Hàm Elliptic luận văn thạc sĩ

Do đó nếu muốn tìm những hàm có vai trò trong lý thuyết hàm biến phức tương tự như các hàm lượng giác trong lý thuyết hàm biến thực, ta cần tìm nhưng hàm mà khi biết giá trị của chúng t

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM THỊ NGỌC HÀ

HÀM ELLIPTIC

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số : 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa hoc: GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái nguyên, Tháng 5, năm 2014 Người viết Luận văn

Phạm Thị Ngọc Hà

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành được luận văn một các hoàn chỉnh Tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của GS.TSKH Hà Huy Khoái (Viện Toán Hà Nội) Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri

ân nhất của tôi đối với những điều thầy đã dành cho tôi

Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Sau Đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp cao học K20 (2012 – 2014) Trường Đại học Sư Phạm – Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu, cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập

và thực hiện luận văn

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2014

Phạm Thị Ngọc Hà

MỤC LỤC

Lời cam doan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 : ÁNH XẠ BẢO GIÁC 1

1.1 Ý nghĩa hình học của argument đạo hàm 2

1.2 Ý nghĩa hình học của môđun đạo hàm 4

1.3 Định nghĩa 5

1.4 Ánh xạ thực hiện bởi hàm lũy thừa 5

1.5 Ánh xạ thực hiện bởi hàm mũ 8

1.6 Ánh xạ hình chữ nhật 15

1.7 Hàm có chu kỳ kép 17

1.8 Các cặp chu kỳ cơ bản 18

1.8.1 Định nghĩa 18

1.8.2 Một số định lý 19

Chương 2: CÁC HÀM ELLIPTIC 21

2.1 Định nghĩa và định lý 21

2.2 Xây dựng hàm Elliptic 24

2.2.1 Hàm Elliptic Weierstrass 24

2.2.2 Phương trình vi phân thỏa mãn bởi hàm p. 29

2.2.3 Biểu diễn hàm Elliptic qua hàm Weierstrass 30

2.3 Quan hệ đại số của các hàm elliptic 32

2.4 Một số ứng dụng của hàm Elipptic 32

2.4.1 Khai triển Laurend của hàm p z tại lân cận điểm 0 32

2.4.2 Dạng môđula 33

2.4.2.1 Nhón môđula 33

2.4.2.2 Miền cơ bản 34

2.4.2.3 Hàm môđula 34

2.4.3 Ứng dụng… 35

Kết luận chung 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO 38

MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong lý thuyết hàm biến số thực, các hàm lượng giác sinx, cosx đóng vai trò hết sức quan trọng Nguyên nhân chủ yếu là vì hàm sinx, cosx là các

kì 2  Nhưng trên mặt phẳng phức lại không có tính chất đó Do đó nếu

muốn tìm những hàm có vai trò trong lý thuyết hàm biến phức tương tự như các hàm lượng giác trong lý thuyết hàm biến thực, ta cần tìm nhưng hàm mà khi biết giá trị của chúng trên một hình bình hành, ta xác định được hàm trên mặt phẳng phức Để ý rằng, mặt phẳng phức có thể phủ kín bởi một số đếm được hình bình hành bằng nhau.Ý tưởng đó dẫn đến việc xét lớp hàm elliptic,

mà vai trò của chúng trong lý thuyết hàm biến phức quan trọng không kém vai trò của các hàm lượng giác trong lý thuyết hàm biến thực Lý thuyết các hàm elliptic có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học,cả lý thuyết và ứng dụng

Từ lý do trên tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn :

“ Hàm ELLIPTIC ”

II MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI

2.1 Trình bày một số kiến thức cơ sở của lý thuyết các hàm Elliptic

2.2 Một số ứng dụng của các hàm Elliptic

Chương 1 ÁNH XẠ BẢO GIÁC 1.1 Ý nghĩa hình học của argument đạo hàm

Giả sử w  f z là hàm số giải tích trên miền G Ta sẽ biểu diễn giá trị

phẳng của biến số độc lập z sẽ tương ứng với một điểm wuiv trên mặt

Gọi z là điểm bất kỳ trên miền G và C là đường cong cho trước có hướng xác định C đi qua z0 và có tiếp tuyến xác định tại z0 Giả sử f  z 0  0

trình của C là z  z t (0 t 1) thì phư ơng trình của  sẽ là:

học của argument  và môđun r của đạo hàm

Lấy điểm bất kỳ z0  z0 trên đường cong C và ký hiệu w0  w0 là điểm

tiến về điểm z0 trên đường cong C thì điểm tương ứng w0 w0 sẽ tiến về điểm w0 trên đường cong , trong đó z 0, w0 cùng tiến về 0

0

0 0 0

0

i r

z

w z

0

z w

z

w

z z

Ta giải thích ý nghĩa hình học của (1.1.c) sử dụng các hình 1 và hình 2

Rõ ràng, z0 z0  z0z0 được biểu diễn bởi vectơ nối điểm z0 với điểm

0

0 z

z   , còn w0 là vectơ nối từ điểm w0 đến điểm w0  w0 Suy ra arg z 0

là góc  nằm giữa hướng dương của trục Ox và vectơ z0 tương ứng, còn

C và  tại z0 và w0 Ta có thể viết (1.1.d) dưới dạng:

   hay    (1.1.e)

Ta quy ước hướng dương của trục Ox và Ou trùng nhau Khi đó, từ (1.1.e) ta có  là góc tiếp tuyến với C tại điểm z0 đã quay trong ánh xạ

 z

f

dạng :

   (1.1.f)

(1.1.f) ta có:    (1.1.g)

Để ý rằng góc   là góc giữa các tiếp tuyến tại điểm z0 với các

đầu và góc giữa hai tiếp tuyến của đường cong ảnh bằng nhau cả về độ lớn và

điểm ban đầu khi lấy giới hạn sẽ là r  f z0 không phụ thuộc vào hướng của

C Do đó có thể xem r f z0 là đại lượng đo tỷ lệ tại điểm z0 trong ánh xạ

tử vô cùng bé tại z0 Nếu r<1 thì ngược lại có sự co; nếu r 1 thì tỷ lệ này không đổi, nghĩa là phần tử vô cùng bé tại z0 được thay thế bởi phần tử vô

Vì r  f z0 chỉ phụ thuộc vào z0 mà không phụ thuộc vào hướng của

phụ thuộc vào hướng Vậy có thể nói rằng ánh xạ bởi hàm số giải tích

cong đó và hướng của góc không thay đổi

Ánh xạ w  f z được gọi là ánh xạ bảo giác trên miền D nếu f z bảo

Ánh xạ bảo giác là ánh xạ bảo toàn góc giữa hai đường cong trơn tùy ý theo đúng hướng quay của góc

1.4 Ánh xạ thực hiện bởi hàm lũy thừa

 Hàm lũy thừa và căn

Ta xét hàm trong lân cận điểm 0 bằng các sử dụng tọa độ cực

i  i

e w re

Như vậy góc tại điểm z 0 không được bảo toàn, mà tăng lên n lần

Tính bảo toàn góc cũng bị phá vỡ tại  Hàm

trùng với hàm ban đầu

n



2, lập lên bởi trục thực

dương và nửa đường thẳng xuất phát từ điểm 0 Góc

2) Ánh xạ nửa hình tròn tâm tại 0, bán kính 1 lên nửa mặt phẳng trên

z i z

Thực hiện ánh xạ nửa hình tròn bán kính 1, tâm tại 0 lên góc phần tư thứ nhất Dễ thấy rằng, hàm thực hiện ánh xạ góc phần tư thứ nhất lên nửa mặt phẳng trên là:

2

1

1 4

z

ánh xạ hình quạt lên nửa mặt phẳng trên

Ánh xạ miền giới nội đường tròn cắt nhau theo một góc

A z





tròn sẽ được chuyển thành một nửa đường thẳng xuất phát từ điểm 0, cung còn lại chuyển thành nửa đường thẳng từ 0, lập với nửa đường thẳng thứ nhất

A z

r e x,  y

2 0

thời biên trên của dải y 2 cũng tương ứng với bán trục này  2

e

trên có thể ánh xạ lên hình tròn Đối với một dãy tùy ý (với độ rộng tùy ý), ta

có thể dùng các phép tịnh tiến, quay và đồng dạng để đưa về dải trên đây, sau

đó ánh xạ lên hình tròn nhờ hàm đã mô tả

1.5.2 Ta cũng có thể sử dụng hàm mũ để biến miền giới nội bởi hai đường

tròn tiếp xúc trong lên hình tròn

Trước tiên ta dùng hàm phân tuyến tính ánh xạ điểm tiếp xúc của hai

gặp nhau ở , tức là thành hai đường thẳng song song nhau Như vậy, Miền đang xét ánh xạ lên một dải Từ đó, ta có thể ánh xạ lên hình tròn

1.5.3 Xét trong mặt phẳng w một tứ giác cong giới nội bởi các đường

.1

,1,

1,

trên đoạn ru  1 điểm z tương ứng vẽ lên đường y   còn x chạy từ

r

đường 1 u  r,z tương ứng chạy trên đường y  0 , 0  x logr. Như vậy, hàm

e

0

2 1

w C t a  t a  n dt

n

z

1 0

Trong đó a1,a2, ,a n là các điểm trên trục thực ứng với các đỉnh của đa

Trước tiên, ta có thể giả thiết rằng a1 a2  a n Biểu thức    1

1 2

a t

Hội tụ Mặt khác, gía trị của tích phân không phụ thuộc đường lấy tích

thức tích phân Cauchy và phép chuyển qua giới hạn) Từ đó suy ra tính lien tục của hàm  t tại z  Bây giờ ta giả sử z chạy dọc trục thực theo hướng

có thể tự cắt và có điểm bội

Ta sẽ chỉ ra rằng, các đoạn đường cong này, ứng với a ka,a k của trục thực, là các đoạn thẳng và vạch lên theo cùng một hướng Thật vậy, ta có:

z dz

không thay đổi khi z vẽ lên đoạn a k1a k, cho

dz

d

không triệt tiêu tại các điểm bên trong của đoạn

các đỉnh :

0

1 1

1

1

dt a

t a

t A

Ta chứng minh rằng, góc tại đỉnh A k nằm giữa các đoạn A k A k1và A k A k1

bằng  Thật vậy, các vectơ A k A k1 và A k A k1 được biểu diễn bởi các số phức :

k

k

n a

k

n a

Như vậy, hàm  z cho bởi công thưc (1.5.4.b) biến trục thực thành

điểm, đường gấp khúc có thể tự cắt và do đó không giới hạn một miền Tuy

mặt phẳng trên, lập tương ứng đơn trị hai chiều, liên tục giữa các điểm của trục thực và các điểm của chu vi đa giác Do đó, hàm này ánh xạ bảo giác nửa mặt phẳng lên phần trong của đa giác Ta đưa công thức (1.5.4.b) về dạng tổng quát hơn nhờ một biến đổi tuyến tính tương đương:

wC C1 (1.5.4.c)

Với biến đổi (1.5.4.c), ta có thể chuyển đa giác nhận được bởi công thức (1.5.4.b)

Như vậy, chỉ còn phải khẳng định điều sau đây: cho trước các số thực tùy ý

2

, 1 0

;

, ,

1  n k     n n

được chuyển thành chu vi đa giác đồng dạng với chu tuyến cho trước ( với các 1,2, ,n ) Vì rằng độ dài của các cạnh A k A k1 được cho bởi số:

Theo định lý Riemann , tồn tại hàm w  f z ánh xạ bảo giác nửa mặt

giữa trục thực với các điểm của chu vi đa giác Đặc biệt, ta có thể nói về các điểm a1,a2, ,a n của trục thực ứng với các đỉnh của đa giác Còn phải chứng

t a

t

0

1 1



được bằng cách khử ztừ hệ w f z ,  z Ta sẽ chứng minh rằng:

F  C C1

Xét hàm W  F  tại lân cận các đỉnh của đa giác P Ký hiệu qua k,

P,P được ánh xạ lên các miền Q , Q của các mặt phẳng t và s, biên của

k k

w w

1 1

F t

thác triển lên toàn lân cận của các điểm không trong các mặt phẳng t và s

Do đó,g t a1ta2t2  ,a i  0 ( vì s và t tương ứng 1-1)

Nhờ hàm g t tương ứng giữa  và w có thể viết như sau:

k k

k k

k s w g t t w

k g t g t d

dt dt

dw d

liên tục khi  dần đến đỉnh mà vẫn nằm trong đa giác

Như nậy, hàm



d

dw



d

dw

không triệt tiêu

dw d

dw

P,



d

dw

2

,2

,,2

,

w iw w w w

s k

1 , , 1 ,

1

lần lượt thành các đỉnh hình chữ nhật k  1 trong mặt phẳng 

Theo công thức Chustoffel-Schwarz ta có:

    1

1 1 1

1 1

1 1

1

11

1

1

C dt k t t

t k t

dt C

dt C

1

1 2 2

dt C

iw w

1

1

1 2 2 2

2 1

2 1

1

Từ đó, ta xác định được hằng số C

hình chữ nhật lên nửa mặt phẳng

Ký hiệu các cạnh của hình chữ nhật là I,II,III,IV

Mỗi cạnh của hình chữ nhật tương ứng với một đoạn trên trục thực của

ứng với các cạnh I,II,III,IV của hình chữ nhật

thác triển đối xứng, ta xây dựng được hàm s  trên toàn mặt phẳng  Để có được tương ứng đơn trị hai chiều các điểm của mặt phẳng  với các điểm

 

s

tùy ý Nếu 1,2 là các chu kỳ của hàm f z thì với mọi số nguyên

2 1

 

b na mb b b

a n m n

1 1

2 1

1 là

tồn tại số nguyên h và k với k>0 sao cho k h <

1





Như vậy, k2 k1 <  mà k2 h1 là một chu kỳ của f Điều đó có

Tập hợp 1,2 được gọi là lưới sinh bởi 1,2 Nếu không gây hiểu

1.8.2.2 Định nghĩa: Hai cặp số phức 1,2 và  '

2

1 , ' 

tỷ số giữa hai số cùng cặp không là số thực, được gọi là tương đương nếu

2 ' 1 2

b a

với hệ số nguyên, định thức ad – bc =  1 sao cho :

b a

b a

có tính chất như trong phát biểu định lý

Khi đó:

1 2 '

1

1 2 '

b a

2 ' 1 2

' 1

1 2

' 2

b a

,,'

Chương 2 CÁC HÀM ELLIPTIC2.1 Định nghĩa và định lý

2.1.1 Định nghĩa

Hàm biến số phức f được gọi là hàm Elliptic nếu nó có hai tính chất sau:

1/ f là hàm có chu kỳ kép

Elliptic khác hằng số, trước tiên ta cần thiết lập một số tính chất cơ bản của hàm Elliptic

2.1.2 Định lý: Hàm Elliptic khác hằng số có một cặp chu kỳ cơ bản

Chứng minh:

lập thành một miền ( chính là C trừ ra các cực điểm của f , mà tập các cực

1



n

với acgumen bé nhất Chu kỳ như vậy tồn tại do f có hai chu kỳ không cùng

giác với ba đỉnh 0, 1,2 không có chu kỳ nào khác Do đó, (1,2) là một

cặp chu kỳ cơ bản của hàm f

 Trường hàm Elliptic

Giả sử K là tập hợp các hàm elliptic chu kỳ 1,2 Khi đó ta có:

1) Mọi hằng số đều thuộc K

2) Nếu f1 K,f2K thì f1  f2K , f1.f2 K và K

f

f

 2

thuộc K

Như vậy, K là một trường

3) Nếu f1,f2, ,f nK thì hàm hữu tỷ tùy ý của f1,f2, ,f n cũng thuộc K

f trên mặt phẳng phức được xác định hoàn toàn bởi giá trị của nó

gọi là một hình bình hành chu kỳ của hàm f

có hữu hạn cực điểm trong mỗi hình bình hành chu kỳ

bình hành chu kỳ là như nhau ( mỗi cực điểm được kể một số lần bằng bội của nó)

2.1.3 Định nghĩa: Hàm elliptic f được gọi là có cấp r nếu nó có đúng r

cực điểm (kể cả bội ) trong mỗi hình bình hành chu kỳ

Chứng minh:

Giả sử f là hàm elliptic cấp 0, tức là f không có cực điểm trong hình

định lý Liouville suy ra f z là hằng số

2.1.5 Định lý: Tổng các thặng dư của hàm f  K tại mọi cực điểm trong hình bình hành chu kỳ bằng 0

Chứng minh:

Nếu cần thiết thì tịnh tiến hình thành chu kỳ theo một vectơ nhỏ, có thể

giả thiết rằng trên biên của hình bình hành chu ký với các đỉnh ABCD không

có cực điểm nào của hàm f Từ định lý thặng dư ta có:





r j

zj f res

1

ABCD

dz z f i



2

1

Trong đó z1,z2, z n là tất cả các cực điểm của f trong hình bình hành ABCD ( mỗi cực điểm được kể một số lần bằng bội của nó)

dz z f dz z f dz z f dz z

f ,    

BC dz z

DA zdz

f

2.1.6 Định lý: Không tồn tại hàm f  K có cấp r  1

Chứng minh:

hình bình hành chu kỳ Phần chính của khai triển hàm f z tại a có dạng

Đặt r, R lần lượt là khoảng cách nhỏ nhất và khoảng cách lớn nhất từ 0

đến biên của hình bình hành chứa 8 chu kỳ khác 0 đầu tiên Với mỗi chu kỳ

1



r n S nR

n R

R

8

2

8.288

2

8.28

1

18

18

K n

K k S n r n k

2.2.1.2 Bổ đề: Giả sử   2 và R 0 Khi đó chuỗi :

1 1





2.1.1.1 Bất đẳng thức trên đây tương đương với:

Để tìm M, ta xét mọi    với  R Chọn một chu kỳ  như vậy với

 nhỏ nhất, chẳng hạn  Rd,d  0 Khi đó, nếu r  R và  R  d, ta

có:

d R

R z

z z

M d

2.2.1.3 Định lý: Giả sử hàm f z xác định bởi chuỗi :

z f

với R 0 tùy ý Khi z nằm trong đĩa { z  R}, tổng thứ hai hội tụ tuyệt đối và đều nên xác định một hàm chỉnh hình trong đĩa đó Vì chỉ có hữu hạn chu kỳ

điểm cấp 3 tại các số  Còn phải chỉ ra f z có các chu kỳ 1,2 Ta có:

1 1

1





tụ tuyệt đối nên fz1 f z vì fz1 chỉ là sắp xếp lại thứ tự các số hạng của chuỗi f z

' 2

21







Lấy tích phân từng từ, ta nhận được chuỗi Weierstrass

2.2.1.4 Định nghĩa: Hàm elliptic Weierstrass được xác định bởi chuỗi:

z p

2 2 2

12