Sơ lược đa tạp trên tập khả vi

Cho tập hợp X , là tập hợp các tập con của X thỏa mãn các điều kiện sau: , / Giao của 2 phần tử của thì thuộc Hợp tùy ý các phần tử của thì thuộc Nếu tập hợp thỏa mãn các điều kiện trê

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1 Nhắc lại một số khái niệm về tập hợp

Cho A và B là 2 tập hợp, B gọi là tập con của A nếu mọi phần tử của B đều thuộc A Ký hiệu là B A Tập rỗng ký hiệu là /o

ef

d

B A b B b A Tích Decac (tích trực tiếp) của 2 tập hợp A và B là một tập hợp mà mỗi phần tử của nó đều

Một quan hệ trên tập A là tập con ~ của A A ta viết a~b nếu a b, ~ Một quan hệ ~

trên A đgl một quan hệ tương đương nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

2 Nhắc lại một số khái niệm về Đại số tuyến tính

Cho tập hợp X o /

Nếu ,x y X mà x y X gọi là phép cộng

Nếu x X và số mà x X gọi là phép nhân vô hướng

Tập hợp X với 2 phép toán trên đgl không gian vectơ nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

Không gian vectơ gọi là không vectơ thực hay phức nêu  hay 

Nếu X là không gian vectơ thì x X đgl vectơ

Hệ x x1, 2, ,x n gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số 1, 2, , n không đồng thời bằng 0 sao cho 1 1x 2 2x n x n 0

Bài 1

Hệ x x1, 2, ,x n không phụ thuộc tính thì gọi là độc lập tuyến tính

Cho hệ vectơ B x x1, 2, ,x n , x X x: 1 1x 2 2x n n x thì vectơ x đgl biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ B và B đgl tập sinh của không gian vectơ X

Hệ B x x1, 2, ,x n đgl cơ sở của không gian vectơ X nếu hệ B độc lập tuyến tính và là tập sinh của X

Không gian vectơ X đgl hữu hạn chiều nếu X chứa một cơ sở hữu hạn các vectơ

Cho không gian vectơ X và tập hợp B o , B/ X đgl không gian vectơ con của X nếu

Cho U V là 2 không gian vectơ trên trường K (, K ,K  ) Tổng trực tiếp của U V là ,

một không gian vectơ được ký hiệu là U V

Phép biến đổi tuyến tính trên không gian vecto V là phép gán tương ứng mỗi phần tử x V ,

một vecto Ax trong V sao cho A x y Ax Ay , với , là số bất kỳ

Một hàm tuyến tính trên không gian vecto V là lượng vô hướng giá trị của hàm f định bởi

mọi vecto x V thõa f x1 x2 f x1 f x2 với x x2, 2 X và , là số bất kỳ

Cho V là không gian vecto và V là giao của tất cả các hàm tuyến tính trên V Ký hiệu 0 hàm '

tuyến tính f sao cho f x 0, x X Nếu f f1, 2 V và nếu ' 1, 2là số bất kỳ thì ta viết

f x f x f x Khi đó f là hàm tuyến tính Định nghĩa của 0 với phép cộng,

phép nhân vô hướng thì '

V là không gian vecto và là không gian đối ngẫu của V

Cho V là không gian vecto và phần tử f V Các ánh xạ tuyến tính A trong ' V đều xét đến

biểu thức Ax f, ,x V Cố định f , hàm f'đinh bởi '

,

f x Ax f là hàm tuyến tính trong

V Ta có thể viết Ax f, x f, ' Nếu bây giờ ta thực hiện các biến đối f trên V thì thủ tục '

tương ứng cho ta mỗi f tất cả chúng chứa '

f và có thể viết f' A f hay ' Ax f, x A f , 'Khi đó '

A là ánh xạ tuyến tính trong V Thật vậy, nếu ' f 1 1f 2f thì 2

4 Nhắc lại một số vấn đề về Topo đại cương

Cho tập hợp X , là tập hợp các tập con của X thỏa mãn các điều kiện sau:

, /

Giao của 2 phần tử của thì thuộc

Hợp tùy ý các phần tử của thì thuộc

Nếu tập hợp thỏa mãn các điều kiện trên đgl Topo trên X và X đgl không gian Topo

Ký hiệu: X,

Mỗi phần tử thuộc đgl một tập mở

Cho X là không gian Topo Khi đó:

0 G X đgl lân cận của x X iff tồn tại tập mở U x G

Cho S X khi đó topo cảm sinh trên S bởi topo X bao gồm họ các tập hợp thỏa U S với

U mở trong X Nếu T là họ các tập mở trong X thì T S U S U: T là họ các tập mở trong S và từ sự thành lập đó thì T S đgl topo trên S Topo cảm sinh đôi khi có thể gọi topo

tương đối Nếu S là topo cảm sinh thì S đgl không gian topo con của X

Cho S X cái phủ của S là giao tất cả các tập con U của X sao cho j j

j I

S U Nếu chỉ

số j I hữu hạn (i.e I hữu hạn) thì cái phủ hữu hạn và nếu U mở thì ta gọi là j phủ mở

Tập S X đgl compact nếu mọi phủ mở của S đều chứa một phủ con hữu hạn Nếu X là

compact thì X đgl không gian compact

Compact có các tính chất.

Đóng trong compact là compact (i.e A đóng, A B , B compact suy ra A compact).

,

X Y là 2 không gian topo Khi đó X Y compact , X Ycompact

Tập con của  đóng và bị chặn thì compact n

Một không gian topo X đgl liên thông nếu X không thể biễu diễn thành hợp của 2 tập hợp

mở khác rỗng rời nhau trong X

X liên thông nếu X chỉ có 2 tập con vừa đóng vừa mở đó là X và /o Một tập S X đgl liên thông nếu S liên thông trong không gian với topo cảm sinh

Một số tính chất của không gian liên thông.

Hiển nhiên a b,  là liên thông

Cho S j, j I là họ các tập con liên thông của X Nếu j /

Nếu X Y là 2 không gian topo thì X, Y liên thông iff X , Y liên thông.

Một không gian topo X đgl liên thông cục bộ tại điểm x X nếu với mọi tập mở chứa x

đều chứa một tập mở liên thông chứa x Không gian X đgl liên thông cục bộ nếu X liên

thông cục bộ tại mọi điểm thuộc X Một tập con của X liên thông cực đại đgl một bộ phận

của X Liên thông cục bộ có các tính chất sau:

Một không gian topo X liên thông cục bộ iff những bộ phận cấu thành của không

gian con mở của X đều mở trong X

Nếu X liên thông cục bộ thì mọi bộ phận cấu thành của X đều mở

Cho 2 không gian topo X Y Ánh xạ , f X: Y liên tục nếu mọi tập mở trong Y thì có tạo

ảnh là mở trong X (i.e : f X Y iff mọi mở U Y thì f 1 U mở trong X )

Một số tính chất của ánh xạ liên tục

Nếu f X: Y g Y, : Z liên tục thì g f o :X Z liên tục.

Nếu f X: Y liên tục và A X là không gian topo con thì f :A X

Nếu f X: Y liên tục và f X là không gian topo con trong Y thì

:

f X f X liên tục.

Cho f X: Y liên tục Nếu S X là không gian con compact thì f S compact.

Cho ánh xạ f X: Y Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

f liên tục

Tạo ảnh của tập đĩng trong Y là đĩng trong X

Với mọi x X và lân cận N f x trong Y thì tồn tại lân cận V x trong X sao cho

Ánh xạ f X: Y đgl phép đồng phơi nếu f đơn ánh, ánh xạ mở liên tục

Ảnh của khơng gian liên thơng cục bộ định bởi một ánh xạ liên tục và mở là liên thơng cục

bộ

Cho X là khơng gian topo, tập hợp Y và ánh xạ f X: Y tồn ánh Khi đĩ topo thương

trong Y với liên hệ f là họ U j U U: Y f, 1 U mở trong X

Xét tập hợp n , : Sn

RP x x x , ánh xạ :S n RP cho bởi n x x, x là tồn ánh

Tập hợp RP với topo thương với liên hệ ánh xạ n đgl khơng gian xạ ảnh thực n chiều.

Cho X , Y là 2 khơng gian topo thì ánh xạ X :X Y X và Y :X Y Y là ánh xạ xạ ảnh Cả hai ánh xạ Xvà Yliện tục bởi vì X 1 U U Y và Y 1 V X V

5 Nhắc lại một số khái niệm về Đại số đại cương

Phép tốn 2 ngơi trên tập hợp X là hàm f X: X Y Khi đĩ, ta cĩ thể ký hiệu f x y ,

dưới dạng xy (ký hiệu là phép nhân) hoặc x y (ký hiệu là phép cộng)

Một tập hợp A đgl một nhĩm nếu tồn tại phép tốn 2 ngơi và thỏa mãn các điều kiện sau:

Tồn tại 1 phần tử e A gọi là phần tử đơn vị (đồng nhất) của A sao cho

a a a A a a a a a a quan hệ này gọi là tính chất kết hợp

Nếu nhĩm A cộng tính thì phần tử đơn vị ký hiệu là 0 và phần tử nghịch đảo của aký hiệu là

Cho G H là 2 nhĩm, ánh xạ , f G: H thỏa f gg' f g f g' , g G đgl cấu xạ Nếu

f đơn ánh thì gọi là đơn cấu, nếu f tồn ánh gọi là tồn cấu, nếu f song ánh thì gọi là đẵng cấu và , G H gọi là đẵng cấu nhĩm ký hiệu G Hhoặc f G:  H

Hạt nhân của f G: H là tập hợp ker f g G f g: e

Chú ý: Nếu f là phép đẵng cấu thì ker f chỉ có một phần tử đơn vị e

Nhóm A đgl nhóm Abel hoặc nhóm giao hoán nếu a a ' a a' , a a, ' A Một nhóm Abel tự

do có hạng n là nhóm đẵng cấu của n vành số nguyên    

Cho nhóm A và a A, ta nói phần tử acó bậc n nếu tồn tại một số nguyên dương nhỏ nhất

n sao cho a n e Nếu không tồn tại số nguyên dương n sao cho a n e thì ta gọi a có bậc vô hạn

Nhóm A đgl nhóm cyclic nếu tồn tại phần tử a A sao cho mọi phần tử của A là lũy thừa

của a và a đgl phần tử sinh của A Số các phần tử trong nhóm cylic A đgl bậc của nhóm

Bậc của nhóm cyclic bằng bậc của phần tử sinh

Cho nhóm A và H A Khi đó H đgl nhóm con của nhóm A nếu H là nhóm với phép toán

2 ngôi của A Nếu H là nhóm con của A và a A thì lớp ghép trái của H bởi phần tử

ađược xác định bởi tập con aH ah h: H Lớp ghép phải được định nghĩa tương tự Nhóm con H của nhóm A đgl nhóm con chuẩn tắc của A nếu aH Ha, a A

Cho nhóm A và H là nhóm con chuẩn tắc của A thì lớp ghép trái bằng lớp ghép phải Tập hợp A

H của tất cả các lớp ghép của H trong A với phép toán 2 ngôi được định nghĩa bởi

Ha Hb Hab Hb Ha A là nhóm và nhóm này đgl nhóm thương hay nhóm nhân tử

của A sinh bởi H

b) Mỗi cặp đối tượng có thứ tự X và Y trên cùng một lớp ta ký hiệu hom X Y là tập tất ,

cả cấu xạ từ miền xác định X vào miền giá trị Y Nếu f hom X Y thì , f X: Y

Tương ứng mỗi đối tượng Y có một cấu xạ I Y :Y Y sao cho nếu f X: Y thì

b) Phạm trù gồm các không gian Topo và hom X Y là tập hợp của các hàm , f X: Y

liên tục với tích hợp thành là tích hợp thành của các hàm thuộc hom X Y ,

c) Phạm trù gồm các nhóm và hom X Y là tập hợp các đẵng cấu từ nhóm X vào nhóm ,

khả nghich trái của f và f đgl khả nghịch phải của g Một khả nghịch của f là một cấu

xạ vừa khả nghịch trái vừa khả nghịch phải

Nếu f X: Y là một cấu xạ thì f đgl tương đương nếu có một cấu xạ g Y: X thỏa khả nghịch 2 phỉa đối với f Ký hiệu f X: Y Nếu g Y1: X khả nghịch trái của f và

2:

g Y X khả nghịch phải của f thì g1 g I1 Y g1 f g 2 g f1 .g2 I g Y 2 g 2

Bổ đề 2.1. Nếu f X: Y có khả nghịch trái và khả nghịch phải thì chúng bằng nhau và

f tương đương.(i.e) Nếu g g lần lượt là khả nghịch trái, phải của f thì 1, 2 1 2

:

g g

f g g

Nếu f X: Y có khả nghịch ký hiệu là f 1:Y X thì f 1là duy nhất và tương đương Điều

đó có nghĩa sự tương đương của f có tính đối xứng

Nếu f X: Y tồn tại thì X và Y tương đương với nhau ký hiệu X Y

Hợp của 2 phép tương đương là tương đương Quan hệ X Y là một quan hệ tương đương (phản xạ, đối xứng, bắc cầu) trong tập hợp các đối tượng của phạm trù

Định nghĩa 2 Một hàm phản biến từ c vào 1 c bao gồm hàm đối tượng và hàm cấu xạ 2trong định nghĩa 1 ngoại trừ rằng nếu f X: Y thì F f :F X F Y và theo điều

kiện b) ta luôn có F g f F g F f

Trong 2 định nghĩa trên ta viết F c: 1 c có nghĩa F là một hàm tử 2

3.2 Ví dụ

a) Cho F là một hàm hiếp biến từ phạm trù của không gian Topo và ánh xạ liên tục vào

phạm trù của nhiều tập hợp và hàm, xác định với mỗi không gian Topo thì nó nằm ở

cơ sở tập hợp Hàm tử F gọi là hàm quên vì nó quên một vài cấu trúc của không gian

Topo

b) Cho u là phạm trù của không gian vectơ trên trường K (thực hoặc phức) và ánh xạ K

tuyến tính Cho F u: K u cho bởi k F V V và * F f f với * V là không gian *

đối ngẫu của Vvà f là liên hợp của f Khi đó F là hàm tử phản biến.*

c) Cho c là phạm trù, hàm tử đồng nhất từ c vào c là đồng nhất trên các đối tượng và ánh

xạ và là hiệp biến

3.3 Định lí 2.1

Nếu T là hàm tử từ phạm trù c vào phạm trù 1 c thì T biến các quan hệ tương đương trong 2

1

c thành các quan hệ tương đương trong c 2

Chứng minh Chúng ta sẽ chứng minh định lý trên trong trường hợp T là hàm tử hiệp

biến, còn trường hợp T là hàm tử phản biến chứng minh tương tự

Giả sử T là hàm tử hiệp biến và f X: Y là phép tương đương trong c thì theo định 1

nghĩa ta được 1 1

X Y

f f I

f f I

Ta lại có

1 1

T f khả nghịch 2 phía đối với T f

Theo bổ đề 2.1 trên cho ta T f tương đương trong c2

ĐỒNG LUÂN

1 Định nghĩa

Một không gian con của không gian topo X là đồng luân với không gian con khác nếu không

gian con này biến đổi thành không gian con khác bởi một phép biến dạng liên tục (một cách chính xác đồng luân là quan hệ giữa các ánh xạ liên tục chứ không phải giữa các không gian con)

Đường cong đơn trong X được xác định là ảnh của một ánh xạ liên tục f C: 1 X với

1

C  cho bởi C a1: u b a, b

Bài 3

Định nghĩa 1 Hai ánh xạ liên tục f0, f1:X Y đgl đồng luân với nhau nếu có một ánh xạ

liên tục F X C: Ysao cho 0

1

,0,1

F x f x

F x f x , x X , trong đó C 0,1

Ánh xạ F đgl đồng luân giữa f và 0 f ký hiệu là 1 f0  hoặc f1 F f: 0  f1

Với mọi u Cthì ánh xạ F uđược xác định bởi F x u F x u, , x X Vì vậy 0 0

F x t t x thì F là đồng luân giữa f và 0 f hay 1 F f: 0  f1

F x u u x thì F là đồng luân giữa f và 0 f hay 1 F f: 0  f1

xạ hằng bất kỳ

Ví dụ 2 Các ánh xạ đồng luân không có thể không đồng luân Thật vậy, các ánh xạ hằng

không phải là đồng luân

Cho X liên thông, Y không liên thông và y , 0 y1là 2 điểm phân biệt trong một bộ phận của Y

Kết hợp với f0 x y và 0 f x1 y1, x X thì f và 0 f không đồng luân Bởi vì, 1 X Cliên

thông, Y không liên thông và ảnh của không gian liên thông xác định bởi ánh xạ liên tục liên

Ngược lại, tồn tại 1 1

S compact và F liên tục đều nên 0, 0độc lập

với x sao cho F x t, c , bất kỳ t Do đó, f liên tục tại 0 Suy ra tồn tại ánh xạ f

Bổ đề 3.1 Nếu f X: Y và g Y: Z là 2 ánh xạ liên tục thì h g f X : Z liên tục

Vì g liên tục nên g 1 U mở trong Y Suy ra f 1 g 1 U mở trong X (do f liên tục )

Suy ra h 1 U mở trong X Suy ra h g f liên tục .

Bổ đề 3.2 Nếu p X Y: X và q X Y: Y xác định bởi p x y, x và q x y, y với

,

Chứng minh tương tự ta cũng được q liên tục

Nhận thấy rằng, trong bổ đề trên ta cũng chứng minh được rằng ,p q là ánh xạ mở

Bổ đề 3.3 Nếu X A B với A B, X , A B, đĩng trong X và f A: Y g B, : Y là 2 ánh

xạ liên tục thõa f x g x , x A B thì phép biến đổi : h X Y xác định bởi cơng thức

,,

Vì f g liên tục nên , f F1 f F1 và g F2 g F 2

Theo trên ta lại cĩ h F h F1 h F2 f F1 g F2 f F1 g F2 h F1 h F 2

Mà h F1 h F2 h F1 h F2 h F do đĩ h F h F theo mệnh đề tương đương về ánh xạ liên tục thì h liên tục

Định lí 3.2 Đồng luân là một quan hệ tương đương

Chứng minh Để chứng minh đồng luân là một quan hệ tương đương (theo nghĩa đại số) ta

phải chứng minh đồng luân cĩ tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu

Tính chất phản xạ là hiển nhiên (chỉ cần chọn đồng luân F x t, f x f  f )

,0,1

1

2

, ,

Định lí 3.3.(ánh xạ hợp thành và hạn chế)

a) Cho f f1, 2:X Y và g g1, 2:Y Z Nếu f1 f2 và g1 g2 thì g f1 1 g f2 2

b) Nếu f g X, : Y và f  thì với mọi g A X f A g A

Chứng minh

a) Ta gán F f: 1 f2 và F':g1g2 thì 1

2

,0,1

F x f x

F x f x và

'

1 '

2

,0,1

F x g x

F x g x

' 2

1

2,

3.1 cho ta f A đồng luân với ánh xạ hằng

Tương tự, ta cũng được g đồng luân với ánh xạ hằng A ánh xạ hằng đồng luân với g A

Theo tính chất bắc cầu của quan hệ đồng luân cho ta f A g A

(ở đây ta cĩ thể hiểu ánh xạ hằng được chọn trùng nhau)

Định lí 3.4 Cho f g X, : Y là đồng luân, ánh xạ liên tục : h Y Z Khi đĩ, h f h g

Chứng minh

Vì f  nên cĩ một ánh xạ liên tục g F X C: Ythỏa ,0

,,1

Định lí 3.5. Nếu f X: Y liên tục và , : g h Y Z là đồng luân thì g f h f

(việc chứng minh định lí 3.5 hồn tương tự như định lí 3.4.)

3 Quan hệ đồng luân

3.1 Định nghĩa Cho A X và f0:X Y f, 1:X Y là các ánh xạ liên tục Khi f0 và f đgl 1

quan hệ đồng luân với A nếu cĩ một đồng luân F ở giữa f0 và f sao cho1 F x t độc ,

lập với t , với mọi x A (i.e) F x t, f0 x , x A, t T

Vì thế, ta được f0 x f x1 , x A Đồng luân F đgl quan hệ đồng luân với A , ký

hiệu là f0  f rel A1 hay F f: 0  f rel A1

Nếu A o/ thì quan hệ đồng luân với A trở thành đồng luân Vì vậy, đồng luân là trường hợp đặc biệt của quan hệ đồng luân

3.2 Định lí 3.6 Quan hệ đồng luân với A là một quan hệ tương đương.

Chứng minh Để chứng minh quan hệ đồng luân với A là một quan hệ tương đương (theo

nghĩa đại số) ta cần chứng minh tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu

Tính phản xạ Giả sử f X: Y liên tục Đặt F x t, f x , x X thì hàm F liên tục

1

2

, ,

Chú ý Từ định lí 3.6 cho ta thấy rằng, tập hợp của tất cả các ánh xạ liên tục f X: Y

với ảnh của x A là một điểm trong Y Vì thế, có thể chia thành các lớp tương đương Hai ánh xạ liên tục f và g sẽ thuộc cùng một lớp tương đương iff f g rel A Các lớp

của ánh xạ liên tục đgl lớp đồng luân

ĐỒNG LUÂN ĐƯỜNG

Trước khi định nghĩa nhóm cơ bản của không gian topo X , chúng ta sẽ xem xét các đường trong X và các quan hệ tương đương đgl đồng luân đường giữa chúng Chúng ta sẽ định nghĩa một quan hệ nào đó trên tập hợp của các lớp tương đương, trong đại số nó đgl phỏng nhóm

Định nghĩa 4.1 Giả sử f f, ':X Y là 2 ánh xạ liên tục, ta gọi f đồng luân với f nếu có '

một ánh xạ liên tục F X: I Y thỏa ,0

,,1

F x f x

x X

Ánh xạ F đgl đồng luân giữa f và f Nếu f đồng luân với ' f thì ta ký hiệu ' f  f'

Nếu f  f'và f là ánh xạ hằng thì f là ' đồng luân không

Bây giờ ta xét đến trường hợp đặc biệt với f là đường trong X Nếu f : 0,1 X là ánh xạ liên

tục sao cho 0

1

01

f x thì f đgl đường trong X từ x đến 0 x và 1 x đgl 0 điểm đầu của f , x đgl 1

điểm cuối của f Để tiện lợi trong việc sử dụng ta sẽ ký hiệu I 0,1 là miền xác định của tất

F s f s Ta gọi F là đồng luân đường giữa

f và f Nếu f đồng luân đường với ' f thì ta ký hiệu ' f p f'

Định lí 4.1 Quan hệ  và  là các quan hệ tương đương p

Nếu f là đường, ta sẽ ký hiệu lớp tương đương các đường đồng

luân với f là f

cần chứng minh nó có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu

Tính phản xạ Cho ánh xạ f X: Y dễ thấy rằng f  bởi vì ánh xạ liên tục f

Dễ dàng kiểm tra được G là đồng luân giữa f ' và f Suy ra f '  f

Nếu F là đồng luân đường giữa f và f ' thì G là đồng luân đường giữa f' và f

Suy ra f' p f

Tính bắc cầu Giả sử f  f'và f'  f'' Khi đó có 2 ánh xạ liên tục F F, ' là đồng luân giữa

f và

Bài 4

2

, ,

,12

X nên hàm F''liên tục trên X I

Dễ dàng kiểm tra được hàm F'' đồng luân giữa f và f''theo định nghĩa ''

Nếu F F đồng luân đường thì , ' F''đồng luân đường Suy ra ''

p

f  f Việc F''đồng luân đường ta có thể minh họa bằng hình bên

Ví dụ 4.1 Cho f g X, : 2 Dễ thấy f và g là

đồng luân vì có một ánh xạ liên tục 2

:

F X I  xác định F x t, 1 t f x tg x là đồng luân

giữa f và g Đồng luân này đgl đồng luân thẳng bởi vì nó nối một

điểm trên f x với một điểm trên g x thành một đoạn thẳng giữa chúng

Nếu f và g là đường từ x0đến x thì F là đồng luân đường giữa f và g 1

(minh họa hình bên)

Tổng quát lên, cho A là không gian con lồi trong n

thì 2 đường f và g trong A đi từ x0đến x sẽ đồng luân 1

đường trong A và đường thẳng đồng luân F giữa

chúng có ảnh là tập trong A

bởi công thức f s cos osc s,sin s g s, cos s, 2sin s thì chúng đồng luân đường Đường thẳng đồng luân giữa chúng cũng là đồng luân đường nhưng đường f và đường

, sinos

h s c s s là không đồng luân đường vì ảnh của nó không nằm trong X

Định nghĩa 4.3 Cho f là đường trong X từ x0đến x và g là đường trong X từ 1 x1đến x 1

Khi đó, h f *g (tích của f và g ) là đường trong X cho bởi công thức:

1

21

2

, s , s

Để kiểm tra điều này, ta cho F là đồng luân đường giữa f và '

f ; G là đồng luân đường giữa

g và g'

Đặt

1

2,

1

2

, s , s

F s t

H s t

G s t

Vì F 1,t x1 G 0, ,t t 0,1 nên H hoàn toàn xác

định và liên tục Dễ thấy H là đồng luân đường giữa * f g và f'*g' (Các bạn có thể kiểm tra theo đúng định nghĩa 4.2.) Có thể minh họa bằng hình bên

Phép toán * trên các lớp đồng luân đường thỏa mãn các tính

chất mà trông rất giống với các tiên đề của nhóm

Chúng đgl thuộc tính nhóm của *

Một sự khác biệt từ những thuộc tính của nhóm

là f * g không được xác định với mọi cặp của

lớp tương đương nhưng chỉ xác định cho những cặp f , g thỏa f 1 g 0

Định lí 4.2 Phép toán * có các tính chất sau:

a) (Tính kết hợp) Nếu f * g * h xác định thì f * g * h cũng xác định và

b) (Tính đồng nhất trái, phải) Cho x X, e x:I X cho bởi e t x x, t I là đường hằng

Nếu f là đường trong X từ x0đến x thì 1

Chứng minh Để chứng minh định lí 4.2 này ta sẽ dùng 2 mệnh đề sau:

f và f ' thì k F là đồng luân đường trong Y giữa đường o k f và o k f o '

Có thể minh họa bằng hình bên

liên tục và , f g là 2 đường trong X

với f 1 g 0 thì k o f *g k f o * k g o

trong I tại 0 và i I: I là ánh xạ đồng nhất và là đường trong I từ 0 đến 1 Khi đó, e0*i cũng là

đường trong I từ 0 đến 1 Đồ thị được minh họa ở hình bên

Vì I lồi nên G là đồng luân đường trong I giữa

i và e0*i Suy ra f G là đồng luân đường o

trong X giữa đường f i o f và

Để kiểm tra c) ta để ý rằng nghịch đảo của i là i s 1 s thì * i i là đường trong I có điểm

đầu và cuối tại 0 và cũng là đường hằng e (i.e 0 i i* e0) Đồ thị minh họa hình bên

Vì I lồi nên tồn tại H là đồng luân đường trong I

giữa e và *0 i i Suy ra f H o là đồng luân đường giữa

Nếu a b, , ,c d là 2 đoạn trong  thì có duy nhất một ánh xạ p a b: , c d, cho bởi công

thức p x mx k có giá từ a đến c và từ b đến d ta gọi là ánh xạ tuyến tính dường từ a b,vào c d, bởi vì đồ thị là một đoạn thẳng với độ nghiêng dương Chú ý rằng, nghịch đảo của một ánh xạ là một ánh xạ khác và hợp thành của 2 ánh xạ là ánh xạ

Vì thế, ta có thể mô tả f *g Trên đoạn 0,1

2 tích f *g bằng ánh xạ tuyến tính dương đi từ 1

0,

2 đến

1,1

2 được cho bởi f và trên đoạn

1,1

2 tích f *g bằng ánh xạ tuyến tính dương đi

từ 1

,1

2 đến 0,1 được cho bởi g

Bây giờ ta sẽ kiểm tra a), cho các đường f g và h trong X , tích , f * g h và * f *g *h

xác định một cách chính xác khi f 1 g 0 và g 1 h 0 Kết hợp 2 điều kiện này, ta định nghĩa tích 3 đường ,f g và h Chọn , a b I: 0 a b 1 Ta xác định đường k a b, trong X , trên

0, a đường k a b, bằng với ánh xạ tuyến tính dương đi từ 0, a đến I được cho bởi f , trên

,

a b đường k a b, bằng với ánh xạ tuyến tính dương đi từ a b, đến I được cho bởi g và trên đoạn

,1

b đường k a b, bằng với áng xạ tuyến tính dương đi từ b,1 đến I được cho bởi h Khi đó,

đường k a b, phụ thuộc vào cách chọn điểm a và điểm b nhưng lớp đồng luân đường của chúng

không đổi Dễ thấy nếu chọn 2 điểm ,c d I: 0 c d 1 thì k c d, đồng luân đường với k a b,

Cho p I: Ilà ánh xạ mà đồ thị được minh họa bằng hình bên

Khi thu hẹp p lần lượt trên các đoạn 0, a , a b, và b,1 thì p bằng

các ánh xạ tuyến tính dương của các đoạn tương ứng vào các đoạn

0,c , c d, và d,1 tức là k c d, o p k a b, nhưng p là đường trong I đi