HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 12 TỈNH BÌNH ĐỊNH , NĂM HỌC
2011-2012
Lê Quang Dũng Trường THPT số 2 Phù Cát , Bình Định Bài 1 a) Giải phương trình : √ x−2+√4−x=2 x2−5 x−1
Giải : Đk 2 ≤ x ≤ 4
Biến đổi phương trình về dạng
√x−2−1+√4−x −1=2 x2−5 x−3
√x−2−1+√4−x −1=( x−3)(2 x +1)
( 3)(2 1) 0
3
(2 1) 0 (*)
x
x
Ta có (*)
(2 1)
x x
Mà VP=2 x+1≥ 5 , ∀ xϵ[2,4] ,
( )
VT g x
1
2 1
Trang 2Khi đó (*) vô nghiệm
Phương trình đã cho có nghiệm x=3
Bài 1b) Giải hệ phương trình :
Giải : Đk : −1 ≤ x ≤1,0 ≤ y ≤ 2
Biến đổi (1) ta được : ( x3 3 x 2) ( y3 3 y2 4) 0
( x 1) ( x 2) ( y 2) ( y 1) 0
( x 1) ( x 2) ( y 2) ( y 1)
2
mà : f '(t )=3 t2+6 t ≤0, tϵ[−2,0]
Hàm số f(t) nghịch biến trên [-2,0]
−1 ≤ x ≤1,0 ≤ y ≤ 2x-1 => −2 ≤ x−1 , y−2 ≤ 0
Nên (1) x-1= y-2 y=x+1
Thay vào phương trình (2) ta được :
x x x x
1 x2 3 1 1 x2 0
2
x=0
Hệ đã cho có nghiệm : x=0,y=1
Bài 2 : Xét tất cả các tam thức bậc hai f(x) =ax 2 +bx+c , a>0 , a,b,c ϵZ , sao cho f(x) có hai nghiệm phân biệt thuộc (0,1) , Trong các tam thức như thế , Xác định tam thức có
hệ số a nhỏ nhất ?
Giải : f(x) có hai nghiệm biệt thuộc (0,1)
Trang 3 f(0)>0, f(1)>0 , ( 2 ) 0, 0 2 1,0 1
f
a>c>0 , a+b+c>0 , b2-4ac>0 , -2a<b<0 ( vì a>0)
Ta có : a+c>-b>0 => a2+2ac+c2>b2=> a2-2ac+c2>b2-4ac>0
=> 4ac<b2<(a-c)2+4ac
a,b,c thuộc Z
Với a=5 , c=1 , b=5 , f(x)=5x2+5x+1=0 có 2 nghiệm phân biệt 5 20 0,1
10
Vậy tam thức bậc hai cần tìm là f(x)=5x2+5x+1
Bài 3 : Chứng minh mọi tam giác ABC ta luôn có :
3 2
l l l ab bc ca
( với l a, l b ,l c là độ dài các đường phân giác trong kẽ từ A,B,C và a,b,c lần lượt là các cạnh của BC,CA,AB)
Giải :
2 cos 2 cos
2 2
a
2 cos 2 cos
2 2
b
2 cos 2 cos
2 2
a
a b c
l l l bcc acc bac
Trang 4mà :
bcc acc bac bc ca ab c c c
2
à cos cos cos 2cos os os( ) 2cos 2cos 1
v A B C c c A B
2
(2cos 1)
A B
Nên
3 2
l l l ab bc ca
Dầu bằng xảy ra a=b=c ABC đều
Bài 4 : Cho dãy số (u n ) xác định bởi
1 2 1
u
Xét dãy (v n ) 1
1 2
n n
v
u
, tính
lim v n
Giải :
u u u
1
u u u u u
1
Trang 5Khi đó : 1 1 1
n n
v
u u u u
=
2
( 3 2)( un 3) 0
Dấu bằng không xảy ra vì u1> √3
u n1u n
Dãy un là dãy tăng
Mặt khác dãy un không bị chặn trên ,
Thật vậy : Giả sử un không bị chặn trên => un có giới hạn là a
Khi đó : a ( 3 2) a2 2 6 5 a 3 3 3 2
( 3 2)( a 3)2 0
a 3< u1 ( vô lý)
Khi đó : limUn=+∞
Vậy : limvn= 1
√2
Bài 5 : Cho tam giác ABC , các đường cao AD,BE ,CF cắt nhau tại H , M là trung điểm của BC,EF cắt BC tại I Chứng minh rằng IH AM
Chọ hệ trục tọa độ , D(0,0) ; A(0,a) ,B(b,0) , C(c,0) ,
Khi đó : ( , 0), ( , )
M AM a
,
I(x,0) ,H(0,y)
Ta có H là trực tâm nên BH AC , CH AB ,
Ta có , BH ( , ),b y AC ( ,c a )
=> y=
bc a
hay H(0,
bc a
)
, áp dụng BT : 19 sbt hh10nc trang8 ( xeva , menelauyt)
Ta có : . . 1, . . 1
DB EC FA IB EC FA
DC EA FB IC EA FB =>
DB IB
DC IC
Ta có : DB CI DC BI. . 0 b(x-c)+c(x-b) =0 x=b+c 2bc
2 ,
bc bc IH
b c a
Khi đó IH AM .
0 => đpcm