HÌNH HỌC 12 KHÔNG GIAN TỔNG HỢP

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mpP song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mpP.. Góc giữa đường thẳng a không

… HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP …

A QUAN HỆ SONG SONG:

I> ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG:

1) Định nghĩa:

Đường thẳng và mặt phẳng gọi

là song song với nhau nếu chúng

không có điểm nào chung

ĐL1:Nếu đường thẳng d không

nằm trên mp(P) và song song

với đường thẳng a nằm trên

mp(P) thì đường thẳng d song

song với mp(P)

( )/ / / /( )( )

ĐL2: Nếu đường thẳng a song

song với mp(P) thì mọi mp(Q)

(P)

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt

nhau cùng song song với một

đường thẳng thì giao tuyến của

chúng song song với đường

thẳng đó

( ) ( )( ) / / / /( ) / /

Q P

II> HAI MẶT PHẲNG SONG SONG:

1) Định nghĩa:

Hai mặt phẳng được gọi là song

song với nhau nếu chúng không

có điểm nào chung

( ) / /( )P Q ( )P ( )Q  

Q P

Q P

Q P5

5

THPT Tân Bình – Bình Dương HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông

góc với hai đường thẳng cắt

ĐL2: (Ba đường vuông góc)

Cho đường thẳng a không vuông

II> HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC:

ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và

(Q) vuông góc với nhau thì bất

cứ đường thẳng a nào nằm

trong (P), vuông góc với giao

tuyến của (P) và (Q) đều

( )( )

III> KHOẢNG CÁCH:

1 Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng ,

đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến

đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là

khoảng cáchgiữa hai điểm M và H, trong đó H

là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a (

P

2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

song song: Khoảng cách giữa đường thẳng a và

mp(P) song song với a là khoảng cách từ một

điểm nào đó của a đến mp(P)

d(a;(P)) = OH

a

H O

P

3 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt

phẳng này đến mặt phẳng kia

O

Q P

4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường

IV> GÓC:

1 Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa

hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và

lần lượt cùng phương với a và b b'

b

a' a

2 Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với

mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a của

nó trên mp(P)

Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì

ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là

0

a

3 Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường

thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó

Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt

phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm

b a Q P

P

Q

4 Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa

giác (H) trong mp(P) và S là diện tích hình chiếu

S

THPT Tân Bình – Bình Dương HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

§1 KHỐI ĐA DIỆN.

I> KHỐI ĐA DIỆN:

1) Hình đa diện: Là hình tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thoả mãn 2 tính chất:

 Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung

 Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác

2) Khối đa diện: Là phần không gian giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó

3) Định nghĩa khối đa diện lồi: Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của (H) luôn thuộc (H)

 Công thức Ơle: Khối đa diện lồi (H) có Đ đỉnh, C cạnh, M mặt thì Đ – C + M = 2

 Hình lập phương là hình hộp có 6 mặt là hình vuông hay hình hộp chữ nhật có 6 mặt bằng nhau là hình lập phương

6) Hình chóp và chóp cụt:

 Hình chóp I.EFGH có đỉnh là I, mặt phẳng (EFGH) là mặt đáy, IE, IF,

IG, IH là các cạnh bên, mặt bên là các tam giác IEF, IFG, IGH,

IHE Nếu đáy của hình chóp là tam giác, tứ giác, … thì gọi là hình

chóp tam giác, hình chóp tứ giác, …

 Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc thì chân đường

cao OH của tứ diện là trực tâm của ABC và

bằng nhau Hình chóp đó được gọi là hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều …

 Trong hình chóp đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau

 Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và chân đường cao của hình chóp trùng với tâm của đáy

 Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên (mặt bên) tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

II> KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU:

1) Khối đa diện đều: Khối đa diện đều là khối đa diện lồi thoả hai tính chất sau:

 Các mặt là những đa giác đều có cùng số cạnh;

 Mỗi đỉnh là đỉnh chung của cùng số cạnh

 Khối đa diện đều mà mỗi mặt là đa giác đều n cạnh, mỗi đỉnh là đỉnh chung của p cạnh, ký hiệu {n; p}

Có 5 loại khối đa diện đều, đó là loại {3; 3}, {4; 3}, {3; 4}, {5; 3}, {3; 5}

Loại{3; 3}-Tứ

diện đều

loại {4; 3}- Hình lập phương

loại {3; 4}- Bát diện đều

loại {5; 3}-Thập nhị diên đều loại {3; 5}-Nhị thập diên đều 2) Tứ diện đều: Là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy hay 4 mặt là 4 tam giác đều bằng nhau

III> THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN:

BCD

a

S Diện tích toàn phần của tứ diện ABCD là: S 4S BCD a2 3Tam giác đều BCD cạnh a thì đường cao 3

THPT Tân Bình – Bình Dương HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

S.ABC

 Hướng dẫn: Diện tích đáy :

2 316

2

1

10) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết SA = AB = BC = a 2 Tính thể tích của khối chóp S.ABC

 Hướng dẫn:

3 2

13) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh AB = a, BC = 2a SA  (ABC) và

SA = a 2 Gọi M, N lần lượt trung điểm của SA và SB Mặt phẳng (CMN) chia hình chóp thành hai khối đa diện, tính thể tích của hai khối đa diện đó

 Hướng dẫn:

Thể tích khối chóp S.ABC:

3 2

 Hướng dẫn:

Gọi M là trung điểm BC  BC  AM và BC  SM  BC  (SAM) và

32

ABC vuông tại A vì 2 2 2

BC  AB AC và AD  (ABC) nên ta có AB,

AC, AD đôi một vuông góc nhau Gọi H là trực tâm của BCD và DI là

đường cao của BCD

THPT Tân Bình – Bình Dương HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

6 3417

AH 

16) Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = a, SB = b, SC = c Hai điểm M,

N lần lượt thuộc 2 cạnh AB, BC sao cho 1 , 1

AM  AB BN  BC Mặt phẳng (SMN) chia khối tứ diện SABC thành 2 khối đa diện (H) và (H) trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh C Hãy tính thể tích của (H) và (H)

ABC vuông tại A nên BC AB2AC2 2a

SBC là tam giác đều có cạnh 2a nên đường cao SH a 3

Ta có (SBC)  (ABC) và SH  BC  SH  (ABC)  SH là đường cao của hình chóp

Diện tích ABC:

2

32

Ta có SA  (ABC)  SA  BC với AB  BC  BC  (SAB)  BC 

SB  SBC vuông tại B có I trung điểm SC  13

SC a

BI  19) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B, cạnh SA vuông góc với đáy Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC Biết rằng AB = a, BC = a 3, SA = 2a Tính thể tích khối chóp S.ADE Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (ABC)

 Hướng dẫn:

SA  (ABC)  SA  BC với AB  BC  BC  (SAB)  BC  AD;

AD là đường cao  AD  SB nên AD  (SBC)  AD  SC và AD 

20) Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC cân tại A, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng

(ABC).Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC Biết SA3 ,a ABa BC, a 3 Chứng minh đường thẳng AG vuông góc với đường thẳng BC Tính thể tích của khối chóp G.ABC theo a

 Hướng dẫn:

SAB = SAC  SB = SC Gọi M trung điểm BC  SM  BC

SA  (ABC)  SA  BC  BC  (SAM)  BC  AG hay AG  BC

SAM kẻ GH // SA cắt AM tại H  GH  (ABC) và 1

Diện tích hình vuông ABCD: S a2

Gọi M trung điểm CD  SM  CD và OM  CD 

THPT Tân Bình – Bình Dương HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

 Hướng dẫn: Tâm là O = AC  BD, Thể tích

3 3

a

V  25) Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều Qua A dựng

mặt phẳng ( )P vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( )P và hình chóp

 Hướng dẫn: Để dựng thiết diện, ta kẻ AC'SC Gọi I AC'SO

Kẻ B D // ' ' BD Ta có

2 ' ' '

26) Cho hình chóp S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SAa Đáy ABCD là hình bình

hành có ABb BC, 2 ,b ABC600 Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC SD, Chứng minh MN(SAB)và tính thể tích của khối tứ diện AMNC theo a, b

 Hướng dẫn:

Gọi H là trung điểm của AD Khi đó / /

( ) / /( )/ /

2

34

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

b) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh mp(SAI) vuông góc với mp(SBC) Tính thể tích của khối chóp SAIC theo a

 BC  (SAI)  (SBC)  (SAI)

c) SAI vuông tại A, kẻ AK  SI  12 12 12 112 66

a AK

V  30) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân AB = BC = a, SA = a và SA  (ABC) Gọi B là trung điểm của SB, C là chân đường cao hạ từ A của SAC

a) Tính thể tích của khối chóp SABC

a

V  S SAb) SAB có AB = SA = a  vuông cân tại A, B trung điểm SB  AB 

SB (1) Ta có BC  AB (ABC vuông cân tại B), BC  SA  BC  (SAB)

 BC  AB (2) Từ (1) và (2)  AB  (SBC)  AB  SC Với giả thiết AC  SC  SC  (ABC)

c) SAC vuông tại A có SA = a, AC = a 2  SC =a 3

Ta có 1

2

SB SB

C'

THPT Tân Bình – Bình Dương HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

 Hướng dẫn:

ABC là tam giác đều, cạnh a nên diện tích

2

34

C

C'

B' A'

α

C

B A

6) Một khối lăng trụ ABC.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB = a, chân đường vuông góc

hạ từ B xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC

a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy

b) Tính thể tích của khối lăng trụ

c) Chứng minh mặt bên AACC là hình chữ nhật

 Hướng dẫn:

a) Ta có BI  (ABC) có BI là hình chiếu của BB lên mp(ABC)

 B BI là góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ Ta có

32

ABC

a

S  Đường cao

0 1.sin 30

2

B I BB  a Thể tích lăng trụ

3

3

8

ABC A B C ABC

a

V    S B I  c) Ta có AC  BI, AC  BI  AC  (BBI)  AC  BB mà BB//AA  AC  AA  AACC là hình chữ nhật

7) Cho khối lăng trụ đứng ABC.ABC đáy là tam giác ABC vuông tại B Biết BB = AB = a và góc của BC với mặt đáy bằng  Chứng minh rằng ACBB CB và tính thể tích của khối lăng trụ

 Hướng dẫn:

Ta có BC  AI, BC  AG  BC  (AAI)  BC  AA

mà AA//BB  BC  BB  BCCB là hình chữ nhật Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC  G

ABC

a

S  Thể tích lăng trụ

3

3

4

ABC A B C ABC

a

V   S A G  9) Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a

a) Tính thể tích khối tứ diện ABBC

b) Mặt phẳng đi qua AB và trọng tâm ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F Tính thể tích khối chóp C.ABFE

600

G I

B

B'

C' A'

THPT Tân Bình – Bình Dương HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

a) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB, AB và G là trọng tâm ABC Thể tích

3

V  V   S AAa b) Ta có AC  (AMN)  AC  AN Mặt khác, ta có

BC  AB, BC  BB  BC  (ABBA)  BC  AN

14(3 ) (2 )

A

C B

K

G I

C B

A

A'

B' C'

E

F

ra một đường trịn (C) tâm O∆, (C) nằm trên mặt phẳng (Q) vuơng gĩc với ∆ và (L) sẽ tạo nên một

hình được gọi là mặt trịn xoay

2) Mặt nĩn, hình nĩn và khối nĩn:

 Đường thẳng l cắt đường thẳng Δ tại O và khơng vuơng gĩc Δ Mặt trịn xoay sinh bởi đường thẳng l quay quanh Δ gọi là mặt nĩn trịn xoay

 ΔOIM vuơng tại I quay quanh cạnh gĩc vuơng OI tạo thành hình nĩn đỉnh O, bán kính IM

 Hình nĩn và phần bên trong của nĩ gọi là khối nĩn

3) Diện tích của hình nĩn và thể tích khối nĩn:

bán kính đáy bán kính đáy

 (P) và (P) cùng vuơng gĩc với trục Δ ta được giao tuyến là 2 đường trịn (C) và (C )

 Phần mặt trụ nằm giữa (P) và (P) cùng với 2 đường trịn (C) và (C ) được gọi là hình trụ

 Phần khơng gian giới hạn bởi hình trụ và hình trụ được gọi là khối trụ

5) Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ:

2

bán kính đáy bán kính đáy

THPT Tân Bình – Bình Dương HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

 Định nghĩa: Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi gọi là mặt cầu tâm O bán kính bằng R, ký hiệu S(O; R)

 Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O; R) cùng các điểm nằm trong mặt cầu được gọi là khối cầu S(O; R) hoặc hình cầu S(O; R)

7) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng:

 Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng , gọi H là hình chiếu của O lên  và d = OH

 d < R thì  cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt

 d = R thì  tiếp xúc với mặt cầu tại tiếp điểm H, còn  gọi là tiếp tuyến của mặt cầu

 d > R thì Δ không cắt mặt cầu

 Định lý: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) thì qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu Khi đó:

 Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau là đường sinh của mặt nón

 Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu

8) Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu:

 Mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp là mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chĩp Mặt cầu nội tiếp hình chĩp là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chĩp

 Điều kiện để cĩ mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp là đáy của hình chĩp là đa giác nội tiếp được trong một đường trịn Tâm là giao điểm của trục đường trịn đáy với mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chĩp

II> TĨM TẮC CƠNG THỨC DIỆN TÍCH & THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY:

1 Hình trụ – Khối trụ:

2

:2

:::

trụ

bán kính đáy với

đườngsinhbán kính đáy với

:3

nón

bán kính đáy với

đườngsinhbán kính đáy với

3, ' :::

nóncụt

bán kính 2 đáyvới đườngsinh

1) Cho hình nĩn cĩ đường cao h = 20cm, bán kính r = 25cm

a) Tính diện tích xung quanh của hình nĩn

b) Tính thể tích khối nĩn

c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nĩn cĩ khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện

là 12cm Tính diện tích thiết diện đĩ

 Hướng dẫn:

SA = l = 1025 là độ dài đường sinh của hình nĩn, SO = h là chiều cao hình nĩn Ta cĩ

a) S xq= .r.l = .25 1025b) V = 1

3.

2

r h = 1

3.625.20 c) Thiết diện là ΔSAB cân tại S, I là trung điểm của AB, OH  SI nên OH  (SAB) do đĩ OH = 12cm ΔSOI vuơng tại O cĩ OH là đường cao nên

THPT Tân Bình – Bình Dương HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 25cm Vậy S SAB= 1

2SI.AB = 500

2

cm

2) Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích khối trụ

b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng 3cm Hãy tính diện tích thiết diện được tạo nên

 Hướng dẫn:

a) S xq= 2.r.l = 2.5.7 cm2

b) Thiết diện là hình chữ nhật ABBA với AA = BB = OO = 7cm, AB

= 2AI = 2 OA2OI2 = 2 5232= 8cm  S = 8.7 = 56cm2

3) Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó ta được thiết

diện là một tam giác đều cạnh 2a tính diện tích xung quanh và thể tích

a



4) Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

b) Tính thể tích khối trụ tạo nên từ hình trụ đã cho

c) Cho hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300 Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ

c) Gọi AA là đường sinh hình trụ AA // OO nên góc giữa đường thẳng AB

và trục của hình trụ là 'ABA = 300, OO // (ABA) nên khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ là khoảng cách giữa đường thẳng AB với mặt phẳng (ABA) Gọi H là trung điểm BA  OH  BA  OH  (ABA)

Ta có BA = AA.tan300= r nên ΔBAO là tam giác đều do đó OH = 3

S Mặt xung quanh hình nón chia hình trụ thành hai

phần, hãy tính tỉ số thể tích của hai phần đó

V

V =

126) Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích khối nón

b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 600 Tính diện tích ΔSBC

 Hướng dẫn: