Đề thi HSG Quang Ninh 2011 BẢNG B

Cỏc điểm M và N lần lượt thuộc cỏc cạnh AD và CD của hỡnh vuụng sao cho MBN = 450.. H-ớng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ l-ợc một cách giải.. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận

sở giáo dục và đào tạo

quảng ninh -

kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2011-2012

Đề thi chính thức

môn : Toán ( bảng B )

Họ và tờn, chữ ký của giỏm thị số 1

Thời gian làm bài : 180 phút

(không kể thời gian giao đề) ………

(Đề thi này có 01 trang)

Bài 1 (4 điểm):

Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để đường thẳng y = x + m cắt đồ thị của hàm

số y = 2 1

1

x x



 tại hai điểm A và B sao cho AB = 2 2

Bài 2 (3 điểm):

Cho hỡnh vuụng ABCD cú cạnh bằng a Cỏc điểm M và N lần lượt thuộc cỏc cạnh AD và CD của hỡnh vuụng sao cho MBN = 450 Đặt AM = x; CN = y và diện tớch tam giỏc MBN là S Chứng minh rằng: S = 1

2 a(x+y)

Bài 3 (4 điểm):

Tìm nghiệm thực của hệ phương trỡnh:







Bài 4 (6 điểm):

Cho hỡnh tứ diện ABCD cú AB = AC, hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) vuụng gúc với nhau, BDC =900

Gọi O là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC

1 Chứng minh rằng: OA = OB = OC = OD

2 Đặt AB = a; BC = b, tớnh OA theo a và b

Bài 5 (3 điểm):

4(1 ) 4

9  x  x  với    x   1;1

- Hết -

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

sở giáo dục và đào tạo quảng ninh

h-ớng dẫn chấm thi chọn hsg lớp 12 năm học 2011-2012

môn toán bảng B đề chính thức

(Hướng dẫn chấm này cú 03 trang)

điểm Bài 1

4 điểm Do A, B là giao điểm của đường thẳng y = x + m với đồ thị y = 2 1

1

x x



 nờn hoành độ cỏc giao điểm xA; xB là nghiệm của phương trỡnh: x + m = 2 1

1

x x



 0,5 hay phương trỡnh : f(x) = x2

+ (m-1)x + m+1 = 0 (1) với x-1 0,5 Phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm phõn biệt x-1 <=> ( ) 0

( 1) 0

f x

f





 

0,5

<=> …<=> m2

Khi đú cú: xA + xB = 1-m ; xA.xB = m+1 (Viột); yA = xA + m; yB = xB + m ; 0,5 nờn: AB =2 2 <=> AB2 = 8 <=> (xA - xB)2 + (yA - yB)2 = 8 <=> (xA - xB)2 = 4 0,5

<=> (xA + xB)2 – 4xAxB = 4 <=> m2 – 6m – 7 = 0 <=> m = -1 hoặc m = 7 0,75

Dễ thấy m = -1 và m = 7 đều thỏa món điều kiện (*) Vậy cú 2 giỏ trị của m

Bài 2

3 điểm Cú: SMBN = S = (1/2).BM.BN.sin450

Đặt ABM ; CBN  Từ giả thiết suy ra:

0 45

  

Khi đú S = (1/2).BM.BN.sin()

= (1/2).BM.BN.(sincos sincos)

=(/12)(a/cos )(a/cos ).(sin cos   sin cos  )

= (a2/2)(tan + tan) = …

= (1/2).a.(x+y)

Vậy: S = (1/2).a.(x+y) (đpcm !)

A

D

B

C

M

N

0,5

1,0 0,75

0,75

Bài 3

4 điểm

Điều kiện:    1 x 1;0  y 2

Với    1 x 1 thỡ 0   x 1 2 Xột hàm số g(t) = t3 – 3t2 với 0  t 2

0,25 0,5

Cú g’(t) = 3t2 – 6t Từ đú chứng minh được g(t) nghịch biến trờn đoạn  0; 2 1,0 Biến đổi phương trỡnh đầu của hệ thành: g(x+1) = g(y) <=> x+1 = y 0,5 Thay y=x+1 vào phương trỡnh sau của hệ, được: x2

1 x - 3 = 0 (*) Giải phương trỡnh (*) được nghiệm duy nhất x = 0 rồi suy ra y =1

0,5 1,0

Từ đú tỡm được nghiệm duy nhất của hệ là (x; y) = (0; 1) 0.25

Bµi S¬ l-îc lêi gi¶i Cho

®iÓm Bµi 4.1

3 ®iÓm

A

D

E O

Hình vẽ Gọi E là trung điểm cạnh BC; O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Kết hợp với giả thiết: mặt phẳng (ABC)  mặt phẳng (BCD) => AE  mặt

Mặt khác, từ giả thiết BDC =900

=> EB = EC = ED

Từ đó chứng minh được : OB = OC = OD = OA (đpcm !) 0,5 0,5

Bµi 4.2

3 ®iÓm Đặt SABC = S, ta có: S=AB.AC.BC

4OA => OA =

2

a b

Tính được: AE = … = 2 2

và S = … = b 2 2

Từ dó có: OA = a2

Bµi 5

3 ®iÓm Đặt x2

= t ;   x  1;1 <=>  t  0;1 Khi đó : x6

+ 4(1-x2)3 = t3 +4(1-t)3 = … = -3t3 + 12t2 – 12t +4

0,25 0,75 XÐt hàm sè f(t) = -3t3 + 12t2 – 12t +4

trªn đoạn  0;1

Lập được b¶ng biÕn thiªn víi t 0;1 ,

rồi suy ra:

2 ( ) m inf ( ) ( ) max ( ) (0) 3

f  t  f t  f t  f

; 4 2

f ( ); (0) 4

9  3 f  ; và 4

( ) 4

9  f t 

ta cã : f ’(t) = -9t2 + 24t - 12 f’(t)=0<=>t =2/3 hoặc t=2; với

t ta có bảng biến thiên:

t 0 2/3 1

f ’(t) – 0 + f(t)

4=f(0) f(1)=1 4

9

0,75

1,0

Từ đó có : 4 6 4(1 2 3) 4

9  x  x  với   x  1;1 (đpcm !) 0,25

Các chú ý khi chấm:

1 H-ớng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ l-ợc một cách giải Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới đ-ợc điểm tối đa

2 Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm Tổ chấm trao đổi và thống nhất

điểm chi tiết nh-ng không đ-ợc v-ợt quá số điểm dành cho câu, phần đó

3 Có thể chia điểm từng phần nh-ng không d-ới 0,25 đ và phải thống nhất trong cả tổ chấm

4 Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm Không làm tròn điểm

5 Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải đ-ợc trao đổi trong tổ chấm

và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH