Giải tích 2

Giải tích có thể đề cập đến:Giải tích toán học, còn gọi đơn giản là giải tích; Giải tích hàm; Giải tích phức; Giải tích số;Giải tích thực; Hình học giải tích

Chương 2

DÃY VÀ CHUỖI SỐ

Dãy số là hàm số có miền xác định là tập các số nguyên tự nhiên Người ta thường dùng dãy số làm mô hình cho các hiện tượng rời rạc Chẳng hạn khi người ta đo đạc các đại lượng tại những thời điểm cách đều nhau như sản lượng hàng năm, chỉ số giá tiêu dùng hàng tháng, kết toán năm

1 KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT

1.1 Định nghĩa Dãy số là một ánh xạ từ vào liên kết mỗi n∈ với

n u , trong đó biến n∈ được gọi là chỉ số

Dãy số còn được ký hiệu bởi

( )un n∈ , ( )un n, ( )u , n n aun hay u1, u2,

trong đó un được gọi là số hạng thứ n của dãy ( )u và n u1 là số hạng đầu

Ví dụ 1 i) Dãy ( )u xác định bởi n un =a, n∈ , trong đó a là một hằng số (nghĩa là un không phụ thuộc vào n) Loại dãy này còn được gọi là dãy hằng

ii) Dãy ( )u xác định bởi n un = n, n∈

iii) Dãy ( )u xác định bởi n un = 1

n, n∈ iv) Dãy ( )u xác định bởi n un = −( )1 , n n∈

v) Dãy ( )u xác định bởi n un =( )1+ n1 n, n∈

vi) Dãy ( )u xác định bởi n ( ) +

viii) Dãy ( )u xác định bằng quy nạp theo n : n u1 =2 và với mọi n∈ ,

ix) Lãi kép : Một lượng vốn C đầu tư với lãi suất i trong n năm với tiền

lời được nhập vào vốn mỗi cuối năm Giá trị của lượng vốn này vào cuối năm thứ nhất được ký hiệu là x1, cuối năm thứ hai là x2, , cuối năm thứ n là xn

và như vậy, ta nhận được dãy số ( )x với n xn =C 1 i ( )+ n

x) Lãi liên tục : Với 1 đồng vốn đầu tư, xét trường hợp chu kỳ tính lãi

nhập vào vốn giảm dần với lãi suất năm 7%, nửa năm 72%, quý 74%, tháng

Ta nhận được dãy số ( )y n

Dãy số ( )u được gọi là bị chận dưới khi ∃ ∈n B , ∀ ∈n , un ≥ B Ta nói

B là một chận dưới của ( )u n

Dãy số ( )u được gọi là bị chận khi nó vừa bị chận trên, vừa bị chận n

nb b n 1 b , với mọi n∈ , và do đó

≤ α −

nb b, với mọi n∈ Điều này cho thấy α − ∈b B Vô lý vì α − < αb

Do dãy ( )nb n∈ không là dãy bị chận, nghĩa là mọi số thực a∈ đều không là một chận trên của nó, ta được kết quả quan trọng sau

1.3 Định lý Archimède. Cho b 0> Ta có

Dãy ( )u , xác định bởi n un = −( )1 , không là dãy đơn điệu nhưng là dãy n

bị chận với một chận dưới là −1 và một chận trên là 1

2 DÃY HỘI TỤ

2.1 Định nghĩa. Dãy số ( )u được gọi là hội tụ khi tồn tại số thực a sao cho n

khoảng cách giữa un và a đủ nhỏ khi số nguyên n đủ lớn

Chẳng hạn, với dãy số n = 1

nlim u a hay [un →a khi → +∞n ]

Ta còn nói rằng dãy ( )u hội tụ về a và a được gọi là giới hạn của dãy n

( )u n

Xuất phát từ nhận xét rằng

i) Nếu ( )u là dãy hội tụ với giới hạn n u thì dãy ( )a , xác định bởi n

n n

a u u, cũng là dãy hội tụ và có giới hạn là 0

ii) Nếu ( )a và n ( )b là các dãy hội tụ với cùng giới hạn là n 0 thì các dãy

( )u , n ( )v , n ( )w , xác định bởi n un =an +bn, vn = αan (α ∈ cố định),

n n n

w a b , cũng là các dãy ho65u tụ về 0

iii) Nếu ( )a là dãy hội tụ về n 0 và bn ≤ a , với mọi n n∈ , thì dãy ( )b n

cũng hội tụ về 0

ta suy ra kết quả sau

2.2 Mệnh đề. Nếu

→+∞ n =

nlim u u và

→+∞ n =

nlim v v thì i) →+∞( n + n)= +

Chứng minh. Đặt an =un −u và bn = vn −v Ta được hai dãy ( )a và n ( )b n

cùng hội tụ về 0 Ta suy ra

n

Từ đó suy ra n →

n

v v khi → +∞n v) Do

→+∞ 1p =

nlim n 0 b) Khi =p 1, np 1 với mọi n, và do vậy, hiển nhiên =

→+∞n =

nlim p 1 Khi >p 1, bằng cách đặt un =np 1 0− ≥ , ta có

q

Chú ý. a) Khi ( )u là một dãy hội tụ, giới hạn n a∈ của nó là duy nhất

Để chứng minh tính chất này (tính duy nhất của giới hạn), ta chứng minh

rằng nếu dãy ( )u có hai giới hạn thì chúng phải bằng nhau n

b) Nếu ( )u là một dãy hội tụ với giới hạn n a∈ thì nó là dãy bị chận,

nghĩa là tồn tại A 0> sao cho un ≤ A , với mọi n∈

Từ đó, bằng suy luận đảo đề, ta suy ra rằng : Nếu ( )u là dãy không bị n

chận thì nó không là dãy hội tụ Ta nói ( )u là một dãy phân kỳ n

Chẳng hạn, dãy ( )u xác định bởi n un =n , 2 n∈ , không là dãy bị chận

do với mọi số thực ∈A , hệ quả 1.4, i) khẳng định sự tồn tại số nguyên

Nhận xét rằng un lấy giá trị đủ lớn khi giá trị của n đủ lớn Dãy như vậy còn được gọi là “hội tụ” về +∞ chính xác hơn, ta có định nghĩa sau

2.4 Định nghĩa. Ta nói dãy ( )u tiến về n +∞ khi n tăng ra +∞ khi

∀ > ∃A 0, n0∈ , n n ,u∀ ≥ 0 n > A Bấy giớ, ta viết

→+∞ n = +∞

nlim u hay [un → +∞ khi → +∞n ] Dãy ( )u được gọi là tiến về −∞ khi n tăng ra n +∞ khi

∀ < ∃A 0, n0 ∈ , n n ,u∀ ≥ 0 n < A Ký hiệu

→+∞ n = −∞

nlim u hay [un → −∞ khi → +∞n ]

2.5 Mệnh đề. Nếu

nlim và nếu un <0, ∀ ∈n thì

nlim Ngược lại, nếu

0 khi p 01

nlim y 0 Trường hợp ≤ −x 1 , các dãy ( )x đều là dãy phân kỳ n

Các dãy số được phân thành bốn loại như sau : Dãy số ( )u được gọi là n

thuộc

loại I : khi

→+∞ n = ∈

nlim u a loại II : khi

→+∞ n = +∞

nlim u loại III : khi

→+∞ n = −∞

nlim u loại IV : khi ( )u không thuộc về ba loại nêu trên, nghĩa là khi nó không n

có giới hạn là một số thực, +∞ hay −∞

Các dãy loại I gọi là hội tụ trong , dãy thuộc các loại còn lại đều là dãy

phân kỳ Tuy nhiên, trong một số bối cảnh, các dãy thuộc loại II (hay loại III)

còn được gọi là “hội tu về” +∞ (hay −∞ )

Ví dụ dãy ( )x , với ≤ −n x 1 , thuộc loại IV

Các trường hợp ( ( ) ( )+∞ − +∞ , +∞)

+∞, ( )+∞ × 0 được gọi là các dạng vô định,

nghĩa là ta không có kết luận tổng quát cho mọi trường hợp

Ứng với dãy số ( )u cho trước, việc tìm a trong sao cho n

→+∞ n =

nlim u akhông phải lúc nào cũng thực hiện được một cách dễ dàng Các kết quả sau cho phép xác định sự tồn tại cũng như các tính chất của giới hạn một dãy, nếu có, trước khi xác định được giá trị của nó

2.7 Định lý. Nếu ( )u là dãy đơn điệu và bị chận thì nó là dãy hội tụ n

Chứng minh. Giả sử ( )u tăng và bị chận, nghĩa là n

≤

n n 1

u u , ∀ ∈n , và tồn tại số thực α ∈ sao cho

≤ α

n

u , ∀ ∈n Đặt

{ }

= n ∈

A u n và B = α ∈{ un ≤ α ∀ ∈, n } Chúng là hai tập con không rỗng của thỏa

∀ ∈x A, y B, x y , ∀ ∈ ≤nên do tiên đề đầy đủ, tồn tại a∈ sao cho

∀ ∈x A, y B, x a y ∀ ∈ ≤ ≤

Ta sẽ chứng minh rằng

→+∞ n =

nlim u a Thật vậy, ứng với mỗi ε > 0, do a− ε < a, ta suy ra rằng a− ε ∉B, nghĩa là tồn tại n0 ∈ sao cho − ε <a x Từ đó suy ra, với mọi n0 n n≥ 0,

Ví dụ 4. i) Dãy Fibonacci :

Nói khác đi, dãy này có thể viết lại dưới dạng hệ thức đệ quy :

=

1

u 1 và ∀ ∈n , un 1+ = 1 u + n

mà ta có thể kiểm chứng rằng nó là một dãy tăng và bị chận trên (xem bài tập 3, câu a) Định lý 2.7 cho thấy nó là dãy hội tụ và từ đó, ta có thể tính được giới hạn của nó, là = 1+ 5

2

u (xem thêm trong chương 3, phần 2)

iii) Xét dãy số ( )u xác định bởi biểu thức n +

+

= n n

u

n 1 u 3

u , n∈ , u1 >0 Đây là dãy xác định bởi hệ thức đệ quy cấp 1 với hàm số f x( )= x 3+x , x 0> Dãy này được hoàn toàn xác định (do biểu thức xác định các số hạng đều có mẫu số khác 0) và mọi số hạng đều lớn hơn 0, nghĩa là nó bị chận dưới bởi 0,

u u 3 1 , ∀ ∈n , ta suy ra nó là dãy tăng

Định lý 2.7 cho thấy ( )u là dãy hội tụ Gọi a là giới hạn của nó Để tính n

a, ta chú ý rằng

2.9 Định nghĩa. Dãy ( )u được gọi là một dãy Cauchy nếu n

∀ε > ∃0, n0 ∈ , m,n n , u∀ ≥ 0 m −un < ε Dễ thấy rằng mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy Ngược lại, ta chấp nhận kết quả sau

2.10 Định lý (tính đầy đủ của ). Mọi dãy Cauchy đều là dãy hội tụ

3 CÁC DÃY ĐẶC BIỆT

3.1 Cấp số cộng (dãy số học). Dãy số ( )u được gọi là một cấp số cộng với n

công sai r khi nó được xác định bởi hệ thức đệ quy cấp 1 sau

∀ ∈n , un 1+ = un +r, u1 cho trước

Dùng quy nạp, ta suy ra rằng

∀ ∈n , un =u1 +(n 1 r − )Khi r 0= , cấp số cộng tương ứng là dãy hằng : với mọi n∈ , un =u1 Khi r 0≠ , cấp số cộng tương ứng là dãy số hội tụ về +∞ hay −∞ tùy theo r dương hay âm và do đó, nó là dãy phân kỳ

3.2 Cấp số nhân (dãy hình học). Dãy số ( )u được gọi là một cấp số nhân n

với công bội r khi nó được xác định bởi hệ thức đệ quy cấp 1 :

∀ ∈n , un 1+ =run, u1 cho trước

Cũng bằng quy nạp, ta suy ra

∀ ∈n , un = rn 1− u 1Khi u1 =0, ta được dãy hằng các số 0 Ngược lại, nó là dãy hội tụ khi

− < ≤1 r 1 và phân kỳ trong trường hợp còn lại Cụ thể, ta có

Khi =r 1, ta được un =u1 và cấp số nhân tương ứng là dãy hằng

Khi <r 1 , ta được

→+∞ n =

nlim u 0 do định lý 2.3, e)

Khi = −r 1 , dãy ( )u luân phiên lấy các giá trị n u1 và −u1 nên là dãy phân kỳ

3.3 Dãy ( )u và n ( )v với n un = ( )1+ 1n n và ( ) +

= + 1 n 1

a. ( )u là dãy tăng và n ( )v là dãy giảm n

Thật vậy, ta có

n 1

n 1

1 n

( )

+ +

+ +

n 2 1

trong đó sn được gọi là một tổng riêng phần của chuỗi số

4.1 Định nghĩa. Chuỗi số với số hạng tổng quát un được gọi là hội tụ nếu

dãy số ( )s tương ứng hội tụ và khi đó, ta viết n

→+∞

n

s lim s được gọi là tổng của chuỗi

Một chuỗi số không hội tụ được gọi là phân kỳ

Nhận xét : Từ định nghĩa, ta thấy rằng việc khảo sát chuỗi số với số hạng tổng quát un được quy về việc khảo sát dãy số ( )s tương ứng n

4.2 Chuỗi hình học : Xét chuỗi số với số hạng tổng quát un = rn 1− u , 1 u1 cho trước Ta khảo sát dãy tương ứng

1 1

1 ru khi <r 1 Đối với các trường hợp khác, chuỗi hình học phân kỳ

Khi ( )s là dãy các tổng riêng phần của chuỗi số hội tụ n ∑u , thì do n

định nghĩa, nó là dãy hội tụ nên cũng là dãy Cauchy, nghĩa là

∀ε > ∃0, n0 ∈ , m,n n , s∀ ≥ 0 m −sn < ε Đặc biệt, với m n 1 , và vì = + sn 1+ −sn =un 1+ , ta suy ra

+

∀ε > ∃0, n0∈ , n n , u∀ ≥ 0 n 1 < εvà ta được tiêu chuẩn sau

4.3 Mệnh đề (điều kiện cần để chuỗi hội tụ). Nếu chuỗi số với số hạng tổng quát un hội tụ thì

n là chuỗi hội tụ, trong đó

→∞1n = →∞ 12 =

nlim nlim n 0

4.4 Mệnh đề (tiêu chuẩn so sánh cho chuỗi số dương). Cho ( )u và n

( )v là hai dãy số thỏa n 0 u≤ n ≤ vn, ∀ ∈n

i) Nếu ∑v là chuỗi hội tụ thì n ∑u hội tụ, n

ii) Nếu ∑u là chuỗi phân kỳ thì n ∑v phân kỳ n

Chứng minh. Trước hết, chú ý rằng nếu ∑a là chuỗi số dương thì dãy n

( )b các tổng riêng phần là dãy tăng n

Gọi ( )s và n ( )t lần lượt là dãy tổng riêng phần các chuỗi n ∑u và n

∑v Do giả thuyết, ta có n

i) Khi ∑v hội tụ, n ( )t bị chận trên và do đó n ( )s cũng bị chận trên n

Vì ( )s tăng, định lý 2.7 chứng tỏ rằng nó hội tụ và như vậy, chuỗi n ∑u hội n

n 2 là chuỗi hội tụ

4.5 Mệnh đề (chuỗi điều hòa). Chuỗi điều hòa

hội tụ nếu và chỉ nếu > p 1

khi p 01

Mệnh đề 4.3 cho thấy chuỗi ∑ 1 p

n phân kỳ khi ≤p 0 Khi >p 1, ta có

v Khi 0< α < ∞, tồn tại 0 a< < α < b và n0 ∈ sao cho

thức 0 av≤ n ≤ un và mệnh đề 4.4 cho thấy ∑u cũng phân kỳ n

Ví dụ 7 Xét chuỗi

+

∑ 2 n

n 1 Ta có

Vì chuỗi điều hòa ∑1

n phân kỳ, ta suy ra chuỗi

+

∑ 2 n

n 1 cũng phân kỳ

Tương tự, với chuỗi +

+

∑2n 1 3

n 1, do

++ =

++

1 n

3 2 1

n

22n 1 1

1

và do đó

+ + +

= → >

+

3 2

2n 1 1

n 1 n

1 1

n n

2

2 0

nên sự hội tụ của chuỗi điều hòa ∑ 1 2

n kéo theo sự hội tụ của chuỗi +

+

∑2n 1 3

n 1

ª Với chuỗi có số hạng tổng quát tùy ý, ta có

4.6 Mệnh đề (hội tụ tuyệt đối). Nếu chuỗi ∑u hội tụ thì chuỗi n ∑u n

hội tụ.

Chứng minh. Xét ( )s và n ( )t lần lượt là dãy tổng riêng phần chuỗi số n

∑u và n ∑u , Với mọi <n n m , ta có

Do ∑u hội tụ, dãy n ( )t hội tụ nên là dãy Cauchy Bất đẳng thức (1) n

chứng tỏ rằng ( )s cũng là dãy Cauchy và do đó hội tụ theo định lý 2.10 Điều n

này chứng tỏ rằng chuỗi ∑u cũng hội tụ.n

Chú ý rằng chiều ngược lại của mệnh đề trên không đúng

Ví dụ 8 i) Xét chuỗi ( )−

1

n Ta có ( )−

=

là chuỗi điều hòa hội tụ Do mệnh đề 4.6, chuỗi ( )−

1 1 2

n n n

4

nên sự hội tụ của chuỗi điều hòa ∑ 1 2

n kéo theo sự hội tụ của chuỗi

i) Khi α < 1, chuỗi ∑u hội tụ n

ii) Khi α > 1, chuỗi ∑u phân kỳ n

iii) Khi α = 1, ta không có kết luận tổng quát

Chứng minh. i) Với α < 1, chọn α < β < 1, tồn tại ∃n0 ∈

+ ≤ β

n 1 n

u

u , ∀ ≥n n0 Suy ra un 1+ ≤ βu , n ∀ ≥n n0

Bằng quy nạp, ta chứng minh được

u 0 khi n → ∞ Do mệnh đề 4.3, chuỗi ∑u phân kỳ n

Ví dụ 8. i) Ta có thể khảo sát dãy số n = nnn

i) Khi α < 1, chuỗi ∑u hội tụ n

ii) Khi α > 1, chuỗi ∑u phân kỳ n

iii) Khi α = 1, ta không có kết luận tổng quát

Chứng minh. i) Khi α < 1, chọn α < β < 1, ∃n0∈ sao cho

≤ β

1/n n

u , ∀ ≥n n0 Suy ra un ≤ βn, ∀ ≥n n0

Vì chuỗi ∑βn hội tụ, mệnh đề 4.4 cho thấy chuỗi ∑u cũng hội tụ n

ii) Tương tự, khi α > 1, chọn α > β > 1, tồn tại n0∈ sao cho