THIẾT KẾ CÓ SỰ TRỢ GIÚP CỦA MÁY TÍNH BÀI TẬP SỐ : 47 Bài 1: Sử dụng ma trận của phép biến đổi chứng minh rằng phép đối xứng qua gốc toạ độ có thể phân rã thành hai phép biến đổi liên
Trang 1THIẾT KẾ CÓ SỰ TRỢ GIÚP CỦA MÁY TÍNH
BÀI TẬP SỐ : 47
Bài 1:
Sử dụng ma trận của phép biến đổi chứng minh rằng phép đối xứng qua gốc toạ độ có thể phân rã thành hai phép biến đổi liên tiếp : đối xứng qua trục ox rồi đối xứng qua trục 0y hoặc ngược lại
BÀI GIẢI:
Ta có ma trận phép đối xứng qua gốc toạ độ A x y( , ) → A'(− −x y, )
T =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−
Ma trận đối xứng qua trục ox: A x y( , ) → A x y'( , − )
T1 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Ma trận đối xứng qua trục oy: A x y( , ) → A'(−x y, )
T2 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−
Vậy ta có:
T = T1*T2 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
*
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−
Suy ra điều phải chứng minh
Bài 2:
Cho vòng tròn bán kính R tâm ở gốc toạ độ
a Tìm phương trình và dạng đường cong sau khi thực hiện phép biến đổi với ma trận là:
2 0 0
0 1 0
2 2 1
b Vẽ đồ thị của đường cong trước và sau khi biến đổi trên cùng hệ trục toạ độ
BÀI GIẢI:
Gọi A(x, y) thuộc vòng tròn tâm O bán kính R: x2 +y2 =R2 (1)
Trang 2T =
2 0 0
0 1 0
2 2 1
( , )
(x y' , ,1 ' ) =(x y, ,1)*
2 0 0
0 1 0
2 2 1
'
'
2* 2
2
= +
Rút x, y thế vào (1) có:
2
2
x
a Vậy đường tròn sau khi biến đổi là đường cong có phương trình:
( )' 2 ( ' )2
1 2
R R
Đây là đường elíp tâm ( 2, 2) bán trục lớn 2*R, bán trục nhỏ R
b Hình vẽ:
Bài 3:
Trang 3Cho vòng tròn bán kính R=2cm tâm ở gốc toạ độ
a Tìm phương trình và dạng đường cong sau khi thực hiện phép biến đổi với ma trận là:
2 3 2 0
−
b Vẽ đồ thị của đường cong trước và sau khi biến đổi trên cùng hệ trục toạ độ
BÀI GIẢI:
a Gọi A(x, y) thuộc vòng tròn tâm O bán kính R=2: x2 +y2 = 4 (2)
T =
2 3 2 0
−
( , )
(x y' , ,1 ' ) =(x y, ,1)*
2 3 2 0
−
'
'
2 3 * 3
3 * 2 * 3
Rút x,y :
3( ' 3) ( ' 3)
4
( ' 3) 3( ' 3)
8
x
y
=
=
thế vào (2) có:
3 ' 3 ' 3 ' 3 3 ' 3
2
Ta đặt phép đổi biến: 1
1
' 3 ' 3
= −
= −
thu được :
4
Ta đổi biến lần 2:
2
2
3.
x
2 3.
2
y
=
−
=
ta được phương trình:
4 8
Trang 4Đây là phương trình đường elíp tâm (0, 0), bán kính trục nhỏ a = 4, bán kính trục lớn b = 8 (Khi xét với biến là: x2, y2)
Theo 2 lần đặt biến thì khi xét với biến là (x’, y’) thì nó biểu diễn đường elíp tâm (3, 3), bán kính trục nhỏ a = 4, bán kính trục lớn b = 8 , nghiêng với trục ox góc 300
b.Hình vẽ:
Từ cách phân tích trên ta có thể thấy thực chất đây là tổng hợp của 3 phép biến đổi đơn giản : phép biến dạng (Sx=2, Sy=4), phép quay (α =600) và phép tịnh tiến (tx=3, ty=3) Và từ trên ta cũng phân tích ma trận đã cho thành như sau:
T=
2 3 2 0
−
=
0
3 1
2 2
Vậy đường cong là elíp bị quay nghiêng có trục dài nghiêng góc α = 30 0so víi trôc hoµnh
Trang 5Bài 4:
Sử dụng ma trận của phép biến đổi chứng minh rằng phép quay quanh gốc toạ độ với góc quay ±1800 hoàn toàn tương đương với phép đối xứng qua gốc toạ độ
BÀI GIẢI:
Ta có ma trận phép quay quanh gốc toạ độ góc α = 180 0 độ: A x y( , ) → A x y'( ' , ')
T1
os 180 sin 180 0 1 0 0 sin 180 os 180 0 0 1 0
0 0 1
c
c
Ma trận đối xứng qua gốc toạ độ: A x y( , ) → A'(− −x y, )
T2 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−
Rõ ràng T1=T2 suy ra điều phải chứng minh
Bài 5:
Cho tam giác ABC: A( )2,0 ; B( )6, 2 ; C( )4, 4 và một đường thẳng y =− 1*x+1
a Tính ma trận của phép đối xứng tam giác qua đường thẳng y =-1*x+1
b Tính toạ độ các đỉnh của tam giác sau khi biến đổi (A’; B’; C’)
c) Vẽ tam giác ABC và A’B’C’ trên cùng một hệ tọa độ oxy, mỗi đơn vị dài lấy bằng 1cm hoặc 0,5 cm Nên vẽ bằng SolidWork, rồi chuyển sang File ảnh JPG
và chèn vào File Word, tô màu khác nhau cho rõ
d) Dùng phần mềm SolidWork kiểm tra lại tọa độ các đỉnh A’B’C’ đã tính toán
BÀI GIẢI:
a Đường thẳng cắt trục oy tại P(0,1) và nghiêng góc α = 45 0 so với trục ox
Do đường thẳng y =-1*x+1 không trùng với trục toạ độ nên ta thực hiện các bước như sau:
Gắn cứng tam giác ABC và đường thẳng y =-1*x+1
Di chuyển P → O với tx = 0, ty= -1; ta có ma trận chuyển đổi
T1 =
1 0 0
0 1 0
0 1 1
Quay đường thẳng quanh gốc toạ độ với góc α = 45 0 về trùng với ox Ta
có sinα = 2
2 và cosα = 2
2 Ma trận chuyển đổi:
Trang 60
0
−
Thực hiện phép đối xứng qua trục ox ta được ∆A B C' ' '.Ta có ma trận chuyển đổi:
T3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Quay đường thẳng trở lại quanh gốc toạ độ với góc α = − 45 0 Ta có sinα
=- 2
2 và cosα= 2
2 Ta có ma trận chuyển đổi:
T4 =
0
0
−
Tịnh tiến về vị trí ban đầu, với tx= 0 , ty= 1; Ta có ma trận chuyển đổi:
T5 =
1 0 0
0 1 0
0 1 1
Vậy ta có ma trận biến đổi chung :
T = T1*T2*T3*T4*T5 =
0 -1.0000 0 -1.0000 0 0 1.0000 1.0000 1.0000
b Tính toạ độ tam giác ∆A B C' ' '
1 2 0 1
1 6 2 1 *
1 4 4 1
T=
1 -1 1 -1 -5 1 -3 -3 1
c Chọn 1đv = 10 mm ta vẽ được như sau:
Trang 7d Dùng phần mềm solidwork để kiểm tra:
Sau khi cho VABC đối xứng qua đường thẳng có phương trìkieemy=-x+1 ta được ∆A B C' ' ' với toạ độ các đỉnh được biểu diễn trong ma trận sau:
Như vậy kết quả là chính xác
Bài 6:
Cho tam giác ABC: A( )1, 4 B( )3,1 C( )5,5 và E(− 2,0):
a Tính ma trận của phép quay tam giác quanh điểm E một góc α = +900
b Tính toạ độ các đỉnh của tam giác sau khi biến đổi (A’; B’; C’)
Trang 8c) Vẽ tam giác ABC và A’B’C’ trên cùng một hệ tọa độ oxy, mỗi đơn vị dài lấy
d) Dùng phần mềm SolidWork kiểm tra lại tọa độ các đỉnh A’B’C’ đã tính toán
BÀI GIẢI:
a Điểm E(-2, 0) không trùng với gốc toạ độ nên ta thực hiện các bước như sau:
Gắn cứng tam giác ABC và điểm E
Di chuyển E → O với tx= 0, ty= 2; Ta có ma trận chuyển đổi:
T1 =
1 0 0
0 1 0
2 0 1
Quay tam giác ABC quanh gốc toạ độ với góc α = + 90 0 ta có được tam giác A’B’C’ Ta có sinα= 1 và cosα = 0 Ta có ma trận chuyển đổi:
T2 =
0 1 0
1 0 0
0 0 1
Tịnh tiến trở lại vị trí ban đầu, với tx= -2 , ty= 0; Ta có ma trận chuyển đổi:
T3 =
1 0 0
0 1 0
2 0 1
Vậy ta có ma trận biên đổi chung:
T = T1*T2*T3 =
0 1 0
1 0 0
2 2 1
b Tính toạ độ tam giác ∆A B C' ' '
1 1 4 1 0 1 0 6 3 1
1 3 1 1 * 1 0 0 3 5 1
1 5 5 1 2 2 1 7 7 1
Trang 9c Chọn 1đv =10 mm ta vẽ được như sau:
d Dựng phần mềm solidwork kiểm tra:
Sau khi quay VABC quanh điểm E một gúc α = +900 ta được ∆A B C' ' ' với toạ độ cỏc đỉnh được biểu diễn trong ma trận sau:
1 6 3 1
1 7 7 1
Như vậy kết quả là chớnh xỏc
Bài 7: Cho toạ độ của các đỉnh của tam giác ABC trong không gian A(1,0,0);
B(-1,0,0);C(0,2,1):
1 a) Tỡm ma trận của phộp biến đổi tam giỏc ABC theo trỡnh tự sau: quay
quanh trục Z một gúc 450 quay quanh trục Y một gúc - 450 quay quanh trục X một gúc 300 Scale tăng lờn 2 lần với tõm biến đổi là đỉnh A
Trang 10b) Tính toạ độ mới của tam giác sau khi biến đổi Dùng một chương trình CAD tương tác kiểm tra lại toạ độ đã tính toán
Bµi Gi¶i
a Các phép biến đổi và ma trận tương ứng:
• Quay quanh oz một góc 450 , T1 =
−
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 2
2 2 2
0 0 2
2 2 2
• Quay quanh oy một góc -450, T2 =
−
1 0 0 0
0 2
2 0 2 2
0 0 1 0
0 2
2 0 2 2
• Quay quanh ox một góc 300, T3 =
−
1 0 0
0
0 2
3 2 1 0
0 2
1 2
3 0
0 0 0
1
• Tịnh tiến A( 1; 0; 0) về trùng với O, T4 =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 1
(Coi điểm A làm tâm Scale là điểm A có giá trị ban đầu)
• Tỉ lệ tam giác ABC lên 2 lần , T5 =
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
• Tịnh tiến hệ về điểm A(1;0;0), T6 =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 1
Ma trận biến đổi:
Trang 11T = T1.T2.T3.T4.T5.T6 =
6 1 2 3
6 1 2 3
−
−
b Tọa độ các đỉnh tam giác sau khi biến đổi được tính theo công thức; ( x’ y’ z’ 1) = ( x y z 1) T (với T là ma trận biến đổi)
1 1 1
' ' '
' ' '
' ' '
C C C
B B B
A A A
z y x
z y x
z y x
=
1 1 1
C C C
B B B
A A A
z y x
z y x
z y x
6 1 2 3
6 1 2 3
−
−
=
0 0,725 1,573 1
0 1,725 0,159 1
2, 414 2,7424 0,9069 1
Vậy toạ độ các đỉnh tam giác ABC sau khi biến đổi là:
A’(0; -0,725; -1,573); B’(0; 1,725; -0,159); C’(- 2,414; 2,7424; 0,9069)
♣ Dùng AutoCAD kiểm tra lại kết quả tính toán:
• Trong CAD vẽ hệ trục toạ độ Oxyz bằng lệnh 3P.( có thể dựa vào khối hình hộp lập phương để vẽ dược nhanh chóng)
• Đưa hệ toạ độ về trùng với hệ toạ độ vừa tạo
• Dùng lệnh 3P vẽ tam giác ABC, nhập toạ độ tuyệt đối đánh dấu các đỉnh tam giác
• Sử dụng lệnh 3D Rotate lần lượt quay tam giác ABC quanh các trục oz,oy, ox một góc 450, -450, 300
• Dùng lệnh Scale biến đổi tỷ lệ tam giác ABC lên 2 lần, tâm biến đổi là (2; 0 ; 0) - điểm này được nhập toạ độ tuyệt đối
• Dùng lệnh ID kiểm tra lại các đỉnh tam giác sau khi biến đổi ta được:
• A’(0; -0,725; -1,573); B’(0; 1,725; -0,159); C’(- 2,414; 2,7424; 0,9069)
•
• So sánh với kết quả tính toán ta kết luân phép tính chính xác