Suy ra hệ ban đầu có nghiệm.. Tóm lại hệ có nghiệm khi và chỉ khi m≥ 2.
Trang 1TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ
BÍCH CHÂU
ĐỀCHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 10
NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
Ngày thi: 15/12/2011
Bài 1 Giải các phương trình sau
a) 4 2
12 36
x −x = − x+
b) 3 2
3 1 −x = 2x + 4x
Bài 2
a) Giải hệ phương trình : ( )
2 2
+ + + =
b) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
2 1
+ − =
+ − =
Bài 3 Cho x, y, z là các số thực dương thõa mãn xyz = 1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
P
+ +
= + +
_ Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 2TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ
BÍCH CHÂU
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 10
NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
Ngày thi: 15/12/2011
a) Ta có
2 2
3
6 0
x
+ − = =
= −
− + =
2,0 Bài 1
b) Điều kiện x≤ 1 Nhận thấy rằng: 2x2 + 4x= 2(x2 + + −x 1) 2 1( −x)
2
a= −x b= + +x x a≥ b≥
PT đã cho trở thành
2
2
1 2
a
a
b
= −
⇔ + − = ⇔
=
*) Với a 2
b = − ( loại)
*) Với 1
2
a
b =
2
1
2
5 37
2
a
b
− ±
⇔ + + = − ⇔ + − = ⇔ =
Đối chiếu điều kiện phương trình đã cho có nghiệm 5 37
2
x= − ±
2,0
Bài 2
2 2
+ + + =
Ta thấy y = 0 không thõa mãn PT(1) nên
HPT
2
2
1
4
1
2 1
x
y x y
x
y x y
+ + + =
⇔
+
+ − =
Đặt
2
1
x
y
+
= = + − , ta có hệ 2
1
u v uv
+ =
=
2,0
Trang 3Giải hệ trên ta được u = v = 1, từ đó ta có hệ
2
1 2 1
5
x y
y
=
=
+ =
⇔
+ = = −
=
Vậy HPT đã cho có 2 nghiệm (x ; y ) là (1 ; 2 ) , (-2 ; 5 )
b) Đặt u= x− ≥ 1 0,thì x=u2 + 1 và v= y− ≥ 1 0,thì y= +v2 1 HPT đã cho trở thành
2 2
+ + =
+ + =
Do u v, ≥ 2nên điều kiện cần để hệ có nghiệm là m≥ 2
Với m≥ 2 xét hệ trên ta có (u−v)(2u− − = 2v 1) 0 ( nhờ trừ tùng vế
của hai phương trình ) Hệ tương đương với tuyển mà trong đó có
u v
− =
+ + =
Do u = v nên 2
2v + + − =v 2 m 0 Ta có 2 0
2
P a
−
= = ≤ nên PT luôn
có nghiệm v≥ 0 Suy ra hệ ban đầu có nghiệm
Tóm lại hệ có nghiệm khi và chỉ khi m≥ 2
2,0
Bài 3 Theo BĐT Cô-si ta có
x + = + + ≥x x = x
Tương tự ta có 3 3
y + ≥ y z + ≥ z
Cộng từng vế của các BĐT trên ta được
( )
x +y + + ≥z x+ +y z
Mà theo BĐT Cô-si ta có ( 3 3 3) ( )
2 x +y +z ≥ 2.3xyz= 6 **
Cộng từng vế của các BĐT (*) và (* *) ta được
3 x +y +z + ≥ 6 3 x+ + +y z 6 3 3 3
1
⇒ + + ≥ + + ⇒ ≥
P = 1 chẳng hạn khi x = y = z = 1 Vậy min P = 1
2,0