Các đường phân giác trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đường thẳng AM’ lần lượt tại E và F.. b.Đường thẳng FI cắt đường tròn O tại K .Chứng minh rằng :EK song song với AB.. c.Chứn
Trang 1TUYÓN TËP §Ò THI HSG TO¸N 9
Đề 1
Bài 1: (4,0 điểm).
Cho biểu thức: A = − + + − + + + 1
2 1
1 : 1
2 1
a a a a
a a
a a
a.Rút gọn biểu thức A
b.Tính giá trị biểu thức A khi a= 2011 2 2010 −
Bài 2: (4,0 điểm).a) Giải hệ phương trình:
= + +
y x y x
xy y x
3
1
3 3
2 2
1 )
(
1 )
(
1
3 3
y
xz x
yz z xy
Bài 4: (6,0 điểm).
Cho hình vuông ABCD Điểm M thuộc cạnh AB ( M
khác A và B ) Tia CM cắt tia DA tại N Vẽ tia Cx vuông
góc với CM và cắt tia AB tại E Gọi H là trung điểm của
đoạn NE
1/ Chứng minh tứ giác BCEH nội tiếp được trong
đường tròn
2/ Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác NACE
gấp ba diện tích hình vuông ABCD
3/ Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cạnh AB
thì tỉ số bán kính cácđường tròn nội tiếp tam giác NAC và
tam giác HBC không đổi
Bài 5: (2,0 điểm).
Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm tại
D, E, F Chứng minh rằng tích các khoảng cách hạ từ một điểm M bất kỳ trên đường tròn xuống các cạnh của tam giác ABC bằng tíchcác khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác DEF
−
+ +
2 3
2 2
3 :
1
1
x x
x x
x x
x x
=
− + +
+ + +
+
≥ + +
b a
c b c b
b a a
c c
b b a
b) Cho a, b, c dương và a + b = c = 1 Chứng minh
2 Xác định vị trí của I để đoạn MN có độ dài lớn nhất
Bài 5: (3,0 điểm) Trong đường tròn O cho 2 dây cung AB và CD
cắt nhau tại M gọi N là trung điểm của BD , đường thẳng MN cắt
AC tại K Chứng minh : 22
CM
AM KC
AK =
Đề3
Trang 2TUYÓN TËP §Ò THI HSG TO¸N 9
Bài 1: (3,0 điểm).Cho biểu thức:P =
−
−
−
1 3
2 3 1 : 1 9
8 1 3
1 1
3
1
x
x x
x x
Bài 2: (4,0 điểm).a) Cho x, y, z> 0 thoả mãn: 1+ 1 +1 = 3
z y x
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
zx
x z yz
z y xy
y
x
P
2 2 2
2 2
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ phương trình
trên có nghiệm là: a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường
tròn (O ) tâm O M là điểm chính giữa cung BC không
chứa điểm A Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua O Các
đường phân giác trong góc B và góc C của tam giác ABC
cắt đường thẳng AM’ lần lượt tại E và F
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp được trong
đường tròn
b) Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I
bán kính r
Chứng minh: IB.IC = 2r.IM
Bài 5: (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD, từ B kẻ đường
thẳng cắt cạnh CD tại M; từ D kẻ đường thẳng cắt cạnh BC tại N sao cho BM = DN Gọi giao điểm của DN và BM là I Chứng minh: Tia IA là tia phân giác của góc BID
+
1
2 1
1 : 1
1
a a a a
a a
a a
a) Rút gọn Pb) Tìm giá trị của a để P < 1c) Tìm giá trị của P nếu a = 19 − 8 3
Bài 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình:
1
2 2
1 )(
1 ( 1 1
+ +
+ + +
+ +
c c
a
b c
b a
b) Cho 3 số x, y, z thoả mãn x + y + z + xy + yz + zx = 6.Chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 ≥ 3
Bài 5: (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC có đường cao AH Gọi I, K là các điểm nằm ngoài tam giác ABC sao cho các tam giác ABI và ACK vuông tại Ivà K hơn nữa = ,M là trung điểm của BC
Chứng minh rằng :
a) MI = MKb) Bốn điểm I, H, M, K thuộc cùng đường tròn
Trang 3TUYÓN TËP §Ò THI HSG TO¸N 9
+ +
+
+
1 2
2 1 2
1 1
: 1 1 2
x x
x x x
12y
1
2y
12x
1
=
−+
=
−+
Bài 4: (5,0 điểm) Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng
theo thứ tự đó.vẽ đường tròn tâm O qua B và C Qua A vẽ
tiếp tuyến AE, AF với đường tròn (O); Gọi I là trung điểm
BC, N là trung điểm EF
a.Chứng minh rằng các điểm E, F luôn nằm trên 1 đường
tròn cố định khi đường tròn (O) thay đổi
b.Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) tại K Chứng minh
rằng :EK song song với AB
c.Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạytrên một đường thẳng cố định khi đường tròn(O) thay đổi
Bài 5: (2,0 điểm) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC, các tiếp điểm của (O) và các cạnh BC, CA, AB lần lượt là D,
−
a a
a a
a
a a
a a
1
1 1
1 : 1
) 1
a) Rút gọn Pb) Xét dấu của biểu thức M = a.(P -
3
1 + = +
y
x y x
b a
c b a
+ +
≤ +
+
+
2006 2006 2006
2005 2005 2005
Bài 5: (6,0 điểm)
Trang 4TUYÓN TËP §Ò THI HSG TO¸N 9
1 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O)
b) Gọi N là trung điểm cạnh BC và H là trực tâm tam
giác ABC Chứng minh rằng GH ⊥AN
2 Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB>CD) Hãy
xác định điểm E thuộc cạnh bên BC sao cho đoạn thẳng
AE chia hình thang thành hai hình có diện tích bằng nhau
2
x
x x
x x
1 Cho hình vuông ABCD cạnh là a Trên đường
chéo AC lấy điểm E và F sao cho
∠EBF = 450 Đường thẳng BE, BF cắt AD và CD lần lượt
tại M và N MF và NE cắt nhau tại H, BH cắt MN tại I
a.Chứng minh AB = BI
b.Tìm vị trí của M và N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất
2 Cho tứ giác ABCD Lấy điểm M tùy ý trên cạnh AB xácđịnh điểm N trên cạnh DC sao cho MN chia tứ giác ABCD thànhhai phần có diện tích bằng nhau
Bài 5: (2,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
7
1 1
1 + =
y x
−
+
a a
a a
a
a a
a
1
1 1
1
3
a) Rút gọn Pb) Xét dấu của biểu thức P 1 −a
Bài 2: (5,0 điểm)
a) Giải phương trình: x2 − 2x+ 1 + x2 − 4x+ 4 =
2006
2005 2006
2005 2005
2
+b) Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình
=++
=++
3
3
3 3
x
z y x
Trang 5TUYÓN TËP §Ò THI HSG TO¸N 9
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn
tâm O Gọi I là điểm trên cung nhỏ AB (I không trùng với
A và B) Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của I trên
các đường thẳng BC, CA và AB
a) Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng
b) Xác định vị trí của I để đoạn MN có độ dài lớn
nhất
c) Gọi E, F, G theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn
nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC, CA và AB Kẻ EQ
vuông góc với GF Chứng minh rằng QE là phân giác của
+
−
− +
− +
x 1
1 x
2 x 2 x
1 x 2 x x
3) x 3(x
−
= +
78 ) (
215 6
) (
2 2
2 2 4
b a ab
b a b
a
b) Giải phương trình:
x x x x
x x
5 2 1
Cho đoạn thẳng AB có trung điểm là O Trên nửa mặt phẳng
bờ AB dựng nửa đường tròn (O) đường kính AB Gọi C là mộtđiểm nằm trên nửa đường tròn (O) Từ C kẻ CH vuông góc với AB
(H∈AB) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AC và CB
a) Chứng minh rằng: OC vuông góc với MN;
b) Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với AB Tiếp tuyếnvới (O) tại điểm C cắt đường thẳng d ở K Chứng minh rằng: BK;CH; MN đồng quy
x x
x x
a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P biết x =
3 2
2
+c) Tìm giá trị của x thỏa mãn : P x = 6 x− 3 − x− 4
Bài 2: (5,0 điểm)
Trang 6TUYÓN TËP §Ò THI HSG TO¸N 9
−
= + +
+
65
185
2 2 2 2
2 2 2 2
y x y xy x
y x y xy x
a
+ + + b c d
b
+ + + c d a
c
+ + + d a b
d
+
+ < 2b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=
c b a
c b
c a
b a
c
b
a
− +
+
− +
+
−
+
16 9
4
Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác
Bài 4: (5,0 điểm)
Cho ∆ABC có 3 góc nhọn ở bên ngoài tam giác vẽ hai
nửa đường tròn có đường kính là AB và AC Một đường
thẳng d quay quanh A cắt hai nửa đường tròn lần lượt tại M
Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH bằng
10cm, đường cao BK bằng 12cm Tính độ dài các cạnh của
tam giác ABC
Đề 11
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức :P=
: 4
Bài 5: (6 điểm) Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài
đường tròn Từ một điểm M di động trên đường thẳng d ⊥OA tại
A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C là các tiếpđiểm) Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K
a) Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BCluôn đi qua một điểm cố định
b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định.c) Cho biết OA = 2R, hãy xác định vị trí của điểm M để diệntích tứ giác MBOC nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Đề 12
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức:
3 3
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trịnguyên
Trang 7TUYÓN TËP §Ò THI HSG TO¸N 9
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không đi qua
O cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B Từ một điểm M
tùy ý trên đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai
tiếp tuyến MN và MP với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp
điểm)
a) Chứng minh rằng 2 2
.
MN =MP =MA MB
b) Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ
giác MNOP là hình vuông
c) Chứng minh rằng tâm của đường tròn nội tiếp và
tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP lần lượt chạy
trên hai đường cố định khi M di động trên đường thẳng d
+
+
1
1 1
1 : 1 1
1
1
xy
x xy
x xy xy
x xy xy
−
= +
−
= +
1 4
1 4
1 4
y z
x
x z y
z y x
b) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x+ y+z= 2006 và2006
1 1 1
1 + + =
z y x
(m là tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất
Đề 14
Trang 8TUYÓN TËP §Ò THI HSG TO¸N 9
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức A =
: 2
Tìm giá trị của x và y để biểu thức: P = (x4 + 1 )(y4 + 1 ) đạt
giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất ấy
Bài 4: (4 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên của phương
trình: x3 + y3 + 6xy = 21
b) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b+ c = 3 Chứng minh rằng:
a + + ≥b c a + +b c
Bài 5: (6 điểm)
1 Cho đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R Từ điểm P
trên tia tiếp tuyến của đường tròn tại B, vẽ tiếp tuyến thứ hai
PA (A là tiếp điểm) với đường tròn Gọi H là hình chiếu của
A lên BC, E là giao điểm của PC và AH
a) Chứng minh E là trung điểm của AH
b) Tính AH theo R và khoảng cách d = PO
2 Cho hình thang vuông ABCD ( ∠A = ∠D = 900) và DC
= 2 AB Gọi H là hình chiếu của D trên đường chéo AC và
M là trung điểm của đoạn HC Chứng minh rằng BM ⊥
MD
Đề 15 Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: A =
y x
xy y
x : x y
y x
y x
y x
−
a) Rút gọn Ab) CM: A ≥ 0
Bài 2: (5 điểm) a) Tìm x, y, z thỏa mãn hệ sau:
z
z y
y
y x
x
3 6 2 3
2 4 2 3
2 2 3
3 3
=++
=++
c b a c b
c b a
c b
+ +
+ +
3 3 3
6 6 6
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
x y + y z +z x+ + + với x > 0; y > 0; z > 0 và
xy+ yz + zx 1=
Bài 5: (6 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O;R )
Điểm M thuộc cung nhỏ BC gọi I,K,H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên AB; AC; BC Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB; HK
Trang 9TUYểN TậP Đề THI HSG TOáN 9
a) Chứng minh MQ ⊥ PQ
b) Chứng minh :
MH
BC MK
AC MI
AB
= +
c) Cho tam giỏc ABC đều Xỏc định vị trớ của điểm M
trờn cung BC để MA + MB + MC đạt giỏ trị lớn nhất
− + +
a a
a
1
1 1
2
a) Tìm điều kiện để cho biểu thức M có
nghĩa
b) Chứng minh rằng biểu thức M không
phụ thuộc vào a
Bài 2: (5 điểm) a) Giải phương trỡnh :
1
3 1
3
x x
y y x x
biểu thức :P= x+y2+z3
a.Chứng minh rằng: P≥x+2y+3z-3?
b.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P?
Bài 4: (5 điểm) Cho nửa đường trũn (O), đường kớnh AB
và tia tiếp tuyến Bx của nửa đường Trờn tia Bx lấy 2 điểm
C, D (C: nằm giữa B và D) Cỏc tia AC và AD lần lượt cắt
đường trũn tại E và F; hai dõy AE và BF cắt nhau tại M
Hai tia AF và BE cắt nhau tại N Chứng minh rằng:
x x
B
1
2 1
1 : 1
2
a) Rỳt gon biểu thức B
b) Tỡm giỏ trị của x để biểu thức B = 5
Bài 2: (5 điểm) a) Giải hệ phương trỡnh:
3 3
8
2 3
6 2
x y x
Trang 10TUYểN TậP Đề THI HSG TOáN 9
Cho đường trũn tõm (O) đường kớnh AB, xy là tiếp
tuyến tại B với đường trũn, CD là một đường kớnh bất kỳ
Gọi giao điểm của AC và AD với xy theo thứ tự là M, N
a) Chứng minh rằng: MCDN là tứ giỏc nội tiếp một
đường trũn
b) Chứng minh rằng: AC.AM = AD.AN
c) Gọi I là đường tõm trũn ngoại tiếp tứ giỏc MCDN
Khi đường kớnh CD quay quanh tõm O thỡ điểm I di chuyển
trờn đường trũn nào ?
b) Tỡm giỏ trị của M với x 3 2 2 = +
Bài 2: (5 điểm) a) Giải hệ phuơng trỡnh:
Cho đường trũn (O; R) và đường thẳng (d) khụng đi qua tõm
O cắt đường trũn (O; R) tại hai điểm phõn biệt A, B Điểm M chuyển động trờn (d) và nằm ngoài đường trũn (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới đường trũn (O; R) (N, P là hai tiếp điểm)
a) Chứng minh rằng tứ giỏc MNOP nội tiếp được trong một đường trũn, xỏc định tõm đường trũn đú
b) Chứng minh MA.MB = MN2.c) Xỏc định vị trớ điểm M sao cho tam giỏc MNP đều
d) Xỏc định quỹ tớch tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MNP
Đề 19 Bài 1: Chứng minh rằng : A = 2130 + 3921 chia hết cho 45
Bài 2: Giải phơng trình và hệ phơng trình sau:
)y)(x
x-y(y-x
2yx
2010 2010
2 2
=++
1
1
3 3 3
2 2 2
c b a
c b a
Bài 4: Cho x2+y2 =1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S
=(2-x)(2-y)
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O đờng kính BC,
đờng cao AH Đờng tròn tâm O’ đờng kính AH cắt đờng tròn (O)tại điểm thứ 2 là G, cắt AB và AC lần lợt tại M và N
a, Chứng minh : AM.AB = AN.AC
b, Các tiếp tuyến của đờng tròn (O’) tại M và N cắt BC lầnlợt tại I và K , so sánh IK và BC
c, Chứng minh các đờng thẳng : AG; NM và CB cùng đi quamột điểm
Đề 20 Bài 1: (4,5 điểm)
Trang 11TUYÓN TËP §Ò THI HSG TO¸N 9
+
=
− + +
x y x
x y x
2 3 2 3
4 2
3 2 3
b) Giải phương trình: 3 x − 2 + x + 1 = 3
Bài 4: (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
F =
1 3
6 18 1 2
2 8
+
− +
+
−
x
x x
x
Bài 5: (6,5 điểm)
Cho điểm M thuộc đường tròn (O) đường kính AB
(M ≠ A; M ≠ B) và MA < MB Tia phân giác của góc
AMB cắt AB ở C Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với
AB cắt các đường thẳng AM và BM lần lượt tại D và H
a) Chứng minh hai đường thẳng AH và BD cắt nhau tại
điểm N nằm trên đường tròn (O)
b) Chứng minh CA = CH
c) Gọi E là hình chiếu của H trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), F là hình chiếu của D trên tiếp tuyến tại B của đường tròn (O)
Chứng minh 3 điểm E; M; F thẳng hàng
d) Gọi S1 ; S 2 là diện tích các tứ giác ACHE và BCDF Chứngminh CM <
Đề 21 Câu 1 Giải phương trình
a Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua
b Xác định giá trị tham số m để khoảng cách từ gốc toạ độ Ođến đường thẳng (d) là lớn nhất
b Cho p là số nguyên tố; p≥ 5 Chứng minh rằng nếu 2p+ 1
là số nguyên tố thì: 2
2p + 1 là hợp số.
Trang 12TUYÓN TËP §Ò THI HSG TO¸N 9
c Chứng minh không tồn tại cặp giá trị nguyên ( ; )x y
Câu 4 Cho đường tròn (O) và điểm P nằm ngoài đường tròn.
Từ P kẻ 2 tiếp tuyến PA, PB với đường tròn (O), (A, B là các
tiếp điểm); OP cắt AB tại M Qua M kẻ dây cung CD của
đường tròn (O), (CD khác AB và CD không đi qua O) Hai
tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau ở Q Chứng minh:
a) AB < CD ; b) PQ vuông góc
với PO tại P
Câu 5 Cho đường thẳng xy; đường tròn (O) và một điểm A
nằm trên đừơng tròn (O), xy không cắt (O) Dựng đường tròn
tâm K tiếp xúc với (O) tại A và tiếp xúc với đường thẳng xy
(Chỉ trình bày cách dựng và biện luận)
Bài 6 (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Gọi
M là điểm bất kì thuộc cung BC không chứa điểm A (M không trùng với B và C) Gọi A ', B',C ' lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.
b2+ c2+ d2 ≥ 1
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A=
x + x+ + x − x+C©u 3: (4 ®iÓm) a) Cho a = x + y; b = x2 + y2; c = x3 + y3 C/m r»ng: a3 - 3ab +2c = 0
Trang 13TUYểN TậP Đề THI HSG TOáN 9
b) Cho 2 số x, y thoả mãn: 2x2 + 2
2
1 4
y
x + =4, (x≠ 0).Tìm
x, y để tích x.y đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 4: ( 6 điểm) Cho ABC vuông tại A, đờng cao AH
chia cạnh BC thành 2đoạn BH = 4cm và CH = 9cm Gọi D
và E lần lợt là hình chiếu của H trên AB, AC Các đờng
thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lợt cắt BC tại M và
d) Tính diện tích tứ giác DENM
Câu 5: (2 điểm) Cho ABC có góc ABC bằng 300, góc
Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC Goi M, N lần lợt là trung điểmcác cạnh BC và AC, các điểm H, G, O lần lợt là trực tâm, trọngtâm, giao điểm các đờng trung trực của tam giác Chứng minhrằng:
1/ Tam giác MNO đồng dạng với tam giác ABH
2/ Tam giác AHG đồng dạng với tam giác MOG
3/ Ba điểm H, G, O thẳng hàng
Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC = 2a,
đờng cao AH Gọi O là trung điểm của BC, D và E lần lợt là hình chiếu của H trên AB, AC Tìm giá trị lớn nhất của;
1) Độ dài DE 2) Diện tích tứ giác ADHE
4
AB (*) và gọi O là trung điểm của đoạn thẳngAB
Trang 14TUYểN TậP Đề THI HSG TOáN 9
1) C/m hệ thức CD2 = OC2 + OD2
2) C/m ODC P AOC
3) Tìm quỹ tích hình chiếu I của điểm O trên đoạn thẳng
CD khi C và D di chuyển nhng (*) vẫn đợc thoả mãn
Câu 5: (2 điểm) Cho nhọn ABC , AB = c, BC = a, CA =
1) Tính diện tích tam giác ABC
2) Tìm tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác
Câu 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC Goi M, N lần lợt là
trung điểm các cạnh BC và AC, các điểm H, G, O lần lợt là
trực tâm, trọng tâm, giao điểm các đờng trung trực của tam
giác Chứng minh rằng:
1/ Tam giác MNO đồng dạng với tam giác ABH
2/ Tam giác AHG đồng dạng với tam giác MOG
3/ Ba điểm H, G, O thẳng hàng
Câu 3: (2 điểm) Tính diện tích toàn phần của hình chóp S.ABC.
Biết góc ASB bằng 600, góc BSC bằng 900, góc ACS bằng 1200 vàcác cạnh SA = SB = SC = a
+ ; b =
2 2
2 1
c c
+ ; c =
2 2
2 1
a a
+Câu 3: (4 điểm) :
1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 2x2 2009
D và E lần lợt là hình chiếu của H trên AB và AC Biết BH = 4cm,
Trang 15TUYểN TậP Đề THI HSG TOáN 9
Câu 2: (4 điểm) 1/ Rút gọn biểu thức:
b) Từ A kẻ AM, AN lần lợt vuông góc với các đờng phân
giác trong và ngoài của góc B Chứng minh: MN//BC và
MN = AB
c) Chứng minh: MAB đồng dạng với ABC Tìm tỉ số
đồng dạng
Câu 5: (3 điểm) Cho ABC có Bà = 60 , 0 Cà = 20 , 0 BC = 4cm.
Gọi D là trung điểm của
AC Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho CE = CD Tính tổng
diện tích các ECD và ABD
a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Tìm tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, có diện tích bằng
100 cm2 Điểm D nằm trên cạnh huyền BC có khoảng cách đến 2 cạnh góc vuông là 4m và 8cm Tính độ dài các cạnh AB, AC
Căn cứ vào (1) c/mr ∆ABC có toạ độ các đỉnh là A(1; 1), B(2; 1+
3),C(3;1)là tam giác đều
Câu 2: (5 điểm) Giải các phơng trình:
a) x31 −x12 =(x 1 2) (9 x)+ − + − ; b) 2+ 3+ x =3 c)
2
2x + − 2 4x= 6
Câu 3: (5 điểm) 1) C/mr 2 n 1 2 n 1 2 n 2 n 1
Trang 16TUYểN TậP Đề THI HSG TOáN 9
Câu 5: (3 điểm) Trong các tam giác ABC có cùng cạnh BC
và cùng diện tích, hãy tìm tam giác có chu vi nhỏ nhất
b) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên
Câu 3: (6 điểm)
1) Cho x + y + z = 3
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 + y2 + z2
b) Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + zx
Câu 4: (5 điểm) Cho ABC vuông tại A Kẻ đờng thẳng
song song với cạnh BC cắt các cạnh góc vuông AB và AC
tại M và N Biết MB =12 cm, NC = 9 cm, trung điểm của MN và
BC là E và F
a) Chứng minh 3 điểm A, E, F thẳng hàng
b) Trung điểm của BN là G Tính độ dài các cạnh và số đo các góccủa tam giác EFG
c) Chứng minh GEF đồng dạng với ABC
Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A và điểm D cố địnhthuộc cạnh đáy BC Hãy dựng một đờng thẳng song song với BCcắt hai cạnh bên ở E và F sao cho
2
1 a+ 1 b+ 1 c =
Tìm giá trị lớn nhất của tích: A =abc
Câu 3:(5 điểm) Cho ABC có BC = a, ãABC = 45 0 Về phía ngoài
ABC vẽ các hình
vuông ABDE và ACFG Giao điểm của các đờng chéo của hai hìnhvuông là Q và N
Trung điểm của BC và EG là M và P
a) Chứng minh: AEC = ABG;
b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông
c) Biết ãBGC= α Tính diện tích hình vuông MNPQ theo a và α.Câu 4: (5 điểm) Cho ABC vuông tại A Các điểm D, E thuộccạnh BC sao cho
BD = DE = EC Biết AD =10 cm, AE = 15cm Tính độ dài BC
Trang 17TUYểN TậP Đề THI HSG TOáN 9
phẳng bờ AC Tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn có
tiếp điểm với đờng tròn(O)
ở F và nửa đờng tròn (O/) ở G, tiếp tuyến này cắt các tiếp tuyến vẽ
từ A và C của hainửa đờng tròn (O) và (O/) theo thứ tự ở D và E Tiếp tuyến chungcủa hai nửa đờng
−
− +Câu IV (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH, HB = 20cm, HC
= 45cm Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH Kẻ tiếp tuyến BM, CN với đờng tròn (M,
N là các tiếp điểmkhác điểm H)
1/ Chứng minh 3 điểm M, A, N thẳng hàng
2/ Tính diện tích tứ giác BMNC
Trang 18TUYểN TậP Đề THI HSG TOáN 9
3/ Gọi K là giao điểm của CN và HA Tính độ dài AK, KN
Câu V (2,0 điểm)
Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AD = BC) Gọi O
là giao điểm của hai đờng
chéo hình thang và M, N, P theo thứ tự là trung điểm của
OA, OD, BC NếU ãAOB= 60 0
thì tam giác MNP là tam giác gì ?
Cõu 4: Cho đường trũn (O) và dõy cung BC cố định Gọi A là điểm
di động trờn cung lớn BC của đường trũn (O), ( A khỏc B, C) Tia
phõn giỏc của gúc ACB cắt đường trũn (O) tại điểm D khỏc điểm C,
lấy điểm I thuộc đoạn CD sao cho DI = DB Đường thẳng BI cắt
đường trũn (O) tại điểm K khỏc điểm B
a Chứng minh tam giỏc KAC cõn.
b Chứng minh đường thẳng AI luụn đi qua một điểm J cố định, từ
đú hóy xỏc định vị trớ của A để độ dài đoạn AI là lớn nhất.
c Trờn tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = AC Tỡm tọ̃p hợp cỏc điểm M khi A di động trờn cung lớn AB của đường trũn (O).
Cõu 5: Cho n điểm, trong đú khụng cú ba điểm nào thẳng hàng Hai điểm bất
kỡ được nối với nhau bằng một đoạn thẳng, một đoạn được tụ màu xanh, một đoạn được tụ màu đỏ, một đoạn được tụ màu vàng; khụng cú điểm nào mà cỏc đoạn thẳng xuất phỏt từ đú cú đủ cả ba màu và khụng cú tam giỏc nào tạo bởi cỏc đoạn thẳng đó nối cú ba cạnh cựng màu Chứng minh rằng khụng tồn tại
ba đoạn thẳng cựng màu xuất phỏt từ cựng một điểm.
Cõu 6: Cho cỏc số thực dương a, b, c thay đổi luụn thoả món a b c+ + = 1.
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P= a2 b b2 c c2 a
Đề số 36 Câu I ( 4 điểm) Giải phơng trình
2 Cho a>0; b>0; c>0Chứng minh bất đẳng thức ( a+b+c) 1 1 1 9
a b c
+ + ≥
Câu III (4,5 điểm)
1 Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và số đó lớn hơn tổng các bình phơng các chữ số của nó là 1
2 Cho phơng trình: x2 –(m+1)x+2m-3 =0 (1)+ Chứng minh rằng phơng trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
Trang 19TUYểN TậP Đề THI HSG TOáN 9
+ Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có nghiệm bằng 3
Câu IV (4 điểm)
Cho hình thang cân ABCD, (AB//CD; AB > CD) Hai đờng
chéo AC và BD cắt nhau tại I Góc ACD = 600; gọi E; F; M
lần lợt là trung điểm của các đoạn thẳng IA; ID; BC
1 Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đợc trong một
đ-ờng tròn
2 Chứng minh tam giác MEF là tam giác đều
Câu V (3,5 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều S ABC có các mặt là tam giác
đều Gọi O là trung điểm của đờng cao SH của hình chóp
Chứng minh rằng: ãAOB BOC COA= ã = ã =900
Đề 37 Bài 1 (2đ):
+
+
1
1 1
1 : 1 1
1
1
xy
x xy
x xy xy
x xy xy
1 1
= + + +
n n n
S =
2 2
2 2 2
1 2005
1 1
3
1 2
1 1 2
(
) 3 2 ( 5 1
3 6
+ +
−
+
−
= + +
+ +
a x a x
a a a
x
a x
2 Giả sử x1,x2 là 2 nghiệm của phơng trình: x2+ 2kx+ 4 = 4Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức:
3
2
1 2 2
3 2 2
2 2 1
1
x
m y
y
m x
Tìm giá trị của x và y để biểu thức:
) 1 )(
1 ( 4 + 4 +
P đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất ấy
Bài 8 (2đ): Cho ∆ ABC với BC = 5cm, AC= 6cm; AB = 7cm Gọi O
là giao điểm 3 đờng phân giác, G là trọng tâm của tam giác
Tính độ dài đoạn OG
Bài 9(2đ) Gọi M là một điểm bất kì trên đờng thẳng AB Vẽ về một
phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF
a Chứng minh rằng AE vuông góc với BC
b Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh rằng ba điểm D,
H, F thẳng hàng