Dao Động Hệ Chất

2 Khối tâm Quán tâm : Xét một hệ kín S không trao đổi chất với môi trường ngoài bao quanh hệ gồm n chất điểm Mi có khối lượng mi.. Hệ quy chiếu khối tâm R*, tương ứng với hệ quy chiếu

Chương ôn tập:

MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT

TÓM TẮT

(Référence : Mécanique des Solides, 2ème année, Trang 7

Cơ học I, trang 158-169, Cơ học II, trang 90-110)

ez2

§1 Hợp vận tốc - Hợp gia tốc :

Xét hệ quy chiếu (R2) chuyển động tương đối so với hệ quy

chiếu (R1) Gọi (O e1;G G Gx1,e y1,e z1) và

(O e;Gx ,eGy ,eGz )

là hai hệ tọa độ Descartes lần lượt gắn liền với (R1) và (R2)

1) Chuyển động tương đối của hai hệ quy chiếu :

a) Véctơ quay :

Vectơ quay Ω GR2 / 1R = 0 của hệ quy chiếu (R2) đối với hệ

quy chiếu (R1) :

R2/R1 x2 ex2 y2 ey2 z2. 2

/ 1

R

de

dt

G G

/ 1

x

R R x R

de

e dt

G

2

/ 1

R

de

dt

G G

2

/ 1

y

R R y R

de

e dt

G

2

/ 1

R

de

dt

G G

/ 1

z

R R z R

de

e dt

G

Vectơ đặc trưng cho chuyển động quay của hệ (R2) đối với hệ (R1) và được gọi là vectơ quay kéo theo

2 / 1 0

R R

b) Trường hợp (RG 2) chuyển động tịnh tiến tương đối so với (R1) :

Ta có : ΩR2 / 1R = 0

/ 1 0

x

R

de

dt

G

/ 1 0

y R

de dt

=

G

/ 1 0

z R

dt

G

O2

ey2

ex2

ez1

1

(R)

2

(R )

O1

ey1

ex1

z2

z1

1

(R)

x1

O1

y1

x2

O2 2

(R )

y2

⇒ Các véctơ e G Gx2, ey2, e Gz

và mọi vectơ gắn liền với hệ quy chiếu (R2) đều là không đổi

trong hệ quy chiếu (R1)

2 / 1

/ 1

( ) R

R

d O O

v O

dt

JJJJJG G

đặc trưng cho chuyển động tịnh tiến của hệ (R2) so với hệ

(R1)

c) Trường hợp hệ (R 2 ) quay tương đối xung quanh một trục cố định của hệ (R 1 ):

Giả sử hệ quy chiếu (R2) quay xung quanh trục cố định (O1z1)

của hệ quy chiếu (R1) và giả sử O1 = O2, hai trục (O1z1) và (O2z2)

trùng nhau

z1= z2

x1

O1 = O2

y1

θ

θ

2

R / R1

ΩG

x2

Vectơ quay của hệ quy chiếu (R2) đối với hệ quy chiếu (R1) :

R2/R1 θ ez1

) Trong đó : θ = ( O JJJG JJJGx1, Ox2) = ( O JJJG JJJGy1, Oy2 y2

d) Trường hợp tổng quát :

Trong trường hợp tổng quát, chuyển động tương đối của hệ (R2)

của so với hệ (R1) có thể xem là hợp của hai chuyển động :

• Chuyển động tịnh tiến với vận tốc : 2 / 1 1 2

/ 1

( ) R

R

d O O

v O

dt

JJJJJG G

• Chuyển động quay với vectơ quay Ω GR2/R1 có phương chiều thay đổi theo thời gian

2) Đạo hàm củ một vectơ trong hệ (RGa 1) và trong hệ (R2):

) Xét một véctơ U t ( ) phụ thuộc vào thời gian t và được mô tả trong cơ sở ( e G Gx2, ey2, e Gz2

của hệ (R2)như sau : U t G ( ) = Ux2 e Gx2 + Uy2 e Gy2 + Uz2 e Gz2

Đạo hàm của U t G ( ) trong hệ (R2) : 2

/ 2

2 .

R

dU

G

Đạo hàm của U t G ( ) trong hệ (R1) :

2 / 1

R R

U

3) Hợp vận tốc :

Xét hệ quy chiếu (R2) chuyển động tương đối so với hệ quy chiếu (R1) Xét một điểm M chuyển động với vận tốc v M G ( )/R2

trong hệ quy chiếu (R2):

2

2

2 /

/

( ) R

R

d O M

v M

dt

JJJJ

và

chuyển động với vận tốc

JG G

/ 1

( ) R

v M G

trong hệ quy chiếu (R1) :

1

1

1 /

/

( ) R

R

d O M

v M

dt

JJJJJG G

Định lý hợp vận tốc : v M G ( )/ 1R = v M Ge( ) + v M G ( )/ 2R

Trong đó : v M Ge( ) = v O G ( 2 / 1) R + Ω G R2 / 1R × O M JJJJJG2 ;

1

1

1 2

2 /

/

( ) R

R

d O O

v O

dt

JJJJJG G

e

v M G

được gọi là vận tốc theo của điểm M

Vận tốc theo của điểm M, tại thời điểm đang xét, chính là vận tốc trong hệ (R1) của điểm M* gắn liền với hệ (R2) và tại thời điểm đang xét M* trùng với điểm M M* gọi là

trùng điểm của M tại thời điểm nói trên :

e

v M G

/ 1

v M G = v M G

4) Hợp gia tốc :

Xét hệ quy chiếu (R2) chuyển động tương đối so với hệ quy chiếu (R1) Xét một điểm M chuyển động trong hệ quy chiếu (R2) với gia tốc a M G ( )/R2

và trong hệ quy chiếu (R1) với gia tốc a M G ( )/ 1R

Định lý hợp gia tốc : a M G ( )/ 1R = a M Ge( ) + a GC( M ) + a M G ( )/R2

/ 1

R

d

dt

e

a M G

được gọi là gia tốc theo của điểm M

Gia tốc theo của điểm M, tại thời điểm đang xét, chính là gia tốc trong hệ (R1) của

trùng điểm M* của điểm M tại thời điểm nói trên :

e

a M G

/ 1

a M G = a M G

Và : a GC( M ) = Ω 2 GR2 / 1R × v M G ( )/R2

C

a G M

được gọi là gia tốc Coriolis của điểm M

5) Các trường hợp chuyển động đặc biệt của (R 2 ) đối với (R 1 ):

a) Hệ (R 2 ) chuyển động tịnh tiến đối với hệ (R 1 ) :

Ta có : Ω GR2/ 1R = 0

Do đó : v M Ge( ) = v O G ( 2 / 1)R

2 / 1

a M G = a O G

C

b) Hệ (R 2 ) quay quanh một trục cố định của (R 1 ) :

Giả sử hệ quy chiếu quay xung quanh trục cố định

(O1z1) của hệ quy chiếu và giả sử O1 = O2, hai trục

(O1z1) và (O2z2) trùng nhau

2

R

1

R

Vectơ quay của hệ quy chiếu R2 đối với hệ quy chiếu R1 : Ω G R2/R1 = θ  . e Gz1

y2

y1

O1 = O2

2

θ

θ R2/R1

Ω G

H M = M*

x2

z1= z

x1

Trong trường hợp này, ta có :

2 / 1

v O G = (do O2 cố định trong R1)

1

v M G = θ  e G × HM JJJJG

2 / 1

a O G = (do O2 cố định trong R1)

2 1

a M G = θ  e G × JJJJG HM − θ  HM JJJJG

Trong đó : H là hình chiếu của M trên trục quay Oz1 = Oz2

•Ghi chú : Gia tốc a M Ge( )

gồm hai thành phần : Thành phần a Gτ = θ  e Gz1× H JJJJG M

vuông góc với HM (gia tốc tiếp tuyến) và thành phần a Gn = − θ 2 H JJJJG M

hướng từ M về H (gia tốc hướng tâm)

§2 Khốí lượng và khối tâm của hệ chất - Hệ quy chiếu khối tâm :

1) Khối lượng của hệ :

(dV)

M

(V)

• Xét một hệ chất (S) gồm n chất điểm Mi khối lượng mi

Khối lượng m của hệ (S) : i

i

m = ∑ m

• Nếu hệ (S) là một tập hợp vô hạn các chất điểm phân bố liên tục

trong thể tích V, khối lượng m của hệ: ( ).

V

m = ∫∫∫ ρ M dV

Với : ρ(Μ) là khối lượng riêng của phân tố thể tích dV của hệ bao quanh điểm M (khối lượng của phân tố dV: dm = ρ ( M dV ). )

• Hệ gọi là đồng nhất nếu như khối lượng riêng ρ = hằng số và không phụ thuộc vào điểm M

2) Khối tâm (Quán tâm) :

Xét một hệ kín (S) (không trao đổi chất với môi trường ngoài bao quanh hệ) gồm n chất điểm

Mi có khối lượng mi Gọi O là một điểm bất kỳ

Khối tâm G của hệ (S) được xác định bởi : JJJJ

i

JG JJJK

với : i

i

m = ∑ m

i i i

Nếu chọn O ở G: O ≡ G thì :

Ghi chú :

•

2

Giả sử hệ (S) bao gồm từ hai hệ (S1) và (S2) lần lượt có khối tâm là G1 và G2, có khối lượng là m1 và m2, khối tâm chung G của hệ (S) được xác định bởi :

( m + m ) OG JJJ K = m OG JJJJG + m OG JJJJG

• Khi một hệ là đồng nhất và có một phần tử đối xứng (mặt đối xứng, trục đối xứng ), khối tâm G của hệ sẽ nằm trên phần tử đối xứng này

3) Hệ quy chiếu khối tâm:

Chuyển động của hệ chất (S) được nghiên cứu trong hệ quy chiếu (R)

Hệ quy chiếu khối tâm (R*), tương ứng với hệ quy chiếu (R), là hệ quy chiếu gắn liền với khối

tâm G của hệ chất (S) và chuyển động tịnh tiến đối với hệ quy chiếu (R) với vận tốc v G ( )/R

G

O z

y

(R)

y

z

x

G

(R*)

x

Khi đó, theo định lý hợp vận tốc và hợp gia tốc, ta có:

v M G = v G G + v M G

với :v M G ( )* = v M G ( )/ *R

a M G = a G G + a M G *

với : a M G ( )* = a M G ( )/ *R

Chứng minh:

Do hệ (R*) chuyển động tịnh tiến trong hệ (R), nên:

/

v M G = v G G ; a M Ge( ) = a G G ( )/R; a M GC( ) = 0

Thế mà: v M G ( )/R = v M Ge( ) + v M G ( )/R*

⇒ v M G ( )/R = v G G ( )/R + v M G ( ) *

Và : a M G ( )/R = a M Ge( ) + a M GC( ) + a M G ( )/R*

⇒ a M G ( )/R = a G G ( )/R + a M G ( ) *

§3 Động lượng và momen động lượng của một hệ chất:

1) Động lượng :

a) Định nghĩa :

Xét hệ (S) gồm n chất điểm Mi có khối lượng mi , có vận tốc v Gi

trong hệ quy chiếu (R)

Động lương ü của hệ (S) trong hệ quy chiếu (R) :

v

P G

.

i i i

P G = ∑ m G

Cũng có thể viết:

i

JJJJJG

⇒ P mv G G = ( ) G với : i

i

m = ∑ m

b) Động lượng trong hệ quy chiếu khối tâm (R*) :

Trong hệ quy chiếu khối tâm (R*), khối tâm G là điểm cố định ⇒ Vận tốc của khối tâm G trong hệ quy chiếu khối tâm (R*) : v GG( )* 0= ⇒ Động lượng P G *

của hệ (S) trong hệ quy chiếu khối tâm (R*) :

P G = m v G G = 0

2) Momen động lượng :

a) Định nghĩa :

Xét một hệ (S) gồm n chất điểm Mi có khối lượng mi, có vận tốc v Gi

trong hệ quy chiếu (R) Momen động lượng L G0

của hệ (S) đối với một điểm O trong hệ quy chiếu (R) :

i

i

L G = ∑ OM JJJJJG × m v G

b) Định lý Koenig về momen động lượng :

• Momen động lượng L G0

của hệ (S) đối với điểm O trong hệ quy chiếu (R) :

L G = OG JJJG × mv G G + L G

với : L GG *

: Momen động lượng của hệ (S) đối với điểm G trong hệ quy chiếu (R*); G là khối tâm của hệ; v G G ( ): Vận tốc của khối tâm G trong hệ quy chiếu (R)

• Suy ra, momen động lượng L GG

của hệ (S) đối với khối tâm G trong hệ quy chiếu (R) :

L G = GG JJJG × mv G G + L G ⇒ L GG = L GG*

3) Mômen động lượng khối tâm:

Momen động lượng của một hệ (S) trong hệ quy chiếu khối tâm (R*) không phụ thuộc vào điểm tính toán

Thật vậy, gọi A là một điểm bất kỳ, L GA *

là momen động lượng của hệ (S) đối với điểm A trong hệ quy chiếu (R*), v Gi* là vận tốc của điểm M trong hệ quy chiếu khối tâm (R*), ta có:

i

L G = ∑ JJJJJG AM × m v G = ∑ JJJG JJJJJG AG + GM × m v G = JJJG AG × ∑ m v G + ∑ GM JJJJJG × m v G

i

P G = ∑ m v G = 0 Suy ra: L GA* = L GG*

4) Momen động lượng đối với một trục :

Hình chiếu của momen động lượng L G0

của hệ chất (S) đối với điểm O, trên trục ∆ đi qua O được gọi là momen động lượng của hệ (S) đối với trục ∆

0.

L∆ = L e G G

∆ với : e G∆

véctơ đơn vị của trục ∆

§4 Tổng động lực và mômen động lực của một hệ chất :

1) Tổng động lực:

Xét hệ (S) gồm n chất điểm Mi có khối lượng mi , có gia tốc a Gi

trong hệ quy chiếu (R)

•Tổng động lực S G của hệ (S) trong hệ quy chiếu (R):

i i i

SG=∑m a G

Tương tự như động lượng, ta có: •

( )

S G = ma G G với : i

i

m = ∑ m

G

G

• Giữa tổng động lựcS G

và động lượng P G

có hệ thức: dP

S dt

=

G G

2) Momen động lực:

• Momen động lựcD GO của hệ (S) đối với một điểm O trong hệ quy chiếu (R):

i

i

i

DG =∑OMJJJJJG×maG

• Tương tự momen động lượng, cũng có định lý Koenig về momen động lực:

*

( )

DG =OG ma GJJJG× G +DG

*

G

DG

: momen động lực của hệ (S) đối với khối tâm G trong hệ quy chiếu khối tâm (R*); G là khối tâm của hệ, a GG( ) là gia tốc của khối tâm G trong hệ quy chiếu (R)

• Suy ra momen động lựcD GG của hệ chất (S) đối với khối tâm G trong hệ quy chiếu (R) :

D G = GG ma G JJJG × G + D G ⇒ D GG = D GG*

Tương tự momen động lượng, momen động lực đối với hệ quy chiếu khối tâm (R*) không phụ thuộc vào điểm tính toán Nếu gọi A là một điểm bất kỳ, ta có:

•

A G

D G = D G

Giữa • D GO và

O

L G

ta có hệ thức: O v( ) v( )

O

dL

G

Nếu O là một điểm cố định trong (R) hay O ≡ G thì: dLO O

D

G G

Chứng minh:

G

i

×

Thế mà: v Gi× = v Gi 0 và i i ( ), nên :

i

m v = mv G

G

Nếu O cố định trong R hay O ≡ G, số hạng thứ hai của vế phải bằng 0, và: dLO 0

D

G G

§5 Động năng của một hệ chất :

1) Định nghĩa :

Động năng của hệ (S) gồm n chất điểm Mi, có khối lượng mi chuyển động với vận tốc trong hệ quy chiếu (R) :

i

v G

2

1 2

i

i

E = ∑ m v

2) Định lý Koenig về động năng :

Động năng của hệ (S) trong hệ quy chiếu (R) :

2

i

m = ∑ m

Với : EK * : Động năng của hệ (S) trong hệ quy chiếu khối tâm (R*)

Chứng minh:

( )2

E = ∑ m v = ∑ m v G G + v G = mv G G + E + v G G ∑ m v G

Ta có:

Thế mà: * i i* 0, nên:

i

2

E = mv G +E

§6 Một số định lý cơ bản của động lực học hệ chất :

1) Định lý về tổng động lực (hay định lý về động lượng) :

• Trong hệ quy chiếu Galilée (Rg), tổng động lựcS G

của một hệ chất khép kín (S) bằng tổng của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ:

ext

F G

ext

SG=FG

• Trong hệ quy chiếu Galilée (Rg), đạo hàm theo thời gian của tổng động lượng của một

hệ chất khép kín (S) bằng tổng của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ :

P G

ext

F G

ext

dP F

dt =

G G

Như vậy ta có: dP S ma G( ) F ext

G

2) Định lý về momen động lực (hay định lý về momen động lượng):

• Trong hệ quy chiếu Galilée (Rg), momen động lựcD GO

của một hệ chất khép kín (S) đối với điểm O bằng momen MGO(F )Gext

đối với điểm O của tổngFGext

của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ: DGO =MGO(FGext)

• Trong hệ quy chiếu Galilée (Rg), đạo hàm theo thời gian của momen động lựợngL GO

của

một hệ chất (S) khép kín đối với điểm O cố định trong (Rg) bằng momen đối với điểm O của tổng

( ext

O

MG FG

)

ext

FG của tất cả ngoại lực tác dụng lên hệ: O ( ext

dL

D M F

dt = = )

G

(Với O là

điểm cố định trong (Rg))

Thật vậy, ta có: O v( ) v( )

O

dL

dt = − ×

G

với O là một điểm bất kỳ Khi O là điểm cố định

trong Rg, ta có:v( )G O =0, do đó: O

O

dL D

dt =

G G Từ đó suy ra: O ( ext)

dL

D M F

dt = =

G

Ghi chú:

• Trường hợp O không phải là điểm cố định trong (Rg), nhưng O trùng với điểm G, ta

cũng có: v( )G O ×m Gv( )G 0, do đó: G

G

dL

D dt

=

G G Định lý về momen động lượng vẫn

nghiệm đúng:

⇒

( ext

G

dL

)

D M F dt

G

(mặt dầu G không cố định trong hệ (Rg))

• Do *

DG =DG và L GG = L G*G với L GG

: momen động lượng của hệ (S) đối với điểm G trong hệ quy chiếu (Rg), L G*G

: momen động lượng của hệ (S) trong hệ quy chiếu (R*)

Mặc khác, do (R*) chuyển động tịnh tiến đối với (Rg), nên :

*

=

Suy ra:

*

*

* ( ext

G

R

dL

)

D M F dt

G

Như vậy định lý về momen động lượng có thể vận dụng cho điểm G trong hệ quy chiếu khối tâm (R*) (mặc dầu hệ quy chiếu (R*) có thể không phải là hệ quy chiếu Galilée)

3) Định lý về momen động lượng đối với một trục cố định:

Trong hệ quy chiếu Galilée Rg, đạo hàm theo thời gian của momen động lượng L∆ của một hệ chất (S) khép kín đối với một trục ∆ cố định trong (Rg) bằng momen M F∆(Gext)

đối với trục ∆ của tổng ext

FG của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ:

( ext)

dL

M F dt

∆

∆

• Thật vậy, chiếu định lý về momen động lượng đối với điểm O cố định trên trục của hệ (S):

∆

( ext

O

O

dL

)

M F

dt =

G

G G

lên trục ∆, suy ra: dL M F( ext)

dt

∆

∆

4) Định lý về động năng :

• Đạo hàm theo thời gian của động năng của một hệ chất (S) khép kín trong hệ quy chiếu

Galilée (Rg) bằng tổng công suất của tất cả các nội lực và ngoại lực tác dụng lên hệ (S)

Xét một hệ (S) khép kín gồm n chất điểm Mi có khối lượng mi GọiF Gi e

và là ngoại lực và nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i của hệ (S)

i i

F G

i

v G

là vận tốc trong (Rg) của chất điểm thứ i Gọi EK là động năng của hệ (S) trong (Rg)

i i i i

dE

Độ biến thiến động năng ∆EK của một hệ chất khép kín trong hệ quy chiếu Galilée (Rg)

trong một khoảng thời gian (t0,t) nào đó bằng tổng công của tất cả các ngoại lực và nội lực sinh ra trong chuyển dời tương ứng với khoảng thời gian đó:

•

Với: Wext là công của các ngoại lực, Wint là công của tất cả các nội lực

************

Bài tập: AD1 (p11), AD2 (p16), AD3 (p20), BT3 (p23), BT4 (p23), BT5 (p23)

Bài tập làm thêm : BT1 (p23), BT2 (p23)