Nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi

Khái niệm không gian tôpô Không gian tôpô là tập hợp M mỗi phần tử gọi là điểm cùng một họ C những tập con của M, gọi là tập mở trong M, sao cho : * tập rỗng, tập M là mở, * hợp tùy ý nh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đến các thầy cô trong khoa Toán trường đại học sư phạm Hà Nội 2 đãđộng viên, giúp đỡ em trong suốt thời gian qua

Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy Phan Hồng Trường đã tạo

điều kiện thuận lợi và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành khóa luận tốtnghiệp này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên Đào Thị Hòa

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận được hoàn thành với sự chỉ bảo của các thầy cô giáo trongkhoa Toán trường đại học sư phạm Hà Nội 2 đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình

của thầy Phan Hồng Trường.

Trong khóa luận có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà khoa

học với sự trân trọng và biết ơn Em xin khẳng định kết quả của đề tài ''Nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi '' không có sự trùng hợp với các đề

tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên Đào Thị Hòa

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu ……… 1

1.Lý do chọn đề tài ……… 1

2.Mục đích nghiên cứu……… 1

3.Nhiệm vụ nghiên cứu ……… 1

4.Phương pháp nghiên cứu ……… 1

CHƯƠNG 1: SƠ LƯỢC VỀ ĐA TẠP KHẢ VI VÀ ÁNH XẠ KHẢ VI……… 2

1.1 Không gian tôpô và ánh xạ liên tục ……… 2

1.2 Đa tạp khả vi……… 5

1.3 Ánh xạ khả vi ……… 10

CHƯƠNG 2 : NHÓM LIE CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI……… 13

2.1 Không gian tiếp xúc ……… 13

2.2 Phân thớ tiếp xúc……… 16

2.3 Trường véc tơ……… 17

2.4 Ánh xạ tiếp xúc……… 19

2.5 Đa tạp con……… 20

2.6 Đa tạp định hướng được ……… 24

2.7 Nhóm Lie 27 2.8 Nhóm con của nhóm Lie 32

2.9 Dạng vi phân bất biến trái và những phương trình Maurer-33 Cartan

2.10 Nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp 36

Bài tập áp dụng 40

Hướng dẫn giải bài tập 41

KẾT LUẬN 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

“Nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi” làm khóa luận tốt nghiệp.

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu sâu hơn về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi

Tìm hiểu về nhóm Lie và nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày lý thuyết về đa tạp khả vi,ánh xạ khả vi,nghiên cứu về nhómLie và nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng lý luận,các công cụ toán học

Nghiên các sách tham khảo và các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài

CHƯƠNG 1: SƠ LƯỢC VỀ ĐA TẠP KHẢ VI VÀ

ÁNH XẠ KHẢ VI

1.1 Không gian tôpô và ánh xạ liên tục

1.1.1 Khái niệm không gian tôpô

Không gian tôpô là tập hợp M (mỗi phần tử gọi là điểm) cùng một họ

C những tập con của M, gọi là tập mở (trong M), sao cho :

* tập rỗng, tập M là mở,

* hợp tùy ý những tập mở là tập mở,

* giao của một số hữu hạn tập mở là tập mở

Thường kí hiệu đơn giản là không gian tôpô (M, C ) bởi M (khi không cần chỉ rõ họ C )

Không gian tôpô M gọi là không gian tôpô Hausdorff nếu với mọi cặp điểm p, q M, p ≠ q , có các tập mở U p, V q sao cho U

* d (p, q) + d (q,r ) d ( p, r) ( với p, q, r tùy ý thuộc M)

Trên không gian mêtric M xét tôpô sau : tập con U M gọi là tập

mở nếu với mọi p U, có số >0 sao cho hình cầu mở {qM / d(q,p) < } nằm hoàn toàn trong U (tôpô gây bởi mêtric d)

Đó là một không gian tôpô Hausdorff

Không gian tôpô có tôpô gây bởi một mêtric trên nó gọi là không gian tôpô mêtric hóa được.

Rn cùng với khoảng cách thông thường là một không gian mêtric

dụ 2: M là một không gian tôpô, N là một tập con của M thì N với

tôpô sau đây (tôpô cảm sinh) gọi là không gian tôpô con của M: tập U

N gọi là tập mở trong N nếu nó là giao của N với một tập mở trongM

Ví

dụ 3: M và N là hai không gian tôpô thì tích trực tiếp MN vớitôpô sau đây (tôpô tích) gọi là tích trực tiếp các không gian tôpô M với N :tập con của M N gọi là tập mở (trong M N) nếu nó là hợp tùy ýnhững tập dạng UV , U mở trong N, V mở trong N

Ví

dụ 4: M là một không gian tôpô, ~ là một quan hệ tương đương trên

M, tập hợp các lớp tương đương M / ~ cùng với tôpô sau đây (tôpô thương)gọi là không gian tôpô thương : tập con của M / ~ gọi là tập mở ( trong M / ~)nếu nghịch ảnh của nó bởi phép chiếu chính tắc p : MM / ~ làtập mở (trong M)

1.1.2 Tập con của không gian tôpô.

M là một không gian tôpô, pM thì mọi tập con của M chứa mộttập mở chứa p gọi một là lân cận của p (trong M)

Tập con F M gọi là tập đóng (trong M) nếu M \ F là tập mở(trong M) Khi đó, tập rỗng, tập M là những tập đóng Giao tùy ý những tậpđóng là tập đóng, hợp một số hữu hạn những tập đóng là tập đóng

A là tập con của M thì bao đóng A của A là giao của mọi tập đóngchứa A ; đó là tập đóng bé nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa A Phần trong

Ao của A là tập mở lớn nhất nằm trong A ; mỗi điểm của nó gọi là một điểm

trong của A Tập

điểm biên của A

A /

A O gọi là điểm biên của A, mỗi điểm của nó gọi là một

M gọi là liên thông nếu mọi tập vừa mở vừa đóng (trong M) phải làtập rỗng hay toàn bộ M Tập con A M gọi là tập con liên thông nếu

không gian tôpô con A là liên thông Một thành phần liên thông của khônggian tôpô M là

một tập con liên thông của M mà mọi tập con liên thông của M chứa nó phảitrùng với nó Ví dụ mọi tập liên thông trong M là một khoảng (mở, đóng, nửađóng, bị chặn, không bị chặn,…)

1.1.3 Ánh xạ liên tục

liên tục nếu nghịch ảnh bởi f của mọi tập mở (trong N) là tập mở (trongM) (và vì vậy, nghịch ảnh của mọi tập đóng là tập đóng)

* Ảnh của tập liên thông qua ánh xạ liên tục là tập liên thông ;

* Ảnh của tập compact qua ánh xạ liên tục vào không gian Hausdorff là một tập compact

Từ đó một đơn ánh liên tục từ một không gian compact vào một khônggian Hausdorff là một đồng phôi lên ảnh

t 1} vào không gian tôpô M gọi là một cung (liên tục) trong Mnối (0) với (1) Không gian tôpô M gọi là liên thông cung nếu vớimọi p, q  M, có cung (liên tục) trong M nối p với q

Tập con A của không gian tôpô M gọi là liên thông cung nếu khônggian tôpô con A liên thông cung Dễ thấy mọi không gian liên thông cung thìliên thông; mọi tập mở liên thông trong

không gian liên thông cung qua một ánh xạ liên tục là một tập liên thông cung

1.2 Đa tạp khả vi

1.2.1 Khái niệm đa tạp khả vi

Giả sử M là không gian tôpô Hausdorff, với cơ sở đếm được M được gọi là đa tạp tôpô m – chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian m –chiều Rm , nghĩa là với mỗi điểm x M, có lân cận mở U của x và

đồ khả vi lớp C k Dễ thấy quan hệ “tương thích” là một quan hệ tương đươngtrên họ các tập bản đồ khả vi lớp C k Mỗi lớp tương đương của quan hệ tươngđương trên được gọi là một cấu trúc khả vi lớp C k trên M .

Đa tạp tôpô m- chiều M cùng với cấu trúc khả vi lớp C k

cho trên nóđược gọi là một đa tạp khả vi m- chiều lớp C k

Nếu M là đa tạp khả vi, thìbản đồ của cấu trúc khả vi trên M được gọi là bản đồ khả vi (hay bản đồ) trên

M Khi k = , nghĩa là khi đòi hỏi các ánh xạ

b Trên cùng không gian tôpô M có thể có nhiều cấu trúc khả vi khácnhau Thật vậy mỗi atlas khả vi lớp C k

xác định hoàn toàn một cấu trúc khả vilớp

C k trên M Vì vậy, hai atlas khả vi lớp C k không tương thích xác định haicấu trúc khả vi khác nhau Ví dụ, trên đường thẳng thực R cho hai atlas khả vilớp C xác định bởi

đó :

R R xác định bởi

(x) = x 3 Vì hai atlas lớp C này không tương thích, nên chúng xác định hai cấu trúc khả vi lớp C khác nhau trên R

c Giả sử M là đa tạp khả vi m chiều, {( U i ,i ),iI} là một atlas khả vi

lớp C k , U là tập con mở khác rỗng của M Khi đó ta thấy U cũng là đa tạpkhả vi m chiều C k

sinh bởi cấu trúc khả vi trên M với atlas khả vi C =



1

Trong phần này ta nêu lên một số đối tượng hình học là những đa tạpkhả vi thường gặp.



i

 1

= là hai phép chiếu nối từ cực N và S tương ứng

dụ 3 : Đa tạp xạ ảnh thực P n ( R )

Xét quan hệ tương đương trên R n1 \{0} xác định bởi x y

0 để y = x Ta gọi P n ( R ) = R n1 \{0}/ với tô

pô thương Xét phép chiếu : R n1 \ {0} P n ( R ), đặt

dưới mũ đó được bỏ đi Dễ thấy

định đồng phôi

 R

n , với U = ( V i ) Ánh xạ ngược được

đồ địa phương trên P n ( R ) và i < j

thì cho bởi công thức:

Giả sử V là không gian véc tơ n chiều trên trường số thực R và G (k,V)

là tập hợp các không gian con k chiều của V Xét không gian đối ngẫu V* của

Giả sử (j1 ,…,j n k ) là tập hợp các chỉ số bù của (i1 ,…,i k ) với j1 < …



*

l

M

? O

1.3 Ánh xạ khả vi

1.3.1 Định nghĩa

Hình 2

Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng Ánh

xạ liên tục f : MN được gọi là khả vi tại điểm p M nếuvới mọi bản đồ địa phương (U,) quanh p và (V,) quanh f (p) = qsao cho f(U) V, thì ánh xạ

 f 

1 là khả vi tại điểm (p) R m ( xem hình 3 )

V Rm

Ánh xạ f được gọi là khả vi, nếu nó khả vi tại mọi điểm p M.

Các vi phôi từ M lên chính nó tạo thành một nhóm, được gọi là nhóm viphôi của M Nếu (U,) là một bản đồ địa phương của M thì là viphôi từ U lên mở (U) = V R m , ở đó m = dim M

ở đó h j là những hàm khả vi Ngược lại, giả sử cho ánh xạ liên tục f : M

N mà biểu diễn địa phương có dạng (1), trong đó các hàm h j

=( x1 ( p), x2 ( p), , x m ( p) ) không phụ thuộc vào việc chọn bản đồ địa phương,

nó được gọi là hạng của ánh xạ f tại điểm p



x

1.3.3 Ánh xạ dìm, ngập

Các định nghĩa :

* Cho ánh xạ khả vi f : M N Ánh xạ f được gọi là một dìm nếu hạng của f tại mọi điểm p đều bằng m = dim M

* Ánh xạ f được gọi là một nhúng nếu f là một dìm và f là một đồng

phôi từ M lên f(M)

* Ánh xạ f : M N được gọi là một ngập nếu hạng của

f tại mọi điểm p M đều bằng n= dim N

Chú ý :

Ta nói f : M N là dìm tại điểm p (tương ứng: ngập tại p)nếu hạng của f tại p bằng số chiều của M (tương ứng : số chiều N) Nhưvậy f là dìm (hay ngập) nếu f là dìm (hay ngập ) tại mọi điểm p

M

CHƯƠNG 2 : NHÓM LIE CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI

TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI

2.1 Không gian tiếp xúc

Cho M là đa tạp khả vi số chiều m lớp C k , k 1 Một ánh xạ c :

vi lớp C r trên M, ở đó J là khoảng mở của R chứa điểm 0 Ánh xạ f : M

 R lớp C r được gọi là

một hàm khả vi lớp C r trên M Nếu U mở nằm trong M,

thuộclớp C r thì f được gọi là hàm khả vi trong lân cận U M Kí hiệu F r

Ta mô tả cấu trúc của T p M Tập F k (p) với các phép toán cộng, nhân

tự nhiên và nhân vô hướng với một số thực làm thành một R - đại số Ta

gọi một đạo hàm tại p là một hàm v : F k (p) R thỏa mãn hai điều kiện :

a v là ánh xạ tuyến tính giữa các R - không gian vector.

b v(f.g) = v(f) g(p) + f(p) v(g), f,g F k (p)

Dễ thấy tập các đạo hàm tại p với phép toán cộng và nhân với một sốthực làm thành R - không gian vector.

Giả sử [c] T p M ta có thể coi [c] là một đạo hàm tại p bằng cách sau :

với f F k (p), ta đặt [c](f) = d

dt (f

c(t))0

(1)

Ta thấy quy tắc trên không phụ thuộc vào việc chọn đường cong đại

diện của [c], và nó thỏa mãn hai tính chất a và b ở trên Bằng đồng nhất này,

ta có một đơn ánh từ T p M vào không gian các đạo hàm tại p Ta chứng tỏ

T p M không gian con m chiều của không gian vector các đạo hàm tại p Xétbản đồ địa phương (U,x) quanh p sao cho x = ( x1 , ,x m ) Với mỗi j, xétđường cong: c j (t) = x (x(p) + te j ); {0,e1 , ,e m } là mục tiêu trong R , thì c j

là đường cong trên M qua p, nó xác định vector tiếp xúc, kí hiệu   

Ta

Giả sử đã cho một đường cong c(t) trên M với c(0)= p, và [c] T

p M Trong bản đồ địa phương (U,x) quanh p, ta có:

a Người ta chứng minh được rằng nếu M là đa tạp nhẵn (thuộc lớp

C ), thì không gian các đạo hàm tại p trùng với không gian các vectortiếp xúc tại p Nếu M là đa tạp lớp C k , 1k +, thì không gianvector các đạo hàm tại p có số chiều vô hạn

b Từ việc trình bày ở trên, ta thấy nếu p M, (U,x) là bản đồquanh p, thì mỗi vector tiếp xúc v T p M được coi là một đạo hàmtại p và được cho

khác trong lân cận điểm p với các tọa độ y1, , y m , thì các vector tiếp xúc tại p có biểu diễn khác nhau đối với các bản đồ này Đặc biệt, ta có:

Như vậy, các hàm

xy là khả vi lớp C k 1 Vì thế, có thể trang bị cho

TM một tôpô xác định duy nhất sao cho các bản đồ (TU, x ) trên TM có x x

là đồng phôi Cụ thể là, xét

U =  V i , x i , i Ilà một tập bản đồ

trên M, x i

:U i V i R

Khi đó A trong TM khi và chỉ khi

vi 2m chiều, được gọi là đa tạp phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi M Ánhxạ

có hạng cực đại Bộ ba (TM, , M) là một phân thớ tầm thường địa

p Phân thớ tiếp xúc được gọi là tầm thường

Cho M là đa tạp khả vi m chiều TM là phân thớ tiếp xúc của đatạp M, U mở M Trường véc tơ khả vi trên M là một ánh xạ khả vi

gọi X là nhát cắt khả vi xác định trên M Tập các trường véc tơ khả vitrên M được kí hiệu là V(M)

Ta xét biểu diễn địa phương của trường véc tơ Giả sử (U,x) là một bản

đồ địa phương trên M,

  , i 1, , m, là các trường véc tơ trên U, thì

p), , X m ( p) tạo thành cơ sở của T p M



p



Phân thớ tiếp xúc TM là tầm thường khi và chỉ khi M là khả song Thậtvậy, giả sử TM là tầm thường và : TM

x X i ( p) là vi phôi đòi hỏi

2.3.2.Tích Lie của hai trường véc tơ

Với mỗi trường véc tơ khả vi X V(M) và mỗi hàm khả vi f

= [c] Khi đó, với X, Y là hai trường véc tơ khả vi trên

M, tích Lie (hay móc Lie) của X và Y kí hiệu bởi [X, Y] được xác định như sau:

Với f F r (M), [X, Y]f = X(Yf ) - Y(Xf) Trong bản đồ địa phương

(U,x) với các tọa độ địa phương

x1 , , x m , giả sửX=

Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng và f : M

N là ánh xạ khả vi Với mỗi p

Ta xét biểu diễn địa phương của T p f Giả sử (U,x) là bản đồ địaphương quanh p, (V,y) là bản đồ địa phương quanh f(p), sao cho f(U)

N f



với (U,x), (V,y) tương ứng Khi đó, đối với các bản đồ trên, f có biểu

diễn địa phương dạng:

1 m 1 i 1 j  m

y f x

a,

by f x

Ta nhận thấy một ánh xạ khả vi f : M N từ đa tạp khả vi

M đến đa tạp

khả vi N là dìm (tương ứng ngập) nếu với mọi p M ánh xạ tiếp xúc

f p là đơn cấu (tương ứng toàn cấu) Ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề:

Giả sử M, N là các đa tạp khả vi số chiều m và n tương ứng và f : M

N là một dìm, khi đó với mỗi p M có bản đồ địa phương (U,x) quanh p và

(V,y) quanh f(p) sao cho với mọi

cận f (p) sao cho y( f ( p)) 0 Do đó f là

Cho N là đa tạp khả vi n chiều, M là đa tạp khả vi m chiều mà M

 N M được gọi là đa tạp con của N nếu ánh xạ bao hàm i: M N là mộtnhúng khả vi

o

i   là một atlas khả vi trên M' và M' là đa tạp con của đa tạp khả vi N.

c Giả sử M là đa tạp con khả vi của đa tạp N và f : X

M là một đồng phôi khi đó có thể cho một cấu trúc khả vi trên X sao cho X là đa tạp khả vi

và f là một nhúng khả vi Thật vậy, giả sử  U1 ,i

trị chính quy của f nếu hoặc là f

Giả sử f : MN là ánh xạ khả vi, dim M = m, dim N = n

là điểm chính quy của f Khi đó X = f 1

(q) với tô pô cảm sinh từ M lên một

đa tạp tô pô số chiều m - n và trên X có cấu trúc khả vi xác định duy nhất để

X là đa tạp con khả vi của M