Phương pháp giải hệ phương trình

PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT : 0976566882loại MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trong các đề thi đại học những năm gần đây , ta gặp rất nhiều b

PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT : 0976566882

(loại)

MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Trong các đề thi đại học những năm gần đây , ta gặp rất nhiều bài toán về hệ phương trình Nhằm giúp các bạn ôn thi tốt , bài viết này tôi xin giới thiệu một số dạng bài và kĩ năng giải chúng

I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.

Đặc điểm chung của dạng hệ này là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc biệt là kĩ năng phân tích nhằm đưa một PT trong hệ về dạng đơn giản ( có thể rút theo y hoặc ngược lại ) rồi thế vào PT còn lại trong hệ

*Loại thứ nhất , trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y khi đó ta tìm cách rút y theo x hoặc ngược lại

 

2

xy x 1 x 2





  



Giải

Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn PT(2) nên từ (2) ta có :

2

y 1

x



  thay vào (1) ta được

   3 2        3 2 

x 1







  



Từ đó , ta được các nghiệm của hệ là : (1;-1) , (-2; 5

2

*Loại thứ hai , Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn

 

xy x y x 2y 1

x 2y y x 1 2x 2y 2







Giải

Điều kiện : x≥1 ; y≥0

     

y 2x 2y2y 2 y 1 2y2 0 do y0    y 2 x 5

*loại thứ ba , đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai của một ẩn , ẩn còn lại là tham số

 

2







Giải

Biến đổi PT (2) về dạng 2   2

y  4x 8 y 5x  16x 16 0

Coi PT (2) là phương trình ẩn y tham số x ta có  ' 9x2 từ đó ta được nghiệm  

 

y 4 x 4





 



Thay (3) vào (1) ta được :   2  

4

    





  



Thay (4) vào (1) ta được :   2   x 4 y 0

  





Vậy nghiệm của hệ là : (0;4) , (4;0) , ( 4

5

II.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ af x, y ; b  g x, y có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình    

2 2

x 1 y y x 4y 1

x 1 y x 2 y 2







Giải

Dễ thấy y=0 không thỏa mãn PT(1) nên HPT

2

2

y

y





 



Đặt

ab 1 y

 





 giải hệ ta được a=b=1 từ đó ta có hệ

2

  



 



Hệ này bạn đọc có thể giải dễ dàng

Ví dụ 5 Giải hệ phương trình

2

3

x y 1

x y







Giải Điều kiện : x +y ≠0

HPT

   

 

2

3

x y 1

x y



 



x y

 

 

3a b 13 1

a b 3 2





 



PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT : 0976566882

Giải hệ ta được a=2 , b=1 ( do |a|≥2 ) từ đó ta có hệ

1

x y

  



III.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Hệ loại này ta gặp nhiều ở hai dạng f(x)=0 (1)và f(x)=f(y) (2) với f là hàm đơn điệu trên tập D và x,y thuộc D Nhiều khi ta cần phải đánh giá ẩn x,y để x,y thuộc tập mà hàm f đơn điệu

* Loại thứ nhất , một phương trình trong hệ có dạng f(x)=f(y) , phương trình còn lại giúp ta giới hạn x,y thuộc tập D để trên để trên đó hàm f đơn điệu

Ví dụ 6 Giải hệ phương trình  

 

x 5x y 5y 1

x y 1 2







Giải

Từ PT (2) ta có x81; y4  1 x 1; y 1

f ' t 3t     5 0; t 1;1 do đó f(t) nghịch biến trên khoảng (-1;1) hay PT (1) x y thay vào PT (2) ta được PT : x8x4 1 0

Đặt a=x4≥0 và giải phương trình ta được 1 5 4 1 5

*loại thứ hai , là dạng hệ đối xứng loại hai mà khi giải thường dẫn đến cả hai trường hợp (1) và (2)

Ví dụ 7 Giải hệ phương trình











Giải

Đặt a x 1; b y 1 ta được hệ  

 

a a 1 3 1

b b 1 3 2







Trừ vế với vế 2 PT ta được : a a2 1 3a  b b2 1 3b(3)

2

t 1 t

 



t  1 t   t t    1 t 0 f ' t  0, t do đó hàm số f(t) đồng biến trên R

Nên PT (3) a b thay vào PT (1) ta được a a2 1 3a (4)

Theo nhận xét trên thì a a2 1 0 nên PT (4)  2 

ln a a 1 a ln 3 0

2

1

g a ln a a 1 a ln 3; g' a ln 3 1 ln 3 0, a R



hay hàm g(a) nghịch biến trên R và do PT (4) có nghiệm a=0 nên PT (4) có nghiệm duy nhất a=0

Từ đó ta được nghiệm của hệ ban đầu là : x=y=1

IV.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

Với phương pháp này, cần lưu ý phát hiện các biểu thức không âm và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản

Ví dụ 8 Giải hệ phương trình

2

3 2

2 2

3

2xy

2xy







Giải

2xy

2

Tương tự

3 2

2xy

xy



  mà theo bất đẳng thức Côsi

x y 2 xy nên VT(1)≤VP(1)

Dấu bằng xảy ra khi x y 1

 



  

 thử lại ta được nghiệm của hệ là : (0;0) , (1;1)

Ví dụ 9 Giải hệ phương trình

3 3







Giải

             

2 3

2 3



Nếu x>2 từ (1) suy ra y-2<0 diều này mâu thuẫn với PT(2) có (x-2) và (y-2) cùng dấu

Tương tự với x<2 ta cũng suy ra điều vô lí Vậy nghiệm của hệ là x=y=2

Hy vọng một số ví dụ trên sẽ giúp bạn phần nào kĩ năng giải hệ Để kết thúc bài viết mời các bạn cùng giải các hệ phương trình sau

 

 

3

2

xy 3x 2y 16











x

2

y

y

e 2007

e 2007













PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT : 0976566882