6,0 điểm Cho đường tròn O; R với hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau.. Gọi E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC, dây AE cắt CD tại M, dây DE cắt AB tại N.. Chứng minh rằng tứ giá
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH
- -
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN (BẢNG B)
Họ và tên, chữ ký của giám thị số 1:
Ngày thi: 24/3/2011 Thời gian làm bài: 150 phút
(không kể thời gian giao đề)
(Đề thi này có 01 trang)
……….…….…
………
Bài 1 (3,0 điểm)
Rút gọn biểu thức A =
Bài 2 (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 3 điểm A(-2; -2), B(0; 2), C(2; 1), chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông
Bài 3 (2,5 điểm)
Với n là một số tự nhiên tuỳ ý, đặt M = (n2
+2n+5)3 - (n+1)2 + 2012
Chứng minh rằng M chia hết cho 6
Bài 4 (3,5 điểm)
Giải phương trình: x 1 4 x x1 4 x 5
Bài 5 ( 6,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) với hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Gọi E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC, dây AE cắt CD tại M, dây DE cắt AB tại N
1 Tam giác CEM là tam giác gì, vì sao ?
2 Chứng minh rằng tứ giác BNMC nội tiếp một đường tròn
Bài 6 (2,5 điểm)
Cho biết phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm (ẩn x), chứng minh rằng phương trình a3x2 + b3x + c3 = 0 cũng có nghiệm (ẩn x)
- Hết -
Họ và tên thí sinh: ……….………… Số báo danh: ………
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN LỚP 9 - BẢNG B
Bài 1
(3,0
điểm) Biến đổi được A =
A =
= 2 3 2 3
3 3 3 3
từ đó đi đến A = 1
0,75
1,25 1,0
Bài 2
(2,5
điểm)
Vẽ hệ trục toạ độ Oxy, xác định các điểm A(-2; -2); B(0; 2); C(2; 1)
áp dụng định lý Pitago, tính
được AB2
= 20; BC2 = 5
và AC2 = 25
từ đó có: AC2 = AB2 + BC2
suy ra tam giác ABC vuông tại
B (đpcm !)
O
A
C B
0,75
0,75 0,75 0,25
Bài 3
(2,5
điểm)
Biến đổi M = (n2
+2n+5)3-(n+1)2+2012 = (n2+2n+5)3-(n2+2n+5)+2016
Dễ thấy 2016 = 6.336 => 2016 6 (1)
Ta sẽ ch/minh (a3-a) 6 với aZ Thật vậy, có (a3-a) = (a-1)a(a+1)
Xét phép chia a cho 6, có: a = 6m+r với 0 ≤ r ≤ 5
* nếu r = 0, khi đó a=6m => (a3-a) 6
* nếu r = 1, khi đó (a-1)a(a+1) = 6.m(6m+1)(6m+2) => (a3-a) 6
* nếu r = 2, khi đó (a-1)a(a+1) =
= (6m+1)(6m+2)(6m+3)=(6m+1)(3m+1)(2m+1).6 => (a3-a) 6
* nếu r = 3, khi đó (a-1)a(a+1) =
= (6m+2)(6m+3)(6m+4)=6.(3m+1)(2m+1)(6m+4) => (a3-a) 6
* nếu r = 4, khi đó (a-1)a(a+1) =
= (6m+3)(6m+4)(6m+5)=6(2m+1)(3m+1)(6m+5) => (a3-a) 6
* nếu r = 5, khi đó (a-1)a(a+1) =
= (6m+4)(6m+5)(6m+6)=(6m+4)(6m+5)(m+1).6 => (a3-a) 6
do đó ta luôn có (a3-a) 6 với aZ (*)
Áp dụng kết quả (*), suy ra (n2
+2n+5)3-(n2+2n+5) 6 (2) vì n2+2n+5N
Từ (1) và (2) suy ra M 6 (đpcm !)
Chú ý: Có thể ch/m: M 2 và M 3 rồi từ đó ch/m được M 6 hoặc xét
trực tiếp các trường hợp xảy ra trong phép chia n cho 6 rồi ch/m M 6
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
Trang 3Bài Sơ lược lời giải điểm Cho Bài 4
3,5 đ
Tập xác định: x-1; 4 (*) Đặt x 1 4 x= a => a ≥ 0
và a2=( x 1 4 x)2 = 5+2 x1 4 x => x1 4 x= (a2-5)/2
khi đó phương trình đã cho x 1 4 x x1 4 x= 5 (1) trở
thành: a + (a2
-5)/2 = 5 hay: a2 + 2a - 15 = 0 (2) Giải (2) được: a = 3 (thoả mãn) hoặc a = -5 < 0 (loại)
Từ a = 3 tìm được x = 0 hoặc x = 3, cùng thoả mãn điều kiện (*)
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0 và x = 3
Chú ý: có thể giải bằng cách cô lập căn thức, bình phương 2 vế, đặt ẩn
phụ hoặc đặt 2 ẩn phụ và đưa về hệ 2 ẩn
1,0
0,5 1,0 1,0
Bài 5a
(3,0
điểm)
Có: sđMCE = 1
2 sđDE (cung nhỏ DE) và sđCME = 1
mà E là điểm giữa cung nhỏ BC => MCE = CME => CEM cân tại E
1,5 1,5
Bài 5b
(3,0
điểm)
Từ tam giác cân AMB => MBO= MAO
tương tự có NDO= NCO
mà MAO = EAB ; NDO= EDC và EAB = EDC => MBO = NCO
tử đó suy ra tứ giác BNMC nội tiếp (đpcm !)
0,75 0,5
1,5 0,25
Bài 6
(2,5
điểm)
* Nếu a = 0 thì phương trình ax2+bx+c = 0 (1) <=> bx+c=0 và phương
trình a3x2 + b3x + c3 = 0 (2) <=> b3x+c3 = 0 (2')
do (1) có nghiệm nên x0 / bx0+c=0 <=> bx0 = -c <=> (bx0)3 = -c3
<=> b3(x03) + c3 = 0 => phương trình (2') và do đó (2) nhận (x03) là nghiệm
=> phương trình (2) có nghiệm
* Nếu a0 thì do (1) có nghiệm nên 1= b2- 4ac ≥ 0 => b6 ≥ 64a3c3
khi đó xét 2 = b6- 4a3c3, trong trường hợp ac ≥ 0 thì 64a3c3 ≥ 4a3
c3
=> 2 = b6- 4a3c3 ≥ b6- 64a3c3 ≥ 0 => phương trình (2) có nghiệm;
trường hợp ac<0 thì hiển nhiên b6- 4a3c3 ≥0 => (2) có nghiệm
Tóm lại, nếu (1) có nghiệm thì (2) cũng có nghiệm (đpcm!)
0,25
0,75 0,25 0,75 0,5
N
M
O
C
D
E
Hình vẽ bài 5
Các chú ý khi chấm
1 Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa
2 Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó
3 Với bài 5, không chấm điểm nếu không có hình vẽ
4 Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhưng không dưới 0,25đ và phải thống nhất trong cả tổ chấm Điểm toàn bài là tổng số điểm toàn bài đã chấm, không làm tròn
