Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặtt phẳng vuông góc với đáy.. Chứng minh AM vuông góc với BP và thể tích của khối tứ diện CMNP
Trang 1BÀI TẬP HÌNH HỌC TỔNG HỢP - KHỐI ĐA DIỆN B-2002 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a
1 Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và B'D
2 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB', CD, A'D' Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C'N
A- 2003 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Tính số đo của gócc phẳng nhị diện
[B, A'C, D]
B - 2003 Cho hình llăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
góc BAD = 600 Gọi M là trung điểm ccạnh AA' và N là trung đỉm cạnh CC' Chứng minh rằng bốn điểm B', M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN là hình vuông
D - 2003 Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau có giao tuyến là đường
thẳng d Trên d lấy hai điểm A, B với AB = a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với d và AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a
B - 2004 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên
và mặt đáy bằng (00 < < 900) Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và
A - 2006 Cho hình trụ có đáy là hai hình tròn tâm O và O', bán kính bằng chiều cao
và bằng a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, Trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO'AB
B - 2006 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =
a 2, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBM) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB
D- 2006 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giá đèu cạnh a, SA = 2a
và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M, N lần lượt là hình chíếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC Tính thể tích khối chóp A.BCMN
A - 2007 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam
giác đều và nằm trong mặtt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP và thể tích của khối tứ diện CMNP
B - 2007 Cho hình chcóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuộng cạnh a.
Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của B Chứng minh MN vuông góc với BD vầ tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC
D - 2007 Cho hình hcóp S.ABCD có đáy là hình thang, góc ABC = BAD = 900, BA
= BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 Gọi H là hình chiếu của A trên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ
H đến mặt phẳng (SCD)
A - 2008 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác
vuông tại A, AB = a AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA', B'C'
Trang 2B - 2008 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB
= a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN
D - 2008 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC
= a, cạnh bên AA' = a 2 Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C
A - 2009 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB = AD
= 2a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
B - 2009 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB' = a, góc giữa đường thẳng
BB' và mặt phẳng (ABC) bằng 600, tam giác ABC vuông tại C và góc BAC = 600 Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A'ABC theo a
D - 2009 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại B, AB =
a, AA' = 2a,A'C = 3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A'C', I là giao điểm của
AM và A'C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC)
A - 2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD, H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) cà SH = a 3 Tính thể tích khối chóp S.CDMN
và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a
B - 2010 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, góc giữa hai mặt
phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 600 Gọi G là trọng tâm của tam giác A'BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a
D - 2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a;
hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AC,
AH =
4
AC
Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a
Bài 1: Cho một khối hộp ABCD.A’B’C’D’ biết rằng AA’B’D’ là một khối tứ diện đều cạnh
a Hãy tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ theo a.
Trang 3Bài 2: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AC = b,
ACB = 60 Đường thẳng BC’ tạo với mặt phẳng (AA’CC’) một góc 30 0
b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Bài 3: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A’ cách
đều ba cạnh A, B, C Cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 0
a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
b) CMR: Mặt bên BCC’B’ là một hình chữ nhật.
c) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ ABCA’B’C’ (tổng này gọi là diện tích xung quanh của khối lăng trụ).
Bài 4: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ Gọi M là trung điểm cạnh AA’ Mặt
phẳng đi qua M, B’, C chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Bài 5: Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên 3 đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm
A’, B’, C’ khác với S Gọi V, V’ lần lượt là thể tích các khối chóp S.ABC và S.A’B’C’ Chứng minh rằng: V SA SB SC. .
V' SA' SB' SC'
Bài 6: Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm cạnh SC Mặt phẳng
(P) đi qua AM, song song với BD, chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Bài 7: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm của AB và
AD Mặt phẳng (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần Tính thể tích mỗi phần đó.
Bài 8: Cho khối tứ diện ABCD E, F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD Hai mặt
phẳng (ABF) và (CDE) chia khối tứ diện ABCD thành 4 khối tứ diện.
a) Kể tên 4 khối tứ diện đó.
b) Chứng minh 4 khối tứ diện đó có thể tích bằng nhau.
c) CMR nếu ABCD là khối tứ diện đều thì 4 khối tứ diện nói trên bằng nhau.
Bài 9: Cho khối lăng trụ đều ABC.A’B’C’ và M là trung điểm của cạnh AB Mặt phẳng
(B’C’M) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bài 10: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA bằng a, đáy là tam giác vuông cân có AB =
BC = a Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
b) CMR: SC (AB’C’).
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’.
Bài 11: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V và M là trung điểm
cạnh bên AA’ Cắt khối lăng trụ bằng hai mặt phẳng (MBC), (MB’C’) ta được ba khối chóp
có đỉnh là M.
a) Kể tên ba khối chóp đó.
b) Tính thể tích ba khối chóp nói trên.
Bài 12: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = 2a, tam giác ABC vuông tại C có AB =
2a, CAB = 30 0 Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SC và SB.
a) Tính thể tích khối chóp H.ABC.
b) CMR: AH SB và SB (AHK).
c) Tính thể tích khối chóp S.AHK.
Trang 4Bài 13: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có mặt đáy là tam giác ABC vuông tại B và
AB = a, BC = 2a, AA’ = 3a Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với CA’ lần lượt cắt các đoạn thẳng CC’ và BB’ tại M và N.
a) Tính thể tích khối chóp C.A’AB.
b) CMR: AN A’B.
c) Tính thể tích khối tứ diện A’AMN.
d) Tính diện tích tam giác AMN.
Bài 14: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 2 a) Tính thể tích hình chóp đã cho.
b) Gọi A’, C’ lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và SC CMR: hai hình chóp A’.ABCD và C’.CBAD bằng nhau.
Bài 15: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi N là điểm nằm trên cạnh AB ( ) là mặt phẳng đi qua ba điểm D, N, B’.
a) ( ) cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì?
b) CMR: ( ) chia khối hộp thành hai khối đa diện H 1 , H 2 bằng nhau.
c) Tính tỉ số thể tích của khối đa diện H 1 và thể tích khối tứ diện AA’BD.
Bài 16: Khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a K là trung điểm của DD’ Tính
khoảng cách giữa CK và A’D.
Bài 17: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Các điểm E và F lần lượt là trung
điểm của C’B’ và C’D’.
a) Dựng thiết diện của khối lập phương khi cắt bởi (AEF).
b) Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lập phương do mặt phẳng (AEF) cắt ra.
Bài 18: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SCD ( > 45 ) 0 a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp.
b) Tính góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) theo
c) Tìm khoảng cách từ điểm C đến mp(SAD).
Bài 19: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M là trung điểm A’B’ N là
trung điểm BC.
a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN.
b) Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lập phương bị phân chia bởi mặt phẳng đi qua D,
M, N.
Bài 20: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB = a Các cạnh bên SA, SB, SC tạo
với đáy một góc 60 0 Gọi D là giao của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA a) Tính tỉ số thể tích giữa hai khối chóp S.DBC và S.ABC
b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC