Đề thi Môn Giải tích 2005-2007 (ĐH Huế)

bộ giáo dục và đào tạođại học huế Họ và tên thí sinh:.... Kỳ thi tuyển sinh sau đại học năm 2005 Môn thi: Giải tích Dành cho Cao học Thời gian làm bài: 180phút Câu I.. a Chứng minh A là

Trang 1

bộ giáo dục và đào tạo

đại học huế

Họ và tên thí sinh:

Số báo danh:

Kỳ thi tuyển sinh sau đại học năm 2005

Môn thi: Giải tích

(Dành cho Cao học) Thời gian làm bài: 180phút

Câu I.

a. Cho dãy số thực (an)n mà chuỗi

∞ P n=1

a2

n hội tụ Chứng minh các chuỗi sau đây cũng hội tụ:

∞ X n=1

an

n3/4;

∞ X n=1

an+ 1 n

2

b. Chứng minh rằng nếu hàm f (x, y) liên tục theo từng biến x, y và đơn điệu theo biến y thì sẽ liên tục theo hai biến

Câu II. Cho (X, F , à) là không gian độ đo, f là hàm đo được và g là hàm khả tích trên

A ∈ F Chứng minh rằng với α, β là hai số thực cho trước, nếu α 6 f 6 β hầu khắp A, thì

có một số thực γ ∈ [α, β] sao cho

Z a

f |g|dà = γ

Z A

|g|dà

Câu III. Cho (X, d) là không gian metric

a. Giả sử K1, K2 là các tập con compact của X Chứng minh rằng tồn tại x1 ∈ K1, x2 ∈ K2 sao cho d(x1, x2) = d(K1, K2), với d(K1, K2) := inf{d(x, y)/x ∈ K1, y ∈ K2}

b. Giả sử K là tập compact, F là tập đóng trong X sao cho K ∩ F = ∅ Chứng minh rằng d(K, F ) > 0 Kết quả còn đúng không nếu thay K bằng tập đóng ?

c. Giả sử K là tập compact và F là tập đóng của X = Rk Chứng minh rằng tồn tại

x ∈ K, y ∈ F sao cho d(x, y) = d(K, F )

Câu IV. Giả sử L và M là hai không gian con tuyến tính đóng của không gian Banach X Chứng minh rằng nếu mỗi phần tử x ∈ X đều được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:

x = y + z, x ∈ L, z ∈ M thì tồn tại số K sao cho: kyk + kzk 6 Kkxk, ∀x ∈ X

Câu V. Giả sử {en} là một hệ thống trực chuẩn trong không gian Hilbert H, {λn} là một dãy số bị chặn Chứng minh rằng:

a. Chuỗi

∞ P

n=1

λnhx, enien hội tụ với mọi x ∈ H

b. Toán tử Ax =

∞ P n=1

λnhx, enien, x ∈ H là toán tử tuyến tính liên tục và tính kAk

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Trang 2

Bộ Giáo dục và đào tạo Họ và tên thí sinh:

Đại Học Huế Số báo danh:

Tr-ờng Đại học S- phạm

kỳ thi tuyển sinh sau đại học Đợt II - năm 2005

Môn thi: Giải tích

(Dành cho Cao học)

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 Xét chuỗi hàm

∞ X

n=1

u n với u n (x) = x

2n

1 − x2 n+1 , |x| < 1.

a) Với mỗi a : 0 < a < 1, chứng minh |u n (x)| ≤ a

n

1 − a ∀x ∈ [−a, a] Từ đó suy ra

∞ X

n=1

u n hội tụ

đều trên [−a, a].

b) Tính tổng S của chuỗi hàm

∞ X

n=1

u n trên (−1, 1).

Câu 2 Cho hàm hai biến:

f (x, y) =





−1 nếu y < x2

0 nếu y = x2

1 nếu y > x2 Chứng minh rằng hàm f (x, y) khả tích Riemann trên hình chữ nhật D = [−1, 2] ì [0, 5] và tính

ZZ

D

f (x, y)dxdy.

Câu 3 Cho (X, d) là không gian mêtric, A là tập con khác trống của X, x0 ∈ X và x0 ∈ A Đặt / d(x0, A) = inf

a∈A d(x0, a).

a) Giả sử A đóng, chứng minh d(x0, A) > 0.

b) Giả sử A compact, chứng minh tồn tại y0 ∈ A sao cho d(x0, A) = d(x0, y0).

c) Giả sử X = R n với mêtric Euclide thông th-ờng và A ⊂ R n là tập đóng Chứng minh tồn tại

y0 ∈ A sao cho d(x0, A) = d(x0, y0).

Câu 4 Trong không gian C[0, 1] với chuẩn "max" cho dãy (x n ) ⊂ C[0, 1] với x n (t) = 2nt

n4+ t2 ,

t ∈ [0, 1] và toán tử A : C[0, 1] → C[0, 1] cho bởi:

Ax(t) =

t

Z

0

x(s)ds, với x ∈ C[0, 1], t ∈ [0, 1].

a) Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục.

b) Chứng minh (Ax n ) hội tụ về 0 trong C[0, 1].

Câu 5 Giả sử {e n } là cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert H và X là không gian Banach Giả

sử A ∈ L(H, X) sao cho chuỗi

∞ X

n=1 kAe nk2 hội tụ Chứng minh A là toán tử compact.

Tran Mau Quy - http://quyndc.blogspot.com

Trang 3

đại học huế

Số báo danh:

Câu I.

a. Chứng minh :

∞ X n=1

1 (n + 1)√

n < 2.

b. Tìm miền hội tụ và xét sự hội tụ đều trên miền đó của chuỗi

∞ X n=0 x(1 − x)n

Câu II.

a. Xét dãy hàm số (fn)n∈N xác định bởi

fn(x) = e−(x−n)2, x ∈ R

Chứng minh rằng dãy hàm (fn)n hội tụ điểm khắp nơi (trên R) nh−ng không hội tụ theo độ đo Lebesgue trên R

b. Cho không gian độ đo (X, A, à) Giả sử f : X → R sao cho cả f và f2 đều khả tích trên X Chứng tỏ rằng nếu 1 6 p 6 2 thì |f |p khả tích trên X

Câu III. ChoX là một không gian Banach và F là một tập con đóng của X có tính chất

sau: với mọi x ∈ X đều tồn tại một số > 0 (phụ thuộc vào x) sao cho λx ∈ F, ∀λ ∈ [0, ].

Chứng minh rằng F phải chứa một hình cầu mở B(x0, r) nào đó

Câu IV. Chứng minh rằng:

f (x) =

0 Z

−1 x(t)dt −

1 Z 0 x(t)dt, x ∈ C[−1,1]

là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên C[−1,1] với chuẩn "max" Tính kf k

Câu V.

a. Giả sử H là không gian Hilbert, A : H → H là một toán tử tuyến tính thỏa mãn điều kiện:

hAx, yi = hx, Ayi, ∀x, y ∈ H

Chứng minh rằng A liên tục

b. Khi H là một không gian Hilbert phức, A ∈ L(H) và hAx, xi = 0, ∀x ∈ H

Chứng minh rằng A = 0

Trang 4

D - ˆ ` THI TUYˆ E E ’ N SINH SAU D - A I HO C Chuyˆ en ng` anh TO ´ AN, Mˆ on thi : GIA ’ I T´ICH

Th` o.i gian l` am b` ai: 180 ph´ ut

Cˆ au I Cho ha`m hai biêń sˆo´ f xać d¯i.nh trên R2 nhu sau:

f (x, y) =

( √xy

x 2 +y 2 nˆe´u x2+ y26= 0

0 nˆe´u x2+ y2 = 0

1 Kha’o sa´t tıńh kha’ vi cu’a ha`m sô´ trˆen ta.i d¯iê’m (0, 0).

2 Chú.ng minh r˘a`ng cać d¯a.o ha`m riêng cu’a ha`m sô´ f tô` n ta.i va` bi ch˘a.n trên R2 nhu.ng không liˆen tu.c ta.i d¯iê’m (0, 0).

Cˆau II Cho A, B l`a các tˆa.p con d¯óng cu’a không gian mêtric X thoa’ mãn A ∩ B = ∅.

V´o.i mˆo˜i x ∈ X ta d¯˘a.t

ϕ(x) = d(x, A)

d(x, A) + d(x, B)

1 Ch´u.ng minh ϕ l`a mô.t ánh xa liên tu.c tù X → R thoa’ mãn d¯iê` u kiˆe.n ϕ(x) ∈ [0, 1]

v´o.i mo.i x ∈ X.

2 D- ˘a.t G1 = ϕ−1(−∞,12), G2 = ϕ−1(12, +∞) Ch´ u.ng minh G1, G2 l`a hai tˆa.p mo’ thoa’. m˜an A ⊂ G1, B ⊂ G2 v`a G1∩ G2 = ∅.

Cˆ au III K´y hiˆe.u X = C1

0[0, 1] là không gian vecto gˆ`m có ac hàm sˆo´ x(t) kha’ vi liˆen tu.c o’ trˆ. en [0, 1] thoa’ d¯iˆ` u kiê e.n x(0) = 0 Vó i mô˜i x ∈ X ta d¯˘a.t

kxk = max

t∈[0,1]|x0(t)|

Kiê’m tra r˘a`ng k · k là mˆo.t chuâ’n trên X và chú ng minh (X, k · k) là mô.t không gian

Banach

Cˆau IV Cho {e1, e2, , en} là hê các vecto d¯ô.c lâ.p tuyêń t´ınh trong không gian d¯i.nh chuˆa’n X.

1 Chú.ng minh r˘a`ng tˆ`n ta.i các phiê´m hàm fo i ∈ X∗, i = 1, , n sao cho fi(ej) = δij,

o.’ d¯ˆay δij là ký hiê.u Kronecker

2 K´y hiˆe.u M = h{e1, e2, , en}i v`a d¯˘a.t A : X → X, Ax =

n X i=1

fi(x)ei v´o.i c´ac

fi d¯u.o. c xác d¯i.nh bo’ i cˆ. au 1 Ch´u.ng minh A l`a mô.t ánh xa tuyêń t´ınh liên tu.c và

X = M ⊕ Ker A.

3 Cho Y c˜ung là mˆo.t không gian d¯i.nh chuâ’n và (Aα)α∈I là mô.t ho các ánh xa tuyêń t´ınh liên tu.c tù X vào Y D - ˘a.t Q = {x ∈ X | sup

α∈I

kAαxk ≤ 1} v`a gia’ su.’ intQ 6= ∅ Ch´u.ng minh r˘a`ng sup

α∈I

kAαk < +∞.

Ghi chó: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm

Trang 5

đại học huế

Số báo danh:

Câu I.

a. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm :

∞ P n=1

1

n lnnx.

b. Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm

∞ P n=1

1 (x + n)(x + n + 1) trên miền (0; +∞).

c. Tính tích phân:

Z Z D (x2+ y2)dxdy

trong đó: D = {(x; y) ∈ R2/2ax 6 x2+ y2 6 2bx}, 0 < a < b

Câu II. Cho X là tập gồm tất cả các tập con compact khác ∅ của R

a. Với mọi x ∈ R, đặt d(x, A) = inf{|x − y| : y ∈ A} Chứng minh rằng, với mọi

x ∈ R, A ∈ X, tồn tại x0 ∈ A sao cho |x − x0| = d(x, A)

b. Gọi d : X ì X → R là ánh xạ đ−ợc xác định nh− sau:

d(A, B) := inf{δ : A ⊂ Bδ, B ⊂ Aδ}, trong đó, Aδ= {x ∈ R : d(x, A) 6 δ} Chứng minh rằng d là một metric trên X

Câu III. Ký hiệu X = C[0,2] là không gian định chuẩn các hàm số liên tục trên [0, 2] với chuẩn:

kxk = max{|x(t)| : t ∈ [0, 2]}

và không gian con Y = x ∈ X : x(0) = 0 của X

Cho ánh xạ A : X → Y, x 7→ Ax xác định bởi:

Ax(t) =

t Z 0 x(s)ds; t ∈ [0, 2]

a. Chứng minh rằng A là toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y

b. Tính kAk ánh xạ A có phải là một toàn ánh không ?

Câu IV. Cho không gian Hilbert phức H và tập hợp {φn|n ∈ N} ⊂ H thỏa mãn kφnk = 1 với mọi n ∈ N và sao cho với mọi f ∈ H, ta có:

kf k2 =

∞ X n=1

|hf, φni|2 Chứng minh rằng:

a {φn|n ∈ N} là một cơ sở trực chuẩn của H

b. Dãy (φn)n∈N hội tụ yếu đến 0

Trang 6

BO GIAO

DAI

VA DAO TAO HUE

Ho vd, ten thi sinh:

56 b6o danh:

DVC

H Q C

M6n thi: Giai tich (dd,nh cho Cao hp r) Thdi gi,an ld,m bd,i,; 180 phirt CAu I

1 C h o h d m h a i b i 6 n f (r,a)

KliAo s6t tinh liOn tuc cria hilm /

1 x ' , A 2 f

lr6n hsp

n 6 u ( * , y ) + ( 0 , 0 ) ,

n 6 u ( * , a ) - ( 0 , 0 )

Chirng minh rHng dao hA"m riOng

c i a R hoi tu vb 0

, 2 + a''

0 ,

t a i d i d m ( 0 , 0 ) tai (huu hat)

2 F_{i 1I I

P ' ^

t z ' J ' ) 4 ) s ) "

Cdu III Kj' liiOu X : co

z KhAo s6,t su hoi tu dbu cria chu6i hd,m f ," i" ,,fu tr6n c6,c tAp sau:

fl':L

Cdu II Trong khong gian metric IR v6i khoAng c6ch thong thulng, chitng minh rXng,

1 E - {t,2, 1, 1, 1,

! u - L ^ ' - , 2 , 3 ) 4 ) 1 n ' ) * ^ ^ ^ Y " " 7

, 1, ) U.Ong phai th, mot t6,p con compact)

th, khong gian dinh chudn gbm c6c day s6 thuc

l l r l l - s u p l r n l , , Y r - ( r ) n e c o

l l s l l - WiZ, v a - ( a r , ., u n ) e Y

V6i m6i s6 tu nhien k ta x6t 5nh x? An : X * Y x6"c dinh bdi

A n r - ( " n + r , f r 1 x a 2 t ' ' ) r k + n ) , Y r : ( r t ) z e N € X

1 Chirng minh Ap lit" c6,c 6nh xa tuy6n tinh lien tuc tri X vh,o Y

2 Chirng td rXng

CAu IV Tren khong gian Hilbert phitc 12 vsi tich vo hu6ng

/ \ S

' " _ :

Cho o - (a), ie mQt duy c5,c s6 phric bi ch5,n vA, ,4 : 12 - t2 Ib" mot to5,n trl ducvc

1 Chirng minh rXng ,4 th mQt to6n trl tuy6n tinh lien tuc vd, tinh chudn c:d:a A.

2 Tim to6n trl liOn hiep A* cia A Khi nb,o thi A ld mQt to6n tr] tu lien hiep?

v6i chudn

v b , Y - l R ' v 6 i

Ghi chri z Cd,n bo coi, thi, khong gi,d,i, thi,ch gi, th€m

Trang 7

Bô Giáo du.c và D- ào ta.o K `Y THI TUYÊ’N SINH SAU D- A.I HO.C N˘AM

D- a.i ho.c Huˆe´ D - ˆ ` thi tuyˆ e e’n sinh Cao ho c

Mˆon thi : Gia’i t´ ıch Thò.i gian làm bài: 180 phút

Cˆ au 1.

1 Cho (xn)n là mˆo.t dãy t˘ang, bi ch˘a.n trên và xn > 0 v´ o.i mo.i n ∈ N Chú.ng minh chuô˜i sô´ sau d¯ây hô.i tu.:

∞ X n=1

1 − xn

xn+1

2 T`ım miˆ` n hê o.i tu và t´ınh tô’ng cu’a chuô˜i hàm ( biê’u diêñ b˘a`ng hàm sô´ so câ´p) cu’a chuô˜i lu˜y thù.a:

∞ X n=1

x2n 2n − 1 .

Cˆau 2 Cho (X, dX), (Y, dY) là hai không gian mêtric trong d¯´o X l`a compact Ký hiˆe.u C(X, Y ) là tâ.p ho p c´. ac ánh xa liên tu.c tù X vào Y Gia’ su.’ f, g ∈ C(X, Y ).

1 D- ˘a.t ϕ(x) = dY(f (x), g(x)) Ch´ u.ng minh ϕ(x) là mˆo.t hàm sô´ liên tu.c trên X.

2 V´o.i f, g ∈ C(X, Y ) ta d¯˘a.t d(f, g) = maxx∈Xϕ(x) Ch´ u.ng minh d là mô.t mêtric trˆen C(X, Y ).

3 Gia’ su.’ Y là mô.t không gian d¯â` y d¯u’ Ch´u.ng minh C(X, Y ) c˜ung là mô.t không gian d¯ˆ` y d¯u’.a

Cˆau 3 Cho X l`a mô.t không gian d¯i.nh chuâ’n thu c..

1 Gia’ su.’ x1, x2, , xn là các vecto d¯ˆo.c lâ.p tuyêń t´ınh trong X Chú.ng minh r˘a`ng tˆ`n ta.i các phiê´m hàm tuyêń t´ınh liên tu.c xo ∗

1, , x∗n ∈ X∗ sao cho

x∗i(xj) =

(

1, nˆe´u i = j

0, nˆe´u i 6= j

2 Cho M l`a mˆo.t tâ.p con cu’a X và x0 ∈ X K´y hiˆe.u Y = hMi là không gian con cu’a X sinh bo ’ i M Ch´u.ng minh r˘a`ng x0 ∈ Y khi v`a chı’ khi v´o.i mo.i x∗ ∈ X∗ thoa’ d¯iˆ` ue kiˆe.n x∗(M ) = {0} th`ı x∗(x0) = 0.

Cˆau 4 Cho {en, n ∈ N} là mô.t hê tru c chuˆ. a’n trong khˆong gian Hilbert H v`a

(λn)n là mô.t dãy sô´ bi ch˘a.n Chú.ng minh

1 V´o.i mo.i x ∈ H, chuˆo˜i

∞ X n=1

λnhx, enien hˆo.i tu trong H.

2 D- ˘a.t Ax =

∞ X n=1

λnhx, enien v´o.i mo.i x ∈ H Chú ng minh A là toán tu.’ tuyêń t´ınh

liˆen tu.c trˆen H T´ınh kAk.

Cˆau 5 Cho X l`a mˆo.t không gian d¯i.nh chuâ’n và M là mô.t tâ.p con cu’a X Gia’

su.’ v´o.i mo.i f ∈ X∗ ta c´o sup

x∈M

|f (x)| < +∞ Ch´u.ng minh r˘a`ng M là mô.t tâ.p bi ch˘a.n

trong X.

Trang 8

Bô Giáo du.c và D- ào ta.o K `Y THI TUYÊ’N SINH SAU D- A.I HO.C N˘AM

D- a.i ho.c Huˆe´ D - ˆ ` thi tuyˆ e e’n sinh Cao ho c

Mˆon thi : Gia’i t´ ıch Thò.i gian làm bài: 180 phút

Cˆ au 1.

1 Kha’o sát su. hô.i tu cu’a chuô˜i sô´ sau d¯ây:

∞ X n=1

ln(1 + n)

nα , α > 1

2 Kha’o sát su. hô.i tu d¯ê` u cu’a chuô˜i hàm:

∞ X n=1

2nsin 1

3nx, x > 0.

Cˆ au 2 K´y hiˆe.u N = {1, 2, 3, , } là tâ.p ho p c´. ac sô´ nguyên tu. nhiên D- ˘a.t

d(m, n) =

(

0 nˆe´u m = n

1 + 1

m + n nˆe´u m 6= n.

1 Chú.ng minh d là mˆo.t mêtric trên tâ.p N và (N, d) là mô.t không gian mêtric

d¯ˆ` y d¯u’.a

2 Ký hiê.u Bn0 là các h`ınh cˆ` u d¯á ong có tâm là n và bán k´ınh là 1 + 1

2n trong N. Ch´u.ng to’ r˘a`ng

∞

\ n=1

Bn0 = ∅

Cˆ au 3 K´y hiê.u X = C[0,1] là không gian d¯i.nh chuâ’n các hàm sô´ liên tu.c trên [0, 1] vó.i chuâ’n “max” D- ˘a.t

M = {x ∈ C[0,1] : x(0) = 1, 0 ≤ x(t) ≤ 1, ∀t ∈ [0, 1]}

1 Chú.ng minh r˘a`ng M là mô.t tâ.p d¯óng và bi ch˘a.n trong C[0,1]

2 Xét hàm sô´ f : C[0,1] → R x´ac d¯i.nh bo’ i cˆ. ong thú.c f (x) =R1

0 x2(t)dt Chú.ng minh r˘a`ng f liên tu.c trên tâ.p M nhu.ng f không d¯a.t d¯u.o c giá tri nho’ nhâ´t trên M

Tâ.p M có pha’i là tâ.p compact không?

Cˆ au 4 Cho H l`a mô.t không gian Hilbert và M là mô.t tâ.p con lôì, d¯óng và khác trôńg trong H và x0 ∈ H Chú.ng minh r˘a`ng tˆ`n ta.i duy nhâ´t mô.t phâo ` n tu.’ y ∈ M sao cho

kx0 − yk = inf

u∈M{kx0− uk}

Cˆ au 5 Cho X l`a mô.t không gian d¯i.nh chuâ’n thu c v`. a f : X → R l`a mô.t phiê´m hàm tuyêń t´ınh Chú.ng minh r˘a`ng f ∈ X∗

khi và chı’ khi tâ.p M = {x ∈ X : f(x) ≥ 1} là mô.t tâ.p d¯óng trong X

Trang 9

đại học huế

Số báo danh:

Môn thi: đại số

Câu I. Cho G = hai là một nhóm xiclic cấp n sinh bởi phần tử a và b = ak Ký hiệu d là

ước chung lớn nhất của n và k Chứng minh rằng:

a. Cấp của b bằng n

d và G = hbi khi và chỉ khi d = 1 Suy ra các phần tử sinh của G.

b. Nếu q là ước của n thì trong G tồn tại một nhóm con cấp q và nhóm con này là xiclic

Câu II.

a. Cho Z là vành số nguyên và R là vành tùy ý với phần tử đơn vị e Chứng minh rằng

ánh xạ

ϕ : Z → R

m 7→ m.e

là một đồng cấu vành Xác định ảnh Imϕ của đồng cấu ϕ

b. Tìm ví dụ về một vành R có đơn vị e 6= 0 sao cho tồn tại phần tử x ∈ R thỏa điều kiện Rx ⊂ xR và Rx 6= xR

Câu III. Cho K là một trường và cho hai hệ phương trình tuyến tính thuần nhất theo n biến

x1, x2, , xn:

với X =







x1

xn





, và A = (aij), B = (bij) là các ma trận m hàng, n cột có số hạng trong

K Chứng tỏ rằng nghiệm của hệ (1) và nghiệm của hệ (2) là trùng nhau khi và chỉ khi tồn tại ma trận không suy biến C ∈ Mmìn(K) sao cho A = CB

Câu IV. Với mỗi ma trận A, ta định nghĩa hạng của A là số các cột độc lập tuyến tính của A, ký hiệu rA Chứng minh rằng:

a. Nếu f : V → W là một ánh xạ tuyến tính của các không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường K có ma trân đối với cặp cơ sở của V và W là A thì rA=dim(Imf )

b. Nếu A và B là hai ma trận cùng cấp và C = A + B thì rC 6 rA+ rB

Trang 10

đại học huế

Số báo danh:

Môn thi: đại số

Câu I.

1 Cho G là một nhóm hữu hạn Một phần tử x ∈ G được gọi là không sinh nếu tính chất sau được thỏa mãn: với mọi tập con S của G, đẳng thức G = hS, xi kéo theo G = hSi Một nhóm con thực sự K của G được gọi là cực đại nếu không tồn tại nhóm con L

nào của G chứa K sao cho L 6= K, L 6= G Đặt:

Φ(G) = {x ∈ G|x là không sinh}

M = {K ⊂ G|K là nhóm con cực đại của G}

Chứng tỏ rằng Φ(G) = T

K∈M

K Suy ra Φ(G) là một nhóm con của G

2 Chứng minh rằng nếu G là nhóm chỉ có 2 nhóm con tầm thường là {e} và G thì G là xiclic hữu hạn cấp nguyên tố

Câu II. Cho R là một vành có nhiều hơn một phần tử Chứng minh các khẳng định sau:

1 Nếu R hữu hạn có đơn vị thì mọi phần tử của R không phải là ước của 0 đều khả nghịch

2 Nếu với mọi a ∈ R, a 6= 0, tồn tại duy nhất b ∈ R (phụ thuộc a) thỏa aba = a thì R là một thể

Câu III. Giả sử A là một ma trận vuông cấp n trên trường số thực R có dạng:







α1 1 0 0

α2 0 1 0

αnư1 0 0 1

αn 0 0 0







1 Hãy chỉ ra một vectơ x ∈ Rn sao cho các vectơ x, Ax, A2x, Anư1x độc lập tuyến tính

2 Chứng minh rằng nếu ma trận A chéo hóa thành ma trận có β1, β2, , βn trên đường chéo chính thì tất cả các số β1, β2, , βn đều khác nhau từng đôi một

Câu IV.Gọi Vn+1 là không gian vectơ các đa thức hệ số phức, bậc bé hơn hoặc bằng n Xét

ánh xạ ϕ : Vn+1 → Vn+1 xác định bởi:

[ϕ(g)](x) = g(x + 1) ư g(x), ∀g ∈ Vn+1 Chứng tỏ:

1 Hệ u0 = 1, u1(x) = x, u2(x) = x(x ư 1), , un(x) = x(x ư 1) (x ư n + 1) là một cơ sở của không gian vectơ Vn+1

2 ánh xạ ϕ là một tự đồng cấu tuyến tính Xác định Im(ϕ) và Ker(ϕ)

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	1,52 MB