thể tích khối hình chóp

Trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo, loại bài tập này khá nhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập và cách giải, chưa có tài liệu nào phân loại một cách rõ né

Trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo, loại bài tập này khá nhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập và cách giải, chưa có tài liệu nào phân loại một cách rõ nét các bài toán về tính thể tích của khối chóp

Đối với các giáo viên, thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các phần mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn một chuyên đề có tính hệ thống về phần này còn gặp nhiều khó khăn

Trước các lí do trên, tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên: “Phân loại giải bài tập về tính thể tích của khối chóp” nhằm cung cấp cho học sinh một cái nhìn tổng quát và có hệ thống về bài toán tính thể tích của khối chóp, một hệ thống bài tập đã được phân loại một cách tương đối tốt, qua đó giúp học sinh không phải e sợ phần này và quan trọng hơn, đứng trước một bài toán học sinh có thể bật ngay ra được cách giải, được định hướng trước khi làm bài qua đó

có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán

Mặc dù vậy, vì điều kiện thời gian còn hạn chế nên sự phân loại có thể chưa được triệt để và chỉ mang tính chất tương đối, rất mong được các bạn bè đồng nghiệp góp ý kiến chỉnh sửa để đề tài này được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Phần II NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

I Cơ sở lí thuyết

Để tính thể tích của khối chóp ta có thể sử dụng một trong hai cách sau:

1 Tính trực tiếp dựa vào các định lí sau:

Định lí 1 Cho khối chóp có đỉnh S và đáy là B Kí hiệu V, S, h lần lượt là thể tích,

diện tích đáy và chiều cao của khối chóp Khi đó

1.3

a) Phương pháp trượt đỉnh, dãn đáy

Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách thay đỉnh và mở rộng đáy, ta quy việc tính thể tích của khối chóp đã cho về việc tính thể tích của những khối chóp đặc biệt Ta thường sử dụng những kết quả sau:

Kết quả 1 Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P) và M, N ∈∆ thì

nếu I là trung điểm của MN thì d(M;( ))P =d(N;( ))P

Kết quả 3 Cho tam giác ABC và điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = kMC (k >

0) Khi đó S ABM = kS ACM hay

Đặc biệt, nếu M là trung điểm của BC thì 2S ABM =S ABC

b) Phương pháp phân chia và lắp ghép khối đa diện

c) Phương pháp dùng công thức về tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác

Bài toán Cho hình chóp tam giác S.ABC Trên các tia SA, SB, SC lần lượt lấy A’, B’, C’ không trùng với điểm S Khi đó ta có công thức sau

Bài 1 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’

Phân tích Khối chóp A’.ABC có đáy ABC là tam giác vuông và chiều cao là A’H

(H là trung điểm của BC) nên bài này chúng ta áp dụng trực tiếp công thức

Lời giải Gọi H là trung điểm của BC

Giả thiết suy ra A’H ⊥ (ABC)

Phân tích Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông, theo giả thiết

SI ⊥ (ABCD) nên SI là chiều cao của hình chóp

Lời giải Hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và

3

S ABCD ABCD

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc

Lời giải

Tương tự AK ⊥ SC Vậy SC ⊥ (AHK)

điểm của AI, khi đó OJ // SC ⇒ OJ ⊥ (AHK)

3

OAHK AHK

SA = AC = a 2 ⇒ ∆SAC cân tại A ⇒ I là

trung điểm của SC

A

D S

H K

h = AS + AB + AD = a ⇒ =Tam giác OHK cân tại O nên có diện tích S bằng

Cách 3 Giải bằng phương pháp tọa độ như sau:

Bài 4 Cho Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên

song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F Tính thể tích khối chóp S.AEMF

Phân tích Dễ thấy BD ⊥ (SAC), EF // BD ⇒ EF ⊥ (SAC) Mặt khác tam giác

Lời giải

Cách 1 Gọi O là tâm hình vuông ABCD, I là giao điểm của AM và SO Dễ thấy

⇒ EF ⊥ (SAC) Ta có OA là hình chiếu của SA trên (ABCD) nên góc giữa SA và

(ABCD) là góc SAO Tam giác SAC cân tại S và có  SAO =600 nên tam giác SAC

(I là trọng tâm tam giác SAC)

Phân tích Chân đường vuông góc hạ từ S xuống (ABCD) thuộc AC nên ta xác

được SH, AC và diện tích của ABCD

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của S trên mp(ABCD)

Do SB = SC = SD nên HB = HC = HD suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Tam giác BCD cân tại C nên H thuộc CO, O là giao của AC và BD

Bài 6 Cho mặt cầu tâm O bán kính R Lấy một điểm S thuộc mặt cầu, xét ba điểm

(00 < <α 900) Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo R và α

Phân tích Từ giả thiết suy ra S.ABC là hình chóp đều,

bởi vậy tính được V S ABC. theo α và SA = a Giả sử

SO cắt (S) tại S’, khi đó tâm I của tam giác ABC thuộc

SS’ và tam giác SAS’ vuông tại A nên tính được a

Theo R và α

Lời giải

Theo giả thiết S.ABC là hình chóp đều

Do OA=OB=OC nên O∈SI Giả sử SI cắt lại mặt cầu tại S’ thì SS’ = 2R

2 2(1 cos ) 4 2sin2 2 sin

Bài 7 Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA đều tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích của khối chóp S.ABC

Phân tích Từ giả thiết tính được diện tích ∆ABC Các mặt bên hợp với đáy góc

nội tiếp ∆ABC, bởi vậy tính được đường cao

Lời giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABC); E, F, I lần lượt

là hình chiếu của H trên AB, BC, CA Khi đó SH ⊥ (ABC)

tam giác vuông SHE, SHF, SHI bằng nhau suy ra HE = HF = HI = r (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC) Kí hiệu p, S lần

lượt là nửa chu vi và diện tích của tam giác ABC, khi

đó p = 9a, S = 6 6a (theo công thức hêrông) Mặt 2

Phân tích Gọi G là trọng tâm ∆ABC

thì B’G ⊥ (ABC), A’B’ // (ABC) nên

2 Phương pháp trượt đỉnh, dãn đáy

Cơ sở của phương pháp này là bằng cách thay đỉnh và mở rộng đáy, ta quy việc tính thể tích của khối chóp đã cho về việc tính thể tích của những khối chóp đặc biệt

Bài 9 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP

Phân tích Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC là

dễ dàng Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính thể tích của khối tứ diện AMNP

về việc tính thể tích của các khối chóp nói trên Trong các mặt của khối tứ diện AMNP ta thấy tam giác AMN có thể mở rộng thành tam giác SAB, khoảng cách từ

P đến (AMN) có thể thay bằng khoảng

N OAM D OAM D SAC

3 0

Bài 11 Cho tứ diện ABCD có AB=a CD, =b; góc (AB CD, )= , khoảng cách α

giữa AB và CD bằng d Tính thể tích của khối tứ diện ABCD theo a b d, , và α

Phân tích Nếu dựng hbh BCDE thì tam giác

ABE hoàn toàn xác định và S BCD =S BDE nên

O

N M

C

A

D B

S

( ;( ))

1

.3

ABCD ABDE DABE ABE D ABE

2

ABE

Mp(ABE) chứa AB và song song với CD nên d(CD AB; ) =d(CD ABE;( )) = d( ;(D ABE)) =d

ABCD

Bài 12 Cho hai nửa đường thẳng Ax và By chéo nhau nhận AB làm đoạn vuông

góc chung Các điểm M, N lần lượt chuyển động trên Ax và By (M khác A và N khác B) sao cho AM + BN = MN Chứng minh rằng thể tích tứ diện ABMN không phụ thuộc vào M và N

Phân tích Bài này có lời giải tương tự

như bài trên

Bài 13 Cho tứ diện ABCD có AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c Tính thể

tích V của tứ diện ABCD theo a, b, c

Phân tích ABCD là tứ diện gần đều nên ta dựng tứ diện vuông AA1A2A3 sao cho

B, C, D lần lượt là trung điểm của A A A A A A 1 2, 1 3, 2 3

Lời giải

Trong mặt phẳng (BCD), từ mỗi đỉnh của BCD∆ kẻ đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt nhau tạo thành ∆A A A1 2 3 Ta có BCA D BCDA BDCA là 3 , 2, 1

t x

y

B

N'

N A

M

Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB

các cạnh AB và BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN

Phân tích Tam giác ABS vuông tại S nên

ta tính được SH Diện tích tứ giác BMDN

có thể tính gián tiếp qua diện tích của hình

vuông ABCD

Lời giải

Ta có SA2 + SB2 = AB2 suy ra tam giác

SAB vuông tại S Gọi H là hình chiếu của

S trên AB thì do (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH

⊥ (ABCD)

c

b a

a c b

c

z b

x y

M

A

D S

H

3 Phương pháp phân chia và lắp ghép khối chóp

Cở sở của phương pháp này là: Nếu khối chóp phức tạp hoặc chưa tính thể tích ngay được thì ta có thể phân chia khối chóp thành những khối chóp đơn giản hơn mà việc tính thể tích của những khối chóp được phân chia là khả quan hoặc ta

có thể coi khối chóp đã cho là phần bù của một khối chóp khác

Bài 15 Cho khối hộp ABCD A B C D có thể tích V Tính thể tích khối tứ diện ' ' ' '

ACB D theo V

Phân tích Việc tính trực tiếp thể tích của tứ

thi, bởi vì ta rất khó xác định chân đường

vuông góc hạ từ một đỉnh nào đó Trong khi

B ABC D ACD AA B D CB C D ACB D

đều có chiều cao bằng chiều cao của khối hộp

và diện tích đáy bằng nửa dt đáy của khối hộp

Lời giải

Khối hộp ABCD A B C D được phân chia ' ' ' '

thành 5 khối tứ diện: 'B ABC D ACD AA B D CB C D ACB D Do đó , ' , ' ' ', ' ' ', ' '

Bài 16. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a

phẳng (MNP) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau

D' A'

Phân tích Mp(MNP) chia khối chóp thành 2 khối đa diện phức tạp nên để tích thể tích của nó ta chọn phương án lấy hiệu

4 Phương pháp sử dụng công thức về tỉ số thể tích của hai khối chóp

Cơ sở của phương pháp này là bài toán cơ bản sau:

Bài toán Cho hình chóp tam giác S.ABC Trên các tia SA, SB, SC lần lượt lấy A’, B’, C’ không trùng với điểm S Khi đó ta có công thức sau

' ' '

Việc chứng minh nó khá đơn giản và đã có trong sách giáo khoa Cái hay của bài toán này là ở chỗ: khi đã biết thể tích của khối chóp S.ABC và các tỉ số nói trên thì ta sẽ tính được thể tích của khối chóp S.A’B’C’ (đôi khi việc tính trực tiếp thể tích của khối chóp S.A’B’C’ gặp nhiều khó khăn) Ta sẽ minh họa điều này bằng một số ví dụ sau

Bài 17 Cho tứ diện ABCD có AB = a, AC = b, AD = c và các góc BAC, CAD,

DAB đều bằng 600 Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a, b, c

Phân tích Nếu a = b = c thì tứ diện ABCD là hình chóp đều đỉnh A nên ta tính

được thể tích của nó Nếu a, b và c không đồng thời bằng nhau thì ta lấy C’ và D’ trên các tia AC, AD sao cho AC’ = AD’ = a để được hình chóp đều Tiếp theo ta dùng công thức tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp A.BCD

Lời giải

Không giảm tổng quát, giả sử a nhỏ nhất Trên các tia

AC, AD lần lượt lấy C’ và D’ sao cho AC’ = AD’ = a

Tam giác ABC’ cân tại A và có

và AC’D’ đều cạnh a nên tứ diện ABC’D’ đều cạnh a

Gọi H là trọng tâm tam giác BC’D’ thì

Bài 18 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA =

2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC Tính thể tích của khối chóp A.BCNM

Phân tích Ta dễ dàng tính được thể tích của khối chóp S.ABC và các tỉ số

,

SM SN

SB SC nên tính được thể tích của khối chóp S.AMN Mặt khác, khối chóp

S.ABC được phân chia thành hai khối chóp S.AMN và A.BCNM nên

ABCNM SABC SAMN

D’

SA vuông góc với đáy và SA = a 3 Gọi

B’, C’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên

S

B' D'

B

S

M N

Kí hiệu V là thể tích của khối chóp S.ABCD thì

Bài 20 Cho khối chop S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong

đường tròn đường kính AD = 2a Hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy, mặt phẳng (SBD) tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc 450

a) Tính thể tích V của khối chop S.ABCD

b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD)

c) Gọi M là trung điểm của cạnh SB, mặt phẳng (ADM) cắt SC tại N Tính thể tích khối chop S.AMND

Phân tích Câu a) ta tính trực tiếp Để giải câu b) ta dùng phương pháp thể tích,

còn câu c) có cách giải tương tự như bài 19

Lời giải

a) Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mp(ABCD) và cắt nhau theo giao tuyến SA suy ra SA ⊥ (ABCD) Gọi O là trung điểm của AD thì tam giác OAB đều cạnh a và

2

3 33

và (ABCD) bằng góc SBA⇒SBA =450 suy ra tam giác SAB

vuông cân tại A ⇒ SA = a

c) Mặt phẳng (ADM) song song với BC nên cắt (SBC) theo giao tuyến MN // BC,

M là trung điểm của SB nên N là trung điểm của SC

Ta có V S AMND. =V S AMN. +V S AND.

O

N M

A

D S

3

Bài 21 Cho hình chóp O.ABCD có ABCD là hình bình hành, AC cắt BD tại I, P là

trung điểm của OI Xét các mặt phẳng chứa AP, mặt phẳng đó cắt OB, OC, OD lần lượt tại M, K, N Gọi V1 và V lần lượt là thể tích của các khối chóp O.AMKN và O.ABCD Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tỷ số V 1

Phân tích Do đáy ABCD là hình bình hành và yêu cầu bài toán là tính tỉ số thể

tích nên ta phân chia khối chóp O.AMKN thành hai khối chóp tam giác và áp dụng

Vì ABCD là hình bình hành cho nên ta có:

VO.ABC = VO.ADC = VO.ABD = VO.CBD = 1

OB = OD = (0 < x, y ≤ 1) thì:

OAMK

OAMK OABC

6 + (1) Mặt khác ta có:

V1 = VOAMN + VOMNK = x.y.V

I A

O

C P

2x(2x 1)(4x 1)

−

12Bảng biến thiên:

x 1

3

1

2 1 f'(x) - 0 +

f(x) 1

3

13 1

giá trị lớn nhất là: 2

9 khi

1x3

Bài 22 Cho tứ diện ABCD Một điểm M thay đổi nằm trong tam giác BCD (M

không nằm trên các cạnh của tam giác BCD) Từ M kẻ các đường thẳng tương ứng song song với AB, AC, AD Các đường thẳng này cắt các mặt bên ACD, ABD, ABC theo thứ tự tại B’, C’, D’ Tìm vị trí của M sao cho tứ diện MB’C’D’ có thể tích lớn nhất

Phân tích Để tính thể tích của khối tứ diện MB’C’D’ ta dùng phép đối xứng tâm I

để biến tứ diện MB’C’D’ thành tứ diện AB1C1D1 Tiếp theo ta dùng công thức tỉ số thể tích để tính thể tích của tứ diện này

DA = S

Cộng vế lại ta được

' ' '

1

BA + CA + DA = (1) Gọi I là trung điểm của AM

Phép đối xứng ĐI tâm I biến M thành A, biến B’ thành điểm B1 thuộc cạnh AB và

AB1 = MB’ Tương tự ta cũng có

ĐI(C’) = C1 sao cho C1 thuộc cạnh AC và AC1 = MC’

ĐI(D’) = D1 sao cho D1 thuộc cạnh AD và AD1 = MD’

suy ra phép đối xứng tâm I biến MB’C’D’ thành AB1C1D1 Do vậy

Bài 23 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh

bằng a Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của các cạnh

BB CD A D Tính thể tích của tứ diện BMNP

Phân tích Tứ diện BMNP không có gì đặc biệt nên khó

có thể tính được thể tích của nó theo cách thông thường

Tuy nhiên với pp tọa độ thì đây lại là bài toán dễ

Lời giải Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho

O ≡ A, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; a) ⇒ M ;0;

2

a a

a a

a a

B'

III Kết quả đã đạt được

Khi áp dụng đề tài sáng kiến kinh nghiệm này cho học sinh tôi nhận thấy: Thứ nhất, đây là mảng kiến thức trọng tâm, có thể áp dụng cho diện rộng và các loại đối tượng học sinh

Thứ hai, các em học sinh rất hứng thú khi học bài, các em không còn cảm giác sợ khi học hình học không gian Nhiều em còn sôi nổi phát biểu, thảo luận và tìm ra nhiều điều mới mẻ từ đề tài này Các em có cái nhìn tổng quát và có hệ thống nên vận dụng một cách khá linh hoạt trong từng bài toán cụ thể Điều quan trọng là các

em được định hướng cách giải ngay từ đầu và đều phát hiện ra lời giải ngắn gọn và tối ưu cho mỗi bài toán

Thứ ba, khi áp dụng đề tài này xong, khả năng vẽ hình của các em khá tốt, trí tưởng tượng hình không gian phong phú, lối tư duy sâu sắc tạo nền tảng chắc chắn

để các em có thể học tiếp các mảng kiến thức khác

Kết quả thu được cụ thể ở các lớp giảng dạy 12A1 và 12A3 như sau:

* Trong đề thi thử đại học lần 1 năm 2010 (Học sinh đã học xong chương I hình

học 12 và chưa áp dụng đề tài này) có câu IV hình: “Cho hình chóp tứ giác đều

S.ABCD có AB = a, SA = a 2 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh

SA, SB, CD Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP”

Kết quả

Lớp Sĩ số Số học sinh làm câu IV Số học sinh làm đúng câu IV

* Trong đề thi thử đại học lần 2 năm 2010 (Học sinh đã được áp dụng đề tài này)

có câu IV hình: “Cho tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = h

và vuông góc với đáy Gọi H, I lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC Tính thể tích tứ diện IHBC theo a và h”

Kết quả

Lớp Sĩ số Số học sinh làm câu IV Số học sinh làm đúng câu IV

Như vậy có thể kết luận sau khi áp dụng đề tài sáng kiến kinh nghiệm này học sinh

đã tự tin làm bài và tỉ lệ làm đúng là rất cao, hơn hẳn lần thi thứ nhất