057 đề thi vào 10 chuyên toán hải phòng 2019 2020

Kẻ đường cao AH H BCcủa tam giác ABC và kẻ đường kính AD của đường tròn O a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DH Chứng minh OM là đường trung trực của.. đoạn thẳng BC b Gọi S T là

SỞ GD&ĐT HẢI PHÒNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Năm học 2019-2020

ĐỀ THI MÔN TOÁN CHUYÊN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (2,0 điểm)

a) Cho các biểu thức : 3 1 3  

Rút gọn biểu thức P Tìm các giá trị của x để 1

5

P b) Cho phương trình x2 4x m 0(1)( m là tham số) Tìm các giá trị của m để phương

trình  1 có hai nghiệm x x1, 2thỏa mãn:  2 2  

1 2

1 2

 

   

 

 

Bài 2 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: 2   2

2x 3x 2 2x1 2x  x 3 b) Giải hệ phương trình:

3

2

9

  





  



Bài 3 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O ABAC Kẻ đường cao AH H BCcủa tam giác ABC và kẻ đường kính AD của đường tròn (O)

a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DH Chứng minh OM là đường trung trực của

đoạn thẳng BC

b) Gọi S T là các giao điểm của đường tròn (O) với đường tròn tâm A, bán kính AH; F,

là giao điểm của ST và BC Từ Akẻ đường thẳng vuông góc với DH tại E Chứng

minh FB FC FH2và 3 điểm , ,F E A thẳng hàng

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM tiếp xúc với đường tròn tâm A bán

kính AH

Bài 4 (1,0 điểm) Cho , ,x y z là 3 số thực dương thỏa mãn x x  z y yz0.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4

P

 

  

  

Bài 5 (2,0 điểm)

a) Tìm các số nguyên tố ,p q thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

)

i p q2  pchia hết cho p2 q

)

ii pq2 qchia hết cho q2  p

b) Viết lên bảng 2019 số 1; ; ; ;1 1 1 ; 1

2 3 2018 2019 Từ các số đã viết, xóa đi 2 số bất kỳ ,x y rồi viết lên bảng số

1

xy

x y (các số còn lại trên bảng giữ nguyên) Tiếp tục thực hiện

thao tác trên cho đến khi bảng chỉ còn lại đúng một số Hỏi số đó bằng bao nhiêu ?

ĐÁP ÁN Câu 1

x

a P

x



    

      



Vậy 0 x 4 thỏa mãn bài toán

b) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

' 4 m 0 m 4

       

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: 1 2

1 2

4

  



  



2

4 16 2

m

m



   

    

Kết hợp với điều kiện m 4;m0ta được m4thỏa mãn

Câu 2

a) ĐKXĐ:

1 3 2

x x





 



2

2

1

2

2

x

 



         

   



   

   

        

       

Vậy 3 37 3; 37

S    

b) ĐKXĐ: y0.Lấy phương trình thứ nhất trừ đi ba lần phương trình thứ hai ta được:

x  x  x   y y y y  x   y    x y

Thế y  3 xvào phương trình thứ nhất:

 3

2

x

x





         



Vậy hệ phươn trình đã cho có hai nghiệm    1;4 ; 2;1 (TMDKXD )

Câu 3

a) Ta có OM / /AH (tính chất đường trung bình) mà AH BCOM BC

OM

 là đường trung trực của đoạn thẳng BC dfcm( )

b) FTB FCS g g( ) FT FB FB FC FT FS (1)

FC FS

FH là tiếp tuyến của đường tròn tâm A bán kính AHFT FS FH2(2)

Từ (1) và (2) suy ra FB FC FH2

Gọi E là giao điểm của FA với (O) '

2

0

    

    

Mà DE'AF E H D', , là ba điểm thẳng hàng F E A, , thẳng hàng

c) Gọi I là điểm đối xứng với H qua E Ta có AF là đường trung trực của đoạn thẳng HI

nên FH FI và AH  AI, nghĩa là I thuộc đường tròn tâm A bán kính AH

0

       tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AH tại I (3)

2

HB HE

( )

HBI HMC c g c HBI HMC

    Tứ giác IBMC nội tiếp

E

F

T

S

M

D H

O A

B

C

Lại có: FI2 FB FC (cùng bằng FH2)FItiếp xúc với đường tròn IBMC tại I Kết hợp  với (3) suy ra đpcm

Câu 4

Áp dụng BĐT Cô si

x z   x z   xz  

Tương tự: 2 3 2

2

y

 Suy ra

4 4

P x y

x y

 Vậy Pmin     4 x y z 1

Câu 5

)

0( )

a

Mà ,p q là hai số nguyên tố nên p2,q3(thỏa mãn bài toán)

b) Đặt 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1)

1

xy z

 

 

           

    

Với mỗi tập các số dương x x1; 2; ;x tùy ý, xét biểu thức : n

n

 

  

       

    

Từ (1) suy ra mỗi lần xóa đi 2 số bất kỳ ,x y rồi viết lên bảng số

1

xy

x y các số còn lại trên

bảng giữ nguyên thì giá trị của biểu thức P của các số trên bảng không đổi

Gọi số cuối cùng là a   1 1 1 1 1

; ; ; ; ;

1 2 3 2018 2019

1 1 1 1 1 1 2020!

a a

