1/4 HƯỚNG DẪN CHẤM ðỀ THI CHÍNH THỨC CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY Bậc THPT năm học 2011-2012 Qui ñịnh chung: Thí sinh chỉ ñược ñiểm tối ña khi có cách giải ñúng và
Trang 11/4
HƯỚNG DẪN CHẤM ðỀ THI CHÍNH THỨC CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
Bậc THPT năm học 2011-2012 Qui ñịnh chung: Thí sinh chỉ ñược ñiểm tối ña khi có cách giải ñúng và kết quả ñúng Trường hợp cách giải
và công thức ñúng nhưng kết quả sai thì cho 1/2 số ñiểm của phần ấy Trường hợp công thức ñưa ra sai mà kết quả ñúng thì không tính ñiểm cả hai phần Trường hợp kết quả sai chữ số thập phân cuối cùng thì trừ 0,25 ñiểm ở phần ấy
ðặt D= − 3 ; 2 , ta thấy f xác ñịnh, liên tục trên D và có
( ) 3 3 3 2 3
2
f x = x − x − x+
1
Ta có: f(− 3)≈3, 0579, f(−0,9603)≈ −2, 7104,
(0,1824) 0,9035
1
Suy ra −3,1741≤ f x( )≤3, 0579 mọi x∈D
Do ñó, 0≤ f x( )≤3,1741 mọi x∈D (Dấu bằng xẩy ra)
( ) 3,1741
x D Max f x
( ) 0
x D Min f x
Sử dụng lệnh Shift Solve ñể giải phương trình và lưu vào biến nhớ,
sau ñó tính ñược ba giá trị:
2 f x( )1 ≈14955, 0177
( )2 ≈33,6746
f x
( )3 ≈586,3181
f x
5
Xét hàm số: y=3x−7sinx− ; Ta có: ' 3 ln 3 7cosx y = x − x− ; 1 2
" 3 ln 3 7sinx
y = + x
Và y y y ñều là các hàm số liên tục trong khoảng , ,, ,, (0; +∞) 1
Xét x ∈ ( 0; π ) ta có sin x > 0 và 3 ln 3x 2 >0⇒ y " > 0 ∀ ∈ x ( 0; π )
Xét x ∈ [ ; π + ∞ ) ta có
3 ln 3 3 ln 3 7x
x
π
≥ −
Vậy y " > 0 ∀ ∈ x ( 0; ∞ ) Suy ra y = có nhiều nhất một nghiệm trên , 0 (0; +∞)
Do ñó phương trình y =0 (tức phương trình ñang xét) có nhiều nhất hai nghiệm
2
3
ðk: xy≠ 0
Ta có: (1) ( ) 1 1 0
1
x y
x y
xy xy
=
= −
4
Trang 22/4
TH2:
3
1
xy
y x
= −
⇔
1 (3)
y x
= −
1
Giải phương trình (4) bằng cách xét hàm số f x( )=x4+5x+ 2
Ta thấy hàm số này liên tục trên R , và có:
3 '( ) 4 5
f x = x +
Vì f '( )x =0 có nghiệm duy nhất nên phương trình (4) có nhiều nhất hai nghiệm
1
4
Sử dụng máy tính ta tìm ñược hai nghiệm gần ñúng là:
≈
≈
-1.5478 0,6461
x
≈
≈
-0,4054 2,4667
x y
Vậy hệ có ba nghiệm ñã nêu trên
1
Gọi k là số bi cần bốc trong một lần
Gọi biến cố A : “Trong k viên bi có ít nhất một viên bi màu ñỏ”
Suy ra biến cố A : “ k viên bi bốc ñược toàn màu xanh”
Ta thấy, nếu k ≥19 thì p A = >( ) 1 0,9765
Bây giờ ta tìm trong tập {1, 2, ,18} xem còn giá trị k nào nữa
không Ta có:
( ) 22
k
n Ω =C ; ( ) 18
k
n A =C ; ( ) 18
22
k k
C
p A
C
= ;
22
k k
C
C
2
Sử dụng máy tìm ñược các giá trị sau:
( )
( )
2
5
Gọi r là bán kính lõi gỗ, d là ñộ dày của vải, lk là chiều dài của vải ở vòng thứ k=1, ,n
Ta có: l1= 2 π r; l2 = 2 π ( r + d ); l3= 2 π ( r + 2 d ); ; ln = 2 π [ r + ( n − 1) d ] 2
Tổng chiều dài của n vòng: S = + + + + l1 l2 l3 ln = 2 π [ n r + + + + (1 2 3 n − 1) d ]
1
2
6
Thay n=357;r=0, 05678;d =0, 0005234 (ñơn vị là mét) ta có : S ≈336,3417 (m) 1
7
Do
1
cos α =
7 30'
Trang 33/4
Tam giác IAB vuông tại I, có ∠ IAB = α nên ∠ ABI = 90o − α
Với x ≠ − 2, ta có:
( )2
7
2
x
tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc dương Do ñó hệ số góc của tiếp
tuyến là: k = tan( 90o− α ) = cot α
Gọi x0 là hoành ñộ tiếp ñiểm của tiếp tuyến với (C)
Ta có:
0
7 2
+
0 0
0
1 0400
2 9600
1
Với x0 ≈ − 1 0400 , ( ⇒ y0 ≈ − 5 2918 , ), có phương trình tiếp tuyến
7
Với x0 ≈ − 2 9600 , ( ⇒ y0 ≈ 9 2918 , ), phương trình tiếp tuyến
ðặt a=BC b; =CA c; = AB ; p là nửa chu vi ñáy; r là bán kính
ñường tròn nội tiếp ñáy Gọi H là hình chiếu vuông góc của ñỉnh S
trên mặt ñáy, dễ dàng chứng minh ñược H là tâm ñường tròn nội
tiếp ñáy
Ta có: S∆ABC = p p a( − )(p b− )(p c− ) ; S ABC
r p
∆
Ta có 1
3 ABC
8
cos
α
2a
a
a a
x
Q I
M
H
N
P
C
E
B S
* Xác ñịnh tâm mặt cầu
Gọi M là trung ñiểm CD thì M là tâm ∆CED
Kẻ Mx//SA thì Mx là trục của ñáy CED (1)
1
9
Trong (SED), kẻ trung trực của SD và ED cắt nhau tại H thì H cũng
là tâm của ∆SED
Ta có MP/ /CE và
CE AD
MP SAD SAD CDE
nên trong
1
Trang 44/4
(Mx HP, ), kẻ HI//MP thì HI là trục của ∆SED (2)
Từ (1) và (2), suy ra IS=IC=ID=IE=R
Vậy, tâm của mặt cầu ngoại tiếp S.CDE hoàn toàn ñược xác ñịnh
* Tính bán kính R
QH
HP=HQ+QP= + = =IM (HIMP là hình chữ
nhật)
2
9
3 4
99, 2589 3
Suy ra:
1
n
+
Từ ñây tính ñược: u1 =4;u2=10;u3 =28;u4 =82;u5 =244
1
Tương tự:
1
n
+
Bằng quy nạp, chứng minh ñược: 1 3
n
n
u = + và = − + 1 3
n
n
Dễ thấy: N = S2012u − S2012v = 2012 1 − − ( ) 1 = 4024 1
10
Ta có 2 3 3n
n n
u −v = +