Khi đó IH AM uuuruuuur.
Trang 1Lê Quang Dũng Trường THPT số 2 Phù Cát , Bình Định Bài 1 a) Giải phương trình :
Giải : Đk
Biến đổi phương trình về dạng
( 3)(2 1) 0
3
(2 1) 0 (*)
x
x
=
Ta có (*)
(2 1)
Mà ,
Trang 21 1 ( )
VT g x
1
2 1
VT g x = ≤ g = − = − <
Khi đó (*) vô nghiệm
Phương trình đã cho có nghiệm x=3
Bài 1b) Giải hệ phương trình :
Giải : Đk : ,
Biến đổi (1) ta được :
( x − + − 3 x 2) ( y − 3 y + = 4) 0
( 1) ( x − x + − − 2) ( y 2) ( 1) 0 y + =
( 1) ( x − x + = − 2) ( y 2) ( 1) y +
2
( ) ( 3)
f t t t
mà :
Hàm số f(t) nghịch biến trên [-2,0]
Trang 3Nên (1) x-1= y-2 y=x+1
Thay vào phương trình (2) ta được :
2 1 2 3 2( 1) ( 1)2 2 0
x + − − x x + − + x + =
2 2 1 2 2 0
x − − + = x
( 1 − + x2 3 1 )( − − 1 x2 ) = 0
2
x=0
Hệ đã cho có nghiệm : x=0,y=1
Bài 2 : Xét tất cả các tam thức bậc hai f(x) =ax 2 +bx+c , a>0 , a,b,c , sao cho f(x) có hai nghiệm phân biệt thuộc (0,1) , Trong các tam thức như thế , Xác định tam thức có hệ
số a nhỏ nhất ?
Giải : f(x) có hai nghiệm biệt thuộc (0,1)
f(0)>0, f(1)>0 ,
f
− < < − < < <
a>c>0 , a+b+c>0 , b2-4ac>0 , -2a<b<0 ( vì a>0)
Ta có : a+c>-b>0 => a2+2ac+c2>b2=> a2-2ac+c2>b2-4ac>0
=> 4ac<b2<(a-c)2+4ac
a,b,c thuộc Z
Trang 4Với a=5 , c=1 , b=-5 , f(x)=5x2-5x+1=0 có 2 nghiệm phân biệt ( ) 0,1
Vậy tam thức bậc hai cần tìm là f(x)=5x2-5x+1
Bài 3 : Chứng minh mọi tam giác ABC ta luôn có :
3 2
l l l + + ≤ ab bc ca + +
( với l a, l b ,l c là độ dài các đường phân giác trong kẽ từ A,B,C và a,b,c lần lượt là các cạnh của BC,CA,AB)
Giải :
2 cos 2 cos
2 2
a
+
2 cos 2 cos
2 2
b
2 cos 2 cos
2 2
a
+
a b c
l l l + + ≤ bcc + acc + bac
mà :
2 2 2
bcc + acc + bac ≤ bc ca ab c + + + c + c
2
v A + B + C = + c − − c A B + ≤ − + + + +
Trang 5(2cos 1)
Nên
3 2
l l l + + ≤ ab bc ca + +
Dầu bằng xảy ra a=b=c ABC đều
Bài 4 : Cho dãy số (u n ) xác định bởi
12 ( )
1
3 2 ( 3 2) 2 6 5 3 3 3 2
u
Xét dãy (v n ) 1
1 2
n n
v
u
=
=
+
∑
, tính
Giải :
1 3 ( 3 2) 2 6 5 2 3 3 2
1 3 ( 3 2)( 3)( 2)
u + − = − u − u +
1
3 ( 3 2)( 3)( 2) ( 3) ( 2)
Trang 6n n
v
∑
u + − = u − u + − u + −
=
2 ( 3 2)( − un− 3) 0 >
Dấu bằng không xảy ra vì u1>
un+1 > un
Dãy un là dãy tăng
Mặt khác dãy un không bị chặn trên ,
Thật vậy : Giả sử un không bị chặn trên => un có giới hạn là a
Khi đó : a = ( 3 2) − a2+ ( ) 2 6 5 − + a 3 3 3 2 −
2 ( 3 2)( − a − 3) 0 =
a = 3< u1 ( vô lý)
Khi đó : limUn=
Vậy : limvn=
Bài 5 : Cho tam giác ABC , các đường cao AD,BE ,CF cắt nhau tại H , M là trung điểm
của BC,EF cắt BC tại I Chứng minh rằng IH ⊥ AM
Chọ hệ trục tọa độ , D(0,0) ; A(0,a) ,B(b,0) , C(c,0) ,
Khi đó :
M + uuuur AM = + − a
,
I(x,0) ,H(0,y)
Ta có H là trực tâm nên BH AC ⊥ ,CH AB ⊥ ,
Trang 7Ta có , BH = − ( , ), b y AC c a = − ( , ) => y= a hay H(0, a )
, áp dụng BT : 19 sbt hh10nc trang8 ( xeva , menelauyt)
Ta có :
DB EC FA IB EC FA
DC EA FB = − IC EA FB =
=>
DB IB
DC = − IC
Ta có : DBCI DC BI + = 0 b(x-c)+c(x-b) =0 x=
2 ,
bc bc IH
b c a
+
uuur
Khi đó IH AM uuuruuuur = 0 => đpcm