Chuyên đề MTCT hình học lop 9

Tính độ dài đường trung tuyến CM và phân giác CD.. Tính tổng bình phương độ dài các đường trung tuyến Bài 6.. Tam giác thường Tính cạnh, phân giác trong, trung tuyến, diện tích trong

Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên

Chuyên đề 5 - phần hình học

I Tam giác vuông

Bài 1 Cho ∆ABC vuông tại C, AB = 7,5cm; A
= 58025' Từ C kẻ phân giác CD và trung truyến CM

a Tính độ dài các cạnh CA và CB

b Tính độ dài đường trung tuyến CM và phân giác CD

c Tính diện tích ∆ABC và ∆CDM

Lời giải

a, AC = AB.CosA = 7,5.Cos58025' ≈ 3.928035949(cm)

CB = AB.SinA = 7,5.Sin58025'≈ 6.389094896(cm)

b, CM = AB/2 = 7,5:2 = 3,75

Từ A kẻ AE // CD (E ∈ BC) ⇒ DCA=CAE= 450(so le trong)

⇒ ∆CAE vuông cân tại C ⇒ CE = CA

Mặt khác CD // EA ⇒ ∆BEA ∼∆BCD ⇒ CD BC CD EA.BC

⇒ CD = 2.CA.BC 2.AB.cosA.AB.sinA 2AB.sin A.cos A

=

2.7, 5.sin 58 25 '.cos 58 25 '

sin 58 25 ' cos 58 25 '+ ≈ 3,440098294 (cm)

c, Ta có: ACD

ABC

∆

∆

= = mà AD EC

AB = EB ⇒ ACD

ABC

S

S

∆

∆

⇒ S∆ACD = cos A

cos A sin A+ S∆ABC =

2 2

AB cos A.sin A 2(cos A sin A)+

⇒ S∆CDM = 1

2 S∆ABC - S∆ACD =

2 1

AB cos A.sin A

2 2

AB cos A.sin A 2(cos A sin A)+ ≈ 1,496641828 (cm

2)

Bài 2 Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 14,25cm; AC = 23,5cm AM và AD theo thứ tự là trung tuyến và phân giác của tam giác

a Tính BD và CD

b, Tính diện tích tam giác ADM

Lời giải

a, BC = AB2+AC2 mà áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

AC =DC = BC DB

ư ⇒ DB =

AB.BC

AB AC+ =

AB AC

+ +

14, 25 14, 25 23,5

14, 25 23,5

+ + ≈ 10,37435833 ⇒ DC = BC - DB ≈ 17,10859093

b, Ta có: ABD

ADC

∆

∆

= = = mà S∆ABD = S∆AMB - S∆ADM = 1

2S∆ABC - S∆ADM

S∆ADC = S∆AMC + S∆ADM = 1

2S∆ABC + S∆ADM ⇒ ABC ADM

ABC ADM

+ ⇒ S∆ADM = S ABC(AC AB AB.AC(AC AB)

E

H

M D B

A

Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên ⇒ S∆ADM = 23,5.14, 25(23,5 14, 25)

4(23,5 14, 25)

ư

Bài 1 Cho ∆ABC (A
=900), AB = 3, ACB= 600 Các đường phân giác BM và CN cắt nhau tại I

a Tính BM và CN

b, Tính diện tích ∆IMN

Lời giải

a AC = AB

tgC mà NC =

AC C cos 2

C tgC.cos

2

tg60 cos30 ≈ 1,154700538 (cm)

(B 90
= 0ư =C 30 )
0 ⇒ BM = ⇒ AB 3 0 3 0

b,S∆IMN = S∆NMC - S∆IMC = 1AN.MC 1r.MC

2 ư2 (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC):

S∆ABC = p.r ⇒ 1AB.AC AB AC BC.r r AB.AC

+ +

+ + ⇒ S∆IMN = 1

2(AN -

AB.AC

AB AC BC+ + ).(AC - AM) = 1

2 (ACtg30

0 - AB.AC

AB AC BC+ + )(AC - ABtg15

0) (trong đó AC = 1, BC = 2, AB = 3)

= 1

2(tg30

)(1 3tg15 )

2)

Bài 2 Cho ∆ABC vuông tại A với AB = 4,6892; BC = 5,8516

a, Tính góc B (độ, phút, giây)

b, Tính đường cao AH

c, Độ dài phân giác CI

Lời giải

a, CosB = AB 4, 6892

BC = 5,8516⇒⇒ B
= 36 0 44'25,64"

b, AH = AB.sinB = 2,805037763

c, IC =

0

ư

=

ư = 3,915754262

Bài 3 Gọi G là trọng tâm ∆ABC vuông tại A, AB =23,82001, AC = 29,1945 Gọi A', B' C' lần lượt

là hình chiếu của G xuống các cạnh BC, AC, AB Gọi S và S' là diện tích hai tam giác ABC và A'B'C'

a, Tính S'/S (=2/9)

b, Tính S' (≈ 77,26814244)

Lời giải

a, Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC) ⇒ GA' = 1

3AH =

h

3; GB' =

1

3AB; GC' =

1

3AC Mặt khác S∆A;B'C' = S∆GA'B' + S∆GA'C' + S∆GB'C'

= 1

2 (GA'.GB'.sin(A'GB') + GA'.GC'.sin(A'GC') + GB'.GC') = 1

2 (

1

3.

1

3h.AB.sinC +

1

3.

1

3h.AC.sinB +

1

3.

1

3AB.AC) = 1

18(h.ABsinC + h.ACsinB + AB.AC) =

1

18(HB + HC + AB.AC)

N I

M

B

B

H

A' C'

B' G B

Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên = 1

18(BC.h + AB.AC) =

1

9(S∆ABC + S∆ ABC) = ABC

2 S

9 ∆ ⇒ A'B 'C '

ABC

∆

∆

=

b, S∆A'B'C' = 2S ABC

9 ∆ =

1

9AB.AC =

1

9.23,82001.29,1945 ≈ 77,26814244

* Bài tập áp dụng

Bài1 Cho tam giác ABC vuông tại A Kẻ phân giác AD và trung tuyến AM và đường cao AH (D, B,

H ∈ BC)

a Cho AB = 3,74cm; AC = 4,51cm Tính độ dài các đoạn thẳng AD, AM và AH

b Cho BC = 8,916cm; BD= 3,178 Tính AB; AC, AM

Bài2 Cho ∆ABC vuông tại A; AB = 2,75cm;
C = 37025' Từ A kẻ các đường cao AH, phân giác AD

và trung tuyến AM (Đề thi Khu vực 2007)

a Tính độ dài các đoạn AH, AD, AM

b Tính diện tích ∆ADM

Bài3 Cho ∆ABC vuông tại A với AB = 4,6892; BC = 5,8516

a, Tính góc B (độ, phút, giây)

b, Tính đường cao AH

c, Độ dài phân giác CI

Bài 4 Cho ∆ABC vuông tại A AB = 15, BC = 26 kẻ phân giác trong BD Tính DC (D ∈ AC)

Bài 5 Cho một tam giác vuông có độ dài hai cạnh tam giác vuông là 3 4và 4 3 Tính tổng bình phương độ dài các đường trung tuyến

Bài 6 Cho hình vẽ: Biết

\ AE = CD = 1,5cm

\ ED = 10cm

KBA=45 39 '; KBC=51 49 '12"

a, Tính gần đúng BH

b, Tính diện tích ∆ABC

Bài 7 Cho ∆ABC vuông tại B cạnh BC = 18,6cm Hai trung tuyến BM và CN

vuông góc với nhau Tính CN

II Tam giác thường

Tính cạnh, phân giác trong, trung tuyến, diện tích trong tam giác

Bài1 Cho ∆ABC, B
= 1200, AB = 6cm, BC =12cm Kẻ phân giác BD (D ∈ AC)

a Tính độ dài đường phân giác BD

b Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ABC

c Tính diện tích ∆ABD

Lời giải

a, Qua A kẻ AE // BD cắt BC tại E ⇒ ∆ABE đều

⇒ AB = AE = BE = 6cm Vì BD // AE ⇒ BD CB

AE =CE ⇒ BD = AE.CB

CE = AB.

CB

CB BE+ =

AB.CB

CB AB+ ⇒ BD = 6.12 4

6 12 =

+ cm

b, ABD B

ABC

B

1

h AD

1

2

∆

∆

c, S∆ABC = 1

2hA.BC =

1

2AB.sin60

0.BC = 1

26.12.Sin60

0 ≈ 31,17691454 (cm2)

C

B

A

E

K

H

D

60 0

60 0

_ /

\ E

D A

C B

Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên ⇒ S∆ABD = 1S ABC

3 ∆ ≈ 10,39230485(cm2)

Bài2 Cho ∆ABC; AB = 4,71cm; BC = 6,26cm; AC = 7,62cm Phân giác trong BD

a Tính độ dài đường cao BH, trung tuyến BM của góc B

b Tính diện tích ∆BHD

Lời giải

a, +) Tính độ dài đường cao BH

S∆ABC = 1

2AC.BH = p p( ưa p b p)( ư )( ưc)

⇒ h = BH = 2 ( )( )( )

.AC

= 3,863279635(cm)

+) Tính độ dài đường trung tuyến BM

Theo định lý Pitago trong tam giác vuông HBC ta có:

BC2 = HB2+ HC2 = HB2 + (HM + MC)2 = HB2 + (AC

2 + HM)

2

AB2 = HB2 + HA2 = HB2 + (MA - HM)2 = HB2 + (AC

2 - HM)

2

⇒ AB2 + BC2 = 2HB2 +

2 AC

2 + 2HM

2 = 2(HB2 + HM2) +

2 AC

2 = 2BM

2 +

2 AC 2 ⇒ BM =

2 + 2 ư 4 ≈ 4,021162767(cm)

b, Tính diện tích tam giác BHD

AH2 = AB2 - BH2 = AB2 -

2 + 2 ư 4 ⇒ AH =

2 ư 2 + 4

BC = DC ⇒ BC BA = DC DA ⇒BC BA = AC

⇒ DA = AC.AB

BC BA+ ⇒ HD = DA - AH =

AC.AB

BC BA+ -

2 ư 2 + 4

⇒ S∆BHD = 1

2BH.HD =

.AC

BC BA+ -

2 ư 2 + 4 ) ≈ 1,115296783 cm2

Bài3 Tính diện tích ∆ABC biết AB = 18cm,
A 2B
1C

= = Lời giải

áp dụng định lý về tổng ba góc trong một tam giác ta có:

0

A+ + =B C 180 mà theo giả thiết
A 2B
1C

9
0
0

2

B=60 , C=80

Kẻ hai đường cao BH và CD khi đó: BH = ABsinA và BC = BH ABsin A

sin C = sin C ⇒ S∆ABC = 1

2AB.CD = 1

2AB.BC.sinB =

2

AB sin A sin B

2 sin C ≈91,57178586 (cm2)

* Bài tập áp dụng

Bài1 Tam giỏc ABC cú cạnh AC = b = 3,85 cm ; AB = c = 3,25 cm và ủường cao AH = h =

2,75cm (Đề thi khu vực năm 2007)

D M

B

18cm

H C

A

B D

Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên

a, Tớnh cỏc gúc A, B, C và cạnh BC của tam giỏc

(B = 57o47’44,78”, C = 45o35’4,89”, A= 76o37’10,33”)

b, Tớnh ủộ dài của trung tuyến AM (M thuộc BC)

c, Tớnh diện tớch tam giỏc AHM

(gúc tớnh ủến phỳt ; ủộ dài và diện tớch lấy kết quả với 2 chữ số phần thập phõn

Bài 2 Cho ∆ABC có đường cao AH = 12,341 Các đoạn thẳng BH = 4,183, CH = 6,748

a Tính diện tích tam giác

b Tính góc A(độ, phút, giây)

Bài 3 Cho ∆ABC có đường cao AH = 21,431cm, các đoạn thẳng HB = 7,384cm, HC = 9,318cm

a, Tính các cạnh AB và AC (AB ≈ 22,66740428; AC ≈ 23,36905828

b, Tính diện tích ∆ABC (S ≈ 178,9702810)

c, Tính góc A(độ, phút, giây) (A
≈ 42030'37")

Bài 4 Cho ∆ABC có AB =1,05; BC = 2,08; AC = 2,33

a, Tính diện tích ∆ABC (S ≈ 1,0920)

b, Tính đường cao BH (≈ 0,9383)

Bài 5 Cho ∆ABC có BC =10, đường cao AH = 8 Gọi I và O lần lượt là trung điểm của AH và BC Tính diện tích các tam giác IOA và IOC

Bài 6 Tam giỏc ABC cú cạnh BC = 9,95 cm, gúc ABC=114 43'12"0 , gúc BCA=20 46 ' 48"0 Từ A

vẽ cỏc ủường cao AH, ủường phõn giỏc trong AD, phõn giỏc ngoài AE và ủường trung tuyến AM a) Tớnh ủộ dài của cỏc cạnh cũn lại của tam giỏc ABC và cỏc ủoạn thẳng AH, AD, AE, AM

b) Tớnh diện tớch tam giỏc AEM

III Tam giác đều - Đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp

Bài1 Cho tam giác ABC đều cạnh a = 3,36cm

a, Tính độ dài đường cao, tính diện tích tam giác

b Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác đều

c, Tính miền diện tích tạo bởi (O;r) và ∆ABC và miền diện tích tạo

bởi (O;R) và ∆ABC

Lời giải

a Gọi AH là đường cao hạ từ A xuống cạnh BC

⇒ AH =

2

S∆ABC = 1

2AH.BC =

1

2.

3 a

2 .a =

2 3 a

4 ≈ 4.888540199 (cm2)

b Gọi O là giao của 3 đường trung tuyến trong tam giác đều, R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC:

R = OA = 2.AH 2 3a 3a

3 =3 2 = 3 ≈ 1,939896904 (cm)

r = OH = 1.AH 1 3a 3a

3 =3 2 = 6 ≈ 0,969948452 (cm)

c, +) Gọi S1 là phần diện tích giới hạn bởi (O;r) và ∆ABC

⇒ S1 = S∆ABC - S(O; r) = 3 2

a

4 - πr2 = 3 2

a

4 -

2 1 a

12π ≈ 6.82147003 (cm2) +) S2 là phần diện tích giới hạn bởi (O; R) va ∆ABC

⇒ S2 = S(O; R) - S∆ABC = πR2 - 3 2

a

4 =

2 1 a

3π - 3 2

a

4 = 2,045361075 (cm

2)

r

R O A

H

Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên

Bài2 Tính diện tích tam giác đều nội tiếp và ngoại tiếp đường tròn (O; R); với R = 4,25 cm

Lời giải

+) Tính diện tích ∆∆∆∆ABC đều ngoại tiếp đường tròn(O; R)

Gọi ∆ABC và ∆A'B'C' lần lượt ngoại tiếp và nội tiếp đường tròn (O; R)

Trong ∆ABC ba trung tuyến AE, BM và CN cắt nhau tại O

⇒ OE = R = 1AE

3 =

⇒ S∆ABC = 1

2AE.BC =

1

2.3R.2 3R=

2

3 3R ≈ 93,85550314 (cm2)

+) Tính diện tích đều ∆∆∆∆A'B'C' nội tiếp (O; R)

S∆A'B'C' = 1

2B'C'.hA' =

1 2

BC

2 .

AE

2 =

1

2. 3R.

3R

2 =

3 3

4 R

2 ≈ 23,46387578 (cm2)

* Chú ý: Ta có thể sử dụng công thức: S∆ABC = abc

4R; S∆A'B'C' = pr

Bài3 Cho ∆ABC; BC = 8,571cm; AC= 6,318cm; AB = 7,624cm

a Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

b Tính diện tích phần hình tròn nằm ngoài ∆ABC

Lời giải

a, áp dụng công thức Hêrông ta có: S∆ ABC = p p( ưa p b p)( ư )( ưc)

⇒ S ≈ 23,28705703 (cm2)

Mặt khác: S = abc R abc

4R ⇒ = 4S = 4,43220058 (cm)

b, Gọi S' là phần diện tích hình tròn nằm ngoài ∆ABC

⇒ S' = πR2 - p p( ưa p b p)( ư )( ưc) = 38,42765192 (cm2)

Quy trình ấn phím liên tục:

8,571 SHIFT STO A ; 6,318 SHIFT STO B ;7,624 SHIFT STO C

ấn tiếp: ( ALPHA A + ALPHA B + ALPHA C ) ữ2 SHIFT STO D

ấn tiếp: ( ALPHA D ( ALPHA D ư ALPHA A ) ( ALPHA D ư ALPHA B )

( ALPHA D ư ALPHA C ) ) SHIFT STO E ta tìm được diện tích ∆ABC

ấn tiếp: ALPHA A x ALPHA B x ALPHA C ữ ( 4 ALPHA E ) SHIFT STO F ta tìm được R

ấn tiếp: SHIFT EXP x ALPHA F x2 ư ALPHA E = Kết quả tìm được S'

Bài4 Từ ủiểm M nằm ở ngoài ủường trũn (O;R) kẻ hai tiếp

tuyến MA, MB với ủường trũn Biết AOB = 120 0 và R = 4,23cm

a Tính diện tích tứ giác AOBM

b Tính diện tích miền trong tứ giác (phần màu trắng)

Lời giải

a, SAOBM = 2.S∆AOM = AO.AM = R R.tg(AOM)

= R2.tg600 ≈31,43256524 (cm2)

b, Gọi S' là diện tích phần mầu trắng nằm trong tứ giác AOBM

Diện tích phần hình quạt nằm trong tứ giác AOBM là: 120.2 2

π= π

⇒ S' = R2tg600 - 2

3

π ≈

29,33817013(cm2)

Bài 5 a, Một tam giác có chu vi là 49,49cm, các cạnh tỷ lệ với 20:21:29 Tính bán kính đường tròn

nội tiếp ( r ≈ 4,242)

Lời giải

R

D

A

R

O

M B

A

B

A

C

N

C' B'

A'

M

E O

Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên Theo giả thiết ta có: a b c a b c 49, 49

+ +

+ + ⇒ a = 14,14cm ; b = 14,847cm; c = 20,503cm

áp dụng công thức: r = S (p a)(p b)(p c)

Bài 6 Tính khoảng cách giữa hai đỉnh không liên tiếp của một ngôi sao 5 cánh, nội tiếp trong đườn

tròn bán kính R = 5,712cm

Lời giải

Ta phải tính độ dài đoạn thẳng AC Kẻ OH ⊥ AC tại H ∈ (AC) khi đó

0 0

⇒ AC = 2AH =2.(OA.cos180) = 2.5,712.cos180 ≈ 10,86486964 (cm)

Bài7: Cho tam giác ABC cân tại C; k

AB

AC = ( k ≠1)

Vẽ các phân giác CM, AN, BP Chứng minh

2 1











 +

=

k

k S

S

MNP ABC

áp dụng tính SABC biết SMNP là 2,3456 cm2 và k = 1,2345

Lời giải

Gọi PN ∩ CM = H ; Đặt CM = h, MH =h1 áp dụng tính chất đường phân giác

Ta có: AC NC NC k

Mà ∆ABC cân ⇒ ∆PAB = ∆NBA(g.c.g)

⇒ PA = NB ⇒ NP //AB ⇒ NP ⊥ CM ⇒ HC k

ư = ⇒ = + (*)

ư

+ + ⇒

+

= (**)

Từ (*) và (**) ⇒

2 2

ABC MNP 1

k

∆

∆

áp dụng: SMNP là 2,3456 cm2 và k = 1,2345 ⇒ S∆ABC ≈ 9,486883702 (cm2)

Bài8 Cho ∆ABC đều cạnh a MNPQ là hình chữ nhật nội tiếp tam giác M, N thuộc BC, P và Q tương ứng thuộc AC và AB

a, Xác định điều kiện để MNPQ có diện tích lớn nhất

b, Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật MNPQ trong trường hợp: a = 18,17394273

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của A xuống cạnh BC, K là giao điểm của AH với PQ

Đặt AK= x; PQ = y AH = h; Ta có SABC = SAQP + SBQPC

⇒ ah

2 =

xy

2 +

(y a)(h x) 2

⇒ ah = xy + yh - xy + ah - ax

⇒ yh = ax ⇒ y = ax

h Vậy SMNPQ = = y.(h - x) = (h - x)

ax h = a

hx(h - x) mà x(h - x) lớn nhất khi x = h - x ⇒ x =

h 2

a, MNPQ có diện tích lớn nhất khi P, Q là trung điểm của AC và AB

b, max SMNPQ = a

hx(h - x) =

2

ah a 3

4 = 8 ≈ 71,51035775 (đvdt)

Bài9 Cho đường tròn tâm O đường kính AC, B là một điểm nằm trên đường tròn, H là hình chiếu

của B lên AC

D

C

B

A

O

E H

H

G

M

C

x K

H

A

N M

Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên

a, Xác định vị trí của B để diện tích tam giác OBH lớn nhất

b, áp dụng tính khi R = 1,94358198 (cm)

Lời giải

Đặt BH = h, AH = x (0 < x ≤ R, 0 < h ≤ R)

Tacó: h2 = AH.HB = x(2R- x) ⇒ h = x(2R x)ư

⇒ SOBH = OH.HB (R x) x(2R x)

= Mặt khác: (R - x) x(2R x)ư lớn nhất khi R - x = x(2R x)ư

⇒ (R - x)2 = 2Rx - x2⇔ 2(R - x)2 = R2 ⇒ R - x = R

2 ⇒ OH =

R 2

⇒ h = OB2ưOH2 = R

2 ⇒ ∆BOH cân tại H

a, Nếu B cách AC một khoảng R

2 thì SOBH đạt giá trị lớn nhất

b, Max SOBH =

2 HO.HB 1 R R R

2 = 2 2 2 = 4 ≈ 0,944377728 (cm2)

Bài10 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2008

trên tia đối của tia AB lấy điểm P sao cho AP = 1004

Qua P kẻ cát tuyến PCD (C nằm giữa P và D)

sao cho CD =1004 2

a, Tính độ dài đoạn thẳng PC và PD

b, Tính độ dài các đoạn thẳng CA, AD, BD

Lời giải

a, Vì ∆PBC ∼∆PDA (g.g) ⇒ PB PC

PD = PA ⇒ PA.PB = PC.PD ⇒ 1004.2008 = PC(PC + 1004 2) ⇔ PC2 + 1004 2PC - 2016032 = 0 ⇒ PC = - 502 2+ 2520040 ≈ 877,5281771

⇒ PD ≈ PC + CD = - 502 2+ 2520040 + 1004 2 = 502 2+ 2520040 ≈ 2297,398597

b, Ta tính đường trung tuyến DA trong ∆PDO Ta có:





2 + OD2 =2DH2 + 2AH2 + 2AO2

⇒ PD2 - AO2 = 2(DH2 + AH2) ⇔ 2AD2 = PD2 - AO2 ⇒

2 2

AD

2

ư

Gán: 502 2+ 2520040 SHIFT STO A ; 1004 SHIFT STO B sau đó tính AD

2 PD PA 9PA PD 4PA

Ta thấy: ∆PAC ~ ∆PDB ⇒

2 2

ư

* Bài tập áp dụng:

Bài1 Một ngôi sao năm cánh có khoảng cách giữa hai đỉnh không liên tiếp là 9,651cm Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp(qua 5 đỉnh)

Bài2 Cho một tam giác nội tiếp một đường tròn Các đỉnh của tam giác chia đường tròn thành ba

cung có độ dài tỉ lệ 3:4:5 Tính diện tích tam giác đó

Bài 3 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O, phân giác trong của góc A lần lượt cắt cạnh BC tại D và

E Giả sử AD = AE

Hyy tính AB2 + AC2 theo R

h

A B

H

H

D

B O

P

A C

Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên

IV Tính cạnh, diện tích hình thang, hình chữ nhật, hình bình hành

Bài1 Biết diện tích hình thang vuông ABCD là 9,92cm2 AB = 2,25cm; ABD= 500 Tính độ dài các cạnh AD, DC, BC và số đo các góc ABC và BCD

Lời giải

+) AD = AB.tg500 = 2,25.tg500 ≈ 2,681445583(cm)

+) S = AB DC.AD CD 2S AB 2S 0 AB

⇒ CD ≈ 5,148994081(cm)

+) BC =

2

0

2S

ABtg50

+) tgC =

0

0

ABtg50

2S

2AB ABtg50 ư ≈ 0,924957246 ⇒

C≈ 42046'3,02"

⇒ CBD = 1800 - 500 - 42046'3,02" = 87013'56,98"

Bài 2 Cho hình thang cân có hai đường chéo vuông góc với nhau nhau Hai đáy có độ dài 15,34cm

và 24,35cm

a Tính độ dài cạnh bên của hình thang

b Tính diện tích hình thang

Lời giải

a, Gọi K,H lần lượt là trung điểm của AB và CD, O = AC ∩BD

⇒ Vì ABCD là hình thang cân ⇒ ∆OAB cân tại O

⇒ OB =OA = AB

2 , Tương tự OC = OD =

CD 2 ⇒ AD = BC =

2

+

b, Vì AC ⊥ BD ⇒ SABCD = 1

2AC.BD =

1

2AC

2 =1

2(OA + OC)

2 = 1

4(AB

2 + CD2) ≈ 207,059525 (cm2)

Bài 3 Cho hình thang vuông ABCD như hình vẽ:

a Tính chu vi hình thang ABCD (54,68068285)

b Tính diện tích hình thang ABCD (166,4328443)

c Tính các góc còn lại của ∆ADC

Lời giải

a, Kẻ AE ⊥ CD ⇒ DE = AE.tg(DAE) = BC.tg330

⇒ DC = DE + EC = BC.tg330 + AB

Mặt khác: AD = AE0 BC 0

sin 57 =sin 57 ⇒ CABCD = AB + BC + CD + DA = 2.12,35 + 10,55 + 10,55tg330 + 10,550

sin 57 ≈ 54,68068285 (cm)

b, SABCD = AB DC.BC AB AB DE.BC

=

2AB BCtg33 2.12,35 10,55tg33

≈ 166,4328443 (cm2)

c, tg(CAE) AB 12,35

BC 10,55

= = ⇒ CAE= 49019'39,69" ⇒ DAC= 82019'36,69"

50 0

2,25cm

A

B

O

57 0

12,35cm

10,55cm

C D

E

Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên

tg(ACE) = BC 10,55

AB =12,35⇒ ACE= 40030'20,31"

Bài 4 Cho hỡnh thang ABCD(AD//BC) cú 2 ủường chộo cắt nhau tại O.Hai tam giỏc AOD và BOC

cú diện tớch lần lượt là 2; 3 Tớnh diện tớch hỡnh thang ABCD

Lời giải

Qua O kẻ đường thẳng vuông góc và cắt AD tại E, cắt BC tại F

2 OAD

2 OBC

S = OF.BC = OF ⇒ OE 2

OF = 3 = k ⇒ OE = kOF

Đặt S∆AOD = S1; S∆BOC = S2; EF = h

SABCD = S1 + S∆ODC + S2 + S∆OAB

= S1+ (S∆CAD - S1) + S2 + (S∆BAD - S1)

= S2 - S1 + S∆BAD + S∆CAD = S2 - S1 + h.AD h.AD

2 + 2 = S2 - S1 + h.AD = S2 - S1 + (OE + OF)AD = S2 - S1 + (OE + OE

k )AD = S2 - S1 +2S + 1 2S1

k

= S2 + S1 + 2 3

2

= 3+ 2 +2 3 2 =

2

+

Bài5 Một hình thoi có cạnh bằng 24,13cm, khoảng cách giữa hai cạnh là 12,25cm

a Tính các góc của hình thoi(độ, phút giây) ( A
≈ 30030'30,75"; B
≈ 149019'29,2")

b, Tính diện tích của hình tròn (O) nội tiếp hình thoi( chính xác đến 4 chữ số thập phân) (S ≈ 194,9369057)

Lời giải

Kẻ BE ⊥ CD (E ∈ CD)

a, SinC = BE 12, 25

BC = 24,13 ⇒
C=A
=30030'30,75"

⇒ B
=D
= 1800 -
C = 149029'29,2"

b, Từ O kẻ OF ⊥ CD ⇒ OF là bán kính đường tròn nội tiếp hình thoi

Dễ thấy OF = BE

2 (tính chất đường trung bình trong tam giác)

⇒ S(O) = π(OF)2 = π BE2

4 = 117,8588119 (cm2)

Bài6 Cho đường tròn tâm O, bán kính R = 11, 25 cm Trên đường tròn đy cho, đặt các cung

90 , o 120 o

AB = BC = sao cho A và C nằm cùng một phía đối với BO

a) Tính các cạnh và đường cao AH của tam giác ABC

b) Tính diện tích tam giác ABC (chính xác đến 0,01)

Lời giải

a) Theo hình vẽ:

sđ AC  = sđ BC - sđ AB  = 1200 - 900 = 300

Tính các góc nội tiếp ta được:ABC = 150; ACB = 450

Suy ra: BAC = 1200; CAH = 450; BAH = 750

Ta có: AB=R 2; BC=R 3

Vì ∆AHC vuông cân, nên AH =HC (đặt AH=x)

F

E

O

C B

F E D

O

B

O

A

B C

H