Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O.. Chứng minh DI, EJ, F K đồng quy tại trung điểm của mỗi đường.. Gọi M, N là hình chiếu vuông góc hạ từ D xuống AB, AC; P, Q lần lượ
Trang 1SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG Đề thi vào lớp 10 chuyên TOÁN năm học 2011 - 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC (Trường THPT Chuyên Trần Phú)
Câu I.
1 Cho biểu thức
P =
x
x √
x + √
x − x − 1 − √ 1
x − 1
:
1 +
√ x
x + 1
Rút gọn P Tìm x để P ≤ 0.
2 Cho phương trình x 2 − 2(m + 2)x + 2m + 2 = 0 (m là tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền có độ dài là
√ 6
3 Câu II.
1 Giải phương trình
q
x − 3 + √
2x − 7 +
q
x + 1 + 3 √
2x − 7 = 9 √
2.
2 Giải hệ phương trình
x 2 + 4y 2 = 4 4xy + x + 2y −2 Câu III Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O Các đường cao AD, BE, CF, (D ∈
BC, E ∈ CA, F ∈ AB) Gọi I, J, K lần lượt là trực tâm các tam giác AEF, BF D, CDE.
1 Chứng minh DI, EJ, F K đồng quy tại trung điểm của mỗi đường.
2 Chứng minh AI, BJ, CK đồng quy tại O.
3 Gọi M, N là hình chiếu vuông góc hạ từ D xuống AB, AC; P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc
hạ từ E xuống BC, BA; R, S lần lượt là hình chiếu vuông góc hạ từ F xuống CA, CB Chứng minh
M, N, P, Q, R, S cùng nằm trên một đường tròn.
Câu IV.
1 Chứng minh a 3 + b 3 ≥ ab(a + b) ∀a, b ≥ 0.
2 Cho a, b, c ≥ 0 và abc = 9
4 Chứng minh
a3+ b3+ c3> a √
b + c + b √
c + a + c √
a + b.
3 Tìm số dư củah 2 + √
3 2011 i
khi chia cho 3, với [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x Câu V Trong bảng 4 × 4 ô vuông có 1 trong 8 ô ở biên nhưng không phải là góc của bảng điền số −1
và 15 ô còn lại điền số 1 Một lượt, chọn 1 hàng hoặc 1 cột hoặc 1 đường chéo tùy ý (kể cả đường chéo chỉ gồm 1 ô góc), sau đó đổi dấu tất cả các ô trong đó Hỏi có thể đến một lúc nào đó thu được tất cả các ô trong bảng đều là số 1 không?
∗ ∗ ∗ WWW.VNMATH.COM ∗ ∗ ∗
3
www.VNMATH.com
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI VÀO
10 CHUYÊN TOÁN H ẢI PHÒNG NĂM 2011 (GV: Lưu Văn Thám – Trường BDVH 218 Lý Tự Trọng thực hiện)
Câu I
1 Cho P 2 x 1 : 1 x
x 1
+
Rút gọn P ĐS : P 1 x
x x 1
−
= + + (Chú ý ĐK : x ≥ 0, x ≠ 1) Tìm x để P ≤ 0 ĐS: x > 1
2 Cho phương trình x3
– 2(m+2)x + 2m + 2 = 0 (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông
có đường cao bằng 36
Hướng dẩn : (1) có hai nghiệm dương ⇔
2
1 2
1 2
' (m 1) 1 0
= + = + > ⇔ > −
(*)
Yêu cầu đề bài ⇔
2
1 2 1 2
2 2
1 2
1 1 6 2(x x ) 3x x 2S 4P 3P 0
⇔ 2[2(m + 2)]2
– 4(2m+2) – 3(2m + 2)2 ⇔ m2 = 3 ⇔ m = ± 3
So với điều kiện (*) nhận m = 3
Câu II
1 Giải phương trình: x 3− + 2x 7− + x 1 3 2x 7 9 2+ + − = (1) ĐK x ≥ 7
2
Khi đó (1) ⇔ 2x 6 2 2x 7− + − + 2x 2 6 2x 7 18+ + − =
2x 6 2 2x 7 2x 2 6 2x 7 18 2x 7 1 2x 7 3 18 2x 7 7 2x 7 49 x 28
⇔ − = ⇔ =
Vậy phương trình có nhiệm duy nhất là 28
Cách khác: chứng minh x > 28 và x< 28 không thỏa (1) x = 28 thỏa (1)
Vậy (1) có nghiệm duy nhất là 28
2 Giải hệ phương trình : x2 4y2 4
4xy x 2y 2
+ =
+ + = −
(1) (2) (I) (I)
(x 2y) 4xy 4 (x 2y) (x 2y) 2 0
4xy (x 2y) 2 4xy x 2y 2 4xy x 2y 2
+ − + + =
= − + +
⇔
2
1 7 1 7 (x;y) ( ; )
x 1 2y
4xy 1 4(1 2y)y 1 8y 4y 3 0 1 7 1 7
(x;y) ( ; )
x 2y 2 (x;y) ( 2;0) (x;y) ( 2;0)
(x;y) ( 2;0) 4xy 0 (x;y) (0; 1) (x;y) (0; 1)
(x;
=
= −
+ = − = − = −
= −
y) (0; 1)
= −
Vậy hệ phương trình có các nghiệm (x;y) là (-2;0); (0;-1); (1 7 1; 7)
; (1 7 1; 7)
Trang 3K
S J H
I R
P
Q
N
M
D
E
F
O
C B
A
Câu III Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O) và các đường cao AD, BE, CF Gọi I, J , K lần lượt là trực tâm các
tam giác AEF, BFD, CDE
Hường dẫn:
1 Chứng minh DI, RJ, FK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Gọi H là trực tâm ∆ABC, ta cĩ
FI // HE (cùng ⊥ AC), EI // HF (cùng ⊥ AB)
⇒ HEIF là hbh ⇒ FI // HE và FI = HE
Cmttự ta cĩ
HEKD là hbh ⇒ HE //DK và HE = DK
Vậy FI // DK và FI = DH ⇒ FIKD là hbh
⇒ DI và FK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Cmttự ta cĩ DEIJ là hbh ⇒ DI, EJ cắt nhau tại trung điểm
mỗi đường
Vậy DI, FK, EJ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
(đpcm)
2 Chứng minh AI, BJ, CK đồng quy tại O
Chứng minh ∆AEF đồng dạng ∆ABC (cgc)
⇒ AEF ABC=
Kẻ Ax là tiếp tuyến của (O) tại A
⇒ xAC ABC= (= ½ sđ cung AC)
⇒ xAC AEF= ⇒ Ax // EF mà OA ⊥ Ax ⇒ OA ⊥ EF
Vậy A, I, O thẳng hàng (cùng nằm trên đường thẳng qua A vuơng gĩc với EF)
Cm tương tự ta cĩ B,J,O thẳng hàng, C,K,O thẳng thàng vậy AI, BJ, CK đồng quy tại O (đpcm)
3 Ch ứng minh M,N, P, Q R, S cùng nằm trên một đường trịn
Ta cĩ ANM ADM= (do tứ giác AMDN nội tiếp) mà ADM ABC= (cùng phụ gĩc BAD )
Mà AEF ABC= (cmt) ⇒ AEF ANM=
Chứng minh ∆AEF đồng dạng ∆AQR (cgc) ⇒ AEF AQR= ⇒ AQR ANM=
Mà AQR RQM 180+ = o ⇒ ANM RQM 180+ = o ⇒ tứ giác MNRQ nội tiếp
Chứng minh tương tự ta cĩ MRNP nội tiếp ⇒ M, Q, R, N, P cùng nằm trên đường trịn ngoại tiếp
∆MNR
Chứng minh tương tự ta cĩ PQMS nội tiếp ⇒ M,N, P, Q R, S cùng nằm trên một đường trịn
Câu IV
1 Chứng minh rằng a3
+ b3≥ ab(a + b) ∀a, b ≥ 0 (quá dễ)
2 Cho a, b, c ≥ 0 và abc =9
4 Chứng minh a3+b3+ ≥c3 a b c b c a c a b+ + + + +
Từ câu 1) ⇒ 2(a3+b3+c ) ab(a b) bc(b c) ca(c a)3 ≥ + + + + +
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3
2(a b c ) ab(a b) bc(b c) ca(c a)
8(a b c ) a b b c c a (do abc= )9
17(a b c ) (c a b) (a b c) (b c a)
17 (a b c ) 2c a b 2a b c 2b c a 9
18
17
⇒ + 3 c3 a b c b c a c a b (do a,b,c 0 và 18 1) (đpcm)
17
Trang 43 Tìm số dư của (2+ 3)2011
1 2 2
x 2 3 S x x 4
P x x 1
x 2 3
= + = + =
= − = =
⇒ x1; x2 là nghiệm của phương trình x
2
– 4x + 1 = 0
⇒
*
) (1) Đặt k k
k 1 2
S =x +x (k ∈ N*) , (1) ⇒ Sn+2= 4Sn+1 - Sn
S1 = S = 4, S2 = S2 – 2P = 16 – 2 = 14 ⇒ S1; S2 ∈ N*
, Dùng quy nạp ta chứng minh được Sk ∈ N* , ∀k ∈ N*
và Skchia 3 dư 1 nếu k lẻ, Skchia 3 dư 2 nếu k chẵn
Ta có S2011 =x12011+x20112
⇒ + = − − = − do S2011 ∈ N và 0 < x2 < 1
Mà S2011 chia cho 3 dư 1 (cmt) ⇒ (2+ 3)2011
chia hết cho 3
Câu V Xét 8 ô ở biên không phải ô ở góc (hình vẽ) Mỗi lần chọn các ô
như đề bài thì trong 8 ô trên hoặc không có ô nào được chọn, hoặc
có đúng hai ô được chọn Mỗi lần đổi dấu các số như đề bài thì tich
các số trong 8 ô trên không đổi do −1.1=1.( −1); 1.1 = (−1)( −1)
Tích 8 số trong 8 ô đã chọn ban đầu là − 1 Nếu tất cả các ô trong
bảng đều là số 1 thì tích các số trong 8 ô trên là 1, vô lý Vậy sau
hữu hạn lần biến đổi các ô trong bảng không thể cùng mang số 1
-