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ta chỉ cần sử dụng điều kiện tiếp xúc

Nhắc lại: cho hàm số (C) : y = f (x) và đường thẳng (d) : y = ax + b Ta có mệnh đề

Trang 5

Khảo sát hàm số 2.1 Bài tập đề nghị

Bài 1 Cho hàm số y = 2x3− 9x2+ 12x − 3 có đồ thị (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

2 Tìm m để phương trình 2|x|3− 9x2+ 12|x| + 1 = m có 6 nghiệm phân biệt

3 Tìm m để phương trình |2x3− 9x2+ 12x + 3| = m có nhiều hơn 2 nghiệm phân biệt

Bài 2 (A-2006) Cho hàm số y = 2x3− 9x2+ 12x − 4 có đồ thị (C)

2 Tìm m để phương trình 2|x|3− 9x2+ 12|x| − 4 = m có 6 nghiệm phân biệt

Bài 3 Cho hàm số y = −x4+ 8x2− 10 có đồ thị (C)

2 Tìm m để phương trình | − x4+ 8x2− 10| = m có 8 nghiệm phân biệt

Bài 4 Cho hàm số y = x

2− 4x + 5

x − 2 có đồ thị (C)

2 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x2− (4 + m)|x| + 5 + 2m = 0

2− 5x + 4

x − 5 có đồ thị là (C), m là tham số.

2 Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm t thuộc R

161−

√ 1−t 2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến qua A(9; 7)

Trang 6

2.1 Bài tập đề nghị Khảo sát hàm số

2 Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ đó chỉ kẻ được một tiếp tuyến đến (C)

3 Tìm các điểm trên Ox sao cho kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) và các tiếp tuyến này vuông góc vớinhau

Bài 8 Cho hàm số y = 2x

2+ mx + m

x + 1 (1), m là tham số.

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = −1

2 Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A và B, biết rằngtiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau

Bài 9 Cho hàm số y = −x4+ 2x2+ 3 có đồ thị là (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) được kẻ từ A(0 ; 3)

3 Tìm các điểm trên trục tung sao cho từ đó kẻ được 4 tiếp tuyến đến (C)

2+ x + 2

x + 3 có đồ thị là (C).

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết nó song song với (D) : 5x − 9y − 41 = 0

3 Tìm những điểm trên Oy mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến hai nhánh của (C)

Bài 11 Cho hàm số y = (2m − 1)x − m

2

x − 1 (1), m là tham số.

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0

2 Biện luận theo k số nghiệm của phương trình x

x − 1 = k.

3 Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng (D) : y = x

Bài 12 (B-2008) Cho hàm số y = 4x3− 6x2+ 1 có đồ thị (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó qua điểm M(−1 ; −9)

Bài 13 (B-2006) Cho hàm số y = x

2+ x − 1

x + 2 có đồ thị (C).

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên

Trang 7

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.

2 Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng −1 Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M songsong với đường thẳng 5x − y = 0

Bài 15 (B-2004) Cho hàm số y =13x3− 2x2+ 3x (1) có đồ thị (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C)

có hệ số góc nhỏ nhất

Bài 16 (D-2002) Cho hàm số y =(2m − 1)x − m

2

x − 1 (1) (m là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = −1

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ

3 Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x

2 Tìm điều kiện của m đề hàm số (1) đồng biến trong khoảng (1 ; +∞)

Bài 18 Cho hàm số y = x3− 3(2m + 1)x2+ (12m + 5)x + 2 (1), m là tham số

1 Định m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng (2; +∞)

2 Định m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng (−∞; −1) ∪ (2; +∞)

Bài 19 Cho hàm số y =x

2+ 5x + m2+ 6

x + 3 (1) có đồ thị là (Cm), m là tham số.

1 Tìm điều kiện của m đề hàm số (1) đồng biến trong khoảng (1 ; +∞)

2 Cho M ∈ (Cm) tùy ý, hãy tính tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (Cm)

Bài 20 Cho hàm số y = x3+ 3x2− 6mx có đồ thị (Cm), m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (Cm) khi m = 1

2 Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng (Dm) : y = (m − 18)x tại 3 điểm phânbiệt

Trang 8

Bài 21 Cho hàm số y = x3+ 3x2− 4 có đồ thị là (C)

2 Lập phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm cực đại

3 Tìm m ∈ R để đường thẳng (Dm) : y = 3mx + 2 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau

2+ x − 1

x − 1 có đồ thị là (C).

2 Tìm trên hai nhánh của (C) hai điểm phân biệt A và B sao cho đoạn AB ngắn nhất

Bài 23 Cho hàm số y = x4− 2(m + 1)x2+ 3m − 1 có đồ thị (Cm), m là tham số

2 Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm theo thứ tự lập thành cấp số cộng Xác định cấp

số cộng tương ứng

Bài 24 Cho hàm số y = −x4+ 2(m + 2)x2− 2m − 3 có đồ thị là (Cm), m là tham số

1 Tìm điều kiện của m để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm lập thành cấp số cộng

2 Tìm điều kiện của m để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt sao cho có đúng 2 điểm thuộc (−3 ; 3)

Bài 25 Cho hàm số y = (m

2+ m + 1)x + 1

x + m có đồ thị (Cm), m là tham số.

2 Tìm những điểm trên đường thẳng (D) : x = 2 sao cho đồ thị hàm số (1) không đi qua với mọi giátrị m ∈ R

Bài 26 (A-2008) Cho hàm số y = mx

2+ (3m2− 2)x − 2

x + 3m (1), m là tham số.

2 Tìm các giá trị của m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị hàm số (1) là 45◦

Bài 27 (A-2008) Tìm điều kiện của m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt

4

√2x +√2x + 2√4

6 − x + 2√

6 − x = m , (m ∈ R)

Bài 28 (D-2008) Cho hàm số y = x3− 3x2+ 4 có đồ thị (C)

Trang 9

Khảo sát hàm số 2.1 Bài tập đề nghị

2 Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua I(1 ; 2) với hệ số góc k (k > −3) đều cắt (C) tại 3 điểmphân biệt I,A,B và I luôn là trung điểm của AB

Bài 29 (A-2007) Cho hàm số y = x

2+ 2(m + 1)x + m2+ 4m

x + 2 (1) , m là tham số thực.

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = −1

2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa

độ O lập thành tam giác vuông tại O

Bài 30 (B-2007) Cho hàm số y = −x3+ 3x2+ 3(m2− 1)x − 3m2

− 1 (1) , m ∈ R

2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị cách đều gốc tọa độ O

Bài 31 (D-2007) Cho hàm số y = 2x

x + 1 có đồ thị (C).

2 Tìm tọa độ M ∈ (C), biết tiếp tuyến tại M cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho diện tích 4OABbằng 1

4

Bài 32 (D-2006) Cho hàm số y = x3− 3x + 2 có đồ thị (C)

2 Gọi (D) là đường thẳng qua điểm A(3 ; 20) có hệ số góc là m Tìm điều kiện của m để (D) cắt (C)tại 3 điểm phân biệt

Bài 33 (A-2005) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số : y = mx +1

x (1), m ∈ R

2 Tìm m để hàm số (1) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên bằng

2 Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm) luôn luôn có diểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảngcách giữa chúng bằng√

20

Trang 10

Bài 35 (A-2002) Cho hàm số y = −x3+ 3mx2+ 3(1 − m2)x + m3− m2(1) (m là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

2 Tìm k để phương trình −x3+ 3x2+ k3− 3k2= 0 có 3 nghiệm phân biệt

3 Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

Bài 36 (A-2003) Cho hàm số y = mx

2+ x + m

x − 1 (1) (m là tham số)

2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt và 2 điểm đó có hoành độ dương

Bài 37 (A-2004) Cho hàm số y = −x2+ 3x − 3

2(x − 1) (1) (m là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1

Bài 38 (B-2002) Cho hàm số y = mx4+ (m2− 9)x2+ 10 (1) (m là tham số)

2 Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị

Bài 39 (B-2003) Cho hàm số y = x3− 3x2+ m (1) (m là tham số)

2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ

Bài 40 (D-2003) Cho hàm số y = x2−2x+4x−2 có đồ thị (C)

2 Tìm m để đường thẳng (dm) : y = mx + 2 − 2m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

Bài 41 (D-2004) Cho hàm số y = x3− 3mx2+ 9x + 1 (1) (m là tham số)

2 Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1

Trang 11

Từ (1) ta thấy (C2) trùng (C), khi x ≤ 0 Từ (2) ta thấy (C2) trùng với phần đối xứng của (C) qua

Oy, khi x < 0 Như vậy ta có đồ thị của (C2) như sau

Trang 13

2+ x + 2

x − 1

2− 2x − 3(x − 1)2

có nghiệm (x; k)

Giải hệ trên ta được x = 3 , k = 0 hoặc x = −3 , k =34

Bài 7 1) Xem đồ thị bài trên 2) m = −2 3) m = 1 ±√

2+ x + 2

x − 1 (1)

2− 2x − 3(x − 1)2 (2)

có 1 nghiệm (x0; k0)

Trang 14

Bình luận : Ta có một lời giải khác như sau Phương trình (3) tương đương

m = −2x2− 4x + 2

x2− 2x − 3 (4)

Số nghiệm của (4) là số giao điểm của đường thẳng (dm) : y = m với (C0) : y = −2xx2−2x−32−4x+2

Để hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm thì m = −2

3) Tương tự như lập luận trên, yêu cầu của đề bài tương đương với điều kiện hệ phương trình

Trang 15

3 x + 3, y = −4

√ 6

Thế (2) vào (1) ta giải được x từ đó tính được k và phương trình các tiếp tuyến

3) Điểm M tùy ý trên Oy có tọa độ M (0; m) Đường thẳng (Tm) qua M (0; m) với hệ số góc k có phươngtrình y = kx + m

Trang 16

Bình luận : Một cách giải khác như sau Sử dụng đồ thị

Phương trình (3) có 4 nghiệm khi và chỉ khi m ∈ (83; 3)

Bài 10 2) y = 59x +8

√ 2−10

3 , y = 59x − 8

√ 2+10

Trang 17

Khảo sát hàm số 2.2 Hướng dẫn và đáp số

Giải (2) tìm được x Thế x vào (1) tìm được m và các tiếp tuyến

3) Điểm M tùy ý trên Oy có tọa độ M (0; m) Đường thẳng (Tm) qua M (0; m) với hệ số góc k có phươngtrình y = kx + m

Trang 20





y0− x0+ 1 = 02x2− x0− 1 = 0

y0= 2x

2− 4mx + m2− 2m − 1(x − m)2)

Ta thấy

y0(1) = m

2− 6m + 1(m − 1)2 và y0(−1) = m

2+ 2m + 1(m + 1)2 = 1 (hằng số)Đường thẳng qua A(-1;-2) với hệ số góc k = y0(−1) = 1 là (T ) : y = x − 2 Tóm lại (Cm) luôn tiếp xúcvới (T ) tại A(-1;-2)

2) Hàm số đồng biến trên (1; +∞) khi và chỉ khi y0 ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞) và m 6∈ (1; +∞) Tức là

Trang 21

Vậy ta có

12m ≤ f (x) , ∀x ∈ (2; +∞) ⇔ 12m ≤ f (2) = 5

⇔ m ≤ 5

123) Tương tự, ta có

⇔ −7

12≤ m ≤ 5

12

Trang 22

2.2 Hướng dẫn và đáp số Khảo sát hàm số

bởi ta đã sử dụng đồ thị sau

Bài 19 1) |m| ≤ 4 2) khoảng cách δ = m √2

2.Hướng dẫn : 1) Lập luận tương tự như trên 2) Gọi δ là trị số cần tìm Ta viết

m 6= 0 đồ thị (Cm) thì có tiệm cận đứng (∆1) : x + 3 = 0 và tiệm cận xiên (∆2) : x − y + 2 = 0 Ta có

Hướng dẫn : 1) Đồ thị hàm số

Trang 23

2) Tìm tọa độ điểm cực đại và viết phương trình tiếp tuyến qua một điểm cho trước.

3) Lý luận theo điều kiện cần và đủ Ta có :

x3+ 3x2− 4 = 3mx + 2 ⇔ x3+ 3x2− 3mx − 6 = 0 (1)

Để ý rằng, trên một đường thẳng, 3 điểm cách đều nhau khi và chỉ khi 1 điểm là trung điểm của 2 điểmcòn lại Do đó ta lập luận:

Điều kiện bài toán ⇔ Phương trình (1) có 3 nghiệm x1, x2, x3sao cho x1+ x3= 2x2

Điều kiện cần : Giả sử phương trình (1) có 3 nghiệm x1, x2, x3sao cho x1+ x3= 2x2 Theo định lý Viétcho phương trình bậc 3 1 , ta có

x1+ x2+ x3= 3x2= −3

1 ⇒ x2= −1tức là, phương trình (1) có một nghiệm là −1 Ta suy ra

Trang 24

2.2 Hướng dẫn và đáp số Khảo sát hàm số

Điều kiện đủ : Giả sử m = 43 Phương trình (1) viết lại

x3+ 3x2− 4x − 6 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = −1 +√7 ∨ x = −1 −√

7Quả nhiên phương trình (1) có 3 nghiệm x1, x2, x3thỏa x1+ x3= 2x2

Tóm lại : Điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có 3 nghiệm x1, x2, x3sao cho x1+ x3= 2x2là m =43

ab + 8 = 8

√

2 + 8Đẳng thức có được khi và chỉ khi







a = b8ab = ab4

2; 3 −√4

2 − √ 41

2

Trang 25

Khảo sát hàm số 2.2 Hướng dẫn và đáp số

Bài 23 2)m =2

3| −√3; −13√

3;13√3;√

3 ∨ m = 17

3 | − 2√3; −23√

3;23√3; 2√

Như vậy ta lập luận

Điều kiện bài toán ⇔ Phương trình (2) có nghiệm t2= 9t1> 0Điều kiện cần : Giả sử phương trình (2) có nghiệm t2= 9t1> 0 Sử đụng đĩnh lý Viét ta có

⇒ m = 2

3 ∨ m = 17

3Điều kiện đủ : Giả sử m =23 ∨ m = 17

3 Thế lần lượt các giá trị m vào (2) ta thấy t2= 9t1> 0

ĐK bài toán ⇔ Phương trình f (t) := −t2+ 2(m + 2)t − 2m − 3 = 0 có nghiệm 0 < t1< 9 < t2

⇔ m > 3

Bài 25 2) M (0; a) với −2√

14 − 6 < a < 2√

14 − 6

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	2,19 MB