Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng SAH.. Gọi H là hình chiếu của I trên SA, tính theo a thể tích khối chóp H.ABC.. Cho hình chóp S.ABC
Trang 1Bài tập về nhà: Thể tích khối chóp
I TÍNH TRỰC TIẾP
Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có mặt SBC vuông góc với đáy, các cạnh SB = SC = 1 và các góc
ASBBSCCSA60 Tính thể tích của hình chóp S.ABC ĐS. 1
8
V
Bài 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, ABa 2 Gọi I là trung điểm của cạnh BC Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn IA 2IH
Góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng 0
60 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung
điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH) ĐS
3
15 6
a
V ,
2
a
d
Bài 3 Trong mp(P) cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC và D là điểm đối xứng của
A qua I Trên đường thẳng vuông góc với mp(P) tại điểm D, lấy điểm S sao cho 6
2
a
SD Gọi H là
hình chiếu của I trên SA, tính theo a thể tích khối chóp H.ABC ĐS
3
2 24
a
V
Bài 4 Cho khối chóp S.ABC có BC = 2a, 0 0
90 , 30
BAC ACB Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mp(ABC), tam giác SAB cân tại S, tam giác SBC vuông tại S Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
ĐS
3
3 12
a
V
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, SA(ABC) và SA = 3a Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SB, SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a
ĐS
3
19 3 400
a
V
Bài 6 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB = a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
SB, SC Cho biết mp(AMN) vuông góc với mp(SBC) Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS
3
5 24
a
V
Bài 7. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại Ccạnh huyền bằng 3a G là trọng tâm tam giác ABC, SGABC, 14
2
a
SB Tính thể tích hình chóp S ABC và khoảng
cách từ B đến mặt phẳng SAC ĐS 3 ,3 3 65
13
a
V a d
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = 4, BC = 2, SA 4 3, 0
30
SABSAC Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS V 4
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có chân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3a, AC = 4a Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là 60 0 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC ĐS V 2a3
Trang 2Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có chân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3a, AC = 4a Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là 0
60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC ĐS V 2a3
Bài 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B, AB = a, BCa 3, SA vuông góc với đáy Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC Góc giữa hai mp(SAC) và (SBC) là
0
60 Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS.
3
6 12
a
V
Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có mp(SAC) vuông góc với mp(ABC), SA = AB = a, AC = 2a và
90
ASCABC Tính thể tích khối chóp S.ABC và cosin góc giữa hai mp(SAB) và (SBC)
ĐS
3
3 ,
a
V cos
Bài 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A Mặt bên SBC vuông góc với
mặt đáy Hai mặt bên còn lại tạo với mặt đáy góc 45 Gọi M là trung điểm của SA Cho biết chiều 0 cao của hình chóp là a Tính thể tích khối chóp S.ABC và số đo góc giữa hai đường thẳng AB cà CM
ĐS.
3
,
a
V cos
Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = SA =a, ADa 2 và
SA ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC Chứng
minh (SAC)(SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB ĐS
3
2 12
a
V
Bài 15 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy,
đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BCa 3, điểm I thuộc đoạn thẳng SC sao cho SI = 2CI và
thỏa mãn AI SC Hãy tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a ĐS
3
15 3
a
V
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BCa 3 Tam giác SAC đều và nằm trong mp vuông góc với đáy Gọi (P) là mp đi qua trọng tâm G của tam giác SAC và song song với cạnh SA, mặt phẳng (P) cắt cạnh SC tại M và cắt AC tại E Tính theo a thể tích khối chóp
3
4 9
a
V
Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, ADa 2, góc giữa hai mp(SAC) và (ABCD) bằng 60 Gọi H là trung điểm của AB Biết mặt bên SAB là tam giác cân tại 0
đỉnh S và thuộc mp vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD ĐS
3
3
a
V
Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, mặt bên SAB
vuông góc với đáy, tam giác SAB cân đỉnh S và có trọng tâm G Biết khoảng cách từ G đến mp(SCD)
là 2 3
3
a
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a ĐS
3
4 3 3
a
V
Trang 3Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều, tam giác
SCD vuông cân tại S Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SA Chứng minh rằng
(SIJ)(ABCD) Tính thể tích khối chóp K.IBCD ĐS
3
3 32
a
V
Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA=a.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD; I là giao điểm của SC và mặt phẳng
(AMN) Chứng minh SC vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp MBAI ĐS
3
36
a
V
Bài 21 Cho hình vuông ABCD tâm I Các nửa đường thẳng Ax, Cy cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và ở cùng phía đối với mặt phẳng đó Trên Ax, Cy lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM =
m, CN = n, m,n 0 góc tạo bởi hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) bằng 300.Tính thể tích của khối chóp B.AMNC Tìm điều kiện của m theo n để góc MIN vuông ĐS. V m m n2( )
Bài 22 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a Gọi G là trọng tâm của tam giác
SAC và khoảng cách từ G đến mp(SCD) bằng 3
6
a
Tính khoảng cách từ O đến mp(SCD) và thể tích
khối chóp S.ABCD, trong đó O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD ĐS 3
4
a
d ,
3
3 6
a
V
Bài 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mp vuông góc với đáy Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng a Tính thể tích
khối chóp S.ABCD theo a ĐS
3
7 7 18
a
V
Bài 24 Cho hình thang ABCD nằm trong mp(P), có 0
90
BADCDA , AB = AD = a, CD = 2a Gọi
H là hình chiếu vuông góc của D trên AC Trên đường thẳng vuông góc với mp(P) tại H, lấy điểm S
sao cho góc tạo bởi SC và (P) là 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD 0 ĐS.
3
2 15 5
a
V
Bài 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, với BC là đáy nhỏ, H
là trung điểm của AB Biết rằng tam giác SAB là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mp vuông góc với đáy, SC a 5 và khoảng cách từ D tới mp(SHC) bằng 2a 2 Tính thể tích khối chóp S.ABCD
3
3(1 10) 3
a
Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AB//CD), AB = 2CD = 4a,
10
BCa Gọi O là giao điểm của AC và BD Biết SO vuông góc với mp(ABCD) và mặt bên SAB
là tam giác đều Tính thể tích khối chóp S.ABCD và cosin góc giữa hai đường thẳng SD và BC
5
V a cos
Bài 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a,
3
SAa , hai mặt bên (SDC) và (SAD) cùng vuông góc với đáy Gọi G là trọng tâm của tam giác DBC Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ G đến mp(SBC) theo a
ĐS
3
2 ,
V d
Trang 4Bài 28 Cho hình hình chóp S.ABCD có cạnh SA = 3
4 , tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1 Chứng minh
rằng tam giác SAC vuông và tính thể tích khối chóp S.ABCD ĐS 39
16
V
II SỬ DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH
Bài 1(Tỉ số). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A với ABACa Biết
SA vuông góc với mặt đáy và SAa 3 Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên các đoạn SB và SC sao cho SM = SN = b Tính thể tích của khối chóp S.AMN theo a và b Tìm mối liên hệ giữa a và b để góc
giữa hai mặt phẳng (AMN) và (ABC) bằng 0
60 ĐS
2
3 24
ab
V , đk: ba 2
Bài 2(Tỉ số). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Cạnh SA vuông góc với mặt đáy, cạnh SB tạo với mặt đáy góc 0
60 Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho 3
3
a
AM , mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.BCNM ĐS
3
10 3 27
a
V
Bài 3(Tỉ số). Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, với AB = 2AD = 2a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 450 Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB, mặt phẳng (GCD) cắt SA, SB lần lượt tại P và Q Tính thể tích khối chóp
3
10 5 27
a
V
Bài 4(Tỉ số). Cho hình chóp S.ABCD Đáy ABCD là hình thang, AD và BC cùng vuông góc với AB,
ABADa, BC2a; mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SC, CD Tính thể tích khối chóp ADMN theo a
ĐS
3
3 48
a
V