Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.. PHẦN RIÊNG 3,0 điểm Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần phần A hoặc B A.. Lập phương trình mặt cầu S có
Trang 1Sở GD&ĐT Bạc Liêu
Trường THPT Hiệp Thành
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM 2011
Môn: Toán; Khối: AB Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số 3 2
y=x + mx + m- x + (1), m là tham số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0 .
2. Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng D:y = - + tại 3 điểm phân biệt (0; 2) x 2 A ; B; C sao cho tam
giác MBCcó diện tích 2 2 , với M (3;1).
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình 2sin sin 2 cos sin 22 1 2 2
4
Câu III (1,0 điểm) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y=x y2; = 2 - x 2 . Tính thể tích của khối
tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ( a > 0) . Góc · ABC bằng 120 0
, cạnh
SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA= a . Gọi C ' là trung điểm cạnh SC. Mặt phẳng ( )a đi qua AC '
và song song với BD cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B D Tính thể tích khối chóp ', '. S AB C D ' ' '
Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực dương , , a b c Chứng minh rằng 2 2 2 ( ) 2
9
+ +
.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VIa (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có điểm A cố định nằm trên đường thẳng
( ) : 2D x-3y +14= , cạnh BC song song với ( ) 0 D , đường cao CH có phương trình x-2y - = Biết trung 1 0
điểm của cạnh AB là điểm M - ( 3;0) . Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C.
2. Trong khong gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz cho hai mặt phẳng (a1 : ) x-2y+2z - = ; 3 0
2
(a ) : 2x+y-2z- = và đường thẳng 3 0 ( ) : 2 4
- - . Lập phương trình mặt cầu (S) có
tâm I thuộc (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (a1 và ) (a 2 )
Câu VIIa (1,0 điểm) Cho hai số phức 1 3 6 ; 2 2 1
3
i
tương ứng là A, B. Chứng minh rằng tam giác OAB vuông tại O.
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VIb (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba đường thẳng D D D lần lượt có phương trình 31, 2, 3 x+4y + = , 5 0
4x-3y- =5 0,x-6y -10= 0. Viết phương trình đường tròn có tâmI thuộc đường thẳng D và 3
tiếp xúc với hai đường thẳng D D 1, 2
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm (4; 2;1). E Giả sử ( )a là mặt phẳng đi qua E và cắt tia
Ox tại M, tia Oy tại N, tia Oz tại P. Viết phương trình mặt phẳng ( )a khi tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất.
Câu VIIb (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
log ( ) log 2
2 2
log ( ) 1 log 2 log ( 3 )
xy
xy
ï
í
ï
î
Hết
www.laisac.page.tl
Trang 2Sở GD&ĐT Bạc Liêu
Trường THPT Hiệp Thành
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁNTHANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM 2011
Môn: Toán; Khối: AB Đáp án thang điểm gồm 4 trang
1. (1,0 điểm)
· Tập xác đinh: D= R
· Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: 2
' 3 3
y = x - , 'y =0Ûx = ± 1
0.25
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -¥ - ; 1 ) và ( 1; +¥ ) ,nghịch biến trên ( - 1;1 )
Giới hạn: lim ( 3 3 2) ; lim ( 3 3 2)
Bảng biến thiên:
x ¥ 1 1 +¥
'
y + 0 0 +
y 4 + ¥
0.25
· Đồ thị:
0,25
2. (1,0 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với ( ) D là: x3+2mx2 +3(m-1)x+2= - + x 2
2
é
Û ê
ë
0.25
Đường thẳng ( ) D cắt dồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;2), B, C Û
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
%
2 (0) 0 3 2 0
3
m hoacm
ì > <
D > ì - + >
î
0,25
Gọi B x y ( 1; 1 ) và C x y ( 2; 2 ) , trong đó x x là nghiệm của (2); 1, 2 y1= -x 1 + và 2 y1= -x 2 + 2
Ta có ( ; ( ) ) 3 1 2
2
h=d M D = + - 2 2.2 2 4
2
MBC
S
BC
h
Mà BC2 =(x2-x1)2+(y2-y1)2 =2 (é x2+x1)2 - 4 x x 1 2 ù
2 8(m -3m + 2)
0.25
I
(2,0 điểm)
Suy ra 2
8(m -3m + 2) =16 Û m = 0 (thoả mãn)hoặc m = 3 (thoả mãn)
0,25
1. (1,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đuơng với 2sin sin 2 cos sin 22 1 1 2
2
2 2sin sin 2x x-cos sin 2x x+ = + 1 1 sin 2 x
0.25
I
(2,0 điểm)
2sin cos sin 2 1 0
x
=
é
Û ê
Trang 33
1
2
2
k
é
ê
ê
ê
ê
0.25
3
3
3
;
2
;
1
2
2
k
k
p
p
p
é
ê
ê
ê
0,25
2. (1,0 điểm) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm, chia cả hai vế phương trình cho x 3 , ta được
3
1
- Đặt y 1 (y 0)
x
= ¹ Khi đó ta có 8y3-17y2+10y- =2 2 53 y 2 - 1
0.25
(2y 1) 2(2y 1) 5y 1 2 5y 1
Suy ra ( 3 2 )
f y- = f y - , trong đó f t( )=t3 + 2 t
0,25
Do f t( )=t3 + 2 t là hàm đồng biến trên R nên ( 3 2 )
f y- = f y - Û 2y- =1 3 5y 2 - 1
8y 17y 6y 0 y(8y 17y 6) 0
0.25
Giải ra tìm được y = (loại); 0 17 97
16
12
x
Þ = m
0,25 Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là: x2 = 2-x2 Û x = - 1 hoặc x = 1
0.25 Khi x Î - [ 1;1 ] thì 2-x 2 ³ 0 và đồ thị hàm số y=x y2; = 2 - x 2 cùng nằm phía trên trục Ox
0,25
1
2 4
1
2
-
=
1
3 5
1
44
2
x x x
-
Gọi O là giao điểm AC và BD; I là giao điểm SO
và AC’.
Trong mặt phẳng (SBD), qua I kẻ đường thẳng song song cắt SB, SD lần lượt tại B’ và D’
Từ BD^ (SAC )
0.25
III
(1,0 điểm)
IV
(1,0 điểm)
2
A
B
C
D
S
'
C
D’
O
I B’
Trang 4Do I là trọng tâm tam giác SAC ' ' 2 2
a
2 ' ' '
1 ' ' '
AB C D
a
Vậy đường cao h của hình chóp S AB C D ' ' ' chính là đường cao của tam giác đều
'
2
a
h
Þ =
3 ' ' ' ' ' '
.
S AB C D AB C D
a
0.25
Đặt biểu thức ở vế trái là M, áp dựng bbất đẳng thức 2 2 2 1 ( ) 2
3
x +y +z ³ x+y+ z ta được
2
2
M
³ ç + + + + + ÷ = ê + ç + + ÷ ú
(1)
0,25
Áp dụng bất đẳng thức x2 y2 z 2 ( x y z ) 2
+ +
+ + , ta có
b c a ab bc ca ab bc ca
+ +
+ + . (2)
0.25
Đặt S = ( a b c ) 2
ab bc ca
+ + + + , áp dụng bất đẳng thức
2 2 2
x +y +z ³xy+yz+ zx suy ra S ³ 3.
Từ (1) và (2) có 1 (3 2 ) 2
3
M ³ + S
0.25
V
(1,0 điểm)
9
+ +
2 (3 2 )S 27S (S 3)(4S 3) 0.
Û + ³ Û - - ³ luôn đúng vì S ³ 3 Dấu bằng xảy ra khi a=b= c
0.25
1. (1,0 điểm)
Vì AB^ CH nên AB có phương trình: 2x+y+ = c 0
Do M - ( 3;0) Î AB nên c = 6 . Vậy phương trình đuờng thẳng AB là: 2x+y + = 6 0
0.25
Do A Î D nên toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: 2 3 14 0 ( 4; 2)
x y
A
x y
- + =
ì
Þ -
í + + =
î
0.25
Vì M - ( 3;0) là trung điểm cạnh AB nên ( 2; 2) B - -
Cạnh BC song song với D và đi qua B nên BC có phương trình: 2(x+2) 3(- y +2)= 0
2x 3y 2 0
Û - - =
0.25
Vậy toạ độ điểm C là nghiệm của hệ: 2 3 2 0 (1; 0)
2 1 0
x y
C
x y
- - =
ì
Þ
í
- - =
î
0.25
2. (1,0 điểm)
Do tâm IÎ ( ) d nên I( - - -2 t ; 2 ; 4 3 t + t ) . 0.25 Mặt cấu (S) tiếp xúc với ( a1 ) và ( a ) khi và chỉ khi 2 d I( ; (a1)) = d I ( ; (a2 ) ) , thay vào ta giải
ra được t = - 1 12 hoặc 2 18
19
t = -
0.25
I - ÞR = I æç- ö ÷ ÞR =
0.25
VIa
(2,0 điểm)
Vậy ta có hai mặt cầu toả mãn yêu cầu bài toán là:
1
2
( ) :
0.25
Trang 5Ta có AB= z2-z 1 = 65 0.25
1 45
2 20
VIIa
(1,0 điểm)
Suy ra OA2+OB2 = AB 2 nên · 0
90
1. (1,0 điểm)
0
a
Û = hoặc 70
43
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:
2 2
C x- +y = C æçx- ö÷ +æçy - ö÷ = æç ö ÷
0.25
2. (1,0 điểm)
Giả sử M m( ; 0; 0 ,) ( N 0; ; 0 ,n ) ( P 0; 0; p ) (p>0), suy ra phương trình mặt phẳng (MNP là: ) x y z 1
m+n+ p =
0.25
3
6
VIb
(2,0 điểm)
Vậy phương trình mặt phẳng ( )a cần tìm là: 1
x y z
Điều kiện: 0
3 0
xy
x y
>
ì
í + >
î
Từ phương trình thứ nhất biến đổi tương đương ta có: log 3 log 3
4 xy-2 xy - = 2 0
0.25
Đặt log 3
2 xy ( 0)
t= t > , phương trình trở thành: t2 - - = t 2 0 Þ = t 2 Þlog3 xy= Û1 xy = (3) 3 0.25
Từ phương trình thứ hai biến đổi tương đương ta có: ( 2 2 ) ( )
log éë4 x +y ù û =log éë2x x+ 3 y ù û
Û ( 2 2 ) ( )
4 x +y =2x x+ 3 y Ûx2+2y2 = 3 xy (4)
0.25
VIIb
(1,0 điểm)
Từ (3), (4) giải ra ta có nghiệm của hệ phương trình là: ( 3; 3 ;) 6; 6
2
.
0.25
Hết
Trang 6Sở GD&ĐT Bạc Liêu
Trường THPT Hiệp Thành
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM 2011
Môn: Toán; Khối: D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số 3 2
y=x + mx + m- x + (1), m là tham số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0 .
2. Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng D:y = - + tại 3 điểm phân biệt (0; 2) x 2 A ; B; C sao cho tam
giác MBCcó diện tích 2 2 , với M (3;1).
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình 2sin sin 2 cos sin 22 1 2 2
4
2. Giải phương trình ( 3 2 2+ ) x-2( 2 1- ) x - = 3 0
Câu III (1,0 điểm) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y=x y2; = 2 - x 2 . Tính thể tích của khối
tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ( a > 0) . Góc · ABC bằng 120 0
, cạnh
SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA= a . Gọi C ' là trung điểm cạnh SC. Mặt phẳng ( )a đi qua AC '
và song song với BD cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B D Tính thể tích khối chóp ', '. S AB C D ' ' '
Câu V (1,0 điểm) Giả sử , , a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VIa (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có điểm A cố định nằm trên đường thẳng
( ) : 2D x-3y +14= , cạnh BC song song với ( ) 0 D , đường cao CH có phương trình x-2y - = Biết trung 1 0
điểm của cạnh AB là điểm M - ( 3;0) . Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C.
2. Trong khong gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz cho hai mặt phẳng (a1 : ) x-2y+2z - = ; 3 0
2
(a ) : 2x+y-2z- = và đường thẳng 3 0 ( ) : 2 4
- - . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I
thuộc (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (a1 và ) (a 2 )
Câu VIIa (1,0 điểm) Cho hai số phức 1 3 6 ; 2 2 1
3
i
tương ứng là A, B. Chứng minh rằng tam giác OAB vuông tại O.
B Theo chương trình nâng cao
Câu VIb (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba đường thẳng D D D lần lượt có phương trình 31, 2, 3 x+4y + = , 5 0
4x-3y- =5 0,x-6y -10= 0. Viết phương trình đường tròn có tâmI thuộc đường thẳng D và 3
tiếp xúc với hai đường thẳng D D 1, 2
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm (4; 2;1). E Giả sử ( )a là mặt phẳng đi qua E và cắt tia
Ox tại M, tia Oy tại N, tia Oz tại P. Viết phương trình mặt phẳng ( )a khi tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất.
Câu VIIb (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
log ( ) log 2
2 2
log ( ) 1 log 2 log ( 3 )
xy
xy
ï
í
ï
î
Hết
Trang 7Sở GD&ĐT Bạc Liêu
Trường THPT Hiệp Thành
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁNTHANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM 2011LẦN 2
Môn: Toán; Khối: D Đáp án thang điểm gồm 4 trang
1. (1,0 điểm)
· Tập xác đinh: D= R
· Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y'=3x 2 - , '3 y =0Ûx = ± 1
0.25
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -¥ - ; 1 ) và ( 1; +¥ ) , nghịch biến trên ( - 1;1 )
lim ( 3 2) ; lim ( 3 2)
Bảng biến thiên:
x ¥ 1 1 +¥
'
y + 0 0 +
y 4 + ¥
0.25
· Đồ thị:
0,25
2. (1,0 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với ( ) D là: 3 2
x + mx + m- x+ = - + x
2
é
Û ê
ë
0.25
Đường thẳng ( ) D cắt dồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;2), B, C Û
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
%
2 (0) 0 3 2 0
3
m hoacm
ì > <
D > ì - + >
î
0,25
Gọi B x y ( 1; 1 ) và C x y ( 2; 2 ) , trong đó x x là nghiệm của (2); 1, 2 y1= -x 1 + và 2 y1= -x 2 + 2
Ta có ( ; ( ) ) 3 1 2
2
h=d M D = + - 2 2.2 2 4
2
MBC
S
BC
h
Mà BC2 =(x2-x1)2+(y2-y1)2 =2 (éë x2+x1)2 - 4 x x 1 2 ù û = 8(m2 -3m + 2)
0.25
I
(2,0 điểm)
Suy ra 2
8(m -3m + 2) =16 Û m = 0 (thoả mãn)hoặc m = 3 (thoả mãn)
0,25
Trang 8Phương trình đã cho tương đuơng với 2sin sin 2 cos sin 22 1 1 2
2
2 2sin sin 2x x-cos sin 2x x+ = + 1 1 sin 2 x
0.25
2sin cos sin 2 1 0
x
=
é
Û ê
3
3
1
2
2
k
é
ê
ê
ê
ê
0.25
3
3
3
;
2
;
1
2
2
k
k
p
p
p
é
ê
ê
ê
0,25
2. (1,0 điểm) Phương trình tương đương với ( 2 1+ ) 2 x-2( 2 1- ) x - = 3 0 0.25
t
0,25 Phương trình trở thành 2 2 3
t
Giải ra ta có nghiệm của phương trình là: x = log 2 1 + 2
0,25 Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là: 2 2
x = -x Û x = - hoặc x = 1
0.25 Khi x Î - [ 1;1 ] thì 2
2-x ³ 0 và đồ thị hàm số 2 2
y=x y= - x cùng nằm phía trên trục Ox
0,25
1
2 4
1
2
-
=
1
3 5
1
44
2
x x x
-
Gọi O là giao điểm AC và BD; I là giao điểm SO
và AC’.
Trong mặt phẳng (SBD), qua I kẻ đường thẳng song song cắt SB, SD lần lượt tại B’ và D’
Từ BD^ (SAC )
0.25
I
(2,0 điểm)
III
(1,0 điểm)
IV
(1,0 điểm)
2
A
B
C
D
S
'
C
D’
O
I B’
Trang 9Do I là trọng tâm tam giác SAC ' ' 2 2
a
2 ' ' '
1 ' ' '
AB C D
a
Vậy đường cao h của hình chóp S AB C D ' ' ' chính là đường cao của tam giác đều
'
2
a
h
Þ =
3 ' ' ' ' ' '
.
S AB C D AB C D
a
0.25
Đặt x= + -b c a y, = + -c a b z , =a b c + - ( x>0,y>0,z > ) 0
P
0.25
Áp dụng bất đẳng thứcAMGM, ta được:
0.25
V
(1,0 điểm)
26.
P
Þ ³ Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 26.
x y z
0.25
1. (1,0 điểm)
Vì AB^ CH nên AB có phương trình: 2x+y+ = c 0
Do M - ( 3;0) Î AB nên c = 6 . Vậy phương trình đuờng thẳng AB là: 2x+y + = 6 0
0.25
Do A Î D nên toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: 2 3 14 0 ( 4; 2)
x y
A
x y
- + =
ì
Þ -
í + + =
î
0.25
Vì M - ( 3;0) là trung điểm cạnh AB nên ( 2; 2) B - -
Cạnh BC song song với D và đi qua B nên BC có phương trình: 2(x+2) 3(- y +2)= 0
2x 3y 2 0
Û - - =
0.25
Vậy toạ độ điểm C là nghiệm của hệ: 2 3 2 0 (1; 0)
2 1 0
x y
C
x y
- - =
ì
Þ
í
- - =
î
0.25
2. (1,0 điểm)
Do tâm IÎ ( ) d nên I( - - -2 t ; 2 ; 4 3 t + t ) . 0.25 Mặt cấu (S) tiếp xúc với ( a1 ) và ( a ) khi và chỉ khi 2 d I( ; (a1)) = d I ( ; (a2 ) ) , thay vào ta giải
ra được t = - 1 12 hoặc 2 18
19
t = -
0.25
I - ÞR = I æç- ö ÷ ÞR =
0.25
VIa
(2,0 điểm)
Vậy ta có hai mặt cầu toả mãn yêu cầu bài toán là:
1
2
( ) :
0.25
1 45
2 20
VIIa
(1,0 điểm)
Suy ra OA2+OB2 = AB 2 nên · 0
45
VIb 1. (1,0 điểm)
Trang 10Do IÎ D Þ3 I( 6a+ 10; a ) . 0.25
0
a
Û = hoặc 70
43
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:
2 2
C x- +y = C æçx- ö÷ +æçy - ö÷ = æç ö ÷
0.25
2. (1,0 điểm)
Giả sử M m( ; 0; 0 ,) ( N 0; ; 0 ,n ) ( P 0; 0; p ) (p>0), suy ra phương trình mặt phẳng (MNP là: ) x y z 1
m+n+ p =
0.25
3
6
(2,0 điểm)
Vậy phương trình mặt phẳng ( )a cần tìm là: 1
x y z
Điều kiện: 0
3 0
xy
x y
>
ì
í + >
î
Từ phương trình thứ nhất biến đổi tương đương ta có: log 3 log 3
4 xy-2 xy - = 2 0
0.25
Đặt log 3
2 xy ( 0)
t= t > , phương trình trở thành: t2 - - = t 2 0 Þ = t 2 Þlog2 xy= Û1 xy = (3) 2 0.25
Từ phương trình thứ hai biến đổi tương đương ta có: ( 2 2 ) ( )
log éë4 x +y ù û =log éë2x x+ 3 y ù û
Û ( 2 2 ) ( )
4 x +y =2x x+ 3 y Ûx2+2y2 = 3 xy (4)
0.25
VIIb
(1,0 điểm)
Từ (3), (4) giải ra ta có nghiệm của hệ phương trình là: ( 3; 3 ;) 6; 6
2
.
0.25
Hết
Giáo viên
Nguyễn Trọng Tiến