mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm

Mối liên hệ giữa đạo hàm ngầm ẩn và tiếp tuyến cũng được thiết lập: « Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm » Phương pháp trên tương đương với cách viế

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Bùi Thị Thu Hiền

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số : 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS LÊ VĂN TIẾN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2007

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê Văn Tiến, người đã tận tình chỉ bảo tôi về mặt nghiên cứu khoa học và hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này

Xin trân trọng cảm ơn: GS Claude Comiti, GS Annie Bessot, GS Alain Birebent, PGS TS Lê Thị Hoài Châu, TS Đoàn Hữu Hải và các quí thầy cô đã tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành didactic toán khóa 15

Xin chân thành cảm ơn: TS Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giúp đỡ tôi dịch luận văn này sang tiếng Pháp

Xin chân thành cảm ơn: Ban Giám Hiệu và các đồng nghiệp trong tổ Toán trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa (TPHCM) đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này

Xin chân thành cảm ơn các bạn cùng lớp Didactic khóa 15 đã luôn động viên và chia sẻ những vui buồn và khó khăn trong suốt thời gian học tập

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và những bạn bè thân thiết đã luôn bên cạnh, ủng hộ và động viên tôi trong suốt thời gian qua

Bùi Thị Thu Hiền

MỞ ĐẦU

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Theo truyền thống, tiếp tuyến luôn là chủ đề quan trọng trong chương trình toán ở trường phổ thông Việt Nam, đặc biệt là trong chương trình hình học sơ cấp ở THCS và chương trình Giải tích ở

THPT Trong phạm vi Giải tích, việc nghiên cứu khái niệm tiếp tuyến luôn gắn với khái niệm đạo hàm

Trong luận văn tốt nghiệp đại học của mình, nhan đề: « Tiếp tuyến và đạo hàm phải chăng là một cặp ?», hai sinh viên người Pháp N Chaboud và D Hedde (2000) cũng đã chỉ ra sự gắn kết của hai khái niệm này trong lịch sử giảng dạy ở Pháp từ năm 1993 đến năm 1999

Từ đó, chúng tôi thấy cần thiết đặt ra các câu hỏi khởi đầu sau đây:

Tại sao khái niệm tiếp tuyến luôn gắn liền với khái niệm đạo hàm? Chúng kết hợp với nhau thế nào? Vai trò, ý nghĩa của mỗi khái niệm trong sự kết hợp đó ?

Có được câu trả lời cho những câu hỏi này sẽ cho phép chúng tôi – những giáo viên toán THPT - hiểu rõ hơn đối tượng kiến thức cần giảng dạy, để từ đó có những vận dụng thích hợp trong quá trình thực hành nghề nghiệp của mình

2 Phạm vi lí thuyết tham chiếu

Lí thuyết nhân chủng học của Didactic toán với các khái niệm mấu chốt như “mối quan hệ thể chế”, “Mối quan hệ cá nhân” sẽ là công cụ lí thuyết mà chúng tôi sử dụng trong nghiên cứu của mình Trong phạm vi lí thuyết này và từ các câu hỏi khởi đầu nêu trên, chúng tôi trình bày hệ thống câu hỏi nghiên cứu của luận văn như sau :

Q1: Trong lịch sử phát triển của Toán học, mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến đã được thiết lập trong những tình huống nào? Đặc trưng cơ bản của mối quan hệ này? Có đối tượng nào khác luôn gắn liền với chúng ? Mỗi đối tượng có vai trò và chức năng gì trong mối quan hệ đó?

Q2: Trong hệ thống dạy học toán ở trường phổ thông, mối quan hệ thể chế với đạo hàm và tiếp tuyến, cũng như quan hệ giữa chúng hình thành ra sao ? Với những đặc trưng cơ bản nào so với quan hệ của chúng trong lịch sử ? Có những ràng buộc thể chế nào trên chúng?

Q3: Mối quan hệ thể chế nêu trên ảnh hưởng thế nào lên mối quan hệ cá nhân học sinh?

3 Mục đích và phương pháp nghiên cứu

Mục đích của luận văn này là tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra ở mục 2

Để đạt được điều đó, chúng tôi sẽ tiến hành các nghiên cứu sau đây :

- Phân tích, tổng hợp một số tài liệu hay công trình đã biết về lịch sử hay khoa học luận để làm rõ đặc trưng của mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến, đặc biệt là vai trò, chức năng của mỗi đối tượng trong sự kết hợp này Kết quả của chương này là cơ sở tham chiếu cho phân tích mối quan hệ thể chế tiếp ngay sau đó

- Phân tích, tổng hợp một số kết quả chính trong luận văn của hai sinh viên Pháp là N Chaboud, D Hedde (2000) và phân tích chi tiết một SGK của Pháp nhằm mục tiêu làm tham chiếu cho phân tích CT

4 Tổ chức của luận văn

Luận văn gồm 5 phần : Phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận chung

- Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu, lợi ích của đề tài; mục đích và

phương pháp nghiên cứu; tổ chức của luận văn

- Chương 1 dành cho việc trình bày kết quả phân tích và tổng hợp các công trình nghiên cứu về

khoa học luận và lịch sử để làm rõ đặc trưng của mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến trong lịch sử hình thành và tiến triển của chúng

- Trong chương 2, chúng tôi phân tích CT và SGK Việt Nam để làm rõ mối quan hệ giữa hai đối

tượng nêu trên Nhưng trước đó, chúng tôi đã chọn phân tích một số tư liệu của thể chế dạy học của Pháp để làm tham chiếu cho việc phân tích SGK Việt Nam

- Chương 3 giới thiệu một thực nghiệm nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối

quan hệ cá nhân tương ứng của học sinh và kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu nêu trong mục 3

- Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt các kết quả đạt được ở chương 1, 2, 3 và nêu một số

hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn

Chương 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA MỐI QUAN HỆ GIỮA TIẾP

TUYẾN VÀ ĐẠO HÀM 1.1 Mục tiêu của chương

Mục đích chủ yếu của chương này là phân tích và tổng hợp một số công trình nghiên cứu lịch sử, khoa học luận về tiếp tuyến và đạo hàm để làm rõ các đặc trưng của mối liên hệ giữa hai khái niệm này

Cụ thể, dựa vào các công trình đánh số [1], [2], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20] (xem phần Tài liệu tham khảo) chúng tôi cố gắng tìm câu trả lời cho những câu hỏi sau đây:

Đối tượng đạo hàm và tiếp tuyến xuất hiện trong những tình huống nào của lịch sử toán học? Chúng quan hệ với nhau như thế nào? Đặc trưng cơ bản của mối quan hệ này? Mỗi đối tượng có vai trò

và chức năng gì trong mối quan hệ đó?

1.2 Đặc trưng khoa học luận của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm

1.2.1 Giai đoạn 1: Trước thế kỉ XVII

 Khái niệm tiếp tuyến

Trong [2], tác giả Vũ Đức đã rút ra một số đặc trưng khoa học luận sau đây của khái niệm tiếp tuyến trong giai đoạn này của lịch sử

- Khái niệm tiếp tuyến xuất hiện và được nghiên cứu trước hết trong phạm vi hình học sơ cấp với

các đặc trưng: tiếp tuyến là một đường thẳng có duy nhất một điểm chung và tiếp xúc với đường cong

Tiếp tuyến của đường tròn còn có thêm đặc trưng vuông góc với bán kính của đường tròn tại tiếp điểm

- Tiếp tuyến được định nghĩa hoàn toàn theo lối mô tả trực giác hình học và sử dụng một số thuật ngữ khá mơ hồ, không được giải thích như “chạm”, “đi qua phía bên kia”, “rơi” Các định nghĩa mô tả này không cho phép đưa ra một phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến

- Cách xác định tiếp tuyến luôn được trình bày thông qua dựng hình và phụ thuộc nhiều vào hình

vẽ và tính chất của đường cong

 Nhận xét về mối quan hệ của hai khái niệm

Trong giai đoạn này tiếp tuyến chỉ xuất hiện ở phạm vi hình học sơ cấp, bài toán xác định tiếp tuyến được giải quyết dựa vào dựng hình Khái niệm đạo hàm chưa xuất hiện (dù dưới dạng ngầm ẩn)

và do đó, chưa có mối liên hệ nào giữa hai khái niệm được thiết lập

1.2.2 Giai đoạn 2: Nửa đầu thế kỉ XVII

Trong thời điểm này, việc phát minh ra hình học giải tích đồng thời và độc lập bởi Descartes (1596-1650) và Fermat (1601-1665) đã ảnh hưởng mạnh mẽ đến sự phát triển của giải tích Nhiều phương pháp mới xác định tiếp tuyến ra đời tạo mầm mống cho sự hình thành phép tính vi phân

 Tiếp tuyến và đạo hàm trong phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

Fermat

Phần trình bày này dựa trên tài liệu [13] và [14]

Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất được biết đến từ năm 1629 qua các bức thư

của Fermat Nhưng đến năm 1642 tác phẩm “Phương pháp khảo sát các số lớn nhất và nhỏ nhất” mới

được xuất bản Trong tác phẩm này, Fermat đề xuất qui tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất qua bài toán sau:

Chia đường AC (hình 1.1) bởi điểm B sao cho vật thể, được xây dựng trên hình vuông AB và đường

BC là lớn nhất (*)

Fichtegôn giải thích phương pháp của Fermat như sau ([14, tr.355]):

Đặt đoạn AC đã cho là B, đoạn AB phải tìm là A

Đối với thể tích lớn nhất ta được biểu thức A2(B-A)

Sau khi thế A+E vào biểu thức trên thay cho A (Fermat dùng chữ E làm kí hiệu chuẩn cho số gia của lượng đang xét A).Ta cho cả hai biểu thức bằng nhau (trên thực tế là không bằng nhau):

(A+E)2(B-A-E) = A2(B-A) Giản ước các vế ta được:

2A(B –A) – A2 + E(B–A–E) –2AE = 0

Bỏ những số hạng còn chứa E, kết quả ta có:

2A(B–A) –A2 = 0 hay 2AB = 3A2

Biểu thức này, theo cách diễn đạt của Fermat, là đẳng thức “đúng”, trong khi đó các đẳng thức trên chỉ

là “tưởng tượng ra” hay “gần đúng” Từ đẳng thức cuối cùng ta xác định được A = 2

3B Nếu dùng các kí hiệu về hàm số, “qui tắc Fermat” dưới dạng tổng quát sẽ như sau:

Để tìm giá trị A, mà tại đó biểu thức f(A) có giá trị lớn nhất hay bé nhất, Fermat dựa vào nguyên

lý đã biết trước đó: tại thời điểm mà đại lượng đạt giá trị bé nhất hay lớn nhất, lượng đó hầu như dừng lại trong quá trình biến thiên

 Fermat viết các biểu thức “gần đúng”:

f (A+E) = f(A) hay f (A+E) - f(A) = 0 với E rất nhỏ

 Đơn giản những số hạng giống nhau ở hai vế, rồi chia cho E ta được: f (A E) f (A) 0

A

Rõ ràng, Fermat đã gặp khó khăn với phép lấy giới hạn và khái niệm vô cùng bé Tuy nhiên, trong phương pháp trên đã hiện diện tư tưởng của giới hạn và khái niệm đạo hàm:

E



= 0 hay f’(A) = 0) Theo ngôn ngữ hiện nay, phương pháp trên dựa trên tính chất:

« Hàm số f(x) có đạo hàm tại a và đạt cực đại hay cực tiểu tại điểm đó thì f’(a) =0 Về mặt hình học, tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đạt cực đại hay cực tiểu thì song song với trục hoành »

Tuy nhiên, trong phương pháp trên, Fermat cũng chưa biết rằng f’(a) = 0 chỉ là điều kiện cần chứ chưa phải là điểu kiện đủ để có cực trị

Còn lời giải có thể mô tả như sau:

Gọi V là thể tích của hình hộp chữ nhật nêu trên, x là độ dài đoạn AB và a là độ dài đoạn AC, ta có: V x a x2(  )  x3 ax2 và 2 2

Xác định tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M

hoành

NM’

M

Hình 1.2

Theo cách kí hiệu thông thường hiện nay, nếu kí hiệu đường cong (C) bằng công thức y = F(x) thì đẳng thức trên trở thành:



Cho E bằng 0, tìm được A

Nhận xét

Cách dựng tiếp tuyến của Fermat thể hiện một quan điểm rất khác về tiếp tuyến so với các quan

điểm trước đó Trong phương pháp trên, khi điểm M’ dần đến vị trí của M thì cát tuyến M’M dần đến

vị trí của tiếp tuyến MT Như vậy, Fermat đã xem tiếp tuyến của đường cong như là vị trí giới hạn của

cát tuyến

Có thể thấy cả hai bài toán trên của Fermat cùng thống nhất trong một phương pháp giải, trong đó

đã xuất hiện ngầm ẩn “khái niệm đạo hàm”.Tuy nhiên, ông không tiến xa hơn được vì khó khăn trong việc hiểu “giới hạn” và “vô cùng bé”

Tóm lại, quan niệm rất mới về tiếp tuyến như là “vị trí giới hạn của cát tuyến” đã dẫn tới một

phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến mặc dù phương pháp đó còn nhiều chỗ “bất hợp lí” như

đã phân tích ở trên Đạo hàm đã xuất hiện ngầm ẩn và đóng vai trò công cụ cho phép giải quyết bài toán xác định tiếp tuyến của đường cong. Mối liên hệ giữa đạo hàm ngầm ẩn và tiếp tuyến cũng được thiết lập:

« Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm »

(Phương pháp trên tương đương với cách viết hiện nay:A F(x)

F'(x)

 hay F’(x) =F(x)

 Phương pháp xác định tiếp tuyến của Roberval (1602-1675) và Torricelli (1608-1674)

Theo [14], một cách độc lập và gần như đồng thời, cả hai nhà bác học này đã đưa ra phương pháp tìm tiếp tuyến của đường cong bằng cách dùng “hình bình hành vận tốc” (những nghiên cứu của họ được công bố lần đầu tiên năm 1644)

Roberval quan niệm:

“Phương chuyển động của điểm vạch nên đường cong là tiếp tuyến của đường cong tại mỗi vị trí điểm của nó”

Cụ thể nếu đường cong biểu diễn được như là quĩ đạo chuyển động của điểm, chuyển động đó gồm hai chuyển động đơn giản hơn mà đối với chúng vận tốc (theo giá trị và hướng) được cho một cách trực tiếp, thì hướng của vận tốc của chuyển động hợp (và cùng với nó cả hướng của tiếp tuyến với

quĩ đạo) đựơc xác định theo “qui tắc hình bình hành”, như sau:

Giả sử tại thời điểm ban đầu chất điểm nằm ở O (hình 1.3) và

rơi tự do theo gia tốc g (có nghĩa là với vận tốc gt, t là thời gian) dọc

ngang với vận tốc u không đổi Khi đó, theo kí hiệu trong hình vẽ,

tại thời điểm t ta có :

x = 1 gt2

2 ; y = ut

Từ đó, sau khi khử t ta tìm được y2 2u2 x

g

của chất điểm nhận được là một parabol ( mà dựa theo cách chọn u có

thể đồng nhất với parabol tùy ý y2 2px) Tỉ số giữa vận tốc thẳng

Phương pháp của Roberval và Torricelli không đựơc xem là phương pháp tổng quát vì những khó

khăn trong việc xác định chuyển động thành phần Quan niệm về tiếp tuyến của Roberval theo quan

điểm động học có ý nghĩa về mặt lịch sử vì đề cập đến phương tức thời của chuyển động, là ý tưởng

liên quan đến giới hạn, đánh dấu sự phát triển của giải tích Cách làm này cho thấy ông đã thấy được

mối liên hệ mật thiết giữa vận tốc (đạo hàm của khoảng cách còn ngầm ẩn) với tiếp tuyến : Tỉ số giữa

vận tốc thẳng đứng và nằm ngang bằng 2x

y

Theo ngôn ngữ hiện nay thì mối liên hệ đó là : «hệ số góc của tiếp tuyến bằng dy

dx » (với Ox là trục hoành, Oy là trục tung)

 Phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow

Phần trình bày này dựa theo [19]

Phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow được trình bày trong « bài giảng về quang học và hình

học »

(1660-1670) Phương pháp này cũng tương tự như phương pháp của Fermat nhưng có những bước

hoàn thiện hơn và có thể diễn tả như sau :

Giả sử ta có đường cong s (hình 1.4) Đường thẳng

nằm ngang AP cắt đường cong tại A, đường thẳng

thẳng đứng PM cắt đường cong tại M

Giả sử MT là tiếp tuyến cần xác định của đường

cong tại M, cắt AP tại T

Xét cung MN vô cùng nhỏ là phần trùng nhau của

đường thẳng MT và đường cong s

M a

N c

Đặt MP = m; PT = t; MR = a; NR = e

Để xác định tiếp tuyến MT ta sẽ tính lượng PT = t

Vì M, N cùng nằm trên đường cong nên cùng nghiệm đúng tính chất đặc trưng của đường cong

đó Từ tính chất này, ta tìm mối liên hệ giữa các đại lượng a, e và m qua một đẳng thức I nào đó Trong

đẳng thức này, ta sẽ bỏ đi các số hạng có dạng lũy thừa của a và e (các số hạng này được xem như:có giá trị không đáng kể hay vô cùng bé trong phép tính)

Dựa vào định lý Thales ta có a e e t

m   t a m Thay vào I, ta sẽ tính được t

Như vậy tiếp tuyến MT hòan tòan được xác định

Theo Perrin, phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow dựa vào ý tưởng xem tiếp tuyến tại một điểm của đường cong như là đường thẳng trùng với một phần vô cùng nhỏ của đường cong tại điểm đó.

Phương pháp của ông, theo ngôn ngữ hiện đại, trong lân cận của tiếp điểm có thể “xấp xỉ” đường cong bởi tiếp tuyến tại điểm đó

Trong phương pháp trên, nguyên lí bỏ qua những số hạng vô cùng bé (a,e) có bậc cao hơn 1 được nêu ra: “bỏ đi các số hạng có dạng lũy thừa của a và e vì các số hạng này được xem như có giá trị không đáng kể hay vô cùng bé trong phép tính” (ở Fermat thì nguyên lí này chỉ có thể ngầm hiểu) Việc tìm hệ số góc của tiếp tuyến m

t được thay bằng tỉ số

a

e mà e, a là các vô cùng bé đã ngầm

ẩn khái niệm ”vi phân”

Theo cách làm hiện nay, nếu chọn A làm gốc tọa độ và trục hòanh là AP, trục tung là đường thẳng qua A và song song với PM thì a

echính là

dy

dx và

m

t chính là hệ số góc của tiếp tuyến

Như vậy, mối quan hệ giữa tiếp tuyến và vi phân (còn ngầm ẩn) đã được thiết lập: “Hệ số góc của tiếp tuyến bằng tỉ số hai vi phândy

dx”

Tuy nhiên, cũng như Fermat, phương pháp của Barrow cũng chưa có cơ sở lí thuyết rõ ràng

 Những đặc trưng khoa học luận cơ bản của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong giai

đoạn này có thể tóm lược như sau :

- Quan niệm rất mới về tiếp tuyến : “vị trí giới hạn của cát tuyến” và “đường thẳng trùng với phần

vô cùng nhỏ của đường cong tại tiếp điểm” đã dẫn đến phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến Tiếp tuyến bắt đầu xuất hiện trong phạm vi giải tích và mở đường cho việc hình thành các ý tưởng liên

quan đến đạo hàm và vi phân Đạo hàm và vi phân xuất hiện như công cụ ngầm ẩn để giải bài toán xác định tiếp tuyến Việc xuất hiện đạo hàm và vi phân trong tư tưởng xấp xỉ

- Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, tiếp tuyến và vi phân cũng xuất hiện ngầm ẩn:

«Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm »

«Hệ số góc của tiếp tuyến bằng tỉ số của hai vi phân dy

dx »

Nói cách khác, nhờ việc tìm lời giải cho bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong mà nhiều nhà toán học trong giai đoạn này đã tiến đến hiểu biết rất gần với khái niệm đạo hàm, vi phân Tuy nhiên, việc giải các bài toán tiếp tuyến chưa có cơ sở rõ ràng và được giải quyết vẫn dựa vào hình vẽ

1.2.3.Giai đoạn 3: Nửa cuối thế kỉ XVII đến cuối thế kỉ XVIII

Phân tích trong phần này dựa vào [14], [15] và

Sự phát triển của giải tích được tạo ra bởi Newton(1642-1727) và Leibniz (1646-1716) - cả hai hoạt động độc lập với nhau từ những năm 1660- do việc phát minh ra phép tính vi tích phân

1.2.3.1.Tiếp tuyến và đạo hàm trong phương pháp làm chảy (fluxi) của Newton

Phương pháp làm chảy của Newton được trình bày chi tiết trong “Phương pháp fluxi và các chuỗi vô hạn(1736)”

 Khái niệm về đạo hàm, vi phân ([14], [15])

Newton xem một đường được sinh ra bởi chuyển động liên tục của một điểm và đưa ra một số

khái niệm mới

Các lượng biến thiên Newton gọi là “thông lượng” (“tức là các lượng chạy”) (fluente) và kí hiệu

bằng các chữ cuối cùng của bảng chữ cái Latinh: u, x, y, z ; chúng được khảo sát như những lượng tăng (giảm) theo thời gian

Những vận tốc, mà theo đó chúng tăng, được gọi là “những đạo hàm” (fluxion) của chúng và

cũng được kí hiệu bằng những chữ đó, nhưng thêm dấu chấm u, x, y,z   

Thực ra, Newton chú ý rằng ở đây thời gian được hiểu không phải theo đúng nghĩa đen của nó,

“thời gian” có thể được hiểu là lượng bất kỳ chẳng hạn x, tăng một cách đều cùng với thời gian thực sự chẳng hạn sao cho x =1 Nhưng cần nhớ rằng mọi thông lượng đều phụ thuộc vào “thời gian” này, tức

là vào cùng một biến độc lập phổ dụng

“Vi phân” cũng được Newton đưa vào với tên gọi là moment của đại lượng chảy Moment của đại

lượng chảy x, kí hiệu là x0 , mà lượng x sẽ tăng (hay giảm) trong khoảng thời gian vô cùng bé 0

Về sau Newton đã đưa vào đạo hàm của đạo hàm, tức là đạo hàm thứ hai: u, x, y,z    , và cả những đạo hàm cấp cao

 Phép lấy đạo hàm của Newton ( [14, tr.360])

Bài toán cơ bản thứ nhất của Newton gắn liền với phép tính vi phân: “Theo hệ thức đã cho giữa các thông lượng hãy xác định hệ thức giữa các đạo hàm”

Newton chỉ giải quyết trực tiếp đối với các phương trình đại số Để ví dụ, ông lấy phương trình: x3 –

ax2 + axy – y3 =0 Cách làm như sau:

 Trong phương trình trên thay x bằng x + x0 , thay y bằng y + y0

 Đơn giản hệ thức trên và chia từng số hạng cho 0

 Cuối cùng bỏ qua những số hạng mà vẫn còn chứa 0 thì ta được:

3x2x – 2ax x + ay x + ax y – 3y2y =0

Newton giải thích việc bỏ qua các số hạng chứa 0 : “vì ta đã giả thiết 0 là lượng vô cùng bé,… cho nên những số hạng, mà được nhân với nó, có thể xem như không đáng kể so với các đại lượng khác”

Theo Fichtegôn, nguyên lí mà Newton phát biểu và cách làm không phải là mới nhưng cái thực sự

mới ở đây là: “kết quả được khẳng định đối với các thông lượng bất kì, không phải từng bài toán cá biệt”

 Phương pháp tìm tiếp tuyến của Newton( [14, tr.361])

Newton đã áp dụng cách tính các đạo hàm cho một số bài toán quan trọng trong đó có bài toán:

“Dựng tiếp tuyến với đường cong”

Ở đây chúng tôi trình bày tóm tắt cách giải quyết bài toán tiếp tuyến của Newton :

Trong trường hợp cơ bản, khi cho trực tiếp phương trình giữa các tọa độ Descartes x, y của điểm biến thiên của đường cong, Newton lý luận như Barrow (đã trình bày ở phần tiếp tuyến), chỉ khác là các số gia (giảm) vô cùng bé e và a ông đã thay bằng các mốc x0 , y0

Do đó ( nếu giữ nguyên kí hiệu ở hình 1.4 thì : PM : TP = y : x

Còn tỉ số giữa các đạo hàm được xác định từ phương trình của đường cong theo qui tắc trên

Ngày nay, điều đó có nghĩa là: “hệ số góc của tiếp tuyến bằng y : x ”

Như vậy, từ vận tốc Newton đã đưa vào khái niệm đạo hàm rồi dùng khái niệm này giải quyết bài toán tiếp tuyến

 Tiếp tuyến và đạo hàm trong phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình ( [17,

Thay 2 + p bởi y vào phương trình cho sẵn, chúng ta sẽ có: p 3 + 6p 2 + 10p – 1 = 0;

Bỏ đi p 3 + 6p 2 rất nhỏ ta được 10p – 1 = 0, hay p = 0,1, cái này là một giá trị rất gần với giá trị đúng của p;

Vì thế việc viết dưới dạng 0,1 + q = p và cũng làm như trên, ta có :

q 3 + 6,3q 2 + 11,23q + 0,061 = 0, bỏ đi hai lựơng đầu tiên không đáng kể, còn lại :

11,23q + 0,061 = 0, hay q = - 0,0054 tốt hơn là ta đạt được trước đây, và ta tiếp tục quá trình này đến khi ưng ý

………

Nhận xét :

Ta có thể mô tả bài toán và lời giải theo quan điểm hiện nay như sau :

Cho hàm số f(x) = x3– 2x– 5 có đồ thị là (C)

Đồ thị này cắt trục hoành tại điểm khá gần với 2

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là: x3– 2x– 5 = 0 (1)

Đặt x = 2 + p thì (1) trở thành p3 + 6 p2 + 10p – 1 = 0 và f’(2) =10

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x = 2 là ∆: y = 10(x-2) – 1

Phương trình hoành độ giao điểm của ∆ và trục hoành là:

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x = 2,1 là (∆’): y = 11,23(x-2,1) + 0,061

Phương trình hoành độ giao điểm của ∆’ và trục hoành là: 11,23(x-2,1) + 0,061 = 0 hay 11,23q+ 0,061

= 0 hay q = - 0,0054

Vậy ta có nghiệm gần đúng là x2 = 2,1+ q = 2,0964

Và cứ tiếp tục đến khi ưng ý……

Ở đây, theo cách của Newton, ông đã bỏ đi lượng không đáng kể p3 + 6p2 (dựa nguyên lí:” bỏ qua những số hạng vô cùng bé có bậc cao hơn 1”) để

f(2+p) 10p – 1 hay f(2+p) f(2) + f’(2)p

Trong đó, f(2)+f’(2)p là một hàm affine và cũng chính là tiếp tuyến của hàm số y= f(x) tại x = 2

Như vậy, theo quan điểm hiện nay, có thể tóm tắt phương pháp của Newton theo như sau :

Xét phương trình f(x) =0 và x0 là một nghiệm gần đúng của phương trình

Nếu f là một hàm số có đạo hàm trên khỏang I, đường cong của nó là (C) có một tiếp tuyến tại mỗi điểm M0(x0; f(x0)) Bắt đầu ở điểm M0(x0 ; f(x0)

- Dựng tiếp tuyến T0 của đường cong (C) tại điểm M0 và tìm hoành độ giao điểm của T0 và trục hoành ta được nghiệm gần đúng x1

- Dựng tiếp tuyến T1 của đường cong (C) tại điểm M1(x1,f(x1)) và tìm hoành giao điểm của T1 và trục hoành ta được nghiệm gần đúng x2

- và cứ tiếp tục như thế…ta xây dựng được dãy (xn ) các nghiệm gần đúng của phương trình

Trong phương pháp giải này ngầm ẩn mối quan hệ giữa đạo hàm và xấp xỉ affine: “hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì có thể xấp xỉ f(x) bằng một hàm affine và đó chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hòanh độ là a”

1.2.3.2 Từ tiếp tuyến đến phương pháp vi phân của Leibniz

Phân tích trong phần này dựa vào [14] và [13]

Cùng với Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) được xem như người khai sinh ra phép tính vi phân và giải tích vô cùng bé Nếu như Newton từ vận tốc, đưa vào khái niệm đạo hàm rồi dùng khái niệm này giải quyết bài toán tiếp tuyến thì Leibnitz xây

dựng khái niệm tiếp tuyến và tìm tiếp tuyến bằng các “vi phân”

Kể từ năm 1673, việc nghiên cứu các vấn đề tổ hợp đã đưa ông tới các vấn đề vi phân của toán học Tuy nhiên, các nguyên tắc của phép tính vi phân chỉ công bố năm 1684 trong hồi kí đầu tiên của ông “

Phương pháp mới về các số lớn nhất và bé nhất, cùng y những tiếp

tuyến, mà các đại lượng phân số, vô tỉ không phải là trở ngại cho phương pháp đó” được xuất bản Leibniz viết:

“Giả sử YY là đường cong tùy ý (hình 1.5) Y là điểm biến thiên trên đó với hoành độ AX = x và tung độ YX = y, Leibniz kí hiệu dx đơn giản là đoạn thẳng được lấy tùy ý Nếu YD là tiếp tuyến của đường cong tại điểm Y, thì đoạn thẳng mà tỉ lệ với dx cũng như là tung độ y tỉ lệ với XD (tiếp ảnh) được gọi là dy”

Như vậy, vi phân của hàm số- dy- được xác định bởi đẳng thức: dy y

dx  XD Sau đó, Leibniz đã đưa ra các qui tắc tính toán liên quan đến việc lấy vi phân của hằng số, hiệu, tích, thương, căn số Từ phương trình của đường cong, bằng các qui tắc đó, Leibniz xác định được tỉ số

Về bản chất thì các phương pháp của Newton và Leibniz là tổng hợp các phương pháp của Fermat

và Barrow, nhưng chặt chẽ hơn và có hệ thống hơn vì có cơ sở lý thuyết là các khái niệm vi phân và đạo hàm Việc trình bày các qui tắc tính vi phân và đạo hàm đã giúp cho việc xác định tiếp tuyến của đường cong trở nên dễ dàng hơn rất nhiều Đến đây, bài toán xác định tiếp tuyến của đường cong tổng quát xem như được giải quyết

Tuy nhiên, cả Newton và Leibniz đều chưa xây dựng được cơ sở vững chắc cho các phép tính của mình vì cả hai chưa làm rõ được những cơ sở cho việc bỏ qua các đại lượng vô cùng bé và các vấn đề liên quan đến giới hạn

Tóm tắt những đặc trưng khoa học luận của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong giai đoạn này:

- Việc tìm kiếm phương pháp tổng quát xác định tiếp tuyến của đường cong dẫn đến sự nảy sinh khái niệm đạo hàm và vi phân Bên cạnh đó khái niệm đạo hàm cũng sớm được xuất hiện như là công

cụ cho việc tìm vận tốc tức thời trong chuyển động cơ học Sau đó, đạo hàm và vi phân đóng vai trò công cụ tường minh cho việc xác định tiếp tuyến của đường cong

- Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và vi phân, tiếp tuyến và đạo hàm đã xuất hiện tường minh

dưới dạng: “hệ số góc của tiếp tuyến là tỉ số của y

- Vấn đề liên quan đến tiếp tuyến và đạo hàm cũng đã dẫn đến việc hình thành tư tưởng xấp

xỉ Khái niệm xấp xỉ affine xuất hiện ngầm ẩn trong việc tìm nghiệm gần đúng của phương trình bậc 3

của Newton và trong cách tìm tiếp tuyến của Barrow, Newton :“đường cong xấp xỉ với tiếp tuyến trong lân cận tiếp điểm ” Mối liên hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine cũng được thiết lập: “hàm số

f(x) có đạo hàm tại a thì có thể xấp xỉ f(x) bằng một hàm affine và đó chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hòanh độ là a”

1.2.4 Giai đoạn 4: Từ đầu thế kỉ XIXđến nay

Ở thế kỉ XVIII, một số nhà toán học đã cho định nghĩa tổng quát về giới hạn Sau đó, từ khái niệm giới hạn, các nhà toán học ở thế kỉ XIX – đặc biệt là Cauchy (1789- 1857) mới lập nên nền tảng thực sự cho việc xây dựng tiếp theo của toàn bộ giải tích toán học, cho phép tính vi tích phân nói riêng Tuy nhiên, trong nền tảng này vẫn còn có lỗ hổng- vẫn chưa có đủ cơ sở chặt chẽ cho chính khái niệm

số thực và việc chứng minh tính liên tục của phạm vi các số thực Việc khắc phục khiếm khuyết này được thực hiện trong suốt thế kỉ XIX

Thuật ngữ “Đạo hàm” do Lagrange đưa ra vào cuối thế kỉ XVIII và đầu thế kỉ XIX Cauchy là người đầu tiên đưa ra định nghĩa đạo hàm theo lí thuyết cổ điển của giới hạn và ông cũng đưa vào định nghĩa vi phân dựa trên khái niệm đạo hàm

Định nghĩa đạo hàm của hàm một biến (từ điển toán học [9] ) :

Cho hàm số f xác định trên khoảng (a,b) Đạo hàm của hàm f tại điểm x 0  (a,b) là giới hạn, nếu có, của tỉ số 



0 0

f(x) f(x )

x x khi x dần tới x 0 ( x (a,b), x ≠ x 0 )

Đạo hàm tại x 0 được kí hiệu là f’(x 0 ) (kí hiệu Newton) hay df ( )x0

dx (kí hiệu của Leibniz)

Còn định nghĩa tiếp tuyến, cho trong từ điển toán học năm 1993 của nhà xuất bản Mir Moscou như sau :

Cho f là một hàm số xác định trong lân cận U(x 0 ) của điểm x 0 và liên tục tại x 0 Cho M(x 0 ,f(x 0 )), M(x,f(x)) trong đó x U(x 0 ) Tiếp tuyến tại điểm M của đường cong biểu diễn cho hàm số f là vị trí giới hạn của cát tuyến M 0 M khi x tiến về x 0 , hay nói cách khác là khi MM 0

Nếu f khả vi tại x 0 thì tiếp tuyến có phương trình là : y – f(x 0 ) = f’(x 0 ) (x – x 0 ) ( hệ số góc của tiếp tuyến bằng f’(x 0 ))

Nhận xét:

Trong giai đoạn này, phép tính vi phân đã có cơ sở lí thuyết chặt chẽ Đạo hàm đóng vai trò công

cụ tường minh trong việc tìm lời giải bài toán xác định tiếp tuyến

Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm xuất hiện tường minh Đặc trưng của mối quan hệ này là: “hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm”

Ngoài ra, từ công thức f’(x0) =

x x suy ra được f(x) f’(x0)(x-x0) + f(x0), trong đó y =

f’(x0)(x-x0) + f(x0) chính là phương trình tiếp tuyến của đường cong có phương trình y = f(x) tại điểm

có hoành độ là x0 Như vậy, mối liên hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine cũng được thiết lập tường minh: “hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì có thể xấp xỉ f(x) bằng một hàm affine và đó chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hòanh độ là a”

1.3 Kết luận

Khái niệm tiếp tuyến xuất hiện trước và rất lâu trong lịch sử rồi mới đến khái niệm đạo hàm và

vi phân Nhu cầu tìm kiếm phương pháp tổng quát xác định tiếp tuyến của đường cong (mà qua đó khái niệm tiếp tuyến được ngầm định nghĩa) là động lực thúc đẩy cho việc hoàn thiện khái niệm tiếp tuyến và đồng thời là một trong các nhân tố dẫn đến sự nảy sinh khái niệm đạo hàm và vi phân Bên cạnh đó khái niệm đạo hàm cũng sớm xuất hiện như là công cụ cho việc tìm vận tốc tức thời trong chuyển động cơ học Khi khái niệm đạo hàm hình thành và hoàn thiện thì lại tác động ngược lại để giải quyết các bài toán tiếp tuyến một cách triệt để Trong mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm

cũng có sự hình thành của khái niệm xấp xỉ affine : ”xấp xỉ hàm số bằng hàm affine, về mặt hình học

là xấp xỉ đường cong bởi tiếp tuyến trong lân cận tiếp điểm”

1.3.1 Tóm tắt tiến triển của mối liên hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến

 Giai đoạn 1: Trước thế kỉ XVII

Trong giai đoạn này, các quan niệm về tiếp tuyến được mô tả bằng trực giác hình học rất mơ hồ nên chỉ cho phép nghiên cứu tiếp tuyến ở một số hình hình học đơn giản Tư tưởng về đạo hàm chưa xuất hiện do đó không có mối liên hệ nào giữa tiếp tuyến và đạo hàm

 Giai đoạn 2: nửa đầu thế kỉ XVII (giai đoạn ngầm ẩn mối liên hệ)

- Việc phát minh ra hình học giải tích được tạo ra bởi Descarte và Fermat đã dẫn đến sự phát triển vượt bậc của toán học Tiếp tuyến đã chuyển vào phạm vi hình học giải tích và bước đầu tiến vào lĩnh vực giải tích nhờ các quan niệm rất mới của một số nhà toán học tiên phong Các quan niệm về tiếp tuyến trong giai đoạn này:

+ Quan niệm của Fermat (QNF) : Tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến

+ Quan niệm của Torricelli và Roberval (QNT) : Phương tức thời của chuyển động (quan điểm

- Những tư tưởng đầu tiên về đạo hàm xuất hiện trong bài toán tìm GTLN, GTNN và tìm tiếp tuyến

của đường cong bởi nhà toán học Pháp Pierre de Fermat Trong giai đoạn này, thuật ngữ “đạo hàm”

xuất hiện đầu tiên trong vật lí bởi Torricelli và Barrow: “Đạo hàm của khoảng cách là vận tốc” Tuy

nhiên, đạo hàm không được nghiên cứu sâu hơn trong toán học Đạo hàm xuất hiện trong toán học chỉ

như một công cụ ngầm ẩn trong các bài toán xác định tiếp tuyến của đường cong Nó lấy cơ chế của

một khái niệm protomathématique (không tên, không định nghĩa)

- Khái niệm xấp xỉ affine cũng xuất hiện ngầm ẩn trong quan niệm về tiếp tuyến của Barrow: ”tiếp tuyến gần trùng với đường cong trong lân cận tiếp điểm” Tư tưởng xấp xỉ gắn liền với việc hình thành khái niệm tiếp tuyến và cũng tạo điều kiện cho việc hình thành phép tính vi phân

- Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm và xấp xỉ affine

Tiếp tuyến dẫn đến việc hình thành các ý tưởng của phép tính đạo hàm và vi phân Trong giai đoạn này,

đạo hàm và vi phân đóng vai trò công cụ ngầm ẩn cho việc giải bài toán tiếp tuyến Đặc trưng của mối

quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm và xấp xỉ affine:

“Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm”

“Tiếp tuyến xấp xỉ với đường cong trong lân cận tiếp điểm”

 Giai đoạn 3: Từ nửa sau thế kỉ XVII đến cuối thế kỉ XVIII

Trong giai đoạn này, đạo hàm và vi phân nảy sinh và phát triển nhờ công lao to lớn của hai nhà toán học Newton và Leibnit Nhờ đó bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong cũng được giải quyết triệt để

- Quan niệm về tiếp tuyến: Cả Newton và Leibnit đều có quan niệm về tiếp tuyến giống với Fermat và Barrow

- Quan niệm về đạo hàm:

+ Newton cho định nghĩa đạo hàm (fluxion) trong vật lí : Đạo hàm là vận tốc của lượng chạy

+ Leibnit hiểu về đạo hàm: Đạo hàm được hiểu là tỉ số của các vi phândy

dx

Trong giai đoạn này, đạo hàm và vi phân vẫn lấy cơ chế công cụ và đã bắt đầu là đối tượng nghiên cứu Nói cách khác, đạo hàm lấy cơ chế của một khái niệm paramathématique

- Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm:

Việc xác định tiếp tuyến dẫn đến sự xuất hiện khái niệm vi phân Đạo hàm và vi phân được dùng như

công cụ tường minh để giải bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong Đặc trưng của mối liên hệ:

“Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm”

“Hệ số góc của tiếp tuyến bằng tỉ số hai vi phân dy

 Giai đoạn 4: Từ cuối thế kỉ XIX đến nay

- Quan niệm về tiếp tuyến

Tiếp tuyến của đường cong vẫn dựa trên quan điểm về tiếp tuyến giống Fermat và Barrow

- Quan niệm về đạo hàm

Giới hạn của tỉ số số gia của hàm số và đối số

Đến đây, đạo hàm lấy cơ chế của một khái niệm toán học Đạo hàm vẫn tiếp tục là công cụ hữu hiệu để giải bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong Ngòai ra, đạo hàm còn dùng như là công cụ để định nghĩa khái niệm tiếp tuyến

- Đặc trưng của sự kết hợp giữa tiếp tuyến và đạo hàm:

“Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm”

1.3.2 Tóm tắt tiến trình xuất hiện các khái niệm và quan hệ giữa chúng

 Giai đoạn ngầm ẩn (đầu thế kỉ XVII)

Sơ đồ 1.1 Tiến trình xuất hiện tiếp tuyến và đạo hàm đầu thế kỉ XVII

 Giai đoạn tường minh (nửa cuối thế kỉ XVII đến thế kỉ XVIII)

Sơ đồ 1.2 Tiến trình xuất hiện tiếp tuyến và đạo hàm nửa cuối thế kỉ XVII đến thế kỉ XVIII

 Giai đoạn thế kỉ XIX :

Chương 2: MỐI QUAN HỆ GIỮA KHÁI NIỆM TIẾP TUYẾN VÀ ĐẠO HÀM Ở

CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY

Mục đích và phương pháp phân tích

- Đặt cơ sở trên kết quả phân tích ở chương 1, chương này có mục tiêu nghiên cứu mối quan

hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm ở cấp độ tri thức cần giảng dạy trong thể chế dạy học toán ở Việt Nam

Cụ thể hơn, chúng tôi đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau:

+ Khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm kết hợp với nhau trong những tình huống nào? Đặc trưng của

mối quan hệ này? Trong các tình huống đó, mỗi khái niệm lấy nghĩa gì?

+ Vai trò của khái niệm tiếp tuyến đối với khái niệm đạo hàm và ngược lại?

+ Có những ràng buộc nào của thể chế lên mối quan hệ giữa hai khái niệm này? Hệ quả của nó?

- Ở thời điểm chúng tôi tiến hành nghiên cứu, SGK Việt Nam gồm 3 bộ sau :

+ Sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000

+ Sách giáo khoa thí điểm bộ 1 gồm hai ban: ban KHTN và ban KHXH

+ Sách giáo khoa thí điểm bộ 2 gồm hai ban: ban KHTN và ban KHXH

Để nghiên cứu, chúng tôi chọn chương trình và SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000 (đang được sử dụng đại trà) kết hợp với việc so sánh, đối chiếu với SGK thí điểm bộ 2 Trong bộ sách thí điểm này, sự khác nhau giữa hai ban không nhiều nên chúng tôi chọn ban KHTN để phân tích

Ngoài ra, để thấy rõ hơn mối quan hệ giữa khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm trong SGK Việt Nam, chúng tôi chọn phân tích một số SGK của thể chế dạy học ở Pháp

Phần phân tích sau dựa vào các tài liệu đánh số từ [2] đến [12] và [18] (xem Tài liệu tham khảo)

Phần A

Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong SGK Pháp

Theo phân tích ở chương 1, khái niệm tiếp tuyến xuất hiện trước trong phạm vi hình học sơ cấp (HHSC) thông qua khái niệm tiếp tuyến với đường tròn, sau đó mới xuất hiện trong giải tích và mở đường cho việc hình thành khái niệm đạo hàm và vi phân

Phân tích chương trình và SGK của Pháp cũng cho thấy tiếp tuyến xuất hiện đầu tiên trong phạm

vi HHSC Sau đó, khái niệm tiếp tuyến với đường cong tổng quát đuợc đưa vào cùng với khái niệm đạo hàm Sau đây chúng tôi sẽ phân tích theo 2 giai đoạn :

2.1 Tiếp tuyến trong phạm vi HHSC

Chúng tôi dựa vào kết quả trong [2]

Khái niệm tiếp tuyến với đường tròn được đưa vào ở lớp 10 với các đặc trưng: là đường thẳng có

”một điểm chung”,” tiếp xúc”,”vuông góc với bán kính qua tiếp điểm” Việc xác định tiếp tuyến chủ yếu dựa vào phương pháp dựng hình và phương pháp vectơ tọa độ

2.2 Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong phạm vi giải tích

2.2.1 Những đặc trưng chủ yếu của tiến trình đưa vào khái niệm đạo hàm và tiếp tuyến

a) Trong khóa luận tốt nghiệp (mémoire professionnel) của mình, hai sinh viên Pháp N.Chaboud và

D Hedde đã làm rõ bốn tiến trình đưa vào khái niệm đạo hàm thể hiện trong một số SGK thuộc các ban khác nhau ở Pháp (từ năm 1993 đến năm 1999)

Bảng dưới đây tổng hợp những đặc trưng chính của khái niệm đạo hàm và mối quan hệ của nó với khái niệm tiếp tuyến trong các tiến trình này[25, tr.3]

Bảng 2.1: Những điểm chính của mỗi tiến trình đưa vào khái niệm tiếp tuyến, đạo hàm

- ”Số đạo hàm” chính là đạo hàm của hàm số tại một điểm

- Nghiên cứu địa phương một hàm số là nghiên cứu hàm số đó trong một lân cận khá bé của một điểm nào đó Nghiên cứu tổng thể một hàm số là nghiên cứu nó trong một khoảng xác định

b) Nhận xét

Tiến trình 1 Tiến trình 2 Tiến trình 3 Tiến trình 4

Tiếp tuyến (khái niệm trực giác)

Chuyển từ tổng thể tới địa phương

Xấp xỉ affine là cơ sở của phần lí thuyết (cours)

Xấp xỉ affine được xếp vào một công đoạn sau khi nghiên cứu về giới hạn

- Trong các tiến trình ở trên thì khái niệm tiếp tuyến có thể xuất hiện trước hay sau khi đưa vào khái

niệm số đạo hàm :

Trong tiến trình 1, nó được đưa vào một cách trực giác trước khái niệm số đạo hàm

Trong các tiến trình 2, 3, 4 tiếp tuyến luôn được định nghĩa sau số đạo hàm

Như vậy, tiếp tuyến có khi là phương tiện và động cơ để đưa đến khái niệm đạo hàm, có khi nó lại được định nghĩa nhờ vào khái niệm đạo hàm

- Trừ tiến trình 1, xấp xỉ affine luôn được đề cập (có khi đóng vai trò quan trọng, có khi đóng vai trò

bổ sung) trong các tiến trình đưa vào khái niệm đạo hàm

2.2.2 Phân tích bộ SGK Déclic Maths - Hachette livre 2002

Để làm sáng tỏ và bổ sung thêm những gì trình bày ở trên chúng tôi chọn phân tích một bộ SGK của Pháp Cụ thể ở đây chúng tôi chọn một bộ SGK hiện hành của Pháp là “Déclic Maths - Hachette livre 2002”

Để thuận tiện cho phân tích, chúng tôi trình bày dưới đây cấu trúc của mỗi chương trong bộ SGK này

Cấu trúc của chương

Mỗi chương của bộ sách này gồm 6 phần sau:

 Hoạt động (Activités)

Những hoạt động được đưa vào đa dạng nhằm đề cập đến :

- Một khía cạnh văn hóa

- Nhắc lại những khái niệm cần thiết hay những kĩ thuật cơ bản

- Tiếp cận các khái niệm sẽ được đề cập trong chương

 Lí thuyết (cours)

Trình bày những kiến thức lí thuyết mới (định nghĩa, định lí, ví dụ, phương pháp )

 Bài tập giải sẵn (Exercises résolus)

Bài tập có trình bày sẵn lời giải và phương pháp để giải chúng được tổng kết ở bảng « kĩ năng » (savoir-faire) cuối mục này

 Bài tập có hướng dẫn (Travaux dirigés)

Bao gồm những bài tập mẫu có hướng dẫn giải

 Tổng hợp (Synthèse)

Điểm lại những điểm cần nhớ và những kĩ năng cần thiết

 Bài tập tự giải (Exercises)

Bài tập được đưa vào theo thứ tự giống tiến trình của cours

2.2.2.1 Phân tích SGK Déclic Maths - Premierè S (P 1 )

Khái niệm đạo hàm được đề cập lần đầu tiên trong chương III “Số đạo hàm” của “Déclic Maths -

Premierè S”

a) Phần hoạt động (activité)

Phần này đưa vào nhiều hoạt động để đem lại nghĩa cho khái niệm đạo hàm Chúng tôi chỉ quan tâm đến các tình huống có mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm hoặc mối liên hệ tiếp tuyến, đạo hàm và xấp xỉ affine

 Quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine

Ta xét một tình huống trong hoạt động 4 chương III [P1, tr.74] :

“Đường thẳng hay đường cong”

Cho hàm f xác định trên R bởi công thức f(x) = x2 – 3x

1) Vẽ parabol (P) có phương trình y = f(x) bằng MTBT, sau đó thực hiện việc phóng

to (Zoom in) tập trung tại điểm A (2;-2) của (P), để đạt được hình vẽ như dưới đây

Đường cong (P) có khuynh hướng thành đường thẳng D đi qua điểm A và có hệ số

góc là 1

2) a) Chứng minh rằng đường thẳng D có phương trình y = (x – 2) – 2

b) Biểu diễn đừơng thẳng D lên màn hình của MTBT

c) Quay trở lại màn hình ban đầu (Zoom out) Đường thẳng D có vị trí nào?

3) Xác định hàm  sao cho f(2+h) = f(2) + h + h(h) và chứng minh rằng

h 0

lim (h)

  = 0

 Lời giải dự kiến:

2) a) Đường thẳng D đi qua điểm A (2; -2) và có hệ số góc k = 1 có phương trình là:

Với sự hỗ trợ của MTBT, tình huống này đã mang lại hình ảnh rất trực quan về mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine

Trước hết, việc phóng to đường cong trong lân cận của điểm A(2; -2) (“zoom in” tại điểm A) cho

hình ảnh: “Đường cong (P) có khuynh hướng thành đường thẳng D” Điều đó có thể diễn tả là: Nếu xét một đường cong trong trong lân cận điểm A thì nó gần như là một đường thẳng

Sau đó, ở câu 2, đường thẳng D ở trên được xác định bằng phương trình và được vẽ cụ thể trên hệ

trục toạ độ Việc vẽ đồ thị của D và đường cong trên cùng hệ trục tọa độ và câu hỏi “đường thẳng D có

vị trí nào?” dường như thể hiện mong đợi của thể chế: thể hiện ngầm ẩn đặc trưng “tiếp xúc” và có

“một điểm chung” của đường thẳng D với đường cong Đặc trưng “có một điểm chung” không chỉ dựa

vào trực giác mà còn có thể chứng minh được

Các đặc trưng trên tương tự như đặc trưng của tiếp tuyến với đường tròn Tuy nhiên, ở đây, cách

mô tả đường thẳng D rất khác: D gần trùng với phần đường cong trong lân cận điểm A

Tình huống này ngầm đem đến cho tiếp tuyến một nghĩa mới “tiếp tuyến là đường thẳng xấp xỉ

với đường cong trong lân cận tiếp điểm” và tạo ra được sự nối khớp giữa khái niệm tiếp tuyến ở lớp

10 với khái niệm tiếp tuyến sắp đề cập trong phần lí thuyết sau đó

Cuối cùng, ở câu 3, việc tính gần đúng giá trị của hàm số f(x) tại điểm x gần với 2 ( x = 2 +

Như vậy, trong tình huống này, ngoài việc đem lại cho tiếp tuyến một nghĩa mới theo quan điểm địa

phương thì “khái niệm xấp xỉ affine” và mối liên hệ của nó với tiếp tuyến đã xuất hiện ngầm ẩn: Trong

lân cận của điểm A, xấp xỉ hàm số y = f(x) bằng một hàm affine, về mặt hình học là xấp xỉ đồ thị của hàm f(x) bằng tiếp tuyến của nó

 Quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm

Tình huống liên quan đến tiếp tuyến và đạo hàm xuất hiện lần đầu tiên trong hoạt động 5 chương III [P1, tr.75]:

Vị trí giới hạn của cát tuyến

Hàm f xác định trên R được cho bởi công thức:

f(x) = - x2 + 4 và (P) là đừơng cong của nó trong hệ trục tọa độ trực chuẩn

Chúng ta sẽ xác định hệ số góc của cát tuyến của (P) đi qua điểm A có tọa độ (1;3)

1) Xác định hệ số góc của đừơng thẳng (AB) và (AC)

2) h là số thực khác không và M là một điểm trên parabol (P) có hoành độ 1+h

a) Tính hệ số góc m của đường thẳng (AM) với mỗi giá trị 0,5 và -0,1 của h

b) Dùng GEOPLANW

Vẽ một parabole (P), những điểm A và M, và cho hiển thị hệ số góc m của đường thẳng

(AM)

c) Dịch chuyển điểm M trên P, dự đoán vị trí của cát tuyến (AM) khi điểm M tiến dần

đến điểm A trên parabol P

3) a) Cho h ≠ 0, chứng minh rằng

f (1 h) f (1)

2 hh

  

b) Khi điểm M tiến gần điểm A, h tiến dần về 0

Hệ số góc của cát tuyến (AM) sẽ tiến đến giá trị

nào? Minh họa bằng đồ thị kết quả trên

Về mặt hình học, khi điểm M tiến gần đến điểm A

của (C) có hoành độ là a, cát tuyến (AM) quay

quanh điểm A

 Lời giải dự kiến:

1) Hệ số góc của (AB) và (AC) là: -1 và -3

2) a) Đường thẳng (AM) đi qua điểm A(1;3) và M(1+h; f(1+h)) nên có hệ số góc là: m =

b) và c ) Khi M tiến đến gần A trên (P) thì (AM) có hình ảnh như sau:

Dự đóan: (AM) cắt (P) tại một điểm và “tiếp xúc” với (P) khi M tiến đến gần A

Việc dịch chuyển điểm M trên (P) ở câu 2c nhằm mục đích gì?

Theo chúng tôi, nó cho hình ảnh trực giác: khi điểm M dần đến điểm A trên (P), đường thẳng AM tiến dần đến vị trí của đường thẳng D

Sau đó, yêu cầu: “dự đoán vị trí của cát tuyến (AM) khi điểm M tiến dần đến điểm A trên parabol

P ” đem lại cho đường thẳng D đặc trưng rất quen thuộc của tiếp tuyến của đường tròn là:“tiếp xúc” và

“một điểm chung” Tuy nhiên, tiếp tuyến ở đây cũng không được mô tả như trước mà thông qua hình

A

D

ảnh “giới hạn” của cát tuyến Như vậy, hoạt động này tạo ra được sự nối khớp giữa khái niệm tiếp

tuyến ở lớp 10 với khái niệm tiếp tuyến sắp định nghĩa: “vị trí giới hạn của cát tuyến”

Cuối cùng, ở câu 3, chứng minh được: hệ số góc của đường thẳng (AM) tiến tới -2 khi h tiến về 0 (tương ứng về mặt đồ thị là điểm M tiến về A hay đường thẳng AM tiến đến D)

Sau hoạt động trên, ta có hình ảnh: D là tiếp tuyến của (P) và hệ số góc của đường thẳng D là

Như vậy, việc đưa vào khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm ở đây rất giống tiến trình trong lịch sử:

Với quan niệm về tiếp tuyến “vị trí giới hạn của cát tuyến” đã dẫn đến sư xuất hiện ngầm ẩn của khái niệm đạo hàm Đạo hàm xuất hiện dưới dạng giới hạn của tỉ số f (a h) f (a)

h

và đóng vai trò

công cụ ngầm ẩn để tìm hệ số góc của tiếp tuyến

Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm cũng được thiết lập ngầm ẩn: “hệ số góc của tiếp tuyến bằng số đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm” và đạo hàm mang nghĩa là: độ nghiêng của tiếp tuyến

Sau hoạt động trên, khái niệm tiếp tuyến đã được định nghĩa chính thức, [P1, tr.75] viết:

Nếu hệ số góc của cát tuyến f (a h) f (a)

h

đạt được giới hạn xác định khi h tiến đến 0, thì cát

tuyến (AM) đạt vị trí giới hạn gọi là tiếp tuyến

tại điểm A của đường cong (C)

Hệ số góc của tiếp tuyến này là:

Tiếp tuyến với nghĩa “tiếp xúc” và "một điểm chung” trước đây chính thức được thay bằng nghĩa

mới “vị trí giới hạn của cát tuyến” Đạo hàm ngầm ẩn dưới dạng giới hạn của tỉ số số gia và đóng vai trò công cụ để định nghĩa tiếp tuyến Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm ngầm ẩn xuất hiện chính thức: “Hệ số góc của tiếp tuyến này là:

h 0

f (a h) f (a)lim

h



chính là số đạo hàm của hàm số tại a còn ngầm ẩn)

khái niệm đạo hàm và xấp xỉ affine

- Đạo hàm và xấp xỉ affine chưa được định nghĩa nhưng nội hàm của chúng đã được thể hiện

Đạo hàm đóng vai trò công cụ ngầm ẩn để giải bài tóan tiếp tuyến và định nghĩa khái niệm tiếp tuyến

- Đặc trưng của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine cũng đã được thiết lập

b) Phần lí thuyết (cours)

Thời điểm đầu tiên xuất hiện thuật ngữ đạo hàm ở mục 2 chương III (P1,tr. 77):

Định nghĩa số đạo hàm của hàm f tại a

Hàm số f có đạo hàm tại a khi và chỉ khi giới hạn tại 0 của f (a h) f (a)

h

tồn tại và hữu hạn

Giới hạn này là số đạo hàm của hàm f tại a và được kí hiệu là f’(a)

Đặt a + h = x, khi h tiến đến 0, khi đó x tiến đến a thì

f có đạo hàm tại a lim f (x) f (a) f '(a)

 Quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến

Việc xuất hiện thuật ngữ “số đạo hàm” dẫn đến mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm đã được

thiết lập ở họat động 5 được diễn đạt lại như sau:

Giải thích đồ thị của số đạo hàm tại a

 (C) là đồ thị của hàm số f trong hệ trục tọa độ R, A

là một điểm của( C) có hoành độ là a và M là một điểm có

 Khi hàm f có đạo hàm tại a, thì hệ số góc

(AM) có khuynh hướng tiến đến vị trí giới hạn ∆

Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường cong C tại A

Định lí:

f là hàm số có đạo hàm tại a, thì số đạo hàm của f tại a là hệ số góc của tiếp tuyến với

đường cong C tại điểm A có hoành độ là a

Tiếp tuyến này được cho bởi vectơ chỉ phương u 1

Phần này có thể xem như là tổng kết chính thức cho hoạt động 5 được trình bày ở trên Đạo hàm ở

đây đóng vai trò công cụ tường minh để giải quyết bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong

Sau định lí trên có phần chú ý [P1, tr.78]:

Đồ thị của hàm số có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là a không nhất thiết phải là

hàm số có đạo hàm tại a

Đặc biệt, đường cong có phương trình y = x có một tiếp tuyến thẳng đứng đi qua

gốc tọa độ), nhưng hàm số x  x không có đạo hàm tại 0.

Việc xác định tiếp tuyến trong ví dụ trên nhờ sự hỗ trợ của đồ thị và cũng chẳng có lí thuyết nào

trong P1 cho phép khẳng định đường thẳng đó chính là tiếp tuyến của đường cong Vậy P1 đưa vào chú

ý này nhằm mục đích gì?

Để giải thích ý định của noosphère, chúng tôi trích mục tiêu của chương III: “Dựng tiếp tuyến của

một đường cong của hàm số có đạo hàm” (P1, tr.71)

Như vậy, chú ý được đưa vào nhằm bổ sung cho mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong trường hợp không tồn tại số đạo hàm nhưng không làm rõ khái niệm tiếp tuyến khi nó không có hệ số góc

Định lí và chú ý trên bổ sung thêm vai trò của tiếp tuyến và đạo hàm:

Tiếp tuyến là công cụ để tìm số đạo hàm, hoặc chứng minh sự tồn tại của đạo hàm Trong trường hợp tiếp tuyến đóng vai trò công cụ để chứng minh sự tồn tại của đạo hàm phải nhờ vào sự hỗ trợ của

đồ thị

Quan hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine

Thuật ngữ “xấp xỉ affine” cũng được chính thức đưa vào ở phần giải thích về phương diện số của

số đạo hàm [P1,tr.79]:

Giải thích về phương diện số của số đạo hàm

Định lí:

Cho f là một hàm xác định trên một khoảng I và một số thực a thuộc khoảng này

Hàm số f có đạo hàm tại a là f’(a) nghĩa là:

Tồn tại một số thực  và một hàm số  tiến về 0 khi h tiến về 0, như vậy : cho bất

cứ số thực nào sao cho a + h  I, ta có:

f(a+h) = f(a) + h + h(h) và =f’(a)

Chú ý

f có đạo hàm tại a, số đạo hàm là f’(a) tồn tại một hàm  tiến về 0 khi h tiến về a

như vậy, với tất cả những số thực thuộc khoảng I:

f(x) = f(a) + f’(a)(x-a) + (x-a) (x) và

x a

lim (x) 0

Hàm số xf (a) f '(a)(x a)  là xấp xỉ affine tốt nhất của f trong lân cận điểm a

Sự thể hiện hình học là tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ là a.

Đặc trưng “tiếp tuyến là đường thẳng xấp xỉ của đường cong trong lân cận tiếp điểm” trong hoạt động 4 được trình bày chính thức Khái niệm tiếp tuyến xuất hiện ở đây mang đặc trưng địa

phương - một điểm khác biệt so với khái niệm tiếp tuyến được tiếp cận theo quan điểm tổng thể được biết trước đây

Đến thời điểm này mối quan hệ giữa đạo hàm và xấp xỉ affine cũng được thiết lâp: Đạo hàm là công cụ để xấp xỉ hàm số bằng hàm affine và ngược lại có thể tính được đạo hàm nhờ việc khai triển giới hạn bậc nhất hàm số

Ngoài ra, P1cũng tạo ra sự liên hệ về phương diện hình học và phương diện số của số đạo hàm:

Hàm số có đạo hàm thì có thể xấp xỉ f bởi một hàm số affine và đó chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm

số trong lân cận tiếp điểm

Có thể mô tả mối liên hệ giữa tiếp tuyến, đạo hàm và xấp xỉ affine trong phần lí thuyết theo sơ đồ sau:

Sơ đồ 2.1: Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong P1

Có một điểm trong phần lí thuyết cần nhắc đến để dễ dàng cho việc phân tích các kĩ thuật giải bài tập liên quan đến tiếp tuyến và đạo hàm là:

 Khái niệm “hàm số đạo hàm”

Khái niệm này được đưa vào trong phần lí thuyết ở chương IV [P1, tr.98 ]:

Hàm số đạo hàm

Cho f là một hàm số có đạo hàm tại tất cả x trong khỏang I của tập xác định D f

Hàm số mà, tại mỗi số thực x thuộc I cho một số đạo hàm của f tại x, là hàm số đạo

hàm của f và kí hiệu là f’

f’: xf’(x)

Sau khi đưa vào định nghĩa hàm số đạo hàm thì các công thức tính đạo hàm của một số hàm thông dụng và các phép toán của đạo hàm cũng được đưa vào

Sau đó, việc tính “số đạo hàm”có thể dựa vào các công thức được cho sẵn

Để làm rõ hơn mối quan hệ thể chế, chúng tôi tiến hành phân tích tổ chức tóan học chung quanh hai khái niệm này

c) Tổ chức toán học xung quanh khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm trong P 1

 Kiểu nhiệm vụ T 1 : Viết phương trình tiếp tuyến T của đường cong (C) có phương trình y = f(x)

) tại điểm có hòanh độ là a

Kĩ thuật1

- Tính f’(a) (tính bằng định nghĩa số đạo hàm hoặc tính đạo hàm bằng công thức rồi thay a vào)

- Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(a; f(a)) và có hệ số góc là f’(a)

Công nghệ1: Định lí giải thích hình học số đạo hàm; kiến thức về đường thẳng đi qua một điểm

và có hệ số góc là k

Ví dụ: Bài 22 [P1 ,tr.88]

Xác định phương trình tiếp tuyến của parabole (P) có phương trình y = x2 – 3x

tại điểm có hoành độ là -1

Đạo hàm

Tiếp tuyến Xấp xỉ affine

 Kiểu nhiệm vụ T 2 : Chứng minh rằng đường thẳng d có phương trình y = kx+h là tiếp tuyến của

đường cong (C) có phương trình y = f(x) tại điểm A(a; b)

Chứng minh rằng đường thẳng d có phương trình : y =10x - 17 là tiếp tuyến của

đường cong có phương trình y = x3 – 2x – 1 tại điểm A có toạ độ là (2;3)

 Kiểu nhiệm vụ T 3 : Tính số đạo hàm bằng đồ thị

Những đường thẳng được vẽ là những tiếp tuyến

của đường cong (C) có phương trình y = f(x)

Bằng đồ thị hãy tính f’(-3,5); f’(-2); f’(0); f’(2)

Đặc trưng của T 3 :

- Các hàm số được cho bằng đồ thị, tiếp tuyến của nó được vẽ sẵn

- Đồ thị được vẽ trên giấy kẻ ô vuông

- Tiếp tuyến đi qua những điểm có tọa độ nguyên nên hệ số góc của tiếp tuyến rất dễ xác định

 Kiểu nhiệm vụ T 4 : Chứng minh hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) có chung một tiếp tuyến tại

điểm có hoành độ là a

Kĩ thuật 4

- Chứng minh hai đồ thị có cắt nhau tại một điểm có hòanh độ là a

- Chứng minh f’(a) = g’(a)

Công nghệ4: Định lí giải thích đồ thị của số đạo hàm

- Dựa vào đồ thị, tìm những điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với trục hoành

- Hoành độ tiếp điểm của những điểm đó chính là nghiệm của phương trình f’(x) = 0

Công nghệ5: Định lí giải thích đồ thị số đạo hàm

Đặc trưng của T 5 : Giống T3

Ví dụ: [P1 ,tr.106]

Đừơng cong (Cf) có phương trình y = f(x), với f là

một hàm có đạo hàm trên [-6; 6] Ta vạch các tiếp

tuyến của đường cong (Cf), song song với trục hoành

Giải bằng đồ thị phương trình: f’(x)=0

Lời giải

Đường cong (Cf) có bốn điểm mà tại đó tiếp tuyến

song song với trục hòanh; vì thế phương trình f’(x) = 0 có bốn nghiệm: - 4; -2; 1; 4

 Kiểu nhiệm vụ T 6 : Tìm các tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Kĩ thuật

6

1

 :

- Gọi điểm M(a;b) là tiếp điểm của tiếp tuyến đó với đồ thị hàm số

- Dựa vào đề bài, tìm hệ số góc k của tiếp tuyến

- Dựa vào công thức k = f’(a) để tính a Từ đó suy ra tiếp điểm M

Công nghệ 1

6

 : Định lí giải thích đồ thị của số đạo hàm

Ví dụ: Bài 28(1 0) [P1 ,tr.115]

Cho f là hàm xác định trên R được cho bởi công thức

f(x) = -x2 + 5x – 4 và (P) là parabole biểu diễn cho f trong hệ trục toạ độ

Tại điểm nào thì tiếp tuyến của (P) song song với đường thẳng có phương trình

y = - x + 1

 Kiểu nhiệm vụ T 7 : Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng có hệ số góc k tiếp xúc với đường

cong (C) có phương trình y = f(x) tại điểm có hoành độ là a

Kĩ thuật 1

7

- Tính f’(a) theo tham số

- Giải phương trình f’(a) = k để tìm ra điều kiện của tham số

Công nghệ7: Định lí giải thích đồ thị của số đạo hàm

Xác định a để đồ thị hàm số f có một tiếp tuyến nằm ngang tại điểm có hoành độ là 1

 Kiểu nhiệm vụ T 8 : Xấp xỉ hàm f(x) bằng hàm số affine

của hàm f ( và là xấp xỉ tốt nhất) Qua đó, đặc trưng của tiếp tuyến “xấp xỉ tốt nhất của đường cong

trong lân cận tiếp điểm” được nêu trong lí thuyết cũng ngầm được nhấn mạnh

MTBT bắt đầu từ x = 0 và không vượt quá 0,001

 Kiểu nhiệm vụ T9: Tính giá trị gần đúng của f(x) tại một điểm a

Kĩ thuật 9

- Tách a = b+h với h khá nhỏ, b là số nguyên

- Tính f(b), f’(b) rồi thay vào công thức f(a)  f(b)+f’(b)h để có được giá trị gần đúng của hàm f tại x =

Bằng cách nào cô ấy nghĩ ra kết quả đó?

Bảng 2.2: Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ trong P 1

Kiểu nhiệm vụ

và kĩ thuật

Ví dụ và bài tập giải sẵn

Đánh giá tổ chức toán học

 Có hai tổ chức toán học địa phương :

 OM1 chiếm tỉ lệ lớn nhất (chiếm 100% ví dụ và 88,1 % bài tập) dựa trên công nghệ chủ yếu là:

Định lí giải thích đồ thị số đạo hàm. Qua đó, ta thấy đặc trưng của mối quan hệ giữa tiếp tuyến

và đạo hàm được nhấn mạnh là: ”hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hoành độ tiếp điểm”.

 OM2 được bổ sung vào trong bài tập với lượng tương đối ít so với OM1 OM2 (chiếm 0% ví dụ

và 11,9 % bài tập) dựa trên công nghệ là: Định lí giải thích số của số đạo hàm gồm 2 kiểu

nhiệm vụ T8, T9 Kiểu nhiệm vụ T8 “Xấp xỉ hàm f(x) bằng hàm số affine” được chú trọng hơn kiểu nhiệm vụ T9: ”Tính giá trị gần đúng một hàm số” Kiểu nhiệm vụ T9 được đưa vào với một bài duy nhất dưới dạng toán đố chỉ như một bổ sung cho lợi ích của xấp xỉ affine Điều đó cũng hợp lí vì với sự hỗ trợ của MTBT thì kiểu nhiệm vụ đó được thực hiện bằng kĩ thuật đơn giản hơn rất nhiều

 Mối quan hệ giữa tiếp tuyến, đạo hàm, xấp xỉ affine trong các kiểu nhiệm vụ:

Đạo hàm là công cụ để giải bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong (chiếm 69,04% bài tập gồm các kiểu nhiệm vụ T1, T2, T4, T6, T7) Tiếp tuyến cũng đóng vai trò là công cụ để tìm số đạo hàm (chiếm 19,05% bài tập gồm kiểu nhiệm vụ T3 và T5) Đạo hàm còn là công cụ để xấp xỉ một hàm số bằng hàm affine( chiếm 11,9 % bài tập) Tuy nhiên, mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không được để cập trong bài tập của P1

2.2.2.2 Phân tích SGK Déclic Maths Terminal S (P 2 )

Ở lớp 12, đạo hàm và mối liên hệ với tiếp tuyến được đưa vào trong bài ”Nhắc lại về đạo hàm và mối liên hệ với tiếp tuyến » ở chương I và bài ”Hoàn tất về đạo hàm » ở chương III

Nếu f là một hàm số có đạo hàm trên khỏang I,

đường cong của nó là (C) có một tiếp tuyến tại mỗi

điểm M (x 0 ; f(x 0 )) cho phép đạt được giá trị gần

đúng của f(x) trong lân cận của x 0 Ta có :

Với h trong lân cận của 0, f(x 0 + h)  f(x 0 ) +

f’(x 0 )h

Mở rộng kết quả này, ta có thể xấp xỉ đường cong

(C) bởi một đường dựng trên các đoạn thẳng, mà

đại diện cho hàm affine trên một khoảng

Cho h là một số dương khá bé Bắt đầu ở điểm M 0 (x 0 ; f(x 0 )) mà ở đó f’(x 0 ) khác không,

ta đặt :

 x 1 = x 0 + h và dựng điểm P 1 (x 1 ; y 1 ) trên tiếp tuyến T 0 của đường cong (C) tại

điểm M 0 ; thế thì ta có : y 1 = y 0 + f’(x 0 )h

 x 2 = x 1 + h và dựng điểm P 2 (x 2 ; y 2 ) trên đường T’ 1 đi qua P 1 và song song với

tiếp tuyến T 1 của đường cong (C) tại điểm M 1 (x 1 ; f(x 1 )) ; ta có : y 2 = y 1 + f’(x 1 )h

 và cứ tiếp tục như thế…

Chúng ta xây dựng được dãy những điểm Pn(x n ;y n ) mà

x n+1 = x n + h và y n+1 = y n + f’(x n )h

Bằng cách nối những điểm M 0 , P 1 ,P 2 , ta đạt được đường cong biểu diễn của một

hàm g là hàm affine trên từng khoảng

Tại sao cách dựng như trên lại tìm được hàm g xấp xỉ cho hàm f và là hàm affine theo từng khỏang ?

Ta có thể diễn giải phương pháp trên như sau :

Cho h là một số dương khá bé Đặt x1 = x0 + h ; x2 = x1 + h ; …

P1(x1 ; y1) thuộc tiếp tuyến T0 có phương trình y = y0 + f’(x0)(x-x0) nên y1 = y0 + f’(x0)h

P2(x2 ; y2) thuộc đường T’1 có phương trình y = y1 + f’(x1)(x-x1) nên y2 = y1+ f’(x1)h

Cứ tiếp tục như thế ………

Dựa vào công thức f(x 0 + h)  f(x 0 ) + f’(x 0 )h ( h trong lân cận của 0)

Với x thuộc đoạn [x0 , x1] thì f(x)  f(x0) + f’(x0)(x- x0) Suy ra f(x1)  y1 và trong đoạn [x0 , x1]

có thể xấp xỉ hàm số f bằng phương trình của tiếp tuyến T 0

Với x thuộc đoạn [x1 , x2] thì f(x)  f(x1) + f’(x1) (x- x1)  y1+ f’(x1) (x- x1)

Suy ra f(x2)  y2 và có thể xấp xỉ hàm số f bằng phương trình của T’ 1

Cứ tiếp tục như thế………

Nối những điểm M0, P1 ,P2, ta được đường xấp xỉ cho hàm f là hàm affine trên một khoảng Như vậy, phương pháp trên dựa vào mối liên hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine đã được

đề cập ở lớp 11

c) Tổ chức tóan học chung quanh khái niệm tiếp tưyến và đạo hàm trong P2

Trong P2 ta gặp lại nhiều kiểu nhiệm vụ đã xuất hiện ở P1 Ngòai ra, trong P2 có xuất hiện vài kiểu nhiệm vụ mới mà chúng tôi sẽ trình bày sau đây :

 Kỉểu nhiệm vụ T: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có phương trình y = f(x) biết tiếp tuyến

này đi qua điểm A và có hòanh độ là a (A không thuộc đồ thị hàm số)

Kĩ thuật10:

- Viết phương trình tiếp tuyến với ( C) tại điểm M0 có hòanh độ x0

- Thay tọa độ điểm A vào phương trình tiếp tuyến để tìm giá trị x0

- Thay x0 vào phương trình tiếp tuyến ở trên

Công nghệ1 : Định lí giải thích hình học của số đạo hàm

Ví dụ: 23 [P2 ,tr.26 ]

Trong mặt phẳng được trang bị hệ trục tọa độ ( O, i , j), cho đường cong (C) là

đường cong đại diện cho hàm f xác định trên [;[

 bởi : f(x) =  x

Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một đường thẳng đi qua gốc tọa độ là tiếp tuyến

của đường cong (C)

Hãy xác định phương trình đường thẳng này

 Kỉểu nhiệm vụ T: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có phương trình y = f(x) biết hệ số góc k

của tiếp tuyến

Kĩ thuật11:

- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M0 có hòanh độ x0

- Tìm giá trị của x0 từ đẳng thức f’(x0) = k

- Thay x0 vào phương trình tiếp tuyến ở trên

Công nghệ1 : Định lí giải thích hình học của số đạo hàm

Ví dụ : Bài 22(2 0 ) [P2 , tr.26]

Trong mặt phẳng được trang bị hệ trục tọa độ (O,i ,j) , cho đường cong (C) là

đường cong đại diện cho hàm f xác định với mọi số thực x khác 1

Hãy xác định phương trình các tiếp tuyến đó

 Kiểu nhiệm vụ T 12 : Dùng đồ thị kiểm tra hàm số có đạo hàm tại điểm a không

Kĩ thuật 12:

Dựa vào đồ thị để kiểm tra hàm số có đạo hàm tại a không bằng cách:

- Nếu đồ thị hàm số không có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ a hoặc có tiếp tuyến thẳng đứng thì hàm số không có đạo hàm tại a

- Nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ a có hệ số góc m thì hàm số có đạo hàm tại a

Hàm f có đạo hàm tại 2 không? Chứng tỏ điều đó

 Kiểu nhiệm vụ T 13 : Dùng phương pháp Euler để tìm xấp xỉ của đường cong đại diện cho hàm f

Kĩ thuật13: Vận dụng phương pháp Euler

Công nghệ 13: Định lí giải thích số của số đạo hàm

Ví dụ: Bài 2a mục 3.2 [P2 ,tr.73]

Hãy dùng phương pháp của Euler , tìm một xấp xỉ của đường cong đại diện cho

nguyên hàm F của hàm f trên khoảng được cho

Đánh giá tổ chức toán học

 Có hai tổ chức toán học địa phương giống như ở lớp 11

 OM1 (chiếm 25% ví dụ và 96,89% bài tập) có bổ sung thêm kiểu nhiệm vụ T10 , T11 , T12 Kiểu nhiệm vụ T2 , T5 biến mất

 OM2 (chiếm 75% ví dụ và 3,11%bài tập) có bổ sung thêm kiểu nhiệm vụ T13 Kiểu nhiệm vụ này

dựa trên cơ sở mối liên hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine ”tiếp tuyến là đường thẳng xấp xỉ tốt

nhất của đường cong trong lân cận tiếp điểm”

Kiểu nhiệm vụ T9: ”Tính giá trị gần đúng một hàm số” biến mất Điều này cũng hợp lí vì theo như chúng tôi đã phân tích ở trên

 Mối quan hệ giữa tiếp tuyến, đạo hàm, xấp xỉ affine trong các kiểu nhiệm vụ:

Đạo hàm vẫn là công cụ chủ yếu để giải bài toán tiếp tuyến Tiếp tuyến cũng là công cụ để tìm số đạo hàm (kiểu nhiệm vụ T3) và chứng minh sự tồn tại của đạo hàm (kiểu nhiệm vụ T12 ) Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine cũng được đề cập

2.3 Kết luận về SGK Pháp

 Tiến trình đưa vào khái niệm tiếp tuyến, đạo hàm và xấp xỉ affine

Giai đoạn chuẩn bị

Giai đoạn tường minh

Sơ đồ 2.2: Tiến trình đưa vào khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm trong SGK Pháp