LUẬN VĂN THẠC SĨ CẦU ĐƯỜNG ÁP DỤNG THUẬT TOÁN DI TRUYỀN ĐỂ TỐI ƯU HOÁ CẤU KIỆN DẦM BTCT TRONG XÂY DỰNG CẦU

F là hàm mục tiêu của yếu tố nào đó của đối tượng thiết kế Ri i=1______, m đều liên tục, khả vi, ta có thể phát biểu bài toán thiết kế tối ưu một cách tổng quát như sau : Do đặc điểm qua

Bộ giáo dục và đào tạo Trường đại học Giao thông Vận tải

áp dụng thuật toán di truyền để tối ưu hoá cấu kiện dầm BTCT trong xây dựng cầu

Luận văn thạc sỹ kỹ thuật

Giáo viên hướng dẫn : GS.TS Nguyễn Viết Trung

Học viên: Ưng Thị Việt Lan

Bộ giáo dục và đào tạo Trường đại học Giao thông Vận tải

áp dụng thuật toán di truyền để tối ưu hoá cấu kiện dầm BTCT trong xây dựng cầu

Mục lục Chương 1 Bài toán tối ưu Nội dung thuật toán di truyền

1.1 Khái niệm về mô hình bài toán tối ưu hoá 3

1.2 Phân loại các phương pháp giải bài toán thiết kế tối ưu 5

1.3 Khái niệm về hệ thống thiết kế tối ưu, đặc điểm ràng buộc Hệ

thống chương trình Hiệu quả của thuật toán [1]

11

1.3.2 Chế độ đối thoại kỹ sư máy tính để tìm nghiệm tối ưu 14

1.4 Khái niệm và đặc điểm chủ yếu của thuật toán di truyền (TTDT) 16

1.4.1.1 Nguyên lý tiến hoá tự nhiên 16

1.6 So sánh TTDT với các thuật toán tìm kiếm khác 21

1.9 Nguyên lý hoạt động Thuật giải di truyền 29

Chương 2 :áp dụng thuật toán di truyền (Ga) tính

toán tối ưu mặt cắt dầm bê tông cốt thép

2.1.2.1 Trạng thái giới hạn sử dụng 43

2.1.2.2 Trạng thái giới hạn cường độ 43

2.1.2.3 Tải trọng và hệ số tải trọng 43

2.1.2.5 Hệ số phân bố ngang cho các loại cầu Dầm - Bản 47

2.2.4.1 Kiểm toán theo trạng thái giới hạn 1 57

2.2.4.2 Kiểm toán theo trạng thái giới hạn sử dụng 59

2.4.2.1 Cấu trúc chương trình 84

Chương 3 Kết luận và kiến nghị.

Chương 1 Bài toán tối ưu Nội dung thuật toán di truyền

1.1 Khái niệm về mô hình bài toán tối ưu hoá

Với sự phát triển của kỹ thuật máy tính điện tử, bài toán tối ưu hoá về chế

độ làm việc của thiết bị; về kết cấu công trình; về các hàm truyền dẫn; về các hàm điều khiển phi tuyến; về các thông số điều khiển ngày càng được xem xét hoàn chỉnh, ngày càng có điều kiện, công cụ giải quyết hữu hiệu, và do đó ngày càng có vai trò, ý nghĩa quan trọng thiết thực đối với đời sống xã hội

Mục đích của bài toán thiết kế là tính toán các yếu tố của đối tượng, thiết

kế sao cho thoả mãn một yêu cầu quy định nào đó Các yếu tố của đối tượng thiết kế có thể là kích thước hình học, khối lượng, giá thành Một yêu cầu quy

định nào đó có thể là độ bền, độ ổn định Rõ ràng, các yếu tố của đối tượng thiết kế đều có những giới hạn nhất định mà thông thường người ta gọi đó là những giới hạn tiêu chuẩn của yếu tố đó Chính những khoảng giới hạn này đã thôi thúc các nhà thiết kế tìm cách vươn tới giá trị tốt nhất mà yếu tố của đối tượng thiết kế có thể đạt được Bài toán thiết kế với ý nghĩa, mục đích này được gọi là bài toán thiết kế tối ưu Yếu tố mà nhà thiết kế định hướng phải đạt đến giá trị tốt nhất ấy được gọi là “Hàm mục tiêu” lựa chọn của nhà thiết kế Điều này, một cách tự nhiên làm xuất hiện các khái niệm “đơn mục tiêu” và “đa mục tiêu”, trong đó bài toán tối ưu hoá đa mục tiêu thường phức tạp và khó giải hơn

Một yếu tố của đối tượng thiết kế phụ thuộc vào nhiều tham số, ví dụ yếu

tố hình học phụ thuộc kích thước chiều rộng, kích thước chiều dài mặt cắt Các tham số đó có thể là độc lập hoặc phụ thuộc lẫn nhau Để xét được ảnh hưởng cụ thể của từng tham số (ảnh hưởng độc lập), người ta chọn các tham số độc lập để làm các biến của hàm mục tiêu trong một quan hệ cơ học, toán học nào đó Nói chung, các quan hệ này đều là quan hệ phi tuyến Các tham số của một hoặc

nhiều hàm mục tiêu, nó còn đồng thời là các biến số của một hoặc nhiều quan hệ ràng buộc về tiêu chuẩn mang ý nghĩa kỹ thuật hoặc kinh tế mà người ta thường gọi là các hàm ràng buộc yếu tố của đối tượng thiết kế Nói chung, thông thường các quan hệ giữa các số độc lập (biến số) với hàm ràng buộc cũng là những quan

hệ phi tuyến

Khi ký hiệu :

xj(j=1 ,n

) là các tham số độc lập của yếu tố nào đó của đối tượng thiết kế

F là hàm mục tiêu của yếu tố nào đó của đối tượng thiết kế

Ri (i=1 , m

đều liên tục, khả vi, ta có thể phát biểu bài toán thiết kế tối ưu một cách tổng quát như sau :

Do đặc điểm quan hệ giữa các tham số độc lập với hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc của đối tượng thiết kế nhìn chung là quan hệ phi tuyến nên bài toán thiết kế tối ưu thường thường dẫn tới bài toán quy hoạch phi tuyến Đối với các bài toán kinh tế, do giả thiết đơn giản các quan hệ đó là quan hệ tuyến tính nên bài toán thiết kế tối ưu trong lĩnh vực kinh tế thường dẫn đến bài toán quy

hoạch phi tuyến Điều này cho thấy mức độ phức tạp khác nhau đáng kể của bài toán thiết kế tối ưu giữa lĩnh vực kỹ thuật và lĩnh vực kinh tế

Khi biểu diễn xj(j=1 ,n

) trong không gian F có n chiều Với mỗi xj thoả

là miền liên thông hoặc là những miền con riêng biệt

(trên biên của miền cho phép)

này gọi là điểm cực trị toàn miền (tối ưu tuyệt đối) trong G Tuy nhiên việc tìm

Nói chung việc lập ra được hàm mục tiêu tổng quát là một bài toán phức tạp Có nhiều phương pháp khác nhau để giải quyết vấn đề này (phương pháp tính cộng các mục tiêu; phương pháp xếp hạng các mục tiêu theo mức độ quan

thích nghi để lập hàm mục tiêu )

Trên thực tế, bài toán thiết kế tối ưu ở dạng tổng quát nhất là bài toán nhiều cực trị, hoặc bài toán thiết kế cụ thể đã cho dù là bài toán một cực trị, nhưng do tính chất phức tạp bởi quan hệ hàm mục tiêu và các ràng buộc là các quan hệ phi tuyến với tham số thiết kế, nên, nói chung, đều được coi là các bài toán nhiều cực trị, và do đó, đều cần tới phương pháp để xác định được cực trị toàn miền (cực trị tuyệt đối)

Nói chung, không thể đưa ra phương pháp tổng quát cho phép tìm được lời giải chính xác của bài toán quy hoạch phi tuyến tổng quát sau một số hữu hạn bước lặp, đồng thời, việc chứng minh bằng lý thuyết về sự hội tụ đến nghiệm tối

ưu của các phương pháp đang được sử dụng trong tính toán thực tế là hết sức khó khăn và phức tạp Về mặt lý thuyết, bài toán thiết kế tối ưu tổng quát (bài toán nhiều cực trị), mới chỉ được nghiên cứu đối với một số trường hợp riêng không nhiều

Với sự phát triển ngày càng cao của kỹ thuật tin học, các phương pháp số

để giải bài toán quy hoạch phi tuyến bằng máy tính ngày càng được ứng dụng sâu rộng, đã đưa lại những kết quả đáng kể trong quá trình giải bài toán thiết kế tối ưu tổng quát

Có thể biểu thị một cách phân loại các phương pháp giải bài toán thiết kế tối ưu đối với mô hình tất định của đối tượng trong thiết kế, trong đó tất cả các tham số thay đổi liên tục, theo bảng 1.1

Mỗi mức của bảng phân loại biểu thị trên bảng 1.1 tương ứng với hoặc là một giai đoạn tính toán nào đó, hoặc là tương ứng với một phương pháp cụ thể nào đó được sử dụng cho giai đoạn này Các đường nét đứt thẳng đứng phân chia các giai đoạn tìm kiếm nằm trong thành phần của thủ tục tìm kiếm ở mức cao hơn Các đường nét liền thẳng đứng phân chia ra các phương án khác nhau

Theo bảng 1.1, việc tìm tối ưu toàn miền sẽ bao gồm một trong các phương pháp tạo các điểm ban đầu kết hợp với một phương pháp tìm tối ưu cục

bộ

Mục đích tìm tối ưu toàn miền (tối ưu tuyệt đối) là sự nhìn nhận một cách bao quát toàn miền cho phép, rồi kết luận chọn ra điểm tối ưu toàn miền trong danh sách các điểm tối ưu cục bộ đã tìm được

Các thuật toán tìm tối ưu toàn miền thường được xếp loại tuỳ theo phương pháp tạo điểm ban đầu Mỗi phương pháp trong mỗi mô hình, mỗi giai đoạn đều

có những ưu nhược điểm khác nhau Việc lựa chọn phương pháp không những phải bảo đảm phù hợp với mỗi mô hình trong từng giai đoạn, không chỉ phụ thuộc vào khả năng hiệu quả về mặt lý thuyết của phương pháp, mà còn tuỳ thuộc vào yêu cầu, đối tượng cụ thể của bài toán tối ưu cụ thể

Tìm tối ưu toàn miền

ban đầu Các phương

điểm tối ưu

Lập hàm mục tiêu tổng quát

Lập các hướng có triển vọng

Cũng theo bảng 1.1, các phương pháp tạo điểm ban đầu, gồm nhóm phương pháp thử nghiệm độc lập lần lượt, liên tục; nhóm phương pháp sử dụng các thông số có sẵn từ trước (thông tin tiên nghiệm về đặc tính của hàm mục tiêu); nhóm phương pháp thử nghiệm lần lượt, liên tục có tự thích nghi Khi thực hiện các phương pháp này ta có nhận xét :

- Nhóm phương pháp thử nghiệm độc lập lần lượt, liên tục là đơn giản nhất, dễ thực hiện nhất

- Nhóm phương pháp sử dụng các thông số có sẵn từ trước thường được sử dụng với các lớp bài toán đặc biệt, khi mà hàm mục tiêu có những đặc tính có thể xác định được qua những thông tin đã biết

- Nhóm phương pháp thử nghiệm lần lượt, liên tục có tự thích nghi là nhóm phương pháp hiệu quả nhất bởi vì nhóm phương pháp này sẽ giảm bớt

được số lần thử nghiệm trong quá trình tìm kiếm, do nó tự cải tiến dần dần các thủ tục tìm kiếm theo mức độ tích luỹ dần dần thông tin

Mục đích tìm cực trị cục bộ là tìm điểm tối ưu từ điểm ban đầu bất kì, với khoảng thời gian đủ ngắn và với độ chính xác đã định trước

Các thuật toán tìm tối ưu cục bộ x* thường bằng cách lặp nhiều bước,

k x x x

x = 1 , 2 , , hội tụ đến véctơ x* Véctơ x* là

của mọi phương pháp tìm tối ưu cục bộ (lựa chọn phương pháp biểu thị mô hình toán học để tìm kiếm tối ưu; các thủ tục đánh giá hướng dịch chuyển tới điểm tối

ưu; các thủ tục xác định độ dài của bước tìm kiếm), với các giai đoạn, mô hình

và phương pháp cụ thể đã được trình bày trong bảng 1.1, mà hiệu quả của các phương pháp tìm tối ưu cục bộ được đánh giá căn cứ vào tốc độ hội tụ đến điểm tối ưu, cần chú ý một số điểm sau :

- Trong các phương pháp lập mô hình toán, chỉ nên lập hàm mục tiêu tổng

- Phương pháp xác định hướng dịch chuyển đến điểm tối ưu, mặc dù phải dựa trên ba tiêu chuẩn đánh giá chất lượng chọn hướng tìm kiếm tối ưu (tìm ra giá trị tốt hơn của hàm mục tiêu so với điểm đã cho ban đầu; làm giảm (tăng) nhanh nhất giá trị hàm mục tiêu ở lân cận điểm đã cho; có xác suất lớn nhất tìm

được cực trị, đã tính tới độ cong của siêu diện, biểu thị hàm mục tiêu) nhưng vì việc sử dụng mỗi tiêu chuẩn trong số 3 tiêu chuẩn chọn hướng chuyển động tới

điểm tối ưu đều đòi hỏi nhiều lần phải tính toán mô hình nên cần chú ý đến cách chọn tiêu chuẩn đánh giá hướng tìm kiếm (nếu tuỳ tiện làm phức tạp thêm tiêu chuẩn chọn hướng tìm kiếm có thể dẫn tới tăng quá nhiều số lần tính toán lại mô hình, còn nếu chúng ta tuỳ tiện làm giản đơn hoá tiêu chuẩn chọn hướng tìm có thể sẽ gây ra sự quét đi quét lại mãi không dừng ở vùng lân cận điểm tối ưu), cụ thể : Khi chọn hướng tìm kiếm người ta thường dùng chiến lược như sau:

+ Trong các bước lặp ban đầu, chỉ cần tính vài giá trị đầu tiên của hàm mục tiêu là đã có được những thông tin có lợi về hướng chuyển động tới cực trị,

trực tiếp hoặc các phương pháp tìm kiếm ngẫu nhiên

+ Sau đó khi đã đạt gần tới điểm cực trị thì nên dùng các phương pháp tìm kiếm dựa trên tính toán véctơ gradient một cách gần đúng (ví dụ phương pháp xấp xỉ ngẫu nhiên, phương pháp gradient thống kê, phương pháp quy hoạch thực nghiệm) tương ứng tiêu chuẩn 2

+ Cuối cùng ở lân cận giá trị tối ưu nên dùng các phương pháp phức tạp nhất nhưng sẽ cho nhiều thông tin nhất (ví dụ phương pháp "khe núi hẹp", phương pháp metric biến đổi) Có nghĩa, sẽ thực hiện tiêu chuẩn 3 để chọn hướng tìm tới điểm cực trị

Trong chiến lược tìm kiếm nói trên cũng có thể tận dụng các thông tin về mức độ biến đổi giá trị của hàm mục tiêu để di chuyển nhanh hơn đến điểm tối

ưu

- Trong trường hợp tổng quát, phương pháp chọn độ dài bước tìm kiếm sẽ

pháp tìm tối ưu cục bộ được đánh giá căn cứ vào tốc độ hội tụ đến điểm x* Dãy

đoạn mới bắt đầu tìm kiếm theo một hướng tìm kiếm nào đó đã chọn thì có thể chọn chiều dài bước tìm kiếm là trị số không đổi hay thay đổi một cách tỉ lệ môđun gradient cho đến khi di chuyển đến được sát biên của miền cho phép hoặc đến khi di chuyển đến được điểm cực tiểu của hàm mục tiêu theo hướng đã chọn Bởi vậy các thuật toán chọn độ dài bước tìm đều là các thuật toán lặp, trong đó sẽ kiểm tra điều kiện cho phép của tất cả các giá trị trung gian

Đối với bài toán có cả hai loại tham số liên tục và rời rạc, vì rằng các tham

số rời rạc thường phải sử dụng các kỹ thuật xử lý phức tạp, nên, để tìm được nghiệm tối ưu, trước hết cần phân nhóm các tham số thành:

- Nhóm các tham số rời rạc, x1, x2, , xP

- Nhóm các tham số liên tục xP+1, , xn

Nếu chỉ có ít tham số rời rạc và số lượng giá trị khác nhau của chúng không nhiều, thì có thể đối với mỗi tập hợp các giá trị tham số rời rạc x1i

i P i i xn

x F x x x x x

p

, , ,

, , , min 1 2 1

, ,

+

,trong đó véc tơ (xP+1, , xn) nằm trong miền liên tục cho phép Gi tương ứng với véc tơ chọn cố định x1i ,x2i, xPi

Trong các trường hợp phức tạp hơn, để chuyển đổi từ bài toán cực tiểu hoá rời rạc thành ra dãy các bài toán có miền liên tục thay đổi của biến số, có thể sử dụng phương pháp quy hoạch rời rạc đặc biệt

1.3 Khái niệm về hệ thống thiết kế tối ưu, đặc điểm ràng buộc Hệ thống chương trình Hiệu quả của thuật toán [1]

Hệ thống thiết kế tối ưu là tập hợp các phương pháp, các thuật toán và chương trình thực hiện trên máy tính điện tử nhằm tự động tìm ra mô hình toán học của đối tượng thiết kế, các tham số tối ưu có thể có giá trị cực tiểu (hoặc cực

đại) với điều kiện ràng buộc, đặt ra bởi hàm mục tiêu, điều kiện kỹ thuật và công nghệ yêu cầu

Yêu cầu cơ bản của bộ chương trình đó là:

- Có hệ thống đưa vào - đưa ra các thông tin một cách linh hoạt, cho phép thay đổi linh hoạt mô hình thiết kế và thay đổi các số liệu ban đầu theo kết quả tính cuối cùng cũng như thay đổi ngay trong quá trình tính toán Hệ thống này cần phải làm việc được trong "chế độ xử lý trọn gói " và cả trong "chế độ đối thoại”

- Đảm bảo áp dụng có hiệu quả các thuật toán tối ưu đã được đưa vào trong hệ thống bằng cách thực hiện các quá trình tự thích nghi khi tìm kiếm, sao cho có thể tự động thay đổi thuật toán đúng lúc ngay trong quá trình giải bài toán thiết kế tối ưu

- Có khả năng mở rộng hệ thống tính toán bằng cách đưa thêm vào các thuật toán mới và đã được kiểm nghiệm qua các bài toán thực tế

- Có ngôn ngữ điều khiển hệ thống đơn giản, sử dụng các quy tắc dễ nhớ

và hợp lý ý tưởng trong lúc thiết lập bài toán nhằm làm cho hệ thống dễ sử dụng

đối với người kỹ sư thiết kế chưa làm quen với chương trình

- Có khả năng sử dụng bộ chương trình tự động hoá thiết kế tối ưu trong

hệ thống máy tính đã nối mạng để sử dụng chung

Hệ thống điều khiển bộ chương trình tự động hoá thiết kế tối ưu có thể xem như một hệ thống điều hành định hướng theo vấn đề Nó được dùng để tối

ưu hoá các tham số kết cấu với các ràng buộc bất kỳ trên phạm vi thay đổi của chúng

Một hệ thống thiết kế tối ưu tốt phải đảm bảo cho người sử dụng (kỹ sư

- Yêu cầu về độ chính xác của nghiệm tối ưu

Cấu trúc bộ chương trình thiết kế tối ưu trên máy tính biểu thị trên hình 1.1

Dấu hiệu để ngừng tìm kiếm sẽ được quyết định dựa vào sự so sánh kết quả tính toán của hai hoặc một vài bước lặp liên tiếp Thông thường phải sử dụng

đồng thời cả hai ước lượng εk và δk

thể sử dụng ước lượng mô đuyn hiệu của hai giá trị liên tiếp của hàm mục tiêu để

được chọn trước

biến đổi chậm, nghĩa là siêu diện biểu diễn hàm mục tiêu F(x) trở nên rất thoải,

tìm kiếm rất dài. Bởi vậy song song với điều kiện ước lượng mô đuyn hiệu của

hai giá trị liên tiếp của hàm mục tiêu, chúng ta phải xét thêm điều kiện ngừng

tìm kiếm : γ k = ∇F T∇F ≤γ, với γ là giá trị rất nhỏ nào đó cho trước

Hình 1.1: Cấu trúc bộ chương trình thiết kế tối ưu

1.3.2 Chế độ đối thoại kỹ sư máy tính để tìm nghiệm tối ưu

Chế độ đối thoại kỹ sư - máy tính là chế độ trao đổi linh hoạt và liên tục các thông tin giữa máy tính và người kỹ sư thiết kế trong quá trình thiết kế tối

ưu

Chương trình kiểm tra dừng tìm kiếm Tối ưu toàn miền Đầu ra 2 :

Nhờ chế độ này mà quá trình, kết quả thiết kế tối ưu được tiến hành phù hợp hơn trước những yêu cầu thay đổi, bổ sung thông tin thiết kế và do đó đem lại hiệu quả hơn

Trong chế độ hội thoại sẽ thực hiện việc điều khiển thuật toán tìm, thay

đổi số liệu nhập ban đầu, điều khiển hệ thống con đặc biệt để thiết kế, v.v

1.3.3 Phân tích hiệu quả của thuật toán tối ưu

Hiệu quả của thuật toán phản ánh khả năng đạt tới mục tiêu cuối cùng của

nó khi tìm nghiệm tối ưu

Sử dụng máy tính điện tử trong tối ưu hoá tạo ra một số đặc điểm mới trong việc đánh giá hiệu quả của phương pháp (ví dụ, mọi tính toán sẽ được thực hiện với sai số nào đó do khả năng của mạch bán dẫn trong máy tính điện tử gây nên Sai số này (đặc biệt với mô hình phức tạp) sẽ dẫn tới phép lặp thực hiện có sai số có thể khá lớn làm giảm tốc độ hội tụ của các phương pháp mà lẽ ra theo

lý thuyết của phương pháp thì không như vậy; hoặc số chiều của không gian các tham số kết cấu có ảnh hưởng lớn đến tốc độ hội tụ của phương pháp tối ưu hoá

ảnh hưởng này đặc biệt lớn đối với các thuật toán tìm kiếm tất định Ngay cả khi bài toán có chừng 25 - 30 tham số thì việc giải bài toán thiết kế tối ưu cũng trở nên rất khó khăn và tốn nhiều thời gian trên máy tính điện tử )

Để đánh giá chung về hiệu quả của các thuật toán tìm kiếm tối ưu cần căn

cứ vào các tính chất quan trọng dưới đây của chúng :

- Độ chính xác tìm kiếm, nghĩa là giá trị lân cận điểm tối ưu cục bộ mà tại

đó thực hiện thuật toán tối ưu sau một số bước lặp cho trước

- Tốc độ hội tụ, nghĩa là số bước lặp cần thiết để đạt được độ chính xác đã cho

- Thời gian tính toán, nghĩa là thời gian tính trên máy tính điện tử để tìm

được giá trị tối ưu với độ chính xác cho trước, tương ứng với một loại máy tính

điện tử nào đó, tính chất này cho phép thực hiện việc so sánh các thuật toán với

- Tính ổn định của thuật toán, được đặc trưng bởi sự tăng không đáng kể

số lượng phép lặp khi có các sai nhiễu nhỏ, xuất hiện khi chọn điểm ban đầu, cũng như do sai số tính toán

- Độ tin cậy, tức là tính chất của thuật toán có thể dẫn tới điểm tối ưu dù là

đi từ các điểm ban đầu khác nhau

Để so sánh các thuật toán theo các tiêu chuẩn này, nên tiến hành tính toán trong các điều kiện như nhau hoặc gần như nhau

1.4 Khái niệm và đặc điểm chủ yếu của thuật toán di truyền (TTDT) [1], [2], [3]

1.4.1 Khái niệm TTDT

1.4.1.1 Nguyên lý tiến hoá tự nhiên

Dựa trên quan niệm, mặc dù quan niệm này không chứng minh được, nhưng lại phù hợp với thực tế khách quan và được coi là một tiên đề đúng, quá trình tiến hoá tự nhiên là quá trình hoàn hảo nhất, hợp lý nhất, và tự nó đã mang tính tối ưu

Tính tối ưu trong quá trình tiến hoá thể hiện : Thế hệ sau bao giờ cũng phát triển hoàn thiện hơn thế hệ trước Hai quá trình, sinh sản và chọn lọc tự nhiên, là những quá trình cơ bản của tiến hoá tự nhiên, mà trong các quá trình

ấy, các thế hệ mới luôn được sinh ra để bổ sung, thay thế thế hệ cũ Cá thể nào thích ứng hơn với môi trường sẽ phát triển hơn, sẽ tồn tại và ngược lại Động lực thúc đẩy quá trình tiến hoá là sự thay đổi môi trường, và đến lượt nó, tiến hoá cũng tác động trở lại góp phần làm thay đổi môi trường Các quan hệ tác động lẫn nhau này cứ diễn ra liên tục sẽ đồng nghĩa với việc cho kết quả chọn lọc ngày càng tối ưu hơn

Trong quá trình tiến hoá, các cá thể mới được sinh ra nhờ sự lai ghép ở thế

hệ cha-mẹ và có thể mang tính trạng của cha-mẹ (được gọi là tính di truyền của

cá thể), hoặc có thể mang tính trạng hoàn toàn mới (được gọi là tính đột biến của cá thể) Đây là hai cơ chế quan trọng như nhau trong quá trình tiến hoá, mặc dù cơ chế đột biến thường xảy ra với xác suất nhỏ hơn rất nhiều so với cơ chế di truyền

1.4.1.2 Thuật toán di truyền

Chương trình tiến hoá = Cấu trúc dữ liệu + Thuật giải di truyền, là khái niệm dùng để chỉ các chương trình máy tính có sử dụng thuật toán tìm kiếm tối ưu hóa dựa trên nguyên lý tiến hóa tự nhiên Ta gọi chung các thuật toán như thế là

giản như sau: Cho một lớp các phương pháp khả dĩ giải quyết được một (số) phần của vấn đề Dựa vào qui luật tiến hóa, tìm một phương pháp liên hợp đủ khả năng giải quyết trọn vẹn vấn đề đó

- Chiến lược tiến hóa, do T Baeck, F.H Hofmeister vâ H.P Schwefel đề

những chiến lược mới phù hợp với môi trường thực tế một cách tốt nhất

Vì rằng, thuật toán tiến hoá chính là các thuật toán tìm kiếm tối ưu dựa trên nguyên lý tiến hoá tự nhiên, nên khái niệm “Thuật toán tiến hoá” sẽ là đầy

đủ, tổng quát hơn khái niệm “Thuật toán di truyền” (thuật giải di truyền), bởi vì,

di truyền chỉ là một trong hai cơ chế của quá trình tiến hoá Trong luận án này, chúng tôi sử dụng khái niệm “Thuật toán di truyền” (“Thuật giải di truyền” - GA) để diễn đạt thuật toán tiến hoá trong tính toán tối ưu cấu kiện dầm và cột bê tông cốt thép trong xây dựng cầu

“Thuật toán di truyền” (“Thuật giải di truyền” - GA) là các thuật toán tìm kiếm tối ưu dựa trên cơ chế di truyền của nguyên lý tiến hoá tự nhiên

Tuy có những điểm khác biệt nhau, nhưng nhìn chung, các thuật toán tiến hoá đều mô phỏng bốn quá trình cơ bản, đó là : lai ghép, đột biến, sinh sản và chọn lọc tự nhiên

Thuật giải di truyền (GA) đã sử dụng các thuật ngữ vay mượn của di truyền học, trong đó cần chú ý rằng, thuật ngữ “Cá thể” (kiểu gen, cấu trúc hoặc chuỗi, nhiễm sắc thể) sử dụng trong GA là để chỉ những cá thể chỉ có một nhiễm sắc thể Một nhiễm sắc thể, mà ý nghĩa của nhiễm sắc thể đó đã được người giải xác định trước, được đặc trưng bằng một kiểu gen Một kiểu gen biểu diễn một lời giải của bài toán đang giải Điều này có sự khác biệt với ý nghĩa của khái niệm “Cá thể” trong di truyền học : “Cá thể” trong di truyền học là một cơ thể của một chủng loại nào đó mà mỗi tế bào của một cơ thể ấy có thể có một số nhiễm sắc thể nhất định Thuật ngữ “Cá thể” được hiểu là đặt trong một quần thể nào đó Như vậy, “Quần thể” là tập hợp của những “Cá thể” Một “Quần thể” bao gồm nhiều “Cá thể” “Quần thể” trong bài toán tối ưu chính là các phương

án tối ưu có thể có để đạt đến hàm mục tiêu của bài toán tối ưu đó Và từ đó, một tiến trình tiến hoá được thực hiện trên một quần thể các nhiễm sắc thể sẽ tương ứng với một quá trình tìm kiếm lời giải tối ưu trong không gian lời giải

1.4.2 Đặc điểm chủ yếu của TTDT (GA)

Nếu phải tìm giải pháp trong vô số đáp số có thể có thì GA là kỹ thuật phải được chọn trước nhất GA rất thích hợp cho việc tìm kiếm giải đáp cho vấn

đề, hay tìm điều kiện tối ưu cho việc điều hành, và phân nhóm những giải pháp

có được Vấn đề thích hợp nhất cho GA là tìm điều kiện tối ưu Tối ưu đây không nhất thiết phải là tuyệt đối, nhưng có thể chỉ là tương đối trong hoàn cảnh

và thời gian cho phép

TTDT xét duyệt toàn bộ các nghiệm có thể, sau đó cho ra nghiệm tương

đối tốt nhất trên cơ sở so sánh giữa các giá trị hệ số thích nghi Một trong những bước quan trọng và khó khăn nhất là tìm hàm số thích nghi Hàm số thích nghi phải có liên hệ trực tiếp đến vấn đề phải giải quyết

TTDT làm việc trên sự mã hoá của một tập các tham số, chứ không phải chính bản thân các tham số đó, vì thế, nó không để ý đến bản chất vật lý hay toán học của bài toán

TTDT mang đặc điểm tìm kiếm ngẫu nhiên Tuy nhiên đây là hình thức ngẫu nhiên có hướng dẫn bởi trị số thích nghi Chính hàm số thích nghi là vật chỉ

đường cho GA tìm giải pháp tối ưu trong muôn ngàn giải pháp có thể có

TTDT sử dụng giá trị hàm mục tiêu chứ không dùng đạo hàm hay một đại lượng gần đúng của đạo hàm

GA và mạng nơron nhân tạo (Artificial Neural Network (ANN)) có quan

hệ : Mạng nơron nhân tạo (ANN) lập luận dựa trên các kinh nghiệm và cách giải quyết vấn đề mà bộ óc con người thường dùng, còn GA lập luận dựa theo sự tiến hóa và xét vấn đề ở tầm mức của gen (gene) và nhiễm sắc thể (chromosome), mặc dù GA và ANN đều thuộc vào nhóm khoa học trí tuệ nhân tạo ANN muốn giải quyết vấn đề đạt đến kết quả chính xác, trong khi ANN chỉ tạo ra một mạng lưới gồm các nơron chứa trong các lớp nhận tin, lớp cho kết quả và lớp trung gian, GA sẽ giúp thực hiện việc xây dựng mạng lưới đó một cách tối ưu về số lớp, số nơron trong mỗi lớp, hệ số huấn luyện và các chi tiết khác cho ANN

1.5 Trình tự áp dụng TTDT [1], [3]

GA xét đến toàn bộ các giải pháp, bằng cách xét trước nhất một số giải pháp, sau đó loại bỏ những thành phần không thích hợp và chọn những thành phần thích nghi hơn để tạo sinh và biến hóa nhằm mục đích tạo ra nhiều giải pháp mới có hệ số thích nghi ngày càng cao

Do đó khi phải giải quyết vấn đề bằng GA, chúng ta phải thông qua các giai đoạn sau:

* Chọn mô hình để tượng trưng cho các giải pháp Các mô hình có thể là dãy những số nhị phân: 1 và 0, thập phân và có thể là chữ hay hỗn hợp của chữ

* áp dụng lý luận và cách biến hóa trên các mô hình này, thay vì trên các giải pháp

* Chọn hàm số thích nghi để dùng làm tiêu chuẩn đánh giá các giải pháp

* Tiếp tục các hình thức biến hóa cho đến khi đạt được giải pháp tốt nhất

hoặc đến khi thời gian cho phép chấm dứt

Như vậy GA là một hình thức tìm kiếm có tính ngẫu nhiên nhưng được hướng dẫn bởi hàm số thích nghi GA không thể luôn luôn tìm ra giải pháp tối

ưu, nhưng chắc chắn sẽ cung cấp những giải pháp tương đối tốt trên nền tảng vững chắc và trong thời gian nhanh nhất

Để giải quyết vấn đề bằng Thuật giải di truyền, cần thực hiện bảy bước quan trọng sau đây:

Bước 1 : Chọn mô hình cho giải pháp của vấn đề: Chọn một số tượng trưng cho toàn bộ các giải pháp có thể có cho vấn đề

của những số 1 và 0 thuộc hệ nhị phân, hay dãy số thập phân, dãy của chữ hay hỗn hợp của số và chữ Trong giai đoạn mới làm quen với GA, chỉ nên dùng hệ nhị phân để làm ký hiệu cho giải pháp

Bước 3: Tìm hàm số thích nghi cho vấn đề và tính hệ số thích nghi cho từng giải pháp

Bước 4: Dựa trên hệ số thích nghi của các giải pháp để thực hiện sự tạo sinh (reproduction) và biến hóa các giải pháp Các phương thức biến hóa gồm:

Bước 5: Tính các hệ số thích nghi cho các giải pháp mới và loại bỏ những giải pháp kém nhất để chỉ còn giữ lại một số nhất định các giải pháp

Bước 6: Nếu chưa tìm được giải pháp tối ưu hay tương đối khá nhất hay chưa hết hạn kỳ ấn định, trở lại bước thứ tư để tìm giải pháp mới

Bước 7: Tìm được giải pháp tối ưu hoặc nếu thời gian cho phép đã chấm dứt thì báo cáo kết quả tính được

1.6 So sánh TTDT với các thuật toán tìm kiếm khác [1], [3]

Nhìn chung, bài toán tối ưu là bài toán tìm kiếm lời giải thích hợp nhất cho hàm mục tiêu đã xác định, trong không gian vô cùng lớn các lời giải Khi không gian tìm kiếm nhỏ, có thể sử dụng các phương pháp cổ điển vẫn thích hợp Nhưng khi không gian tìm kiếm là rất lớn, các phương pháp cổ điển sẽ không thể đáp ứng được yêu cầu tối ưu của hàm mục tiêu Khi đó, người ta phải

sử dụng những kỹ thuật Trí tuệ nhân tạo đặc biệt, trong đó có TTDT (GA)

Ngoài mục tiêu thứ nhất là tìm kiếm lời giải tốt nhất, bài toán tối ưu còn hướng tới mục tiêu thứ hai là khảo sát không gian tìm kiếm Nếu phương pháp Tìm kiếm lân cận (phương pháp Tìm kiếm cục bộ) đang là phương pháp hiệu quả nhất của mục tiêu cho phép tìm kiếm được lời giải tốt nhất (nhưng cũng chỉ là lời giải tốt nhất có tính cục bộ) thì phương pháp này lại bỏ qua mục tiêu khảo sát không gian tìm kiếm Ngược lại, phương pháp Tìm kiếm ngẫu nhiên cho phép thực hiện tốt mục tiêu khảo sát không gian tìm kiếm nhưng lại không chú ý đến việc khai thác những vùng đầy hứa hẹn của không gian để tìm ra lời giải tốt nhất

GA là phương pháp tìm kiếm tạo được sự cân đối đáng kể giữa hai mục tiêu nêu trên của bài toán tối ưu

Trong khi các phương pháp khác sử dụng cách tìm kiếm tối ưu xuất phát

từ một điểm ban đầu dịch chuyển đến một điểm khác theo những quy tắc nào đó thì ngược lại, TTDT xuất phát việc tìm kiếm trên một quần thể theo nhiều hướng khác nhau, do đó khả năng bị hạn chế vì gặp phải các lỗi trong không gian tìm kiếm của TTDT là nhỏ hơn so với các phương pháp khác, đồng thời tạo ra điều kiện trao đổi thông tin giữa các hướng thuận lợi, kịp thời hơn

Việc thực hiện phép tái sinh trong TTDT trên một quần thể đã liên tiếp

đưa ra những quần thể mới theo nguyên tắc : Quần thể sau phù hợp hơn quần thể

trước, do đó đã cung cấp được nhiều phương án tối ưu hơn so với các phương pháp tìm kiếm từng điểm từ một điểm ban đầu Kết quả này càng tỏ rõ lợi ích trong việc nhanh chóng tìm ra giá trị tối ưu (hệ số thích nghi có giá trị tối ưu nhất) và cho phép kiểm soát được không gian tìm kiếm chặt chẽ, tin cậy hơn,

Xuất phát từ nguyên lý tiến hoá tự nhiên, trong đó môi trường sống của các cá thể có vai trò vô cùng quan trọng, TTDT đã lấy hàm mục tiêu của bài toán làm hàm thích nghi và chỉ sử dụng hệ số thích nghi để đánh giá giá trị các phương án tối ưu Đây cũng là một ưu điểm của TTDT, nó tạo nên sự thuận tiện, linh hoạt và góp phần làm tăng độ chính xác của kết quả hơn so với các phương pháp tìm kiếm tối ưu khác khi mà các phương pháp này đòi hỏi nhiều thông tin phụ như các giá trị đạo hàm riêng tại các điểm tìm kiếm

Ngoài ra, về bản chất, TTDT thuộc lớp các thuật giải xác suất, nhưng vì TTDT kết hợp các phần tử tìm kiếm trực tiếp và ngẫu nhiên trong quá trình tìm kiếm nên nó đã khai thác khá triệt để những vùng tìm kiếm, không bỏ sót những khả năng tối ưu có thể có, và như vậy, tính ngẫu nhiên của TTDT là có định hướng hơn (do hàm thích nghi định hướng) so với các phương pháp tìm kiếm ngẫu nhiên khác

1.7 Nội dung cơ bản của TTDT [3]

TTDT mô phỏng bốn quá trình cơ bản, đó là : lai ghép, đột biến, sinh sản

và chọn lọc tự nhiên, cụ thể :

- Quá trình lai ghép (phép lai)

Phép lai là quá trình hình thành nhiễm sắc thể mới trên cơ sở các nhiễm sắc thể cha-mẹ, bằng cách ghép một hay nhiều đoạn gen của hai (hay nhiều)

như sau:

+ Chọn ngẫu nhiên hai (hay nhiều) cá thể bất kỳ trong quần thể Giả sử

+ Tạo một số ngẫu nhiên trong khoảng từ 1 đến m-1 (ta gọi là điểm lai)

+ Đưa hai cá thể mới này vào quần thể để tham gia các quá trình tiến hoá tiếp theo

- Quá trình đột biến (phép đột biến)

Đột biến là hiện tượng cá thể con mang một (hoặc một số) tính trạng

+ Chọn ngẫu nhiên một cá thể bất kỳ cha-mẹ trong quần thể

tiến hoá tiếp theo

- Quá trình sinh sản và chọn lọc (phép tái sinh và phép chọn)

Phép tái sinh là quá trình trong đó các cá thể được sao chép trên cơ sở độ thích nghi của nó Độ thích nghi là một hàm gán một giá trị thực cho các cá thể trong quần thể Quá trình này có thể được mô phỏng như sau:

+ Tính độ thích nghi của từng cá thể trong quần thể hiện hành, lập bảng

Phép chọn là quá trình loại bỏ các cá thể xấu trong quần thể để chỉ giữ lại trong quần thể các cá thể tốt Phép chọn có thể được mô phỏng như sau:

+ Sắp xếp quần thể theo thứ tự độ thích nghi giảm dần

+ Loại bỏ các cá thể cuối dãy để chỉ giữ lại n cá thể tốt nhất ở đây, ta giả

Một thuật giải di truyền, giải một bài toán được cho phải có năm thành phần sau:

Tính độ thích nghi cho các cá thể thuộc P(t);

Khi (điều kiện dừng chưa thoả mãn) lặp

Hết lặp

Kết thúc

1.8 Cơ chế thực hiện Thuật giải di truyền [3]

Để không mất tính tổng quát, ta giả định những bài toán tối ưu là bài toán

{ ( )}

max ) ( max ) (

min f x = g x = − f x

Hơn nữa, ta có thể giả định rằng hàm mục tiêu f có giá trị dương trên miền xác định của nó, nếu không, ta có thể cộng thêm một hằng số C dương, nghĩa là:maxg(x) = max{g(x) +C}(Vế trái và vế phải cùng đạt max tại một điểm x o )

Giả sử thêm là mỗi biến xi có thể nhận giá trị trong miền D i =[a i,b i]⊆Rvà

0

)

, ,

(x1 x k >

cho trước : Giả sử cần 6 số lẻ đối với giá trị các biến

10 )

1 2 10

mi Biểu diễn như trên, rõ ràng thỏa mãn điều kiện về độ chính xác yêu cầu

1 2 ) 001

111001

−

− +

=

i

m i i i

i

a b decimal

a

x

Bây giờ, mỗi nhiễm sắc thể( là một lời giải) được biểu diễn bằng chuỗi nhị

=

= k

i i

m m

1

b1]; ; nhóm mk bít cuối cùng biểu diễn giá trị trong khoảng [ak, bk]

Để khởi tạo quần thể, chỉ cần đơn giản tạo pop- size nhiễm sắc thể ngẫu nhiên theo từng bit Nên sử dụng lý thuyết xác suất để khởi tạo quần thể ban đầu

số thế hệ, khi không còn cải thiện thêm được gì nữa, nhiễm sắc thể tốt nhất sẽ

được xem như lời giải của bài toán tối ưu (thường là toàn cục) Thông thường, ta cho dừng thuật giải di truyền sau một số bước lặp cố định tùy thuộc điều kiện về tốc độ và năng lực máy tính

Đối với tiến trình chọn lọc (chọn quần thể mới thỏa mãn phân bố xác suất dựa trên các độ thích nghi), ta dùng bánh xe quay Rulet với các rãnh được định kích thước theo độ thích nghi Ta xây dựng bánh xe Rulet như sau (giả định rằng, các độ thích nghi đều dương, trong trường hợp ngược lại thì ta có thể dùng một vài phép biến đổi tương ứng để định lại tỷ lệ sao cho các độ thích nghi đều dương)

- Tìm tổng giá trị thích nghi toàn quần thể:

F= ∑=

size pop

- Phát sinh ngẫu nhiên một số r trong khoảng [0,1]

sắc thể thứ i, vi (2 i pop- size) sao cho qi-1 <r qi

Hiển nhiên, có thể sẽ có một số nhiễm sắc thể được chọn nhiều lần Điều này phù hợp với lý thuyết sơ đồ : Các nhiễm sắc thể tốt nhất có nhiều bản sao hơn, các nhiễm sắc thể trung bình không thay đổi, các nhiễm sắc thể kém nhất thì chết đi

Bây giờ ta có thể áp dụng phép toán di truyền: kết hợp, lai vào các cá thể trong quần thể mới, vừa được chọn từ quần thể cũ như trên Một trong những

nhiễm sắc thể này được dùng trong tác vụ lai tạo Ta tiến hành theo các cách sau:

Đối với mỗi nhiễm sắc thể trong quần thể (mới):

- Phát sinh ngẫu nhiên một số số r trong khoảng [0, 1];

Bây giờ, ta ghép đôi các nhiễm sắc thể đã được chọn được một cách ngẫu nhiên: đối với mỗi cặp nhiễm sắc thể được ghép đôi, ta phát sinh ngẫu nhiên một

số nguyên pos trong khoảng [1, m-1] (m là tổng chiều dài - số bít - của một nhiễm sắc thể) Số pos cho biết vị trí của điểm lai Hai nhiễm sắc thể:

(b1 b2 bposbpos+1 bm) và

(c1c2 cposcpos+1 cm )

được thay bằng một cặp con của chúng:

(b1 b2 bposcpos+1 cm) và

(c1c2 cposbpos+1 bm )

Phép toán kế tiếp, đột biến, được thực hiện trên cơ sở bit Một tham số

đợi Mỗi bít (trong tất cả các nhiễm sắc thể trong quần thể) có cơ hội bị đột biến như nhau, nghĩa là, đổi từ 0 thành 1 hoặc ngược lại Vì thế ta tiến hành theo cách sau đây

Đối với mỗi nhiễm sắc thể trong quần thể hiện hành ( nghĩa là sau khi lai )

và đối với mỗi bit trong nhiễm sắc thể:

- Phát sinh ngẫu nhiên một số r trong khoảng [0, 1];

- Nếu r < pm , hãy đột biến bit đó

Sau quá trình lọc, lai và đột biến, quần thể mới đến lượt lượng giá kế tiếp của nó Lượng giá được để xây dựng phân bố xác suất (cho tiến trình chọn lựa tiếp theo ), nghĩa là, để xây dựng lại bánh xe Rulet với các rãnh được định kích thước theo các giá trị thích nghi hiện hành Phần còn lại của tiến hóa chỉ là lặp lại chu trình của những bước trên

Không khó để theo dõi cá thể tốt nhất trong tiến trình tiến hoá Thông thường trong các cài đặt thuật giải di truyền) cá thể tốt “trội hơn cả” được lưu trữ tại một vị trí riêng biệt; bằng cách đó, thuật giải có thể duy trì cá thể tốt nhất tìm

được trong suốt quá trình (không chắc là cá thể tốt nhất trong quần thể cuối cùng)

Trong trường hợp bài toán cực tiểu hoá, cá thể phù hợp nhất lá cá thể có giá trị hàm mục tiêu bé nhất Hàm thích nghi chỉ là thước đo hiệu quả tương đối của cá thể trong Gas Thông thường phải có sự di chuyển đổi qua lại giữa hai loại hàm này Biểu thức chuyển đổi có dạng:

F(x)=g[f(x)]

Trong đó, f(x) là hàm mục tiêu; g là phiếm hàm chuyển đổi; F là hàm

thích nghi, có miền giá trị không âm

pháp hệ số không đổi (Constant Factor Method) và phương pháp hệ số thay đổi (Dynamic Factor Method) Sau đây sẽ phân tích chi tiết từng phương pháp

Phương pháp hệ số không đổi :

Trong trường hợp này, hàm thích nghi có được bằng cách trừ hàm mục tiêu bởi một hằng số không đổi (trong tất cả các thế hệ) Hằng số này phải có giá trị rất lớn để đảm bảo hàm thích nghi không âm:

F=U-f

Trong đó, F-trị số thích nghi của cá thể trong quần thể,

U- hằng số, có giá trị rất lớn

f-giá trị hàm mục tiêu+giá trị hàm phạt

Khó khăn lớn nhất của phương pháp này là tính hội tụ của bài toán tối ưu

Nó phụ thuộc rất nhiều vào việc chọn lựa hằng số U Nếu giá trị U chọn nhỏ, trong vài trường hợp hàm thích nghi sẽ nhận giá trị âm Ngược lại, nếu chọn U quá lớn, sẽ không thấy được sự khác nhau của giá trị thích nghi giữa các cá thể, mặc dù giá trị hàm mục tiêu có thay đổi Để khắc phục nhược điểm này, sử dụng phương pháp hệ số thay đổi

Phương pháp hệ số thay đổi

Với phương pháp này, giá trị hàm thích nghi phụ thuộc vào giá trị hàm mục tiêu ở thế hệ hiện tại:

F=fmax+fmin-f

Trong đó, F-trị số thích nghi của từng cá thể trong quần thể

quẩn thể

fmin- Giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu + giá trị hàm phạt trong quẩn thể

f- Giá trị hàm mục tiêu của các cá thể

1.9 Nguyên lý hoạt động Thuật giải di truyền [3]

Nền tảng lý thuyết của thuật giải di truyền dựa trên biểu chuỗi nhị phân và

lý thuyết sơ đồ Một sơ đồ là một chuỗi, dài bằng chuỗi nhiễm sắc thể, các thành phần của nó có thể nhận một trong những giá trị trong tập ký tự biễu diễn gen hoặc một ký tự đại diện "*" Sơ đồ biểu diễn một không gian con của không gian tìm kiếm Không gian con này là tập tất cả các chuỗi trong không gian lời giải

mà với mọi vị trí trong chuỗi, giá trị của gen trùng với giá trị của sơ đồ; ký tự

đại diện "*" có thể trùng khớp với bất kỳ ký tự biểu diễn gen nào

Các sơ đồ khác nhau có những đặc trưng khác nhau Các đặc trưng này thể hiện qua hai thuộc tính quan trọng : Bậc và chiều dài xác định

- Bậc của sơ đồ S (ký hiệu là o(S)) là số các vị trí 0 và 1 có trong sơ đồ

Đây chính là các vị trí cố định (không phải là những vị trí của ký tự đại diện), trong sơ đồ Nói cách khác, bậc là chiều dài của chuỗi trừ đi số ký tự đại diện Bậc xác định đặc trưng của sơ đồ

Khái niệm bậc của sơ đồ giúp cho việc tính xác suất sống còn của sơ đồ

do ảnh hưởng của đột biến

vị trí cố định ở đầu và cuối Nó định nghĩa "Độ nén" của thông tin chứa trong một sơ đồ

Như vậy, một sơ đồ chỉ có một vị trí cố định duy nhất thì sẽ có chiều dài xác định bằng 0

Khái niệm chiều dài xác định của sơ đồ giúp tính xác suất sống còn của sơ

giá P(t)) là lượng giá để tính độ thích nghi của các cá thể trong quần thể hiện hành Hiện tượng chủ yếu của chu trình tiến hóa xảy ra trong hai bước còn lại của: chọn lọc và tái kết hợp Dưới đây sẽ xét hiệu quả cụ thể của hai bước này

quần thể vào thời điểm t : F(t) =∑Pop−size

Sau bước chọn lọc, ta có ξ(S,t+ 1 ) chuỗi phù hợp với sơ đồ S Do:

+ Với mỗi chuỗi phù hợp với sơ đồ S, trung bình xác suất được chọn của

nó là eval(S, t)/F(t)

+ Chọn trong pop-size chuỗi,

Vậy:

ξ(S,t+ 1 ) =ξ(S,t) *pop−size*eval(S,t) /F(t)

Với F(t) =F(t) /pop−size là độ thích nghi trung bình của quần thể, ta có:

ξ(S,t+ 1 ) =ξ(S,t) *eval(S,t) /F(t)

Nói cách khác, số chuỗi trong quần thể tăng bằng với tỷ lệ độ thích nghi của sơ đồ với độ thích nghi trung bình của quần thể Điều này có nghĩa là sơ đồ

“trên trung bình” sẽ nhận được thêm số chuỗi trong quần thể thế hệ kế tiếp, sơ

đồ “ dưới trung bình” nhận số chuỗi giảm đi, còn sơ đồ trung bình vẫn giữ nguyên mức

Hệ quả lâu dài của luật trên cũng rõ ràng Nếu ta cho rằng sơ đồ S vẫn giữ trên trung bình ε% (nghĩa là, eval(S,t) =F(t) +ε*F(t), thì:

S t

Ta gọi phương trình ξ(S,t+ 1 ) =ξ(S,t) *eval(S,t) /F(t) là phương trình tăng trưởng sinh sản của sơ đồ

Tuy nhiên, chỉ riêng phép chọn thì không giới thiệu một điểm mới nào

đáng lưu tâm từ không gian tìm kiếm; chọn lọc chỉ sao chép một số chuỗi để hình thành quần thể trung gian Vì thế, bước thứ 3 - Tái kết hợp P(t) của chu kỳ tiến hoá, sẽ có nhiệm vụ giới thiệu những cá thể mới trong quần thể Bước thứ 3

được thực hiện bởi các phép toán di truyền: Lai và đột biến

- Về bước 3 : Tái kết hợp P(t)

+ Phép lai :

Xuất phát từ khái niệm, chiều dài xác định của sơ đồ đóng vai trò quan trọng trong xác suất bị loại bỏ hay tồn tại của sơ đồ

Và, các vị trí lai, trong số m-1 vị trí, có cơ hội được chọn ngang nhau

Điều này có nghĩa là xác suất bị loại của sơ đồ S là:

1

) ( ) (

−

=

m

s S

Có một điều quan trọng cần lưu ý là chỉ có một số nhiễm sắc thể trải qua

là:

1

) ( 1 ) (

Cũng chú ý rằng, ngay cả khi đã chọn một vị trí lai trong số các vị trí cố

định trong một sơ đồ, sơ đồ vẫn có cơ may tồn tại Do đó, ta nên hiệu chỉnh công thức xác suất tồn tại của sơ đồ:

1

) ( 1 ) (

Như vậy, tác động kết hợp của chọn lọc và lai cho ta một dạng mới của phương trình tăng trưởng của sơ đồ sinh sản:

+ =  − − 1 

) ( 1 ) ( / ) , ( ).

, ( ) 1 , (

m

S p t F t S eval t S t

Phương trình này cho biết kỳ vọng số chuỗi phù hợp với sơ đồ S trong thế

hệ kế tiếp là hàm của số chuỗi đúng của sơ đồ, về độ thích nghi tương đối của sơ

đồ và chiều dài xác định của nó Rõ ràng là sơ đồ trên trung bình có chiều dài xác định ngắn vẫn có thể có vô số chuỗi cá thể khớp với nó và tốc độ tăng theo luỹ thừa

+ Đột biến :

Phép đột biến thay đổi một vị trí trong nhiễm sắc thể một cách ngẫu nhiên

cố định của sơ đồ phải giữ không đổi nếu sơ đồ muốn tồn tại qua đột biến

sơ đồ S qua đột biến ( nghĩa là chuỗi các đột biến một-bit) là:

1

) ( 1 ) ( / ) , ( ).

, ( ) 1 ,

Chú ý rằng phương trình :

) ( 1 ) ( / ) , ( ).

, ( ) 1 ,

ξ

dựa trên giả định là hàm thích nghi f chỉ trả về các giá trị dương; khi áp dụng GA vào những bài toán tối ưu hoá mà ở đó hàm tối ưu có thể trả về các giá trị âm, ta cần có một số ánh xạ bổ sung giữa các hàm tối ưu và độ thich nghi

Tóm lại, phương trình tăng trưởng ξ(S,t+ 1 ) =ξ(S,t).eval(S,t) /F(t) cho biết chọn lọc làm tăng tốc độ tạo mẫu của các sơ đồ trên trung bình, và cho biết thay

đổi này là theo quan hệ luỹ thừa Việc tăng trưởng tự nó không đưa ra một sơ đồ mới nào (không được biểu hiện trong tạo mẫu ban đầu, lúc t = 0) Điều này chính là lý do mà phép lai được đưa vào để giúp việc trao đổi thông tin cấu trúc nhưng ngẫu nhiên Ngoài ra, phép lai đưa tính biến thiên cao hơn vào quần thể Tác động kết hợp (gây rối) của những phép này đối với một sơ đồ không hề quan trọng nếu sơ đồ ngắn và có bậc thấp

Kết quả cuối cùng của phương trình tăng trưởng :

1

) ( 1 ) ( / ) , ( ).

, ( ) 1 ,

Giả thuyết 1 (Giả thuyết khối kiến trúc) Thuật giải di truyền tìm việc

thực hiện gần tối ưu qua việc đặt gần nhau các sơ đồ ngắn, bậc thấp, hiệu quả cao, được gọi là các khối kiến trúc

So là sơ đồ ngắn, có bậc thấp và cũng trên trung bình (ít nhất là đối với các quần thể ban đầu) Sơ đồ này góp phần lớn trong việc tìm tối ưu

Dù đã có một số nghiên cứu được thực hiện nhằm chứng minh giả thuyết này, nhưng đối với hầu hết các ứng dụng khó, ta hầu như chỉ tin tưởng vào kết quả thực nghiệm Suốt 15 năm sau này, nhiều ứng dụng của GA đã được phát triển để hỗ trợ giả thiết kiến trúc trong nhiều lĩnh vực khác nhau Dù vậy, giả thiết này cho thấy là việc biểu diễn nhiễm sắc thể cho thuật giải di truyền có tính quyết định đối với việc thực hiện nó, và việc biểu diễn này cần thoả mãn ý tưởng

về các khối kiến trúc

Như đã trình bày ở trên, quần thể có pop-size cá thể chiều dài m tạo ra ít

có lợi : Chúng sinh sản theo tốc độ lũy thừa (đáng mong đợi), và không bị loại

bỏ bởi lai và đột biến (điều này có thể xảy ra cho các sơ đồ có chiều dài xác định lớn và bậc cao)

Holland đã chứng tỏ cho thấy rằng, ít nhất pop-size của chúng được xử lý một cách có ích - ông gọi thuộc tính này là cơ chế song song ẩn, vì nó đã đạt

được mà không cần bất cứ bộ nhớ ngoài hoặc nhu cầu xử lý nào

Trên đây đã trình bày một số giải thích lý thuyết về lý do thành công của thuật giải di truyền Nhưng hãy chú ý rằng giả thuyết về khối kiến trúc chỉ là vấn

đề tin tưởng và dễ bị xâm phạm trong một số bài toán : Một số khối kiến trúc (các sơ đồ ngắn, bậc thấp) có thể làm lạc hướng thuật giải di truyền và là cho nó hội tụ vào các điểm dưới tối ưu Hiện tượng này được gọi là bị lừa

1.10 Xử lý các ràng buộc

Cho đến lúc này, mới chỉ đề cập đến việc sử dụng thuậ giải di truyền để tìm kiếm tối ưu cho bài toán không có ràng buộc Tuy nhiên, trong thực tế, bài toán có thể chứa một hoặc nhiều ràng buộc phải thoả mãn Phần tiếp theo sẽ trình bày việc xử lý các ràng buộc trong GA Nói khác hơn, cách sử dụng GA để giải quyết các bài toán tối ưu có ràng buộc

Lời giải nhận được từ chiến lược tìm kiếm tối ưu nhất thiết phải nằm trong vùng khả thi, tức phải thoả mãn tất cả các ràng buộc Các ràng buộc được phân

thành hai loại: Ràng buộc dạng đẳng thức và ràng buộc dạng bất đẳng thức Trong kỹ thuật tối ưu sử dụng phép qui hoạch tuyến tính, các ràng buộc dạng bất

đẳng thức rất dễ cho lời giải tối ưu Nên các bất đẳng thức sẽ chuyển thành dạng

đẳng thức bằng các thêm vào cách thêm vào các biến thiếu hoặc thừa Ngược lại, trong GA, việc giải quyết các ràng buộc dạng đẳng thức như thế lại phiền toái Chúng được loại trừ ngay từ đầu cùng với số biến của bài toán bằng cách biểu diễn các biến phụ thuộc bởi các biến độc lập Do vậy, chúng ta chỉ đề cập đến các ràng buộc dạng bất đẳng thức

Trong những năm gần đây, đã có nhiều phương pháp được đề xuất để xử

lý các ràng buộc của thuật giải di truyền đối với bài toán qui hoạch phi NLP(Non-Linear Programming) Về cơ bản, có hai cách xử lý các ràng buộc, thuật toán sửa chữa (Repair Algorithms) và dùng hàm phạt (Penalty function) Thuật toán sửa chữa, ngăn ngừa sự tạo thành các cá thể vi phạm các ràng buộc (biến thiết kế nằm ngoài vùng khả thi) hoặc “chỉnh sửa” (repair) các cá thể không phù hợp (illegal individuals) (với ràng buộc) thành các cá thể phù hợp Cả hai cách làm trên đều rất khó đạt được lời giải tối ưu toàn cục Nếu ngăn ngừa sự tạo thành các cá thể không phù hợp, chúng ta có lẽ buộc GA hội tụ về lời giải tối

tuyến-ưu - không toàn cục Bên cạnh việc “chỉnh sửa” các cá thể không phù hợp, phải

bỏ bớt những cá thể rất gần với cá thể tốt nhất, nhưng vi phạm ràng buộc Mặt khác, nếu cố “chỉnh sửa” các nhiễm sắc thể sau khi đã hình thành, sẽ đánh mất tính đồng dạng (similarities) với cá thể cha-mẹ của thế hệ trước đó (parents) và vô tình phá mất sơ đồ dẫn đến lời giải tối ưu Điều này làm cho GA trở thành cơ chế tìm kiếm ngẫu nhiên (random search) với rất ít cơ hội để tìm ra lời giải tối

ưu Hơn nữa đối với một số bài toán, tiến trình chỉnh sửa có lẽ cũng khó ngang

Hàm phạt làm giảm độ thích nghi của cá thể không phù hợp Sự giảm này

tỷ lệ với sự mở rộng các ràng buộc bị vi phạm Khi đó, các cá thể vi phạm ràng buộc có lẽ sẽ không có cơ hội trở thành cá thể tốt nhất do độ thích nghi của chúng sẽ nhỏ hơn các cá thể khác