CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 2

• Hai đồ thị tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình hịanh độ giao điểm của chúng cĩ nghiệm kép • Tiếp tuyến tại điểm uốn cĩ hệ số gĩc hoặc lớn nhất hoặc nhỏ nhất Bài 19 : C : 3...

CHƯƠNG I :CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS

@@@@@@@

VẤN ĐỀ 1:TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ

Cho hàm số y= f x( ) ( C ) Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) ta có 2 cách :

Cách 1 : dùng ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định lý : Đạo hàm của hàm số y= f x( ) tại điểm x là hệ số góc của tiếp tuyến 0

với đồ thị tại điểm M ( ;x y o o = f x( o)): k = f x '( o)

Dạng Tiếp Tuyến (yêu cầu bài toán) Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm )

Tiếp tuyến tại M x y( ;o o)∈( )C '( ).( )

Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d)

cho trước : y = k x bd + _Gọi M x y( ;o o)∈( )C

Dạng Tiếp Tuyến (yêu cầu bài toán) Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm )

Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số

Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) cho

1( )

1'( )

_Thế pt dưới vào trên ⇒ ⇒x k

ứng với 1 giá trị x sẽ cĩ 1 giá trị k

4 3

y M là một điểm tuý ý trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt đường tiệm cận xiên và đứng tại A và B Chứng tỏ rằg M là trung điểm của AB, và tam giác IAB (I là giao điểm của hai đường tiệm cận) có diện tích không phụ thuộc vào M

− +

2

4 3

2

x

x x

x x

−

=

1

1 1

1 2

1

2

− +

− +

1

; 1

1

a A

d d

x y

Ta có : ( xA + xB) = ( 1 + 2 a − 1 ) = a = xM

2

1 2

1

a

a a

a y

− +

3 1

2 2

1 2

1 2

1Vậy M là trung điểm của AB

Giao điểm của 2 tiệm cận là I  ⇒ SIAB = yA − yI xB − xI

−

a

Vậy SIAB không phụ thuộc vào M

Bài toán 2: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 9x + 5 (C)

Tìm tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất Giải : Gọi M(x0; y0) ∈ ( ) C : hệ số góc tiếp tuyến tại M : k = f’(x0) = 3 2 6 0 9

Bài toán 3: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 (Cm)

Tìm m để (Cm) cắt (d) y = – x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của Cm) tại B và C vuông góc nhau

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (Cm)

x3 + mx2 + 1 = – x + 1

⇔ x(x2 + mx + 1) = 0 (*)

Đặt g(x) = x2 + mx + 1 (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt

⇔ g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0

1 0

0 4

2

m

m g

m g

Vì xB , xC là nghiệm của g(x) = 0

=

⇒

1

C B

C Bx x P

m x

x S

Tiếp tuyến tại B và C vuông góc

Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số

5

±

=

⇔ m (nhận so với điều kiện)

Bài toán 4: Cho hàm số y = x3 – 3x – 2 (H)

Xét 3 điểm A, B, C thẳng hàng thuộc (H) Gọi A1, B1, C1 lần luợt là giao điểm của (H) với các tiếp tuyến của (H) tại A, B, C Chứng minh rằng

A1, B1, C1 thẳng hàng

Giải: Gọi M(x0; y0) thuộc (H) Phương trình tiếp tuyến của (H) tại M

( ) 3 ( 1 ) ( ) 3 2 3 ( 2 1 ) ( 2 3 1 )

0 0

3 0 2

a b a

b a c

a b

3 3

3

3

1 2 2

2 2

− + +

− + +

=

⇔

ac a c

ab a b

ab b ac

= + +

a c

a

b a

6 8

2 2

2 2

3 3

3 3

4

3 4

2 2

− + +

− + +

=

⇔

c ac a

b ab a

ab b ac

= + +

⇔ a b c 0Vậy : A, B, C thẳng hàng ⇔ A1, B1, C1 thẳng hàng

Bài Tập :

Bài 1 : Cho hàm số y= f x( )cĩ đồ thị là ( C ) Tìm hệ số gĩc và viết pttt với ( C ) tại điểm M o

− là giao điểm của ( C ) và Ox

6) ( C ) : y= −x3 2x+2,M olà giao điểm của ( C ) với đt y=2

7) ( C ) : y=2x3−x,với M là giao điểm của ( C ) và Oy o

8) ( C ) : y=2x4−5x2+3 với M o∈( )C là giao điểm của ( C ) và Ox

Bài 2 : Cho hàm số 3

2

x y x

−

=+ ( C ),viết pttt với đths :

1) Tại giao điểm của ( C ) với 2 trục tọa độ

2) Biết tiếp tuyến song song với đt y=5x+2

Bài 3 : Cho hàm số y= −x3 3x2+4( C ),viết pttt với đths :

1) Tại M o∈( )C có hoành độ x o = −2

2) Biết tiếp tuyến của ( C ) đi qua điểm (2; 0)A

Bài 4 : Viết pttt trong các trường hợp sau :

1)

2

,1

y= x

2) y=x2+3 ,x biết tiếp tuyến qua (1; 4)A

3) y= −x3 3x2,biết tiếp tuyến đó vuông góc với đt 1

y= x+

5)

3 2

y x

−

=

− tìm pttt với ( C ) trong các trường hợp sau :

1) Tiếp xúc với ( C ) tại (2; 4)A −

2) Song song với ( ) :d1 y=13x+1

Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số

3) Lập pttt với ( C ) biết tt vuông góc với đường thẳng 1 19

9

y= − x+

4) Lập pttt tại điểm uốn của ( C ) Hệ số góc là lớn nhất hay nhỏ nhất

5) (khó) Tìm trên đt y=2 các điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau

Bài 7 : cho ( C ) 2

1

x y x

−

=+ Viết pttt với ( C ) biết tiếp tuyến :

1) Qua gốc tọa độ O 2) Qua điểm (2;1)A

Bài 8 : cho ( C ) y= − +x3 3x2−5x+2 Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến đó : 2) Song song với đt : 2x+ − =y 3 0 3) Vuông góc với đt : x−29y+ =2 0

x

=

− Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau :

1) Tại điểm có hoành độ x o =1

2) Song song với đt 8x−9y+ =1 0

− ( C ) Viết pt đường thẳng đi qua M(1; 0)và tiếp xúc với đths ( C )

Bài 14 : cho hàm số ( C m) y= +x3 3x2+m m( +1)x+1 Tìm m để (C m)tiếp xúc với parabol (P) :y=3x2+2x+1.( đs : m= ∨ = −1 m 2)

Bài 15 : ( C ) :

2

11

y x

− CMR với mọi m≠ −1 thì đths luôn tiếp xúc với 1

đường thẳng cố định tại một điểm cố định

*Bài 18 : Viết phương trình tiếp tuyến chung của hay đồ thị sau :

1) (C1) :y=x2 và (C2) :y=x2−2x−1

2) (C1) :y=x2 −5x+6 và (C2) :y= − +x2 5x−11

Lưu ý :

• Hai đồ thị tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình hịanh độ giao điểm của chúng cĩ nghiệm kép

• Tiếp tuyến tại điểm uốn cĩ hệ số gĩc hoặc lớn nhất hoặc nhỏ nhất

Bài 19 : ( C ) : 3

1

x y x

−

=+ Viết pttt với ( C ) biết :

1) Tại M là giao điểm của ( C ) và Oy

VẤN ĐỀ 2:SỰ TƯƠNG GIAO CỦA 2 ĐỒ THỊ

Lý Thuyết : cho hai hàm số y= f x( )cĩ đồ thị là (C) và y=g x( )cĩ đồ thị là (C’) Muốn xét sự tương giao của 2 đồ thị trên ta xét phương trình hồnh độ giao điểm :

f x = g x (*)

số nghiệm của (*) là số giao điểm của 2 đồ thị C)

và (C’), hình bên cho ta thấy 3 giao điểm

Nhận xét : nếu 2 đồ thị (C) và (C’) tiếp xúc nhau

tại M thì điểm x chính là nghiệm kép của pt (*) M

, và tại điểm M 2 đồ thị cĩ chung tiếp tuyến

Bài tập cĩ HD

Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3x + 2 (D) là đường thẳng qua A(2; 4) có

hệ số góc m Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (D) Giải: (D) qua A(2; 4) , hệ số góc m : y = m(x – 2) + 4

(C) : y = x3 – 3x + 2

* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D)

x3 – 3x + 2 = m(x – 2) + 4

ĩ (x – 2)( x2 + 2x + 1 – m) = 0 (1)

* Số giao điểm của (C) và (d) chính là số nghiệm của phương trình (1)

- Phương trình (1) luôn luôn có nghiệm x = 2

- Xét phương trình g(x) = x2 + 2x + 1 – m = 0 (2)

Nếu g(x) = 0 có nghiệm x = 2 thì 9 – m = 0 ⇔ m = 9

Do đó : m = 9 thì (1) có nghiệm kép x = 2, nghiệm đơn x = – 4 Nếu m ≠ 9 thì g(x) = 0 có nghiệm x ≠ 2

Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số

Ta có ∆′ = m

m < 0 ⇔∆′ < 0: (2) vô nghiệm

m = 0 ⇔∆′ = 0: (2) có nghiệm kép x = – 1

0 < m ≠ 9 ⇔∆′ > 0: (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2

- Kết luận:

m < 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm

m = 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thị tại 1 điểm

0 < m ≠ 9 : (D) cắt (C) tại 3 điểm

m = 9 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thị tại điểm (2; 4)

Bài toán 2: Cho hàm số y = ( ) x 4x 12

(D) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc một nhánh của đồ thị (C)

⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x1 < x2 < – 2 V – 2 < x1 < x2

2 1

4 1

2

0 3 2 1

4 2 4

4

0 1

m m

m m

af

m m m

m

m a

(

m m

0 1

3

0 16 24

2 9

m

m

thì (D) cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng

một nhánh của (C)

Bài toán 3:Cho hàm số

5 3

m m

Giả sử (d’) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Gọi I là trung điểm A, B:

1 2

m m x y

m x x x

I I

B A I

A và B đối xứng qua (d)

⇒ I thuộc (d): y = x – 1

4

1 4

1

3 m − = m + −

⇒ m = – 1 Lúc đó (*) thành trở thành : 2x2 – 1 = 0 ⇔ x =

2

1

±Vậy

; 2

2 1

; 2

1

B

Bài toán 4:Cho (P) y = x2 – 2x – 3 và đường thẳng (d) cùng phương đường y = 2x sao

cho (d) cắt (P) tại 2 điểm A, B a) Viết phương trình (d) khi 2 tiếp tuyến của (P) tại A và B vuông góc

b) Viết phương trình (d) khi AB = 10 Giải: Gọi (d): y = 2x + m là đường thẳng cùng phương với đường y = 2x

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)

x2 – 2x – 3 = 2x + m

⇔ x2 – 4x – 3 – m = 0 (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B

⇔ ∆′ = 7 + m > 0

⇔ m > –7 Lúc đó gọi xA , xB là 2 nghiệm của (1) ta có

S = xA + xB = 4

P = xA xB = – 3 – m a) Tiếp tuyến của (P) tại A, B vuông góc ĩ f’(xA )f’(xB) = –1

yB = 2 xB + m

Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số

x f y

+ +

− +

( ) ∆ cắt (C) tại 2 điểm có hoành độ trái dáu

⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ≠ − 1 Λ x1 < 0 < x2

( ) ( )

0 1 2

1 2 1

0 2

1 0

1

0 1

0 0 1

a

a a

a g

g a

Bài 1 : tìm tọa độ giao điểm ( nếu cĩ ) của đồ thị 2 hàm số sau

a) y= −(x 2)(x2+mx+m2−3) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt

b) y= −x3 3x2 +2 cắt (d) : y=mx+2tại 3 điểm phân biệt

Bài 3 : 1)cho hàm số y=2x3−3x2−1 cĩ đồ thị là (C), và đt (d) : y= −kx 1 Tìm k để (C) cắt (d) tại 3

đểm phân biệt trong đĩ cĩ 2 điểm cĩ hồnh độ dương

2)Tìm k để đồ thị y=x3+x2-2x+2k và y=x2+(k+1)x+2 cắt nhau tại 3 điểm

3)Tìm m để đồ thị y=x3-3x+2m (1) cắt đường thẳng y=x tại 3 điểm mà trong đĩ tại 2

trong 3 giao điểm đĩ các tiếp tuyến của (1) song song với nhau

Bài 4 :

a) cho hàm số 3

y= − +x x cĩ đồ thị là (C), và đt (d) qua (3; 20)A cĩ hệ số gĩc là m Tìm m để (C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt

b) cho hàm số

2

11

y x

− −

=+ (C), gọi (d) là đường thẳng qua (3;1)A có hệ số góc là k, Tìm k để

(C) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt

+

=

− (C)

a)Tìm m để (D) : y=mx+1cắt (C) tại hai điểm phân biệt

b)Tìm m để (D) : y=mx+1cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của (C)

Bài 6 : cho hàm số 2 1

2

x y x

+

=+ (C)

Tìm m để (C) cắt (d) : y= − +x m tại 2 điểm phân biệt A và B Tìm m để đoạn AB ngắn nhất

VẤN ĐỀ 3 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG

PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ

Lý Thuyết : xét bài toán sau đây : vẽ đồ thị (C) của hàm số y= f x( )sau đó biện luận theo tham số m

số nghiệm của phương trình :

h x m = (*)

Ta đưa (*) về dạng f x ( ) = ϕ ( ) m trong đó ϕ ( ) m là biểu thức theo m, không chứa x

Số nghiệm của (*) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng y = ϕ ( ) m mà ta nhìn thấy qua đồ thị

Chú ý : do m là tham số tùy ý nên ta không nên lầm tưởng y = ϕ ( ) m là 1 hàm số , đường cong…

mà nó mãi mãi chỉ là đường thẳng mà thôi (các em hay có nhận định sai khi làm dạng này)

VD như hình bên , ta thấy (*) có :

Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số

a) Khảo sát và vẽ đồ thị b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y x 3 x

sin 3 3 sin −

−

=Giải: a) Đồ thị (C)

-4 -2

2 4

x y

2

1

; 1

k x

t Maxy

2

1

; 1

l x

t Miny

+ +

=

x

x x

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức

1 cos

1 cos cos

2 2

+

+ +

=

x

x x

y

Giải: a)Đồ thị (C)

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-12 -10 -8 -6 -4 -2

2 4 6

x y

=

t

t t

t

1cos

1cos)

(21

12

loại

(k,l Z)

∈Π

cos0

=

x

x x

a) Khảo sát và vẽ đồ thị b) Biện luận theo m số nghiệm của: f ( ) t = t4 + ( 1 − m ) t2 − 3 − 2 m = 0Giải: a)

Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số

-6 -4 -2

2

x y

t

+

− +

Xét hàm số

=

x

x x

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-2

2 4 6

x y

b) Xét phương trình ( m − 2 ) x − m = 0với x ∈ [ − 1 ; 2 ]

2 4

x y

Nhìn vào đồ thị ta thấy

Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số

Bài toán 5: Cho hàm số ( )

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b) Biện luận số nghiệm của phương trình ( 1 − m ) x2− ( 1 − x ) x + 1 = 0Giải: a) Đồ thị (C)

-2

2 4 6

Đặt (d) : y = mx + 1 , (d) luôn đi qua A(0;1)

Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) và (d) :

(d) là tiếp tuyến của (C) khi (*) có nghiệm kép

4 1

0 1

2

m m

≠

⇔

0 3 2

1

2

m m

3

m m

(*)có 2 nghiệm đơn ( − 3 ; 1 ]

∈

m : ( ) ( ) d ∩ C = Φphương trình vô nghiệm Bài toán 6: Giải và biện luận theo m số nghiệm phương trình

0 2 12

16

4 x2 − x + − x − m = Giải: D = ( − ∞ ; 1 ] [ ∪ 3 ; +∞ )

m

x x

x m

x x

2 3 4 0

2 12

16

Đặt (d) : y = x + m

2Xét (C) : y = x2 − 4 x + 3

-2

2 4 6

m : phương trình có 2 nghiệm

Bài toán 7: Cho hàm số 2 4

Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số Giải: a) Đồ thị (C) : 2 4

m t

Nhìn vào đồ thị ta thấy :

Khi t = 4 ⇔ m = ± 1 : (*) có 2 nghiệm kép x = ± 1

t = 3 ⇔ m = 0 V m = ± 2 : (*) có 3 nghiệm ; 1 nghiệm kép x = 0 và 2 nghiệm đơn x = ± 2

2 2

4 3

m m

b) dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình 2 1 2

Đồ thị hàm số y= f x( )và y= −f x( )đối xứng nhau qua trục hoành

Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng

Đồ thị hàm số lẽ nhận tâm O làm tâm đối xứng

Bài toán : cho (C) y= f x( )

ü Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới Ox (do (2)) ta sẽ có ( C1) : y = f x ( )

Lưu ý : f x ( ) là hàm số không âm nên luôn nằm phía trên Ox

Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số

Dạng 2: từ (C) suy ra ( C2) : y = f x ( )

Ta có f x ( ) = f x ( ) nếu x≥0 (1)

f x ( ) = − f ( x ) nếu x<0 (2)

Cách vẽ :

ü Giữ nguyên phần (C) nằm bên phải Oy (do (1))

ü Bỏ phần (C) bên trái Oy (nếu có)

ü Lấy đối xứng qua Oy phần (C) nằm phía bện phải trục Oy ( t/c hàm chẵn) ta sẽ có( C2)

Dạng 4: từ (C) suy ra 4

( ) ( ) :

ü Giữ nguyên phần (C) khi ( ) 0P x >

ü Lấy đối xứng qua Ox phần (C) khi ( ) 0P x <

Bài toán 1 : (Phép suy thứ nhất)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )

1 :

x y x

+

=

−

11

x y x

+

=

−

Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số

b) Suy ra đồ thị ( )

1 :

2

1 = x −

x y C

Giải: Đồ thị (C)

-3 -2 -1

1 2 3 4 5 6

x y

1 2 3 4 5 6

x y

2

2 = x −

x y C

Đồ thị (C2)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

2 4 6

x y

x=1

y=x+1y=-x+1

x=-1

Bài toán 3: (Phép suy thứ ba)

Vẽ đồ thị ( )

1 :

2

3 = x −

x y C

Đồ thị (C3)

-2

2 4 6

x y

2

4 = x −

x y C

Đồ thị (C4)

Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số

-2

2 4 6

x y

2

5 = x −

x y C

-10 -8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x y

x=1

y=x+1y=-x-1

(C ) : y = − +x 3x

c) biện luận theo m số nghiệm pt sau : − +x3 3x = −m 1 (*)

Bài 2 :

a) khảo sát và vẽ (C) : 1

2

x y x

A B I

2) Khoảng cách giữa 2 điểm A,B là AB= (x B −x A)2+(y B −y A)2

3) Khoảng cách từ điểm M x( M;y M)đếm đường thẳng (D):Ax+By C+ =0:

5) Tọa độ nguyên : chia hàm số ra , sau đó cho mẫu là các số mà tử chia hết

6) Bất đăng thức Cachy : a b+ ≥2 a b ,dấu “ = “ xảy ra ⇔ =a b

Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số

nếu f ''( )x i <0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x i

nếu f ''( )x i >0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x i

− Để hàm số y= f x( )có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung ⇔x CĐ.x CT < 0

− Để hàm số y= f x( )có hai cực trị nằm phía trên trục hoành

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

( )

2

' 2'

Chú ý : Đối với hàm hữu tỉ y =u(x)

v(x) Nếu hàm số đạt cực trị tại x = x0 với v’(x0)

u(x ) u'(x )y'(x ) = 0 u'(x )v(x ) - u(x )v'(x ) = 0

Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số

− luôn luôn có 1 cực đại và 1 cực tiểu

Bài 7 : tìm các hệ số a,b,c sao cho hàm số f x( )= +x3 ax2+ +bx c đạt cực trị bằng 0 tại x = -2 và đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;0)

Bài 8 : tìm các hệ số a,b,c,d sao cho hàm số 3 2

2 m m x x

−

− + +

=

x

m x x

Tìm m để hs có 2 cực trị nằm 2 phía của Oy

VẤN ĐỀ 6 : GTLN - GTNN

1/Định nghĩa: cho hàm số y = f(x) ,TXĐ: D

a Nếu f x( )≤M,∀ ∈x D và f x ( )0 = M x , 0∈ D thì M là GTLN của hs trên D

Kí hiệu Max y = M tại x = x0

b Nếu f x( )≥M,∀ ∈x D và f x ( )0 = M x , 0∈ D thì M là GTNN của hs trên D

Kí hiệu Min y = M tại x = x0

2/ Tìm GTLN & GTNN:

D

D

Dạng 1: nếu D là đọan [a,b] ( dễ làm nhất )

- tính y’ ,cho y’ = 0 ⇒ các điểm tới hạn x0, x1, x2 ∈ [ ,a b] ,không thuộc [a,b] ta không lấy , nếu không có giá trị nào cần tìm thì thôi…

- tính các giá trị f x( 0), ( ), (f x1 f x2), , ( ), ( )f a f b

- nhìn , so sánh tìm ra giá trị lớn và nhỏ nhất và kết luận Min và Max

Dạng 2 : nếu D là khoảng (a,b) ( ta fải vẽ bảng Biến Thiên mới ra )

- tính đạo hàm

- lập BBT , suy ra GTLN , GTNN ( cũng không quá khó )

-

chú ý : đôi khi ta còn xài bất đẳng thức CôSi, Bunhiacopski…

VD:tìm GTLN & GTNN của hàm số y= −x3 3x2+2 trên đọan [1,3]

Tính các giá trị

(1) (1) 0(3) (3) 2

= − trên nửa khỏang (0; 2]

Bài 2 : tìm GTLN & GTNN các hàm số sau :

1) y=2 sin2 x+2 sinx−1

x y

Nguyễn Vũ Minh

http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com 30

VẤN ĐỀ 7 : LỒI- LÕM- ĐIỂM UỐN

1/ Định nghĩa : cho hàmsố y = f(x) có đồ thị là (C) , một điểm I ∈ ( ) C ngăn cách giữa phần

lồi và phần lõm gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số , sau đây là hình minh họa:

Hình vẽ này cũng minh họa cho cực đại , cực tiểu

2/ Định lý 1: cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp 2 trên (a,b)

a Nếu f "( ) x < ∀ ∈ 0, x ( , ) a b thì đồ thị lồi trên (a,b)

b Nếu f "( ) x > ∀ ∈ 0, x ( , ) a b thì đồ thị lõm trên (a,b)

c Nếu f "( ) x đổi dấu khi đi qua xI thì I là điểm uốn của (C)

3/ Cách tìm điểm uốn:

- tìm TXĐ :D , tính đạo hàm cấp 1 , sau đó tính đạo hàm cấp 2 ( y”)

- cho y” = 0 suy ra xI sau đó vẽ bảng “ xét tính lồi ,lõm ,điểm uốn “

- suy ra các khỏang lồi , lõm , và điểm uốn

chú ý 1: một điểm M x ( M; yM) là điểm uốn của hàm số y = f(x) khi và chỉ khi

 (*) có nghĩa là ta đem thế tọa độ M vào hàm số là xong, chú

ý này giúp giải được nhiều bài tóan

http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com 31

chú ý 2: tiếp tuyến tại điểm uốn là tiếp tuyến cĩ “ hệ số gĩc “ nhỏ hoặc lớn nhất ( tùy bài )

VD : tìm các khỏang lồi , lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số sau :y = + x3 3 x2 + 1

Cho (Cm): y = f(x, m) Tìm các điểm cố định của (Cm) khi m thay đổi

* Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định (Cm) luôn đi qua

( 1, 3)

I −

C B

A

II ( m∀ )

Giải hệ ta được các cặp nghiệm (x0; y0) Đó chính là toạ độ các điểm cần tìm

Bài toán 1: Cho hàm số y = x3 – (m + 1 )x2 – (2m2 – 3m + 2 )x + 2m(2m – 1 ) (Cm)

Tìm điểm cố định mà họ (Cm) luôn đi qua với mọi m ĐỊnh m để (Cm) tiếp xúc với Ox

−

= +

2

0 2 3

0 4 2

2 3

2

y

x x

x x y

x x

x

Kết luận : (Cm) luôn đi qua điểm M(2; 0) với mọi m

b) M(2; 0) là điểm cố định của(Cm) nên M(2; 0) vừa thuộc (Cm) vừa thuộc 0x nên: x3 – (m + 1 )x2 – (2m2 – 3m + 2 )x + 2m(2m – 1 ) = 0

ĩ (x – 2)[x2 – (m – 1)x – (2m2 – m)] = 0

Để (Cm) tiếp xúc với Ox thì g(x) = x2 – (m – 1)x – 2m2 + m = 0 có nghiệm

x = 2 hoặc có nghiệm kép khác 2

2 0

2

0 1 6 9

3

1 0

2

0 1 6 9

2 2

m

m g

m m

m g

m m

Bài toán 2: cho đường cong (Cm): y = (m + 1)x3 – 2mx2 – (m – 2)x + 2m + 1

Chứng minh rằng (Cm) luôn đi qua 3 điểm cố định khi m thay đổi

= +

−

−

⇔

13 2 2 1 4 1

0 1

2

0 2 2

3

2 3

y x y x y x

y x

x

x x x

Bài toán 3: cho hàm số ( )

m x

x m y