cac cong thuc tinh

PHầN I CáCH CHứNG MINH CÔNG THúC TíNH VậN TốC Và SứC CĂNG DÂY CủA CON LắC ĐƠN PHƯƠNG PHáP: 1.. Công thức tính vận tốc tại vị trí bất kỳ: Do con lắc chuyển động trong trường trọng lực

PHầN I

CáCH CHứNG MINH CÔNG THúC TíNH VậN TốC Và SứC CĂNG DÂY

CủA CON LắC ĐƠN

PHƯƠNG PHáP:

1 Công thức tính vận tốc tại vị trí bất kỳ:

Do con lắc chuyển động trong trường trọng lực nên cơ năng bảo toàn

Chọn mốc thế năng h=o tại vị trí cân bằng O áp dụng định luật

Bảo toàn cơ năng cho 2 vị trí A và B ta có

WA=WB hay :

2 2

B

m v mgh = mgh +

(1)

Chú ý : con lắc đơn được thả không vận tốc ban đầu từ vị trí A

Nên vA=O

Trong đó hA = IO ư IH = ư l l co s ( αo)

( )

B

h = IO ư IB = ư l l co s α

Nên thay vào biểu thức (1) ta có:

2 .

2

B o

m v

mg l ư lco s α = mg l ư lco s α +

Tương đương : vB = 2 g l co s [ ( ) α ư co s ( αo) ] (2)

Từ đó ta có các trường hợp sau xảy ra :

a Tại vị trí cân bằng góc α = o0 cos(oo)=1 suy ra

. 2 1 ( )

v = g l ư co s α (3) ( Tại VTCB vận tốc đạt giá trị cực đại )

I

O

α

O

B

A

α α OA

H

B

2

Nếu góc

10 , o 10

α ≤ α ≤ ta sử dụng công thức gần đúng :

2 2

( ) 1 2.sin 1

Và

2

0

( ) 1 2.sin 1

2 2 0

.

B

v = g l   α − α  

(4)

Và công thức vận tốc cực đại lúc này là : thay vào (3) :

2 1 (1 2.sin ) 2 2.sin

ma x

2 0 2 .2. 0 .

4

ma x

α

(5) Do

2

sin

2 4

≈

Tại vị trí biên α = α0 nên vB.min = o

2.Công thức t nh sức căng dây T tại vị trí bất kỳ :

xét tại vị trí biên A ta có các lực tác dụng lên vật m là sức căng sợi dây T và trọng lực P Theo định luật II NIUTƠN ta có :

.

P T + = m a

(6)

ChiÕu (6) lªn ph−¬ng sîi d©y h−íng vµo ®iÓm treo I chiÒu

d−¬ng nh− h×nh vÏ :

2

l

α

(7)

Thay (2) vµo (7) : T = mg [ 3 ( ) co s α − 2 ( co s α0) ](8)

T¹i VTCB

0

o

α = cos(oo)=1 nªn :

ma x

T¹i vÞ trÝ hai biªn α = α0 nªn :

T = mg co s α = mg co s α

(10)

NÕu gãc

10 , o 10

2 2

( ) 1 2.sin 1

Vµ

2

0

( ) 1 2.sin 1

Suy ra :

2

2 0

0

α

0

o

α = cos(oo)=1 nªn : (11)

P X

P

α

O

B

A

α α OA

H

B

T

I

T

4

2 0

2

ma x

Hay :

2

ma x

T = mg   + α  

(12)

Tại vị trí hai biên α = α0 nên :

0

PHầN 2 (13)

Biến thiên chu kỳ của con lắc đơn theo

T

α

Trong đó :

o

l : là chiều dàI dây treo con lắc ở t0 = 00c

l : là chiều dàI dây treo con lắc ở t c0

α : là hệ số nở dàI ở 00C

Bài toán 1: Xác định thời gian con lắc chạy sai trong mỗi chu kỳ

TH1: Khi ở độ cao nhất định (cùng đô cao ) có g=const và nhiệt

độ khác nhau (t1 ≠ t2 )

Con lắc chạy đúng ở nhiệt độ t1 ta có chu kỳ T1

0 1 1

T

g

α

=

Và chu ký T2

2

T

g

α

=

Suy ra :

α α

+

=

Hay :

áp dụng công thúc gần đúng : với 0 < ε ≤ 1thì :

1 1 2

2

1

1

ε

+

≈ + ư

thay (15) vào (14) ta có

2

1

2

T

≈ +

Hay

2

1

2

T

2

2

T

α

≈

(16)

+)Nếu t1>t2 suy ra T1>T2 chu kỳ giảm đồng hồ chạy nhanh +)Nếu t1<t2 suy ra T1<T2 chu kỳ tăng đồng hồ chạy chậm

+)Độ biến thiên tương đối trong mỗi chu kỳ là:

Từ (16) suy ra

2

T

α

∆

(17) Kết luận : Mỗi ngày đêm đồng hồ chạy sai một khoảng

1 2 2

86400 86400.

2

t t T

T

α

(18)

6

TH2: khác độ cao ( khi g# const nhiệt độ và chiều dài =

const)

+)ở mặt đất đồng hồ chạy đúng :

2 0

0

.

.

T

(19) Trong đó g0 là gia tốc rơi tự do ở gần mặt đất M, R là khối lượng và bán kính trái đất l là chiều dài dây treo con lắc

a) ở độ cao h chu kỳ của con lắc

2

.

h

h

T

(20)

Gia tốc trọng trường ở mặt đất 0 2

.

G M g

R

=

(21)

.

h

G M g

R h

=

ở đây ta coi trái đất hình cầu, bán kính R, khối lượng M vật

đứng cách mặt đất một khoảng h t nh từ mặt đất Từ (19), (20), (21), (22)

Suy ra :

0

0

1

h h

T = g = R h <

+ suy ra T0<Th Chu kỳ tăng đồng hồ chạy chậm

Độ biến thiên tương đối trong mỗi chu kỳ :

0

1

h

ư

∆

+

Mỗi ngày đêm đồng hồ chạy chậm một khoảng :

O

R

h

86400 86400.

h

b) ở độ sau h’(so với mặt đất) chu kỳ của quả lắc :

2 '

'

.( ')

2 2

'

h

h

T

(24) Trong đó gh’ là gia tố

' '

( ')

h

G M g

R h

=

ư (25) M’ là khối lượng của phần trái đất giới hạn bởi mặt cầu có bán kính (R-h’)

Gia tốc trọng trường ở mặt đất : 0 2

.

G M g

R

=

(26) Từ(25) và (26) suy ra

3 2

2 '

3 0

4

4

3

h

R

ư

(ở đây vì trái đất hình cầu nên khối lượng được t nh như trên)

Hay

' 0

'

h

ư

=

(27) lấy (19) chia ch0 (24) vế theo

vế và để ý đến (27) ta có :

2

' ' ' '

.( ) 1 1 1

h

h

ư

= = = = ư ≈ ư <

ư

8

1 2

2

ε

± = ± ≈ ±

Suy ra T1<T2 Chu kỳ tăng đồng hồ chạy chậm Độ biến thiên tương đối trong mỗi chu kỳ :

' 2

h

ư

∆

Vậy mỗi ngày đêm

đồng hồ chạy sai một khoảng :

'

'

86400 86400.

2

h

Chú ý : các công thức gần đúng sử dụng trong bài :

với 0 < ε ≤ 1thì 1 1 2

2

1

1

ε

+

≈ + ư +

1 2

2

ε

± = ± ≈ ±

hoặc: ( 1 ± ε ) n ≈ ± 1 n ε

hoặc :

1

1 2 1

ε

±

∓

hoặc :

1

2 2

1 '

ε

+

≈ + ư

ư

hoặc :

'

1 1 ' 1

2 2