thiết kế có sự trợ giúp của máy tính

THIẾT KẾ CÓ SỰ TRỢ GIÚP CỦA MÁY TÍNH BÀI TẬP SỐ : 38 Họ tên :Trần Nguyên Hiển Lớp : Đạn2_K40 Đề số : 38 Bài 1: Sử dụng ma trận của phép biến đổi chứng minh rằng phép đối xứng qua gốc to

THIẾT KẾ CÓ SỰ TRỢ GIÚP CỦA MÁY TÍNH

BÀI TẬP SỐ : 38

Họ tên :Trần Nguyên Hiển

Lớp : Đạn2_K40

Đề số : 38

Bài 1:

Sử dụng ma trận của phép biến đổi chứng minh rằng phép đối xứng qua gốc toạ độ có thể phân rã thành hai phép biến đổi liên tiếp : đối xứng qua trục ox rồi đối xứng qua trục 0y hoặc ngược lại

BÀI GIẢI:

Ta có ma trận phép đối xứng qua gốc toạ độ : T =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

−

Ma trận đối xứng qua trục ox: T1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Ma trận đối xứng qua trục oy: T2 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

−

Vậy ta có:

T = T1*T2 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

*

1 0 0

0 1 0

0 0 1

−

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

−

Suy ra điều phải chứng minh

Bài 2: Cho vòng tròn bán kính R tâm ở gốc toạ độ

a Tìm phương trình và dạng đường cong sau khi thực hiện phép biến đổi với ma trận là:

2 0 0

0 1 0

2 2 1

b Vẽ đồ thị của đường cong trước và sau khi biến đổi trên cùng hệ trục toạ độ

BÀI GIẢI:

Ta có: (x y' , ,1 ' ) =(x y, ,1)*

2 0 0

0 1 0

2 2 1

=>

' '

2* 2 2

y y

= +

Rút x, y thế vào (1) có: ' 2 ( )2

2

x

a Vậy đường tròn sau khi biến đổi là đường cong có phương trình:

( )

( )' 2 ( ' )2

1 2

R R

Đây là đường elíp tâm ( 2, 2) bán trục lớn 2*R, bán trục nhỏ R

b Hình vẽ:

Bài 3: Cho vòng tròn bán kính R=2cm tâm ở gốc toạ độ

a Tìm phương trình và dạng đường cong sau khi thực hiện phép biến đổi với ma trận là:

2 3 2 0

−

b Vẽ đồ thị của đường cong trước và sau khi biến đổi trên cùng hệ trục toạ độ

BÀI GIẢI:

a Gọi A(x, y) thuộc vòng tròn tâm O bán kính R=2: x2 +y2 = 4 (2)

với ma trận của phép biến đổi là T =

2 3 2 0

−

( , )

A x y → A x y'( ' , ') => (x y' , ,1 ' ) =(x y, ,1)*

2 3 2 0

−

'

2 3 * 3

3 * 2 * 3

= + + =>

3( ' 3) ( ' 3)

4 ( ' 3) 3( ' 3)

8

x

y

=

=

thế vào (2) có: ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2

3 ' 3 ' 3 ' 3 3 ' 3

4

đặt: 1

1

' 3

' 3

x x

y y

= −



 = −

 ta được :

4

đặt lần 2:

2

2

3.

x

2 3.

2

x y y

=





−

 =



ta được phương trình: 22 22

4 8

x y

Đây là phương trình đường elíp tâm (0, 0), bán kính trục nhỏ a = 4, bán kính trục lớn b = 8 (Khi xét với biến là: x2, y2)

Theo 2 lần đặt biến thì khi xét với biến là (x’, y’) thì nó biểu diễn đường elíp tâm (3, 3), bán kính trục nhỏ a = 4, bán kính trục lớn b = 8 , nghiêng với trục ox góc 300

b Đồ thị đường cong trước và sau khi biến đổi trên cùng hệ trục toạ độ

Bài 4: Sử dụng ma trận của phép biến đổi chứng minh rằng phép quay quanh gốc toạ độ với góc quay ±1800 hoàn toàn tương đương với phép đối xứng qua gốc toạ độ

BÀI GIẢI:

Ma trận phép quay quanh gốc toạ độ góc α = 180 0 độ:

T1

os 180 sin 180 0 1 0 0 sin 180 os 180 0 0 1 0

0 0 1

c

c

Ma trận đối xứng qua gốc toạ độ: T2 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

−

Rõ ràng T1=T2 suy ra điều phải chứng minh

Bài 5: Cho tam giác ABC với toạ độ các đỉnh: A(5 ,0) B(1 ,0) C(4 ,4) và một

3x+2 a) Tính ma trận của phép đối xứng tam giác qua đường thẳng y = 1

3x+2 b) Tính tọa độ của các đỉnh tam giác sau khi biến đổi (A’ ; B’ ; C’) c) Vẽ tam giác ABC và A’B’C’ trên cùng một hệ tọa độ oxy, mỗi đơn vị dài lấy bằng 1cm hoặc 0,5 cm Nên vẽ bằng SolidWork, rồi chuyển sang File ảnh JPG

và chèn vào File Word, tô màu khác nhau cho rõ d) Dùng phần mềm SolidWork kiểm tra lại tọa độ các đỉnh A’B’C’ đã tính toán

BÀI GIẢI:

a Phép đối xứng tam giác qua đường thẳng y= 1

3x+2 gồm Phép tịnh tiến với ma trận chuyển đổi: T1 =

1 0 0

0 1 0

0 2 1

Phép quay với α = − 30 0 với ma trận chuyển đổi: T2=

0

0

−

phép đối xứng qua trục ox ma trận chuyển đổi: T3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Phép quay với α = 30 0 với ma trận chuyển đổi: T4 =

3 1

0

2 2

1 3

0

2 2

−

Phép tịnh tiến với ma trận chuyển đổi: T5 =

1 0 0

0 1 0

0 2 1

Vậy ta có ma trận biến đổi chung: T = T1*T2*T3*T4*T5 =

0

0

3 3 1

−

b Tính toạ độ tam giác ∆A B C' ' '

1 5 0 1

1 4 4 1

3 3 1 2+ 3 2 3 1 1

A A

B B

C C

x y

x y

x y

c Chọn 1đv = 10 mm ta vẽ được như sau:

d Dùng phần mềm CAD để kiểm tra:

Sau khi cho VABC đối xứng qua đường thẳng có phương trình y= 1

3*x+2 ta được ∆A B C' ' ' với toạ độ các đỉnh được biểu diễn trong ma trận sau:

1 0,77 7,33 1

1 1, 23 3,87 1

1 3,73 4, 46 1

A A

B B

C C

x y

x y

x y

Như vậy kết quả là chính xác

Bài 6: Cho tam giác ABC với toạ độ các đỉnh: A(4,0) B(3 ,5) C(1 ,2) và một

a) Tính ma trận của phép quay tam giác quanh điểm E một góc α=-900

b) Tính tọa độ của các đỉnh tam giác sau khi biến đổi (A’ ; B’ ; C’) c) Vẽ tam giác ABC và A’B’C’ trên cùng một hệ tọa độ oxy, mỗi đơn vị dài lấy

d) Dùng phần mềm SolidWork kiểm tra lại tọa độ các đỉnh A’B’C’ đã tính toán

BÀI GIẢI:

a Phép quay tam giác quanh điểm E một góc α gồm

Phép tịnh tiến với ma trận chuyển đổi: T1 =

1 0 0

0 1 0

0 2 1

Phép quay góc α = − 90 0 ma trận chuyển đổi: T2 =

0 1 0

1 0 0

0 0 1

−

Phép tịnh tiến với ma trận chuyển đổi: T3 =

1 0 0

0 1 0

0 2 1

Vậy ta có ma trận biên đổi chung:

T = T1*T2*T3 =

0 1 0

1 0 0

2 2 1

−

b Tính toạ độ tam giác ∆A B C' ' '

1 4 0 1 0 1 0 2 6 1

1 3 5 1 * 1 0 0 7 5 1

A A

B B

C C

x y

x y

x y

c Chọn 1đv =10 mm ta vẽ được như sau:

d Dựng phần mềm CAD để kiểm tra

Sau khi quay VABC quanh điểm E một gúc α = -900 ta được ∆A B C' ' ' với toạ độ cỏc đỉnh được biểu diễn trong ma trận sau:

A A

B B

C C

x y

x y

x y

Như vậy kết quả là chớnh xỏc

Bài 7:

Cho toạ độ của các đỉnh của tam giác ABC trong không gian A(1,0,0);

B(1,-1,0);C(0,0,1):

a.Tìm ma trận của phép biến đổi tam giác ABC theo trình tự sau:quay quanh trục

z một góc 450 → quay quanh trục Y một góc - 450 → quay quanh trục X một

góc 300 → scale tăng lên hai lần với tâm biến đổi là đỉnh A.

b.Tính toạ độ mới của tam giác sau khi biến đổi.Dùng một chơng trình CAD

t-ơng tác kiểm tra lại toạ độ đã tính toán

Bài Giải

a Cỏc phộp biến đổi và ma trận tương ứng:

• Quay quanh oz một góc 450 , T1 =





























−

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 2

2 2 2

0 0 2

2 2 2

• Quay quanh oy một góc -450, T2 =





























−

1 0 0 0

0 2

2 0 2 2

0 0 1 0

0 2

2 0 2 2

• Quay quanh ox một góc 300, T3 =





























−

1 0 0

0

0 2

3 2 1 0

0 2

1 2

3 0

0 0 0

1

• Tịnh tiến A( 1; 0; 0) về trùng với O, T4 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 1

• Tỉ lệ tam giác ABC lên 2 lần , T5 =

























1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 2 0

0 0 0 2

• Tịnh tiến hệ về điểm A(1;0;0), T6 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 1

Ma trận biến đổi:

T = T1.T2.T3.T4.T5.T6 =

6 1 2 3

6 1 2 3

−

−

b Tọa độ các đỉnh tam giác sau khi biến đổi được tính theo công thức; ( x’ y’ z’ 1) = ( x y z 1) T (với T là ma trận biến đổi)





















1 1 1

' ' '

' ' '

' ' '

C C C

B B B

A A A

z y x

z y x

z y x

=





















1 1 1

C C C

B B B

A A A

z y x

z y x

z y x

6 1 2 3

6 1 2 3

−

−

=

Vậy toạ độ các đỉnh tam giác ABC sau khi biến đổi là:

A’(0; -0,725; 1,573); B’(0; -1; -1,732); C’( -2,414; -0,707; 0,612)

♣ Dùng AutoCAD kiểm tra lại kết quả tính toán:

• Trong CAD vẽ hệ trục toạ độ Oxyz bằng lệnh 3P.( có thể dựa vào khối hình hộp lập phương để vẽ dược nhanh chóng)

• Đưa hệ toạ độ về trùng với hệ toạ độ vừa tạo

• Dùng lệnh 3P vẽ tam giác ABC, nhập toạ độ tuyệt đối đánh dấu các đỉnh tam giác

• Sử dụng lệnh 3D Rotate lần lượt quay tam giác ABC quanh các trục oz,oy, ox một góc 450, -450, 300

• Dùng lệnh Scale biến đổi tỷ lệ tam giác ABC lên 2 lần, tâm biến đổi là (2; 0 ; 0) - điểm này được nhập toạ độ tuyệt đối

• Dùng lệnh ID kiểm tra lại các đỉnh tam giác sau khi biến đổi ta được: A’(0; -0,72; 1,57); B’(0; -1; -1,73); C’( -2,41; -0,71; 0.61)

So sánh với kết quả tính toán ta kết luân phép tính chính xác