B ÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRèNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRèNH Bài1
a, 3 5 42 3
x
+
d) ĐKXĐ: x ≠ ±2
( 2)( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2)
2 - 4 = (x-2).(x+2))
⇒ 3(x + 2) – 5(x - 2) = 4x + 3
⇔ 3x + 6 – 5x + 10 = 4x + 3 ⇔ -2x + 16 = 4x + 3 ⇔ -6x = -13
6
x= (Thỏa mãn điều kiện xác định)
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là : 13
6
x=
b, Giải phương trỡnh : x3 + x2 + 4 = 0
x3 + x2 + 4 = 0 ⇔ x3 + 8 + x2 – 4 = 0
⇔ (x + 2)(x2 – x + 2) = 0 (*)
x − + = −x x + > ∀x
Bài 2 Giải các phơng trình sau
Giải các phơng trình sau
0
21 23 25 27 29
x
(50 x) 0
21 23 25 27 29 + + + + ≠
50
x
Trang 2b) 2 2 4 2
x x + + =x x x + +x x − +x
x(x3+1) - x(x3-1) = 3
2x = 3
x = 3/2 ( T/m §KX§ ) KÕt luËn …
Bài 3:
Giải các phương trình :
18
1 42 13
1 30
11
1 20
9
1
2 2
+
+ + +
+ +
x
19
199 21
186 23
169 25
148−x + −x+ −x+ −x =
Ta có : x2 + 9x+ 20 =(x+ 4)(x+ 5)
( 5)( 6)
30
11
2 + x+ = x+ x+
x
( 6)( 7)
42
13
2 + x+ = x+ x+
x
ĐKXĐ của pt là x ≠ -4 ; x ≠ -5 ; x ≠ -6 ; x ≠ -7.
Pt đã cho
18
1 7
1 6
1 6
1 5
1 5
1 4
+
− +
+ +
− +
+ +
− +
⇔
x x
x x
x x
18
1 7
1
4
1
= +
−
+
⇔
x
x
0 26 11
2 + − =
( + 13)( − 2)= 0
2
13
=
−
=
⇔
x
x
TMĐK Vậy tập nghiệm của phương trình S = {− 13 ; 2}
19
199 3
21
186 2
23
169 1
25
+
+
+
19
1 21
1 23
1 25
1
−
0
123 − =
19
1 21
1 23
1 25
123
=
⇔ x Vậy nghiệm của phương trình là x = 123
Bài 4 Giải phương trình:
Giải phương trình:
ĐK : x∉ {2;3;4;5;6}
Phương trình tương đương
( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5) ( 5)( 6) 8
Trang 3⇔ − + =
8( 6) 8( 2) ( 2)( 6)
8( 2)( 6) 8( 2)( 6)
2
2
8 20 0
( 2)( 10) 0
⇔ = −x 2 hoac x= 10 (thỏa điều kiện )
Vậy nghiệm của phương trình là x=-2;x=10
B i 6 : Gi¶i phà ¬ng tr×nh:
6 96
4 98
2 95
5 97
3 99
1+ − + − = − + − + −
x
b) (x2 +x+1)2 +(x2 +x+1)−12=0
2
0
x
⇔ + ÷ + >
4 5
x x
+ ⇔5x+20 5− x=4x2+16x⇔4x2+16x−20 0= ⇔x2+4x− =5 0
x2-x+5x-5 = 0 ⇔ − (x 1)(x+ = 5) 0 suy ra x=1 vµ x=-5
x
( ) ( ) ( ) ( )
x
15 3
x
b,
x
x
−
x
− +
− −
Trang 4a(a-6)-72=0, a2-6a-72=0 ,a1=12, a2=-6
TH1: x2-4=12, x2=16 , x= ± 4
B i 8 : à
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh :
2 4 6 2 16 72 2 8 20 2 12 42
b)Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh sau : 5 5
+ > +
Gi¶i : ®/k x® ≠ − − − − 8, 6, 4, 2
2 4 4 2 2 16 64 2 8 16 2 12 36
8( 6) 6( 8) 4( 2) 2( 4)
( 8)( 6) ( 4)( 2)
0 ( 8( 6) ( 4)( 2)
(x 8)(x 6) ( − x 4)(x 2) ≠
+ + + + nªn 2x=0 ⇒ =x 0 ⇒ =x 0
Bài 9 :
Điều kiện : x≠ − 2
( )
2 *
4
+ + + Đặt y x= + +4x 2 phương trình (*) trở thành
2
Điều kiện : y≠ 2 &y≠ − 2
3 0
y
y
=
Trang 5Với y = 0 thì 4 2 ( )2
x
4
x
x x
= −
điều kiện
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = − −{ 1; 4}
Bài 10 :
a) Giải phương trình : x3 + x2 + 4 = 0
x3 + 4x2 – 29x + 24 = x3 – 1 + 4x2 – 4x – 25x + 25= (x - 1)(x2 +5x - 24)
= (x-1)(x-3)(x+8)
Do :
x − + = −x x + > ∀x
b, Gi¶i ph¬ng tr×nh :
2 4 6 2 16 72 2 8 20 2 12 42
Bài 11: Giải phương trình
3 2 5 ( 23) ( 5) 0
3 2 5 ( 23) ( 5) 0
* Tập xác định: x≠ 2;x≠ 5
( ) ( )
( )
= ∈
2
0
Vậy S={ }0
b/ Giải phương trình:
x3−2x2 + − =x 2 0
Đưa về dạng: (x2+1)(x− =2) 0
Trang 6Do x2 + 1 0; f ∀x x2 +1 0;f ∀x nên suy ra x = 2.
B i 12 à Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
28
20 26
22 24
24 22
26 20
28
−
=
− +
− +
− +
− +
−
− + +
+
x x x x
x
x x
x
x
c) x - x+ 2 + 2x− 2 = 0
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau
28
20 26
22 24
24 22
26
20
28−x+ −x + −x+ −x+ −x = −
0 1 28
20 1 26
22 1 24
24 1 22
26 1
20
0 28
48 26
48 24
48 22
48
20
0 ) 28
1 26
1 24
1 22
1 20
1
)(
48
(50 x) 0
28
1 26
1 24
1 22
1 20
1
50
x
−
− +
+
+
x x x x
x
x x
x
x
Ta thÊy x x( 4 + + =x2 1) x x( 2 + +x 1)(x2 − +x 1)
x(x3+1) - x(x3-1) = 2
2x = 2
x = 1( T/m §KX§ ) KÕt luËn …
c) LËp b¶ng xÐt dÊu
Víi x<-2 ta cã: 0x= 2 : pt v« nghiÖm
Víi -2<=x<=2 ta cã: x=1 : TM
Víi x>2 ta cã: x=3/2 : KTM
VËy pt cã nghiÖm: x = 1(
B i 13 : ®/k xà ≠ 0
( )
2
⇔ + ÷ + + ÷ + ÷ − + ÷= +
( )
2 2
Trang 7( )
2
2 2
2
+ = ⇒ = − =
+ = − ⇒ = − − = − x=0 (lo¹i) VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm vµ x=-8
Bµi 14 : 4 22 16 23 25 27 4 2 16 2 22 23 25 27 0
2
x
0
0
x
0
vËy x2-2= 0 ⇔x2 = ⇒ = ± 2 x 2 tháa m·n ®/k vËy s= { 2, − 2}
Bµi 15 : T×m x ;
2
49
=
®/k x® lµ x≠ 2009,x≠ 2010
§Æt x-2010 =a víi a≠ 0 2009 -x =2010-1-x=-(x-2010+1)=-(a+1)
( ) ( ) ( ) ( )
2
49a 49a 49 57a 57a 19 8a 8a 30 0
( )2 2
3
2
5
2
+ = ⇒ = −
tháa m·n ®/k
4023 4015
,
Bµi 16 : 2
1 12
x
®/kx® x≠ − 4,x≠ 1
( 415) ( 1) 1 12 14 3( 1 1)
x
Trang 8( 2 ) ( ) 2 ( )
45x− 3 x + 3x− = 4 12 3x− + + ⇔ 3 x 4 45x− 3x − 9x+ = 12 12 4x+ 1
3x 36x 12 48x 12 0 3x 12x 0
x x
− = ⇒ =
+ = ⇒ = −
Bµi17 : Giải phương trình: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
2010 2009 2008 2007 2006 2005
2010 2009 2008 2007 2006 2005
x 2011 0
x 2011
⇔ = −
Bài 18 Giải c¸c phương tr×nh sau:
a,
MTC: 2(x− 5)(x+ 5)
(1) ⇔2(x3(−x5)(+x5)+5) 2(+ x−2.155)(x+5)= −2(x7(−x5)(−x5)+5)
3( 5) 30 7( 5)
10 10 1
x x
⇔ =
b, x− = 5 2x+ 1 (2)
(2) ⇔ − =x 5 2x+ 1
6
x
⇔ − =
* Trường hợp 2: x− < ⇔ < 5 0 x 5
(2)⇔ − = − −x 5 2x 1
⇔ 3x= 4
3
x
Trang 9Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 4
3
Bài 19 : Giải phương trình :
( ) ( 1)( 3)
2 2
2
3
2 − + + = x+ x−
x x
x
x
x
Giải
( ) ( )
( )
3
0
0 3 2
0 6 2
0 4 3
4 3 1
3 1
2 2
2 3
2
2
2 2
=
=
⇔
=
−
⇔
=
−
⇔
=
−
− + +
=
− + +
− +
= +
+
−
x
x
x x
x x
x x x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x
Bài 20 : Giải các phương trình :
a,(x – 4)2 – (x + 4) (x – 3) = 2(2- 3x )
b,
1
3 1
2
1
1
3
2
2 + + = −
+
x x
x
x x
c,(x2 – 1 )2 = 4x + 1
2
0
x
=
⇔ − − = ⇔ − + − = ⇒ − = ⇒ =+ − =
d) Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2006 2005
1 1 2004
2−x− = −x − x
a) Ta cã:
2006 2005
1 1 2004
2−x − = −x − x
2006
1 2005
1 1 2004
2−x + = −x + − x +
⇔
2006
2006 2006
2005
2005 2005
1 2004
2004 2004
⇔
2006
2006 2005
2006 2004
2006 −x = −x+ −x
Trang 10
⇔ 0
2006
1 2005
1 2004
1 )(
2006
Bài 21 : Gi¶i ph¬ng tr×nh
1 6
5
1 5
4
1 4
3
1 3
2
1
−
=
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
⇔
x x
x x
x x
x x
x
§KX§: x ≠ 2 , x ≠ 3 , x ≠ 4 , x ≠ 5 , x ≠ 6 (0,5®)
6
1 6
1 5
1 5
1 4
1 4
1 3
1 3
1 2
1
−
=
−
−
−
+
−
−
−
+
−
−
−
+
−
−
−
⇔
x x
x x
x x
x x
6
2 2
1
−
=
−
⇔
x x
( ) 2 6
6 4
2 − = −
2
−
=
⇔ x ( TM§K )
Bài 22 :
Giải các phương trình sau:
a, 10
2 1
2
+
−
x
2 1
2
−
+
x
1
4 2
2
=
−
−
x x
Trang 11ĐK: x khác 1,-1
+
−
v x
x
, 1
2
1
2
−
+
x
x
p phương trình có dạng :
0 11
10u2 +v2 − uv= hay (u−v)(10u−v)= 0
Nếu v=10u thì từ
1
) 2 ( 10 1
2
+
−
=
−
+
x
x x
x
ta tìm được x=3; x=2/3 Nếu v = u thì từ
1
2 1
2 +
−
=
−
+
x
x x
x
ta tìm được x = 0
So với ĐK và KL:
3
2
; 0
x
2y2x + x + y + 1 = x2+ 2y2 + xy
<=> 2y2(x – 1) – x(x – 1) – y(x – 1) + 1 = 0 (1)
Nhận xét rằng x = 1 không phải là nghiệm của (1) khi đó chia cả 2 vế của (1) cho x –
1 thì (1) tương đương với :
1
1
− +
−
−
x y x
Với x,y nguyên suy ra
1
1
−
=
=
<=>
0
2
x x
Thay x = 2 và x = 0 vào (2) và ta có y là số nguyên khi y = 1
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên là (2 ; 1) và (0 ; 1)
Bài 23 : Giải phương trình :
a 2x 1 3x 2+ = −
b x2 – 2 = ( 2x + 3 )( x + 5 ) + 23
a Ta xét các trường hợp sau :
Trường hợp 1 :
1
2
Ta thấy x =3 thuộc khoảng đang xét vậy nó là nghiệm của phương trình
Trang 12Trường hợp 2 :
1
2
Ta thấy x =0,2 khơng thuộc khoảng đang xét
Vậy nĩ khơng là nghiệm của phương trình.Vậy phương trình cĩ nghiệm x
⇔− = ⇒=
+ = ⇒=−
2
2
*BÀI 24: Giải phương trình: (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) = 120
(x 2 – 5x +4)(x 2 – 5x + 6) = 120
Đặt: t = x 2 – 5x + 5 ta có: (t – 1)(t + 1)- 120 = 0 t 2 – 121 = 0 t = 11 và t = - 11
* t = 11 x 2 – 5x + 5 = 11 (x – 6)(x + 1) = 0 x = 6 và x = -1
*t = - 11 x 2 – 5x + 5 = -11 x 2 – 5x + 16 = 0
Vì: x 2 – 5x + 16 = (x - 5
2 ) 2 + 39
4 > 0 Nên: PTVN Vậy p.t đã cho có 2 nghiệm là x = 6 và x = - 1.
• BÀI 25: Giải phương trình: 3x4 – 13x 3 + 16x 2 – 13x + 3 = 0
Giải Chia 2 vế cho x 2 ta có: 3x 2 – 13x + 16 2
13 3
x + x = 0 3 2
2
13
+ 16 = 0
Đặt: x + 1
x = y => x 2 + 2
1
x = y 2 – 2 3(y 2 – 2) – 13y + 16 = 0 (y – 1)(3y – 10) = 0
1 10 3
y y
=
=
* y = 1 => x + 1x = 1 PT này VN.
Vì: x 2 – x + 1 =
2
x
− +
> 0
Trang 13• y = 103 => (3x – 1)(x – 3) = 0
1 3 3
x x
=
=
Vậy p.t đã cho có 2 nghiệm là x = 1
3 và x = 3
• BÀI 26 : Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
3 2
2
Đặt y = x 1
x
+
=> x 2 + 2
1
x =
2 1 2
x x
+ −
= y 2 – 2
Ta có phương trình:
3(y 2 – 2) – 13y + 16 = 0 3(y 2 – 2) – 13y + 16 = 0
3y 2 – 6 – 13y + 16 = 0 3y 2 – 13y + 10 = 0
3y 2 – 10y – 3y + 10 = 0 3y(y – 1) – 10(y – 1) = 0
(y – 1)(3y – 10) = 0 y = 1 và y = 10
3
* y = 1 x + 1
x = 1 => x 2 – x + 1 = 0
2
x
− +
> 0 ∀ x Vậy p.t VN.
* y = 103 x + 1 10x = 3 3x 2 – 10x + 3 = 0 (3x – 1)(x – 3) = 0
P.t có 2 nghiệm là x = 1
3 và x = 3.
Bµi 27 : ( ) (2 ) ( ) (2 )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
− = ⇒ =
⇔ − + + = ⇒ + + = ⇒ + ÷ + >
VËy PT cã 1 nghiƯm x=1
Bµi 28 x4 + +x2 6x− = 8 0
3 2
− = ⇒ =
2
+ = ⇒ = −
⇒ − + = − ÷ + >
VËy PT cã hai nghiƯm x=1 vµ x=-2
Trang 14Bµi 29 : ( ) (3 )3 3
x− + x+ = x +
( ) ( ) ( )
2
1
2 2
3
+ = ⇒ = −
VËy PT cã ba nghiÖm x=3,x=-1/2, x=-2/3
x + x − x + x =
2
( ) ( ) ( ) ( )
+ = ⇒ = −
+ = ⇒ = −
− = ⇒ =
+ = ⇒ = −
VËy HPT cã nghiÖm S= − −{ 1, 4,1, 6 − }
Bµi 31 : (x2 + −x 2) (x2 + − =x 3) 12
§Æt x2+x-2 =y
y=- 3 ,x2+x-2=- 3, x2+x+1=0 ,
2
0
x
= + ÷ + >
Bµi 32 : (x− 4) (x− 5) (x− 6) (x− = 7) 1680
(x2 11 28) (x2 11x 30) 1680
(y+1)(y-1)=1680, y2-1=1680, y2=1681,y= ± 41
( ) ( )
2
11 159
− = ⇒ =
⇒ + = ⇒ = −
Trang 15VËy PT cã hai nghiÖm x=1 vµ x=-12
x − x+ − x − x+ =
§Æt x2-6x+9=(x-3)2=y≥ 0
+ = ⇒ = −
⇔ − = ⇒ =
y=-1 (lo¹i)
− = ⇒ =
− = ⇒ − = ± ⇒ − = − ⇒ = −
VËy PT cã hai nghiÖm x=7 vµ x=-1
Bµi 34: (x2 + + 1) (3x x2 + + 1) 2x2 = 0
( )
2 2
2 2
+ = ⇒ + + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = −
2x+ 1 x+ 1 2x+ = 3 18 nh©n hai vÕ víi 4
( ) ( ) (2 )
2x 1 2x 2 2x 3 72
(y− 1) (y y2 + = 1) 72 ⇒y y2( 2 − = 1) 72 ⇒ y4 −y2 − 72 0 =
§Æt y2 = ≥t 0 PT trë thµnh t2-t-72=0
( 8) ( 9) 0 8 0 8
+ = ⇒ = −
t=-8 (lo¹i) víi t=9 suy ra y2 =
2
± ⇒
= − ⇒ + = − ⇒ = −
VËy PT cã nghiÖm x=1 ; x=-5/2
B i 36 : Gi¶i c¸c ph à ¬ng tr×nh sau:
a) 2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0
(x-3)(2x+5)=0
5
2
− = ⇒ = + = ⇒ = − b) (x 2 – 4) – (x – 2)(3 – 2x) = 0
(x -2) (x+2-3+2x) =0 (x-2)(3x-1)=0
1
3 1 0
3
− = ⇒ =
− = ⇒ =
e) 2x 3 + 6x 2 = x 2 + 3x
Trang 162x 2 (x+3)-x(x+3)=0 x (x+3)(2x-1)=0
0
1
2 1 0
2
x
=
⇔ + = ⇒ = −
− = ⇒ = c) (2x + 5) 2 = (x + 2) 2
(2x+5-x-2)(2x+5+x+2)=0
(2x+3)(3x+7) =0
3
2 7
3
x
+ = ⇒ = −
+ = −
Bµi 37:.Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
x− − x− = − ⇔ − = − ⇒ =x x
1
2 1
3 1
-x
1
2
+ +
=
−
−
x x
x x
x d
x 2 +x+1-3x 2 =2x 2 -2x suy ra 3x=1 x=-1/4
2 4
2 5 2 2
x
1
-x
)
x
x x
x b
−
−
=
−
− +
(x-1)(x-2)-x(x+2)=-5x+2 x2 − + + 3x 2 5x= − ⇒ = − ⇒ 2 0 4 OPT v« nghiÖm
16 8
1 ) 2 ( 2
1 8
4
5
8x
7
−
+
−
−
=
−
−
+
x x
x
x x x
x e
( )
( ) ( ( ) )
7 14 10 2 4 4
0= - 4 v« lý vËy PT v« nghiÖm
50 2
25 10
2
5 5
x
5 x
−
+
= +
−
−
−
+
x
x x x
x x c
( ) ( )
2 2
2 ( 25)
x x
x x
−
−
5x 25 0 5x 25 x 5
Bµi 38: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 + 2x3 – 4x2 – 5x – 6 = 0
x4+2x3-3x2 -x2-5x-6 =0 x2(x2+2x-3) - (x2+5x +6) =0
x2(x-1)(x+3)-(x+2)(x+3) =0 (x+3)(x3-x2-x-2) =0
(x 3) (x3 x2 x 2x2 2x 2) 0 (x 3)(x3 x2 x) 2x2 2x 2 0
(x 3)x x( 2 x 1) (2 x2 x 1) 0 (x 3) (x 2) (x2 x 1) 0
+ = ⇒ = −
− = ⇒ =
Trang 17Bài 39 : Giải phơng trình: 2 2 1 2x 13
x 1
−
+
2x 2 x x 1 2x 1 x x 2 0 (x 1)(x 2) 0
x=-1 (loại) và x=2
Bài 40 : Giải phơng trình:
(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)=12x 2
Với x =0 không phải là nghiệm phơng trình =>x 0 , chia hai vế ph ≠ ơng trình cho x 2 ta có phơng trình : ( ) ( 6) 12
6
2
=
− +
− +
x
x x x
x x
<=> 6 5 6 1= 12
x
x x
x
Đặt t = −6+ 1
x
x
ta có phơng trình : (t+4)t = 12<=> t 2 +4t =12 <=> t 2 + 4t -12 = 0<=>t1= 2 ; t2 =- 6
Với t=t1= 2 ta có phơng trình ; −6+ 1 = 2
x
x
⇔ x 2 -x-6=0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = 3 ; x2= -2
Với t = t2=- 6 ta có phơng trình −6+ 1 = − 6
x x
x 2 +7x -6 =0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1=
2
73 7
; 2
73 7
2
+
−
=
−
Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt…
c) 4x – 12.2x +32 = 0 ⇔2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0
⇔2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 ⇔(2x – 8)(2x – 4) = 0
⇔(2x – 23)(2x –22) = 0 ⇔2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0
⇔ 2x = 23 hoặc 2x = 22 ⇔ x = 3; x = 2
Giải:
a) Giải phương trỡnh:
1
2
x
x
=
=
(vỡ 2x2 + > 3 0)
Vậy tập nghiệm của pt là: 1;3
2
s=