toán 11 nâng cao

Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Đại số & Giải tích 11.. CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN.. CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN..  Dãy số hữu hạn : là một hàm số xác định trên tập hợp m số nguyên dương đầ

Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

Đại số & Giải tích 11

Tiểu luận :

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CHƯƠNG DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN

Người thực hiện : Nguyễn Công Tuấn Lớp : 11A6

Chương 3 : DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN

I.Kiến thức cần nhớ :

1 Phương pháp chứng minh quy nạp:

Để chứng minh 1 mệnh đề chứa biến F(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dươn n ≥ p ( p N٭ cho trước ) ta cần thực hiện 2 bước cơ bản :

 Bước 1: Chứng minh F(n) là một mệnh đề đúng khi n = p

 Bước 2 : Với k là số nguyên dương tuỳ ý , xuất phát từ giả thiết F(n) là mệnh đề đúng với

n = k, ta đi chứng minh F(n) đúng đến n = k + 1

VD1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta luôn có:

1.2 + 2.5 + … +n(3n – 1 ) = n2( n + 1) (*)

Giải :

 Với n = 1 , ta có :

1(3.1 – 1) = 1 (1 + 1)  (*) đúng với n = 1

 Giả sử (*) đúng với n = k , k  N*, tức là :

1.2 + 2.5 + …+ k(3k- 1) = k2( k + 1),

Ta sẽ chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là :

1.2 + 2.5 +…+ (k + 1)(3k + 2) =  2

1



k ( k + 2)

Thật vậy , từ giả thiết quy nạp, ta có :

1.2 + 2.5 + …+ k(3k – 1 ) + (k + 1)(3k + 2) = 2 

1

k k + (k + 1)(3k + 2) = (k + 1)( k2 + 3k +2)

= (k + 1)(k + 1)(k + 2) =  2

1



k (k + 2). ĐPCM VD2: Chứng minh rằng : u n= 13n 1

chia hết cho 6n  N*.(1)

Giải :

 Khi n = 1, ta có : u n = 13 – 1 = 126  1 đúng

 Giả sử rằng (1) đúng với n = k ( k  N* , k ≥ 1) tức là :

13k 16

 Ta chứng minh rằng (1) đúng tới n = k + 1, tức là :

13k116

Thật vậy , ta có : 13k1 1

= 13k.131312

= 1313k 112

6



ĐPCM

2 Dãy số :

a) Các định nghĩa :

 Dãy số vô hạn : là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương N*

 Dãy số hữu hạn : là một hàm số xác định trên tập hợp m số nguyên dương đầu tiên

( m là số nguyên dương cho trước)

 Dãy số tăng :  u n là dãy số tăng n,u n1 u n > 0

 Dãy số giảm :  u n là dãy số giảm n,u n1u n < 0

 Dãy số không đổi :  u n là dãy số không đổi n,u n1 u n = 0

 Dãy số bị chặn trên :  u n là dãy số bị chặn trên nếu  M: u n  M ,  n  N*

 Dãy số bị chặn dưới :  u n là dãy số bị chặn dưới nếu m: u n  m,  n  N*

 Dãy số bị chặn : là dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới

b) VD:

1) Cho dãy  u n với u n =  3

1



n Chứng minh u n là dãy số tăng

Ta có : u n1u n =   3 3

1

n = 3n2 9n7 > 0,  n  N*

 Dãy số tăng

2) Cho dãy số  u n với u n =

5 6

6 5





n

n

Chứng minh u n là dãy số giảm

Ta có: u n1u n=

5 6

6 5 11 6

11 5











n

n n

n

= 6 116 5

11







n

n < 0,  n  N*  Dãy số giảm

3) Chứng minh rằng dãy  v n với v n =

3 2

1

2

2





n

n

, là dãy số bị chặn

Ta có : v n = 2122 2 32

2

n

n















3 2

5 1 2

1

2

n = 22 3

5 2

1

2 



n

Dễ thấy  n  N* , thì

5

1 3 2

1







n Do đó  -2 ≤ v n ≤ 1 (n 1)

Vì vậy,  v n là dãy số bị chặn

3 Cấp số cộng & Cấp số nhân:

a) Cấp số cộng :

Định nghĩa : dãy  u n là cấp số cộng  n, u n1 = u n + d ( d là một hằng số &

được gọi là công sai)

Các tính chất của cấp số cộng :

 Định lí về 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng :  u n là cấp số cộng  u k=  2

2

1

1  

u k k

 Công thức của số hạng tổng quát của cấp số cộng  u n :

u n = u1n1d (d là công sai)

 Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng  u n :

S n =  

2

1 u n

u

n 

hoặc S n =    

2

1

n  

VD : Cho dãy  u với u = 20n – 2010

 Chứng minh rằng u n là cấp số cộng Tìm công sai

 Tính u2009 & u2011 Từ đó suy ra u2010

 Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên

Giải :

 Ta có : u n1u n = 20(n + 1) – 2010- (20n-2010) = 20

  u n là cấp số cộng , công sai d = 20

 u2009 = 20.2009 – 2010 = 38170

u2011 = 20.2011- 2010 = 38210

 u2010 =

2

2011

2009 u

u 

=

2

38210

38170

= 38190

 Ta có : S12 =    

2

12 20 1 12

2u1 

Mà : u1 = 20.1 – 2010 = - 1990

 S12 = - 22560

b) Cấp số nhân :

Định nghĩa : dãy  u n là cấp số nhân  n, u n1 = u n.q ( q là hằng số & đƣợc gọi

là công bội)

Các tính chất của cấp số nhân :

 Định lí về 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân :  u n là cấp số nhân  2

k

u = u k1.u k1 (k ≥ 2 )

 Công thức của số hạng tổng quát của cấp số nhân  u n :

u n = u1.q n1( q là công bội )

 Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân  u n với q 1:

S n =

1

1

1

q

q u

n





VD:

Cho cấp số nhân  v n có v3 = 24 , v4 = 48

 Tìm v1 , công bội q của dãy số Từ đó hãy suy ra số hạng tổng quát

 Tính tổng 200 số hạng đầu tiên

Giải:

 Vì v n là cấp số nhân  q =

3

4

v

v

= 2

 v1 = 43

q

v

= 3

2

48

= 6  Số hạng tổng quát : v n = 6.2n1 (n 1)

 Ta có : S200 =  

q

q v





1

1

2 1

2 1

6 200





=  200 

6 2 1

II Các dạng bài tập :

Dạng 1: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học :

Bài1 : Chứng minh rằng : 122232  n2 =   

6

1 2

n n

( n  N * )

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta luôn có bất đẳng thức sau :

1 3

1

2

1 1

1











Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  2, ta luôn có các bất đẳng thức sau :

i

n

1

3

1 2

1

ii

1 2

1

3

1 2

1 1









Bài 4: Cho số thực xk2 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta luôn có :

1cosxcos2x cosnx =

 

2 sin

2

cos 2

1 sin

x

nx x

n

Bài 5 : Chứng minh rằng : 1 2 1

12

11n  n

133 (  n  N*)

Bài 6: Tính tổng :

S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n + 1)

( HD : vận dụng đẳng thức ở câu 1 để giải )

Bài 7: Chứng minh rằng : 1+ 3 + 5 +…+ (2n – 1) = n2 , (  n  N*)

Bài 8: Chứng minh rằng : U n = 2 2 2 1

3 2

7 n  n

5 (  n  N*)

Bài 9: Chứng minh rằng :

132333 k3 =  

4

12

2 k

k

, (  k  N*)

Bài 10: Cho mệnh đề “ với k là số nguyên dương tuỳ ý , nếu 8k 1  7 thì 8k11

7” Một bạn học sinh chứng minh như sau :

Ta có : 8k1 1

= 88k 17

Từ giả thiết “8k 1  7”  8k11

7 Hỏi rằng từ lập luận của mình , bạn học sinh đó có thể kết luận được “8k 1  7 , ( k  N*)” hay không ? Vì sao ?

Dạng 2: Tính đơn điệu của dãy số :

Bài 1: Tính 6 số hạng đầu tiên của các dãy số sau :

i Dãy số  v n với v n = 33

n

n

ii Dãy số  u n với u n = n n

2009

iii Dãy số  v n với v n =

3 2 sinn

(HD : Thay lần lượt n = 1,2,3,4,5,6)

Bài 2: Xét tính tăng -giảm của các dãy số sau :

i Dãy số  f n , với f n = 2n3 5n1;

ii Dãy số  u n , với u n = n n

2

iii Dãy số  v n , với v n = 1

2

3



n

n

(HD : Xét hiệu : u n1 u n );

Bài 3 : Xác định số thực m để dãy số  u n , với u n =

3 2

1

2

2





n

n m

là dãy số tăng

Bài 4: Xét tính đơn điệu của dãy số u n , với u n = n n2 1;

(HD : viết lại u n =

1

1

2 

 n n

)

Bài 5 : Chứng minh rằng dãy số  v n , với v n =

7 5

5 7





n

n

là dãy số tăng và bị chặn

Bài 6: Cho dãy số  f n , với f n =

6

cos 3

 , chứng minh rằng f n = f n12 ,n 1 Bài 7 : Cho dãy số  u n xác định bởi :

u1 = 2 và u n1 =

4

4

2



n

u

( n 1) Chứng minh rằng  u n là dãy số không đổi

Dạng 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy số khi cho bởi hệ thức truy hồi:

Bài 1 : Cho dãy số  u n xác định bởi : u1 = 1 và u n1 = u n 7 , n 1

Chứng minh rằng : u n = 7n6.( HD : chứng minh bằng quy nạp )

Bài 2: Cho dãy  u n , có u n =

3 4

2

2  n

n ,  v n có : v1 = u1 và v n1 = v n u n1 Tính v n theo n

Bài 3:Cho dãy  u n có : u1 = 1 và u n1 = u n + 2 Tìm u n theo n.( HD: viết ra

một vài số đầu và số cuối theo hệ thức truy hồi rồi khử các số hạng giống nhau)

Bài 4 :Cho dãy số  a n xác định bởi

a1 = 2 và a n1 = 3a n 2n1 , n 1 Chứng minh rằng : a n = 3n n

Dạng 4: Chứng minh dãy số là cấp số cộng và vận dụng các tính chất của cấp

số cộng:

 Để chứng minh dãy số u n là cấp số cộng ta chứng minh rằng :

u n1u n = d (d không đổi )

Bài 1:Cho dãy số  s n , xác định bởi : s1 = 1 , và s n1 = s n - 3 n 1

Chứng minh rằng  s n là cấp số cộng Tìm công sai

Bài 2:Cho cấp số cộng  u n với công sai d và cho các số nguyên dương m, k

với mk Chứng minh rằng u m = u k mkd Rút ra nhận xét

Bài 3: Cho cấp số cộng  u n và cho các số nguyên dương m, k với m < k Chứng

minh rằng u k =

2

m k m

k u

u   

Áp dụng : tìm cấp số cộng có 7 số hạng mà số hạng thứ 3 bằng 2 và tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 10

Bài 4: Cho cấp số cộng  u n có u5 u2 = 90 Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của  u n ( HD : viết tổng u5 u2 thành u1u23 = 90 )

Bài 5: Cho một cấp số cộng tăng  v n có v13 v153 = 302094 và S15 = 585 Tìm công sai và số hạng đầu của cấp số cộng đó ( ĐS : v1= 11, d = 4)

Bài 6 : Xét dãy số  u n xác định bởi u1 = m và u n1 = 5 - u n , n 1 Trong

đó m là số thực Hãy xác định tất cả các giá trị của m để  u n là một cấp số cộng

Bài 7: Cho dãy số  u k , có u k1 = 13k3 Tính tổng sau :

S = u12u13u14 u21  u19u20 u30 Bài 8 :Cho cấp số cộng  u n có u10 = 12 và có công sai d = 6 Tính u20 (HD : áp dụng công thức chứng minh ở câu 2 _dạng 4 )

Bài 9 : Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng

102 , số hạng thứ 2 bằng 105 và số hạng cuối bằng 999.(HD: tìm d, gọi k là số

các số hạng của cấp số cộng đã cho thì u k = 999)

Bài 10 : Cho cấp số cộng u n có u17 u20 = 9 và u172 u202 = 153 Hãy tìm

số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó

( HD : có thể viết lại 2 2

17 20

u u =     2

20 17 2 20 17

2

1

u u u

xét 2 TH khi u17u20 < 0  u17u20 > 0 )

Dạng 5: Các bài tập về cấp số nhân và tính chất của cấp số nhân:

Bài 1 : Chứng minh rằng : dãy số  f n xác định bởi f1 = 1 và f n1 =

7

n

f

là cấp số nhân Xác định công bội

Bài 2 : Xét dãy số  u n xác định bởi u1 = a và u n1 =

n

u

12

, n 1 , a là số thực khác 0 Hãy tìm tất cả các giá trị của a để dãy số  u n là cấp số nhân

(HD : giả sử  u n là cấp số nhân, khi đó  q > 0 sao cho u n1 = u n.q, từ

đó tính được u n2=

q

12

)

Bài 3 :Cho cấp số nhân  u n và các số nguyên dương m,k với m < k Chứng

minh rằng : u k = u km.u km Áp dụng : tìm cấp số nhân có công bội

âm , có 7 số hạng số hạng thứ 3 bằng 2 và tích của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 18 (HD : viết u  và u  với công bội q 0 )

Bài 4 :Cho cấp số nhân u n công bội q 0 và u1 0 Cho các số nguyên

dương m , k , với mk Chứng minh rằng : u m = u k.q mk Áp dụng : tìm công

bội q của cấp số nhân  u n có u4 = 2 và u7= -686

Bài 5 :Cho cấp số nhân u n có 3 3.u2 u5 = 0 và u32 u62 = 63 Hãy tính tổng

S = u1  u2  u3   u10 Bài 6: Cho cấp số nhân u n có 6u2 u5 = 1 và 3u3 2u4 = -1

i Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó

ii Tính tổng : S = u5  u6 u9  u8  u9 u12u14

Bài 7: Ba số x, y ,z theo thứ tự lập thành cấp số nhân ; đồng thời , chúng lần lượt

là số hạng đầu , số hạng thứ 3 và số hạng thứ 9 của một cấp số cộng Hãy tìm

ba số đó , biết tổng x + y + z = 13 ( HD : vì x, y, z là cấp số nhân  2

y = x z ;

từ giả thiết x, y, z là cấp số cộng ta tính hiệu y – x và z – y )

Bài 8 : Cho cấp số nhân u n có 7 số hạng , u4 = 6 và u7 = 243u2 , tìm các số hạng còn lại của cấp số nhân đó

Bài 9 :Tính tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2

số hạng thứ 2 bằng -2 và số hạng cuối bằng 64 2 (HD : gọi k là số số hạng của cấp số nhân đã cho, tìm k )

Bài 10: Cho dãy số  u n xác định bởi u1 = 2 và u n1 = 4u n 9 , n 1

Chứng minh rằng dãy số  v n , xác định bởi v n = u n + 3, n 1 là cấp số nhân Xác định số hạng đầu và công bội bội của cấp số nhân đó

(HD : dễ thấy u n1+3 = 4u n 9+ 3 = 4(u n + 3) )

III Một số bài tập trắc nghiệm :

Chọn câu trả lời đúng nhất trong các phương án trả lời:

Câu1: Cho dãy  u n xác định bởi u1 = 32 và u n1 u n 2 , n 2,n* Tổng 120 số hạng đầu tiên của dãy u n là :

A 45632 B 65212 C 18120 D.19630

Câu2: Cho dãy  a n xác định bởi a1= 1 và a n 2 n a n1 n 2 Khi đó a12 bằng :

A 2 12!11 B 4 11!13 C 2 12!11 D.4 11!13

Câu3: Cho cấp số cộng  u n có u1 2 và u3 6, Tổng : S u12u13  u17 bằng :

A 170 B 180 C.132 D 174

Câu4: Cho dãy số  f n xác định bởi 1 2

3

n n

f

f    n và f112, tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy trên là :

A.28697812

1594323 B.

28697813

1594324 C

7174453

398581 D.

28697813

1594323

Câu5: Cấp số cộng  u k có : u45 3 và u47 7 , thì u46 bằng :

A 5 B 10 C 2 D Chưa đủ dữ kiện trả lời

Câu6: Cho cấp số nhân  v n có công bội q = 4 và v1715 thì v21 bằng :

A 15 B.2120 C 41160 D Kết quả khác

Câu7: Dãy số  u n cho bởi 1

2

n

n u

n



 là dãy số :

A Tăng B Giảm C.Không tăng không giảm D Có thể tăng có thể giảm Câu8: Cho cấp số nhân  u n có u10 = 2 có u12 là nghiệm nguyên của bất phương trình

2

12 12

10u 163u 6600 Công bội q của  u n là :

A 4 B.2 C 8 D 10

Câu9: Cho dãy u n xác định bởi : u1 18 và u n1u nn Khi đóu n1 được biểu thị theo n

là :

A.u n1 2nn B

2 1

36 2

n

u    

C.u n1 18n 1 n D.u n1  2n 1

Câu10: Cho dãy  v n có 1

1

1

14 n

v





  

 số hạng thứ v n là :

A 1

n B 15 C 5 3

n D Chưa đủ dữ kiện để trả lời

IV Một số bài toán thực tế liên quan đến cấp số cộng - cấp số nhân :

Bài toán thực tế : Một công ty cung cấp các dịch vụ viễn thông cho khách hàng dịch vụ truy cập internet tại nhà theo 2 gói cước dịch vụ sau:

Gói dịch vụ 1: thuê bao tháng là 25000đ , với 100MB(dung lượng sử dụng ) đầu tiên , khách

hàng phải trả 10000đ ; từ MB 101 trở đi mỗi MB khách hàng phải trả 80đ/1MB

Gói dịch vụ 2: thuê bao tháng là 35000đ , với 100MB đầu tiên , khách hàng phải trả 6000đ;

từ MB 101 đến 200 mỗi MB khách hàng phải trả 45đ/1MB; từ MB thứ 201 trở đi thì cứ 100MB vượt khách hàng phải trả tăng thêm 5% so với 100MB ngay trước đó

Gia đình ông Dũng muốn đăng kí sử dụng dịch vụ của công ty viễn thông trên thì theo bạn nên khuyên ông chọn gói nào là ít tốn kém nhất (Cho rằng chất lượng dịch vụ, chăm sóc khách hàng là

như nhau và mỗi tháng gia đình ông phải sử dụng tối thiểu là 600MB)

V Câu hỏi thắc mắc về kiến thức trong chương :

Câu1: Tại sao có những trường hợp mà mệnh đề cho là sai mà ta có thể chứng minh quy nạp nó đúng ? ( VD : Bài 10 _ dạng 1)

Câu2: Với những bài toán về dãy số cho biết hệ thức truy hồi và yêu cầu tìm công thức

tổng quát theo n , có những mẹo gì để giải một bài như vậy ?

……… HẾT………

Học sinh : Nguyễn Công Tuấn