Luận văn thạc sĩ toán nghiệm cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích

Công thức biểu diễn hàm sốBiểu diễn hàm số qua sóng phẳng Biểu diễn hàm số qua tích phân của nó trên các siêu phẳng Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic tuyến tính không 1.4.. 14 14

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS HÀ TIẾN NGOẠN

HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn

Tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với

P G S T S H à T i ế n N g o ạ n ; thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn

tác giả hoàn thành Luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô Trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, cùng toàn thể đội ngũ giảng viên KhoaToán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện, trang bị kiến thức,phương pháp nghiên cứu để tác giả hoàn thành khoá học

Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Phạm Công Bình đã tạođiều kiện thuận lợi nhất cho tác giả trong suốt quá trình học tập vừa qua

Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn những người thân trong gia đình, tập thể lớpK16 Toán Giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, quý thầy cô đồngnghiệp trường THPT Phạm Công Bình và bạn bè đã giúp đỡ, động viên rấtnhiều trong quá trình học tập và nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn !

H à Nộ i , t h á n g 7 n ă m 2 0 1 Ậ Tác giả

Phan Đình Công\

Lời cam đoan

Dưới sự hướng dẫn của P G S T S H à T i ế n N g o ạ n , tác giả xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “ N g h i ệ m

c ơ b ả n c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h e l l i p t i c t u y ế n t í n h v ớ i h ệ s ố

l à c á c h à m g i ả i t í c h ” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của

bản thân tác giả, không trùng với bất cứ luận văn nào khác

Trong quá trình làm đề tài, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhàkhoa học với sự trân trọng và biết ơn

H à Nộ i , t h á n g 1 n ă m 2 0 í 4 Tác giả

Phan Đình Công

Công thức biểu diễn hàm số

Biểu diễn hàm số qua sóng phẳng

Biểu diễn hàm số qua tích phân của nó trên các siêu phẳng

Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic tuyến tính không

1.4

14 14

Bài toán Cauchy trong trường hợp vế phải đồng nhất bằng 1

Bài toán Cauchy với vế phải là hàm sóng phẳng

NGHIỆM Cơ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH Chương 2.

2 1 2 Định nghĩa nghiệm cơ bản

2.1.3 Xây dựng nghiệm cơ bản cho phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các

KẾT LUẬN 49

50 TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Đối với một số phương trình elliptic tuyến tính với hệ số hằng, nghiệm cơbản của chúng đã được các nhà toán học tìm ra công thức biểu diễn dưới dạngtường minh

Luận văn đặt vấn đề mô tả nghiệm cơ bản của phương trình elliptic tuyếntính với hệ số là các hàm giải tích bằng việc sử dụng công cụ các sóng phẳng

trong không gian nhiều chiều Với mong muốn được tìm hiểu s â u hơn v ề vấn đ ề này tác giả chọn đ ề t à i : “ N g h i ệ m c ơ b ả n c ủ a p h ư ơ n g

t r ì n h e l l i p t i c t u y ế n t í n h v ớ i h ệ s ố l à c á c h à m g i ả i

t í c h ”

Bố cục của luận văn gồm 2 chương

Chương 1 Luận văn trình bày các khái niệm về hàm sóng phẳng và một sốtính chất Phát biểu và chứng minh một số định lý về công thức biểu diễn mộthàm số bất kỳ qua hàm sóng phẳng Cũng trong chương này Luận văn trìnhbày bài toán Cauchy cho phương trình elliptic với các dữ kiện Cauchy đượccho trên siêu phẳng

Chương 2 Luận văn trình bày cách xác định nghiệm cơ bản của phươngtrình elliptic tuyến tính thông qua việc giải bài toán Cauchy ở Chương 1 Đồngthời đưa ra công thức nghiệm cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính với

hệ số là các hàm giải tích Cũng trong chương này Luận văn ứng dụng nghiệm

cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày các khái niệm sóng phẳng và công thức biểu diễn hàm số bất kỳqua các sóng phẳng, sau đó dẫn dắt ra công thức mô tả nghiệm cơ bản củaphương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu và tổng quan kết quả về nghiệm cơ bản của phương trìnhelliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

• Các chữ cái x , y , z , X , Y , Z , ^ , r } , C sẽ được thay thế cho các vectơ

( X ị , , x n ) , ( y x , , y n ) , , ( ( ị , , ( n ) trong không gian n

chiều, trong đó 71 > 2 Tất cả các chữ cái khác được thay thế cho các biến

vô hướng

n

• Tích vô hướng của vectơ у và ж được kí hiệu là y x = y i Xị

i=1

• Độ dài ( x x ) z của vectơ X là |xỊ.

• Phần tử thể tích d x 1, , d x n được viết tắt là d x , trong khi d S x

được kí hiệu phần tử diện tích mặt của một siêu mặt trong không gian n

chiều

• Mặt cầu đơn vị có bán kính 1 với tâm ở gốc tọa độ trong không gian X

được kí hiệu là í ì x , phần tử diện tích mặt cầu đơn vị là d u j x,

Định nghĩa 1.1 Cho g ( s ) là một hàm liên tục của biến vô hướng s , vectơ y =

( y i , , y n ) ^ 0 được cố định thuộc không gian Rn Hàm số g ( y x ) là một hàm theo biến X = ( x i , , xn) và nhận giá trị hằng số trên các siêu phẳng

mà vectơ y là pháp tuyến Hàm g ( y x ) được gọi là một sóng phẳng.

C h ứ n g m i n h Ta tính tích phân của g ( y x ) trong toàn hình cầu c ó

bán kính r với tâm ở gốc tọa độ bằng cách phân tích hình cầu thành các phần thiết diện vuông góc với hướng của y Trên mặt phẳng y x = \ y \ p có khoảng cách từ gốc là \ p \ , hàm g (x y ) có giá trị g (\ y \ p ) Phần giao ( n

— 1) chiều của mặt phẳng đó với hình cầu có diện tích (xem Hình 1.1)

U ! n _ 1 2

- v ) 2 ■

n — 1

2v^ _1r ( ^ )r(s±ỉ)i)

trong đó J„ là hàm Bessel với chỉ số V =

Với g(s) = |sỊfc và #(s) = Ịs|fclogỊs|, từ (- L1) ta nhận được các kết quả tương ứng sau đây

u (

1.3 Công thức biểu diễn hàm số

1.3.1 Biểu diễn hàm số qua sóng phẳng

C h ứ n g m i n h Ta xét một hàm f ( x ) tùy ý thuộc lớp C ị và bằng không

ngoài tập bị chặn nào đó Khi đó

trong đó là Laplace đối với các biến Z i , , z n

Với n = 2 hàm nhân trong (1.10) được thay thế bằng — log Iy — z \

với giả thiết rằng f ( x ) thỏa mãn điều kiện Hổlder.

Bây giờ ta chọn n chẵn cho đồng nhất thức (1.4), n lẻ cho đồng nhất thức (1.3), thay y bằng y — z , nhân hai vế với f ( y ) và lấy tích phân theo y (ta vẫn giả thiết rằng / là thuộc lớp C ị và bằng không ngoài tập bị chặn nào

đó) Ta chọn một số nguyên k không âm sao cho n + k là một số chẵn, và áp toán tử A z vào hai vế của đẳng thức cuối n ^ lần Ta

thấy, với

2

—n

2 — n

(1.13)

71 +

1.3.2 Biểu diễn hàm số qua tích phân của nó trên các siêu phẳng

công thức (1.8) cho n lẻ với k = 1 ta có

+ 00

JJf(y)\(y-z).x\d U l dy = Jdu>,J | p | dp J" f(y)dSy

Với hàm g này và tương ứng với V cho bởi (1.39) ta đặt

trong đó hàm v p ( x, £ , p ) được xác định trong Mục 1.4.3

Khi đó w (X, y) được xác định với X và y trong một lân cận e của điểm gốc tọa độ,

nó thuộc lớp C m theo X , và thỏa mãn phương trình

(a-J/)Ễ

= - Ị d u j Ệ Ị v p ( x , £ , t + y £ ) g ( t ) d t ,

õị 0 \ * / 1 I n T -i A n

hạn chế với nửa không gian ( ĩ ] > 0 Trong trường hợp tương tự (1.31)

ta tạo một biến mới của hằng số tích phân £' thay cho £ bởi công thức

Đối với mọi c trong phép thế trực giao |T(£',£)| = |£'|.

Thêm nữa = |£| £'.77 Với |£| = 1 biểu thức w trở thành

minh là hàm giải tích đối với các đối số của nó, khi đó những đối số là số thực

được thỏa mãn Ị;cỊ < £ , Ip \ / Ị£| < £ Hàm số T(£', £) là hàm giải

tích của ( bởi (2.14) với £.77 > 0, c là số thực, và thỏa mãn \ T \ = 1 với

£' trên ÍỈ£/ Hơn nữa cho s trong khoảng ước lượng của tích phân \ r s

Tập đóng trong (2.17) có thể được bao phủ hoàn toàn bởi một số hữu hạn các

lân cận của các điểm của bộ này, trong mỗi lân cận này w được biểu diễn bởi một chuỗi lũy thừa hội tụ Theo đó ta có thể chọn một e "

phổ dụng sao cho với mọi điểm x ° , y ° , r°, cg, số, £ /0 của (2.17) hàm chức năng w được biểu bởi một chuỗi theo x ữ ị — X i , y ị — y i : £? — ( i , r ° — r , s° — s , chúng

hội tụ tuyệt đối theo

\x — £°| < e", \y — y°\ < e", \r — r°| < e",

|e-e°|<e", |c - c°| < l^-^l <e".

Ta có thể viết các chuỗi như là các chuỗi độc lập theo

Xi - x ữ i, Vi - Vi, r - r°, Ci - c°

với các hệ số phụ thuộc vào £' và s

Các hệ số sẽ được cho bởi chuỗi lũy thừa theo

ổ - ổ s - s 0

và do đó sẽ là hàm giải tích của £' và s, và đặc biệt sẽ liên tục với

| s - s 0 | < £ " , |r-<£'°| < £ " •

Vì £'° và 5° là các điểm tùy ý trong tập |£'| = 1, |s| < 1, ta thấy rằng tồn tại e", sao

cho với x ° , y ° , r ° , c° trong tập

\x\ < e/3, M < e/3, \r\ < e/3, ICI = 1, £.77 > 1/2 (2.18)

hàm w được biểu diễn bởi chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối theo

Xị - x°ị, Vi - yl r - r°, Ci - (ỉ

với

ịx — £°| < e", \y — y ữ \ < e", \r - r°| < e", |c — c°| <■ (2.19)

đại diện w Lấy tích phân của các số hạng tích phân trong kết quả đó ta được

biểu thức của w với số dương r có dạng

Vậy w (X , y ) là hàm giải tích theo X , y , r , c trong (|2.18|) với r > 0.

Giả sử rằng r = \ x — y I, c = ( x — y ) /r, ta thấy w ( x , y ) là hàm giải tích

theo X và y với

„fc-ln k - lsigns