Giai tich 12-ChuongI-Max min

VẤN ĐỀ 1: TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG BẢNG BIẾN THIÊN Bài toán 1 : Phương pháp khảo sát trực tiếp : Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng..  Dựa vào bả

Chương I

1 Định nghĩa:

Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D  R)

a)

( ) , max ( )

: ( )

D

   

    

 b)

( ) , min ( )

: ( )

D

   

    



2 Tính chất:

a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì

[ ; ] [ ; ]

max ( ) ( ), min ( ) ( )

a b f x  f b a b f x  f a b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì

[ ; ] [ ; ]

max ( ) ( ), min ( ) ( )

a b f x  f a a b f x  f b

VẤN ĐỀ 1: TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG BẢNG BIẾN THIÊN

Bài toán 1 : Phương pháp khảo sát trực tiếp :

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

 Tìm miền xác định D  Tính f(x), giải phương trình f(x) = 0

 Xét dấu f(x) và lập bảng biến thiên

 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một

đoạn [a; b]

 Tính f (x)

 Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …, xn trên

[a; b] (nếu có)

 Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn)

 So sánh các giá trị vừa tính và kết luận

max ( ) max[ ; ]  ( ), ( ), ( ), (1 2), , ( n)

a b

[ ; ]min ( ) min ( ), ( ), ( ), (1 2), , ( n)

a b

Bài toán 2 : Phương pháp khảo sát gián tiếp :

Bước 1 : Biến đổi hàm số ban đầu về dạng mới để xác định ẩn phụ :

 

yF  x

Bước 2 : Đặt t x Điều kiện của ẩn t là Dt yF t 

Bước 3 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số yF t  trên Dt

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 35 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) yx24x3 b) y4x33x4 c) yx42x22

d) y x2 x 2 e)

2

1

2 2

x y





 

f)

2 2

2 4 5

1

y x

 



 g) y x2 1 (x 0)

x

2 2

1 1

y

 



 

i)

4 2 3

1 ( 0)

 



Bài 36 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) y2x33x212x1 trên [–1; 5] b) y3x x 3 trên [–2; 3]

c) yx42x23 trên [–3; 2] d) yx42x25 trên [–2; 2]

e) 3 1

3

x

y

x





 trên [0; 2] f) 1

1

x y x





 trên [0; 4]

g)

2

4 7 7

2

y

x

 



 trên [0; 2] h)

2 2

1 1

x x y

x x

 



 

trên [0; 1]

i) y 100x2 trên [–6; 8] k)      

 

sin 2 , ,

2

Bài 37 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) ycos 2x2 sinx1 b) y2sin2xcosx1 c)

2

1 cos cos 1

y



d) 2 sin 1

sin 2

x y

x





 e) ysin3xcos3x f)

2

4 2

1 1

x y





  g) y4 x22x 5 x22x3 h) y x24x x24x3

VẤN ĐỀ 2: DÙNG BẤT ĐẢNG THỨC TÌM GTLN, GTNN

Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số

 Chứng minh một bất đẳng thức

 Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở thành đẳng thức

Bài 38 Giả sử D( ; ; ) /x y z x0,y0,z0,x y z  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1 1 1

P

  

   HD: 3 1 1 1

1 1 1

P

    

  

Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 9

1 1 1

        

  

 P  3

4 Dấu “=” xảy ra  x = y = z =

1

3 Vậy

3 min

4

D P 

Bài 39 Cho D = ( ; ) / 0, 0, 5

4

   

  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 1 4

S

 

HD:  4  1 1 1 1 1 25

4

         

 4( ) 4 1 25

4

x y

 

   

 

 S  5 Dấu “=” xảy ra  x = 1, y = 1

4 Vậy minS = 5

Bài 40 Cho D = ( ; ) /x y x0,y0,x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 1

    

   HD:

       

1x1y x y  Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: (1 ) (1 ) ( ) 1 1 1 9

1 1

        

  

 1 1 1 9

1x1y x y 2

 P  5

2 Dấu “=” xảy ra  x = y =

1

3 Vậy minP =

5

2

Bài 41 Cho D = ( ; ) /x y x0,y0,x y 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

3 4 2 4

P

 

 

HD:

2

1 1 2

P

      

(1)

Theo bất đẳng thức Cô–si: 1 2 1 1

   (2)

3

8 8 8 8 4

 P  9

2 Dấu “=” xảy ra  x = y = 2 Vậy minP =

9

2

VẤN ĐỀ 3: DÙNG MIỀN GIÁ TRỊ TÌM GTLN, GTNN

Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước

 Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:

0

( ) (1)

(2)

 





  Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng Thông

thường điều kiện ấy (sau khi biến đổi) có dạng: m  y0  M (3)

 Vì y0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:

min ( ) ; max ( )

D f x m D f x M

Bài 42 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a)

2

2

1 1

y

 



  b)

2 2

2 7 23

2 10

y

 



  c) 2 sin cos 1

sin 2 cos 3

y



d) 2sin cos 3

2 cos sin 4

y



 

VẤN ĐỀ 4: DÙNG GTLN, GTNN GIẢI PT, HỆ PT, BẤT PT

Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min ( ) ; max ( )

D f x m D f x M 1) Hệ phương trình f x( )

 









có nghiệm  m    M

2) Hệ bất phương trình f x( )

 







 có nghiệm  M  

3) Hệ bất phương trình f x( )

 







 có nghiệm  m  

4) Bất phương trình f(x)   đúng với mọi x  m  

5) Bất phương trình f(x)   đúng với mọi x  M  

Bài 43 Giải các phương trình sau:

a) 4 x 2 44x2 b) 3x5x 6x2 c) 5 (1 )5 1

16

Bài 44 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) x 2x2 1 m b) 2x 2x (2x)(2x)m

c) 3x 6x (3x)(6x)m d) 7x 2x (7x)(2x)m

Bài 45 Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  R:

a) x 2x2 1 m b) m 2x29x m c) mx44x m 0

Bài 46 Cho bất phương trình: x32x2  x 1 m0

a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2]

b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2]

Bài 47 Tìm m để các bất phương trình sau:

a) mx x3m1 có nghiệm b) (m2)x m  x1 có nghiệm x  [0; 2]

c) m x( 2 x 1)x2 x 1 nghiệm đúng với mọi x  [0; 1]