Hình chiếu vuông góc của điểm D trên BB’ là điểm K nằm trên cạnh BB’ và BK= BB'1 4 ; hình chiếu vuông góc của điểm B’ trên mặt phẳng ABCD là điểm H nằm trên đoạn thẳng BD.. Tính theo a t
Trang 1TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ BA NĂM HỌC 2010 – 2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI A,B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số ( 1) (4 3 ) 1
3
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số khi m = 1
2 Tìm tất cả các giá trị m sao cho trên đồ thị (Cm) tồn tại duy nhất một điểm A có hoành độ âm mà tiếp tuyến với (Cm) tại A vuông góc với đường thẳng : x 2y 3 0.+ − =
Câu II: (2,0 điểm)
1
Giải phương trình: 2sin2 2sin2 t anx
4
2
Giải hệ phương trình: 2 2
2
2
1
xy
x y
x y
x y x y
(x, y∈ R)
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân: 4
0
tan ln(cos ) cos
dx x
π
∫
Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a;
góc DAB· =600; cạnh bên BB’= a 2 Hình chiếu vuông góc của điểm D trên BB’ là điểm K nằm trên cạnh BB’ và BK= BB'1
4 ; hình chiếu vuông góc của điểm B’ trên mặt phẳng (ABCD)
là điểm H nằm trên đoạn thẳng BD Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và DC’
Câu V: (1,0 điểm) Xét các số thực a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a2+b2 =1; c d 3.− =
Tìm giá trị nhỏ nhất của M = ac bd cd + −
Câu VI (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn :(C):x2+ y2 = 16 Viết phương trình chính tắc của elip có tâm sai 1
2
e= biết elip cắt đường tròn (C) tại bốn điểm A, B, C, D sao cho
AB song song với trục hoành và AB = 2.CD
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hai đường thẳng:
1
:
d − = + =
; 2
:
d − = − =
và mặt phẳng (P) : x y+ −2z+ =3 0. Viết phương trình đường thẳng ∆song song với (P) và cắt d d1, 2 lần lượt tại A, B sao cho
29
AB=
Câu VII (1,0 điểm) Cho hai số phức z, z’ thỏa mãn z = z' 1= và z z+ ' = 3.
Tính z z− '
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì them
Trang 2TRƯỜNG THPT
CHUYấN
NGUYỄN HUỆ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ BA
NĂM HỌC 2010 – 2011
ĐỀ THI MễN: TOÁN KHỐI A, B
I-1
(1điểm)
Với m=1 ta có 1 3
1 3
y= x + +x
* Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên
• Chiều biến thiờn:
y ' x= 2+1>0 x∀ ∈Ă
0,25
+ Hàm số luụn đồng biến trờn Ă
+ Hàm số cú khụng cực đại và cực tiểu
• Giới hạn: =−∞ =+∞
+∞
→
−∞
x
Bảng biến thiờn:
0,25
Đồ thị:
Đồ thị giao với Oy tại (0;1)
0,25
I-2
(1điểm)
Tiếp tuyến vuụng gúc với đường thẳng x+2y-3=0 cú hệ số gúc k=2 Gọi x là hoành độ tiếp
điểm thỡ: f '(x) 2= ⇔mx2+2(m 1)x (4 3m) 2− + − = ⇔mx2+2(m 1)x 2 3m 0 (1)− + − = 0,25 Bài toỏn trở thành tỡm tất cả cỏc m sao cho phương trỡnh (1) cú đỳng một nghiệm õm
Nếu m≠0thỡ dễ thấy phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm là x 1 hay x=2 3m
m
−
do đú để cú một nghiệm õm thỡ
0
2 3
3
m m
<
− < ⇔
>
Vậy 0 hay 2
3
m< m> thỡ trờn (C) cú đỳng một tiếp điểm cú hoành độ õm thỏa yờu cầu đề bài
0,25
x y’
y
-∞
+
-∞
+∞ +∞
1
y
Trang 3(1điểm)
0,25
x
2
(sinx cos )(1 sin 2 ) 0
0,25
4
⇔
0,25
x π k π
II-2
(1điểm)
( ) ( )
2 2
2
2
1 1 2
xy
x y
x y
x y x y
Điều kiện: x + y > 0
x y
+
0,25
2
Với x + y > 0 thì x2 + y2 + + > x y 0
Nên (3)⇔ x y+ =1 thay vào (2) được 2
y y
Hệ có 2 nghiệm (x;y) = (1;0); (x;y) = (-1; 2)
0,25
III
(1điểm) *Đặt t=cosx
dt=-sinxdx , đổi cận x=0 thì t=1 ,
4
thì 1
2
Từ đó
1
1 2
1 1
2
lnt lnt
*Đặt u ln ;t dv 12dt
t
= = du 1dt v; 1
0,25
Trang 4*Kết quả 2 1 2ln 2
2
IV
(1điểm)
4
a
BK = ; trong tam giác vuông
4
a
DK = BD −BK =
0,25
Ta có ' 3 2
4
a
B K = ; trong tam giác vuông B’KD : 2 2 14
4
a
B D= B K +KD = =a
Suy ra ∆B’BD cân tại B’ do đó H chính là g iao điểm của AC và BD
0,25
' ' ' '
'
ABCD A B C D ABCD
DC’//AB’ suy ra ( '; ' ) ( ';( ' )) ( ;( ' ) ( ;( ' )) 2
2
a
V
(1 điểm)
Nêu và chứng minh: ( a2 + b2)( c2+ d2) ≥ ac bd + Dấu bằng xảy ra khi ad = bc 0,25
Ta có
2
2
d
Để ý rằng
2
2
d
<
với mọi d nên dấu của f’(d) chính là dấu của : 2d+3
0,25
Bảng biến thiên của f(d) suy ra
f d ≤ − f = +
4
2
2; a = - b =
1 2
±
0,25
VI- 1
(1 điểm) Giả sử elip có phương trình chính tắc
2 2
2 2 1
x y
a +b = , theo đề bài 1
2
c e a
b a
−
Trang 5Suy ra elip có phương trình
4
3
x y
x y a
a + a = ⇔ + = Tọa độ các giao điểm A, B,
C, D của elip và đường tròn là nghiệm của hệ :
2 2
x y 16 (1)
3x 4y 3a (2)
Do elip và đường tròn (C) cùng nhận trục hoành và trục tung làm trục đối xứng và
AB // Ox nên A, B đối xứng với nhau qua Oy ; C, D đối xứng nhau qua Ox
Từ (1) và (2) tìm được
2 4 2 4
;
x = y = Thay vào (3) ta được 2 256
15
a =
Suy ra elip có phương trình
1
256 64
x + y = .
0,25
VI-2
(1 điểm)
A∈d1 suy ra A(1+2t ; -1+t ; t) ; B∈d2 suy ra B(1+t’ ; 2+2t’ ; t’) 0,25 ( ' 2 ;3 2 ' ; ' )
AB t − t + −t t t t−
uuur
(P) có VTPT (1;1 2)nr −
AB // (P) suy ra uuur rAB n. = ⇔ = −0 t' t 3 Khi đó uuurAB= − −( t 3;t− −3; 3)
0,25 Theo đề bài 2 ( ) (2 )2
Với t = 1 suy ra A(3 ;0 ;1) ; uuurAB(− − −4; 2; 3)
Suy ra
3 4
1 3
y t
z t
= +
∆ =
= +
Với t = -1 suy ra A(-1 ;-2 ;-1) ; uuurAB(− − −2; 4; 3)
Suy ra
1 2
1 3
= − +
∆ = − +
= − +
0,25
VII.
(1 điểm)
Đặt z x iy z= + ; '= +x iy' '; (x x y y, ', , '∈R) 0,25
2 2
2 2
1 ' 1
x y
z z
x y
+ =
( ) (2 )2 ( 2 2) ( 2 2) ( ( ) (2 )2)
2.1 2.1 3 1
z z− = −x x + −y y = x +y + x +y − x x+ + +y y
