tìm hiểu về các nguyên thể trong đồ hoạ

Toạ độ cột mang giá trị dương khi tiến sang phải ,toạ độ dong mang giá trị dương khi tiến về phía dưới .Do giới hạn của màn hình ta chỉ nhìn thấy một phần trong toàn bộ mặt phẳng các điể

Chương I : TìM HIểU về các nguyên thể trong đồ hoạ

Hình ảnh được cÂu thành từ các nguyên thể cơ bản như điểm ảnh , đường

thẳng ,độ sáng ,màu sắc …

1 Điểm :

1.1 Kh¸i niÖm :

Điểm là đơn vị nhỏ nhất trong chế độ đồ hoạ Các chương trình đòi hỏi

độ chính xác và thẩm mü cao đều phảI truy xuất đến từng điểm ảnh

1.2 Thñ tôc vÏ mét ®iÓm :

Xây dựng trên cơ sở thủ tục vẽ một đoạn thẳng với hai đầu mót trùng nhau

• Thủ tục Putpixel ( x,y :integer ; color : word) vẽ một ®iªmt tại toạ độ (x,y)

và chỉ số màu là color trên màn hình

• Thủ tục GetPixel ( x,y :integer ) trả về chỉ số màu của điểm ảnh tại toạ (x,y)

• moveto ( x,y :integer ) : chuyển con trỏ đồ hoạ tới toạ độ x,y

• Thủ tục Line (x,y,x1,y1) : vẽ một đường thẳng từ (x,y) đến ( x1, y1)

• Thủ tục Lineto (x,y) : vẽ đoạn thẳng từ vị trí con trỏ đến điểm ( x,y)

• Thủ tục Linerel (Dx , Dy ) : nối đoạn thẳng từ vị trí con trỏ hiện hành đến điểm có toạ độ cách đó một khoảng Dx , Dy Với Dx dương : bên phải ; Dy dương : dưới màn hình

3 Cửa sổ đồ hoạ ( Viewport ) :

Ta đang xét hình ảnh trong không gian thực ,hình ảnh sẽ có các toạ độ điểm với giá trị nguyên (dương hoặc âm) Điểm ảnh nằm góc trên ,bên tráI màn hình có toạ độ (0,0) Toạ độ cột mang giá trị dương khi tiến sang phải ,toạ độ dong mang giá trị dương khi tiến về phía dưới Do giới hạn của màn hình ta chỉ nhìn thấy một phần trong toàn bộ mặt phẳng các điểm ảnh Khi xử lÝ ảnh

rõ ràng là không phảI khi nào ta cũng cần bao quát và không thể bao quát một vïg lớn như vậy.Thường ta chia ảnh ra nhiều vùng hình chữ nhật và khảo sát hình ảnh trong đó Một cửa sổ được xác định bởi hai đầu mót đường chéo chính của hình chữ nhật,ta gọi đó là hai điểm có toạ độ (x1,y1)và (x2,y2).

Ta sẽ xây dựng thủ tục để xác định cửa sổ nh sau:

Cua so(x1,y1,x2,y2:real)

Các tham số trên có thể là trị ,biến hoặc biểu thức và thoả mãn đồng thời

x1<x2,y1<y2

Cửa sổ

Vd:Bốn tham biến này có thể là :

+Hằng :cua so(-10,10,2.5,15)

+Biến :cua so(A,B,C,D)

+Biểu thức :cua so (A+10,B-10,C+20,D+10)

4.Tầm nhìn

Hình ảnh mà ta đang khảo sát trên cửa sổ phải được thể hiện lên màn hình máy tính Giả sử ta thể hiện nội dung của nó lên một vùng hình chữ nhật của màn hình.Ta gọi vùng màn hình này là tầm nhìn người xử lÝ.

Ta sẽ xây dựng một thủ tục để xác định tầm nhìn như sau:

(x1,y1)

(0,0) 639

Với 0 <= x3 < x4 <= getmax X ( giá trị lớn nhất của X )

0 <= y3 < y4 <= getmax Y ( giá trị lớn nhất của Y )

5

Mối quan hệ giữa tầm nhìn và cửa sổ :

5.1 Chiếu cửa sổ lên tầm nhìn

Muốn thể hiện một điểm ảnh trong cửa sổ lên tầm nhìn ta phải xác định được công thức để chuyển toạ độ của điểm đó trong không gian thực sang toạ độ màn hình Ta quan sát màn hình dưới đây thể hiện phép chiếu một điểm ( xo , yo ) trên cửa sổ lên điểm ( xo , yo ) trên tầm nhìn lưu ý rằng ta định nghĩa hệ toạ độ trên tầm nhìn là hệ toạ độ với trục tung y quay lên còn toạ độ màn hình có chiều trục tung y quay xuống

Trước hết cần tính tư lệ thu phóng trên trục x và trục y

• xtl = ( x4 – x3 ) / ( x2 – x1 )

• y tl = (y4 - y3) / (y2 - y1 )

• x e = ( x 6 – x1) x Xtl

• y e = (y6 – y1 ) x Y tl

• Trong đó : x1 , y1 : hoành độ ,tung độ nhỏ nhất của cửa sổ

X2 ,y2 : hoành độ , tung độ lớn nhất của cửa sổ

X3 , y3 : hoành độ , tung độ nhỏ nhất của tầm nhìn

X4 , y4 : hoành độ , tung độ lớn nhất của tầm nhìn

5.2 Nhiễu hình :Khi chiếu cửa sổ lên tầm nhìn các hình ảnh không còn

giữ nguyên được hình dạng ban đầu ,hình bị méo do tư lệ giữa đáy / chiều cao của tầm nhìn và đáy /chiều cao của cửa sổ

Không bị nhiễu hình : D/ H = D’ / H ’

Khi bị nhiễu hình : D / H <> D’ / H’

Trong đó : D : đáy ; H : chiều cao của cửa sổ

D’ : đáy tầm nhìn ; H’ :chiều cao tầm nhìn

Khi D, H là tầm nhìn cố định , với tầm nhìn khách nhau thì tầm nhìn khác nhau thì dẫn đến nhiễu hình hoặc không nhiễu hình

VD : Vẽ đường tròn có bán kính R= 4 trên cửa sổ D= 4 , H=4

+ Trên tầm nhìn (2,3,4,5) thì ta có D’ =1 ; H’=1 ; D/H= D’/H’ = 1/1

Không bị nhiễu hình

+ Trên tầm nhìn (1,1,8,3 ) ta có D’ =7, H’= 2 ; D’/H ’ = 7/2 mà D/H =6/6 D/H <> D’/H’ nên hình bị nhiễu ,có dạng :

Bị nhiễu hình

+ Trên tầm nhìn (1,3,4,7 ) ta có D’= 3 ; H’=4 ; D’/H’ =3/4 mà D/H = 6/6

Bị nhiễu hình

5 3 Thu , phóng hình :

Giả sử ta có tầm nhìn cố định trên màn hình ,bây giờ ta dùng các cửa sổ với độ lên khác nhau để xem hình từng phần của hình Các trường hợp có thể xảy ra :

+ Kích thước cửa sổ giữ nguyên nhưng vị trí cửa sổ di chuyển trên không gian đồ hoạ lúc này ta có thể khảo sát các phần khác nhau của ảnh ,hình của ảnh được chiếu lên màn hình có kích thước không đổi

+ Kích thước cửa sổ thu nhỏ lại : phần của ảnh được khảo sát trên cửa sổ trên cửa sổ thu nhỏ lại , song hình của nó trên tầm nhìn cồ định được phóng to

+ Kích thước cửa sổ phóng to ra : phần của ảnh được khảo sát lớn hơn song ảnh của nó trong tầm nhìn cố định được thu nhỏ lại

+ Tóm lại ,nguyên tắc thu phóng nh sau với tầm nhìn cố định :

+ Phóng ảnh : Thu nhỏ cửa sổ so với tầm nhìn cố định

+ Thu ảnh : Tăng kích thước cửa sỗ

6 Xén hình – Clipping :

Kỹ thuật Clipping là kỹ thuật cắt xén , loại bỏ phần ảnh không nằm trong cửa sổ Clipping là tiến trình xác định các điểm của một đối tượng nằm trong hay ngoài cửa sổ hiển thị nếu điểm nằm ngoài cửa sổ hiển thị sẽ bị loại bỏ GiảI thuật này nhằm mục đích xác định nhanh phần chứa các điểm hiªnt thị và loại bỏ các phần không chứa Ta chỉ cần quan tâm ®Ðn

hai điểm đầu và cuối của đoạn thẳng đó chứ không phảI các điểm nằm trên đoạn thẳng đó

Nếu cả hai điểm đầu và cuối của đoạn đều nằm về một phía trong cửa sổ Clipping thì đoạn thẳng đó sẽ được vẽ đầy đủ ,không bị cắt phần nào Còn khi một trong hai ,hoặc cả hai điểm nằm ngoài cửa sổ Clipping , đoạn thaneg sẽ bị loại bỏ phần nằm ngoài cửa sổ Clipping

VD :

Trước khi Clipping Sau khi Clipping

5.3.2 Một số giảI thuật Clipping :

1 GiảI thuật Cohen – Surtherland :

Thuật giải này giải giảI quyết bài toán làm thế nào để xác định phần đoạn thẳng có trong cửa sổ Theo Cohen thì một cửa sổ sẽ được chia thành 9 phần ,mỗi phần được ứng với một mã 4 bít , 1 điểm P ( x,y ) bất

kỳ thuộc cửa sổ sẽ ứng với 1 mã 4 bít gọi là Kod : Kod (P) = b1b3b2b4 Trong đó : b I : (i=1 4 ) được xác định nh sau :

b 1 = 1 nếu P nằm bên trái cửa sổ

b 2 = 1 nếu P nằm bên phảI cửa sổ

b 3 = 1 nếu P nằm bên dưới cửa sổ

b 4 = 1 nếu P nằm bên trên cửa sổ

Nh vậy P (x,y ) bất kỳ thuộc mặt phẳng chiếu được xác định theo (1) nh sau

Trong đó : b 1 : bít dấu của x- xmin

b 2 : bít dấu của xmax - x

b3 : bít dấu của ymax - y

b4 : bít dấu của y- ymax

Quy ước : Nếu P thuộc biên của cửa sổ thì Kod (P ) =0000

• Đoạn thẳng nhìn thấy  P1P2 thuộc cửa sổ  Kod(P1) =Kod(P2)

=0000

• Đoạn không nhìn thấy :

• Khi P1P2 nằm ngoài cửa sổ  Kod(P1) and Kod(P2) <> 000

• Đoạn thẳng cắt : Không thoả mãn hai điều kiện trên

- 1 Hai đầu mót nằm trên hai cạnh cửa sô ( AB - Hình vẽ )

- 2 Một trong hai đầu mót nằm ngoài cửa sổ (CD – Hình vẽ )

- 3 Cả hai đầu mót nằm ngoài cửa sổ ( EF – Hình vẽ )

• Nội dung thuật giải Cohen – Sutherland :

Giả sử P1(x1,y1) , P2 (x2,y2) và cửa sổ ( x min ,ymin ,xmax, Ymax )

• Bước 1 : Tính Kod (P1) và Kod (P2)

• Bước 2 : Nếu Kod (P1) = Kod(P2) =0000 thì nhảy đến bước b5 (P1P2 ) nằm trong cửa sổ

• Bước 3 : Nếu Kod (P1) =Kod(P2) <> 0000 thì nhảy đến bước b6 (P1P2) nằm ngoài cửa sổ

• Bước 4 : Nếu không thoả mãn 2 điều kiện trên thì thực hiện

Nếu Kod(P1) =0000 thì hoán vị P1 với P2 để Kod(P1) <> 0000 và lấy Kod (P1)=b4b3b2b1

- Nếu b1= 1 thì y1 := y1+ (y2- y1) * (Xmax –X1)/(X2-X1)

- Nếu b2= 1 thì y1 := y1+ (y2- y1) * (Xmax –X1)/(X2-X1)

- Nếu b3= 1 thì y1 := x1+ (X2- X1) * (Ymax –Y1)/(Y2-Y1)

- Nếu b4= 1 thì y1 := x1+ (X2- X1) * (ymin –Y1)/(Y2-Y1)

Quay lại bước 1

Y

Init graph (gd,gm , ‘ \bgi ‘) ;

If graph result <> grOk then

If (x1 > xmin ) and ( x1 < xmax ) and ( x2 > xmax ) then x2:=xmax ;

If (x2 > xmin ) and ( x2 < xmax ) and ( x1 < xmin ) then x1:=xmin ;

Line(round(x1) ; round( y1) ; round(x2) ;round(y2));

End;

End;

Procedure Kod( x, y:real ; var c :code ) ;

Begin for i:= 1 to 4 do b[ i] :=0 ;

Chon ,tong1,tong2 ,mu2 :byte ;

Tong1 := tong1 + c[i] *mu2 ;

Tong2 := tong2 + c[i] *mu2;

Else begin chon :=3 ;

If tong1 = 0 then begin tgx:= x1 ; x1 := x2 ; x2 :=tgx ;

Tgy :=y1 ; y1 := y2 ; y2 : =tgy ;

write( ‘ nhap toa do cua so xmin , ymin ‘ );

Readln (xmin , ymin ) ;

Write ( ‘nhap toa do cua so xmax ,ymax ) ;

Readln ( xmax ,ymax );

Rectangle (xmin ,ymin , xmax ,ymax );

Settextjustify ( 1,1);

Settextstyle(1 ,0 ,5 );

Outtextxy (320, 450, ‘hien thi mot doan thang trong mot cua so cho truoc ‘) ;

Outtextxy (320, 470 ,’ theo thuat toan cohen_surtherland ‘);

Setcolor (white) ; Setlinestyle(1,0,0) ;

Line ( round ( a1) ,round ( b2 ) ,round ( a2 ) , round (b2 ) ) ;

Các phép biến hình trong không gian

I.HÔ toạ độ trong không gian

Để định vị một điểm trong không gian ba chiều ta chọn hệ toạ độ đề các hoặc hệ tạo độ cầu.

Người ta còn phân biệt hệ toạ độ Đề Các thuận và hệ Đề Các nghịch

1.1 Hệ toạ độ Đề Các sao cho khi quay cái vặn nút trai theo chiều từ OX sang

OY theo vuông góc góc thì chiều tiên của cái vặn nút chai trùng với chiều dương của trục OZ(Cùng chiều với trục oz)

Z

Z

Y X

Y

X

1.2 Hệ toạ độ Đề Các nghịch

Là hệ toạ độ không phải thuận , tức là khi quay cái vặn cót chai từ OX sang

Oy theo phương vuông góc thì chiều tiến của cái vặn nút chai ngược chiều dương của trục OZ

2.Hệ toạ độ cầu :

Một điểm M trong không gian tương ứng với một bộ ba số (S, φ ,0)

O:góc giữa OX và OM

Bộ ba số (R, φ ,0) gọi là toạ độ cầu của điểm M.

3.Liên hệ giữa toạ độ Đề Các và toạ độ cầu:

Biết toạ độ cầu , tính được toạ độ Đề Các theo công thức sau:

x

X Hình 2.4 Mối quan hệ toạ độ Đề Các và hệ toạ độ cầu

Biết toạ độ Đề Các tính được toạ độ cầu theo công thức:

II.Các phép biến đổi

1.Giới thiệu:

Vấn đề cơ bản của các hệ thống đồ hoạ máy tính là khả năng mô phỏng dự chuyển động của các đối tượng trong không gian hai chiều (2D) và ba chiều (3D) Các quá trình này bao gồm phép tịnh tiến ,phép quay,phép co dãn và phép lấy đối xứng Các phép tính toán dược mô tả dưới dạng công thức toán học để phù hợp với

quan diểm là ô tụ đứng yờn cũn cảnh vật chuyển động Trong một vài

trường hợp cả hai phương phỏp trờn đều được sử dụng.

Trước khi tỡm hiểu xem lại cỏc phộp biến đổi trong khụng gian ba chiều Chúng ta xem lại cỏc phộp biến đổi trong mặt phẳng (Vỡ nú là cơ sở của phộp biến đổi trong khụng gian ba chiều )

2 Cỏc phộp biến đổi đồ hoạ

2.1 Cơ sở toỏn học của cỏc phộp biến đổi toạ độ

Giả sử M(x,y) qua phộp biến đổi nào đú đờ thành M’(x’,y’)

Ta cú thể viết (*)  (x’,y’,1)= (x,y,1).F

Trong đú : F là ma trận của phộp biến đổi MM’

Định lí : Nếu F1 là ma trận của phộp biển đổi M -> M’

Nịu F2 là ma trận của phộp biến đổi M-> M’

Thỡ ma trận của phộp biến đổi M-> M’’ là F=F1.F2

M F1 M’ F2 M’’

VD: Xột bài toỏn sau :

Bài toỏn : Cho M(x,y) được tịnh tiến theo v( a,b) tới M’ ,sau đú M’ được tịnh tiến theo v’(a1,b1) tới M’’.Tiết lập phép chuyển đổi từ M tới M’’ nh sau :

a b 1 a1 b1 1 a+a1 b+b1 1

=> (x’’,y’’,1)=(x,y,1).F VD: Cho M(1,2), v(2,3), v’(1,1).Tính m’’

Y M’(x’,y’)

M(x,y)

X

Theo định nghĩa hai vecter bằng nhau

0 0 1

Y

M(1,1)

X 0

Đối xứng qua một đường thẳng bất kỳ

Đường thẳng có phương trình : AX+By+c=0 (1), có vecter pháp tuyến (A,B), một điểm M(x1,y1)

Ta phải tìm điểm M’là điểm đối xứng của M qua đường thẳng (1) Muốn vậy ta phải tìm được toạ độ điểm H là trung điểm của MM’ M(x1,y1)

x’=R(cos α cos α 0-sin α sin α 0 (*)

=> y’=R(sin α cos α 0 +cos α sin α 0)

M0

X M1(x1,y1) Quay M1 M1(x1,y1) M2 với góc quay α

Quay M1(x1,y1) R(0, α ) M2(x2,y2)

Theo định nghĩa phép tịnh tiến , hai vecter bằng nhau

=> F= -sin cos -x0cos +y0sin+b -x0sin-y0cos+y0

4.Các phép biến đổi đồ hoạ trong không gian ba chiều

Y

X

b.Phép co dãn tư lệ

Là quá trình co danx thay đổi theo các chiều của một đối tượng Hệ số

co dãn kx,ky,kz theo các trục Ox,Oy,Oz xác định phép co dãn là phóng

to hay thu nhỏ Phép co dãn tỉ lệ sẽ biến đổi toạ độ (x,y,z) thành toạ

độ (x’,y’,z’) theo công thÐc sau :

Trong phần này ta xét ba phép đối xứng thường dùng đó là :Đối xứng qua gốc toạ

độ , đối xứng qua trục toạ độ , đối xứng qua mặt phẳng toạ độ

C1.Phép đối xứng qua gốc toạ độ

Biến đổi toạ độ (x,y,z) thành toạ độ (x’,y’,z’) theo công thức:

c3.Phép đối xứng qua mặt phẳng toạ độ

Đối xứng qua mặt phẳng toạ độ Oxy ta có:

x’=x

y’=y

z’=-z

Từ đó suy ra ma trận phép biến đổi đối xứng qua mặt phẳng toạ độ Oxy trong không gian nh sau:

1 0 0 0

0 1 0 0

Fxy= 0 0 -1 0

0 0 0 1

Đối xứng qua mặt phẳng Oyz

Tương tự ma trận của phép biến đổi đối xứng qua mặt phẳng Oyz

Cho mặt phẳng ( α ) có phương trình : Ax+By+Cz+D=0

Vecter pháp tuyến n(A,B,C) , M(xm,ym,zm)

H(x1,y1,z1) là giao của mặt phẳng ( α ) với MM’

d.Phộp quay quanh một trục toạ độ

Phộp quay quanh trong khụng gian ba chuều đơch xột phức tạp hươn phộp quay được xỏc định bởi gúc quay θ và tõm của phộp quay P Trong khụng gian ba chiều , phộp quay được xỏc định bởi gúc quay và một trục quay Phé quay chớnh tắc được xỏc dịnh khi một trong cỏc trục x,y,z dương được chnj làm trục quay.D1.Quay quanh trục z thỡ giỏ trị toạ độ z khụng thay đổi , chỉ cú giỏ trị toạ độ x và ythay đổi Nh vạy tương đương với việc quay hỡnh chiếu của điểm M(x,y) la

M1(x,y,0) theo gúc quay θ tới vị trớ M1’(x’,y’,0) trong mặt phẳng Xoy

III Nghịch ®o¶ ma trận các phép biến đổi.

Nghịch đảo của ma trận quay nhận được bằng cỏch thay thế gúc θ bằng

-θ, tức là quay theo chiều ngược lại

2.Quan hệ giữa phộp biến đổi hệ toạ độ và phộp biến đổi toạ độ điểm

Từ trước tới giờ chỳng ta chỉ đề cập tới cỏc phộp biến đổi toạ độ điểm so vớimột hệ toạ độ cố định Núi cỏch khỏc , chỳng ta xờ dịch vật thể trong khi toạ độdứng yờn Cúng cú thể thu được kết quả như vậy nếu chúng ta di chuyển hệ toạ độ,cũn vật vẫn đứng yờn , khi đú toạ độ của điểm trong hệ mới cúng thay đổi

Định lý: Ma trận của phộp biến đổi hệ toạ độ và ma trận của phộp biến đổiđiểm là hai ma trận nghịch đảo nhau Ta cú thể thực hiện phộp tịnh tiến , co dón

và phộp quay bằng cỏch di chuyển người quan sỏt đối tượng cũn đối tượng thỡ giữnguyờn Loại chuyển đổi này cũn được gọi là phộp chuyển đổi toạ độ Ta gắn một

hệ toạ độ vào người quan sỏt Sau đú di chuyển người quan sỏt cựng vơí hệ toạ độđược gắn vào Sau đú, tớnh lại toạ độ của đối tượng được quan sỏt trong trong hệtoạ độ người quan sỏt mới Giỏ trị toạ độ mới quan sỏt đựơc tớnh chớnh xỏc tương

tự nh khi quan sỏt đứng yờn cũn đối tượng chuyển động tương ứng với một phộpchuyển đổi hỡnh học

IV.Kỹ thuật chuyển độnh hỡnh khụng gian

Thường dựng cỏc phương phỏp sau đõy.

1.Sử dụng cỏc phương phỏp chuyển động hỡnh phẳng

Hỡnh khụng gian vẽ trờn mỏy tớnh thực chất là hỡnh chiếu của hỡnh khụng giantrờn màn hỡnh , tức là hỡnh phẳng Vỡ vậy cú thể dựng cỏc phương phỏp làm hỡnhphẳng chuyển động để làm hỡnh khụng gian chuyển động Điều khỏc nhau cơ bản

là cỏc hỡnh phẳng ở đõy là hỡnh chiếu của một hỡnh khụng gian , phải phương phỏp

- Tạo lại ảnh mầu vẽ tại vị trid mới Cách 2:

-Thủ tục Set Activepage (page:word):đặt hoạt động cho trang có số

hiệu Page , chưa hiện trang này(thêng đực gọi trước khi thực hiện các lệnh xó lÝ đồhoạ cho trang sắp được xem)

-thủ tục Set vitualpage (page:word) hiện trang màn hình có số hiệu

Page (đã được chuẩn bị trước bằng lệnh Set activepage)

2.Sử dụng tham số các phép chiếu

Trong phép chiếu ình không gian có bốn tham số xác định vị trí tâm chiªó ,tức là điểm quan sát hình không gian Tại mỗi vị trí quan sát một hình chiếu cũngthay đổi theo Ta tạo tính chất này để tạo hình chuyển động

2.1 Thay đổi gocd θ

Khi tăng góc θ , điểm quan sát chạy trên dường tròn nằm rtong mặt phẳngsong song Xoy Nếu tại mỗi giá trị θ ta vẽ một hình thì dãy hình này gây cho ta cảmgiác vật thể quay theo chiều ngược với chiều di chuyển củ điểm quan sát Ta thayđổi góc θ để làm hình không gian chuyển động quay

2.2 Thay đổi góc ϕ.

Tương tự khi tăng góc ϕ , điểm quan sát chạy trên đường tròn nằm trong mặtphẳng vuông góc với góc Xoy Vì vậy thay đổi gia trị ϕ , hình không gian sẽ quaytheo chiều ngược với chiều di chuyển của điểm quan sát

2.3 Thay đổi D hoặc R

Khi thay đổi , khoảng cách từ điểm quan sát đến hình không gian sẽ thay đổi mhình chiếu sẽ được phong to hay thu nhỏ Ta dùng tính chất này để “Zoom” hình

_ Thực tế để vẽ một hình trong không gian lên màn hình đồ hoạ là vẽ hìnhchiếu của hình không gian này lên mặt phẳng màn hình Các hình không gian là tậphợp các điểm không gian, vì vậy để chiếu hình không gian lên mặt phẳng ta chỉ cầnnghiên cứu phép chiếu một điểm trong không gian lên một mặt phẳng bất kỳ.

_ Trong không gian để chiếu một điểm lên một mặt phẳng có các phép chiếusau: Phép chiếu phối cảnh và phép chiếu song song Sự khác biệt giữa hai phépchiếu này là mối quan hệ giữa tâm chiếu và mặt phẳng chiếu Nếu khoảng cách giữatâm chiếu và mặt phẳng chiếu là hữu hạn thì phép chiếu đó là phối cảnh Nếukhoảng cách đó là vô hạn thì ta có phép chiếu song song Trong phép chiếu songsong , tâm chiếu ở vô cùng và các tia chiếu gần nh vuông góc với mặt phẳng chiếu.Khi xách định phép chiếu phối cảnh phải xác định chính xác tâm chiếu, khi xácđịnh tâm chiếu là một điểm, được biểu diễn trong hệ toạ độ thuần nhất là (x,y,z,1).Khi hướng chiếu là một vecto thì được xác định nh sau:

D = (x,y,z,1) – (x’,y’,z’,1) = (a,b,c,0)Phép chiếu phối cảnh có tâm ở vô cùng sẽ trở thành phép chiếu song song.Tác động trực quan của phép chiếu phối cảnh tương tự nh trong chụp ảnh với

hệ thống thị giác của con người và được coi nh định luật phối cảnh xa gần Kíchthước của đối tượng qua phép chiếu phối cảnh nghịch đảo với khoảng cách từ đốitượng tới tâm chiếu Phép chiếu phối cảnh có khuynh hướng cho ta ảnh trông thật.Tuy nhiên phép chiếu phối cảnh không dùng để biểu diên chính xác một bề mặt của

đối tượng song song với mặt phẳng chiếu Các đường thẳng song song khi qua phépchiếu phối cảnh nói chung sẽ không song song.

_ Phép chiếu song song không cho hình ảnh thật của đối tượng bởi vì nókhông có định luật phối cảnh xa gần Phép chiếu được sử dụng để xác định kíchthước một cách chính xác và các đường thẳng song song khi qua phép chiếu vẫnsong song với nhau Nh trong phép chiếu phối cảnh, các góc được bảo toàn chỉ khicác mặt của đối tượng song song với mặt phẳng chiếu

1 Phép chiếu phối cảnh

_ Phép chiếu phối cảnh là một phép chiếu cho hình ảnh giống như hình ảnh

ta quan sát vật thể Tâm của phép chiếu nằm ở một khoảng cách hữu hạn so với mặtphẳng chiếu Phép chiếu phối cảnh không giữ nguyên hình dạng của vật thể, chỉ cónhững đường nằm trên mặt phẳng song song với mặt phẳng chiếu mới giữ nguyênhình dạng Tâm chiếu S ở đây được coi là điểm đặt mắt quan sát của người xử lý

_ Tất cả các phép phối cảnh đều được qui định bởi 5 biến sau:

+ Hướng của mặt phẳng chiếu so với vật thể+ Độ cao của tâm chiếu so với vật thể

+ Khoảng cách từ tâm chiếu tới vật thể+ Khoảng cách từ mặt phẳng chiếu đến vật thể+ Độ dịch chuyển ngang của tâm chiếu so với vật thể

2 Phép chiếu song song

_ Tính song song được bảo toàn, góc và khoảng cách trong mặt song songvới mặt phẳng chiếu cũng được bảo toàn Tuy nhiên hình chiếu song song sẽ chohình chiếu khó nhìn hơn hình chiếu phối cảnh

Sau đây ta sẽ đi vào chi tiết để tìm toạ độ hình chiếu

II Tính toạ độ các hình chiếu

1 Chiếu điểm M(x,y,z) lên mặt phẳng (E) song song mặt

_ Điểm M(x,y,z) chiếu phối cảnh tâm O lên mặt phẳng cho ta điểm M1, chiếuvuông góc lên E cho ta điểm M2 Hãy tìm toạ độ M1,M2.

_ Gọi khoảng cách từ O đến (E) là d, giao của (E) với Oz là G ta có:

1.2 Hình chiếu song song

x2 = x

y2 = y

z2 = d

2.Chiếu điểm M(x,y,z) lên mặt phẳng (E) bất kỳ

a Bài toán: Xét điểm M(x,y,z) và mặt phẳng (E) bất kỳ.Vẽ nửa

đường thẳng Ot vuông góc (E) cắt (E) tại (G) Trên Ot lấy điểm S bất kỳ

=>

_ Điểm M (x,y,z) chiếu phối cảnh tâm S lên mặt phẳng (E) cho tađiểm M1 chiếu vuông góc lên (E) cho ta điểm M2 Hãy tìm toạ độ M1, M2.

Y0

X0M

về trường hợp mặt phẳng (E) song song với mặt phẳng toạ độ để sử dụng cáckết quả đã trình bày ở trên

_ Muốn vậy ta thực hiện các phép biến đổi không gian sao cho hệ Oxyzthành hệ nghịch S xoy0zo song song với (E).Sở dĩ chọn hệ S xoy0zo nghịch để vềsau, trên (E) ta gắn vào hệ Đề Các Gxy thì hệ này là thuận Khi đó giả sử tìmđược toạ độ điểm M trong hệ S xoy0zo là (xoy0zo) ta dễ dàng tìm được toạ độ cáchình chiếu Vậy vấn đề cần giải quyết là tìm (xoy0zo ) Ta lần lượt thực hiện cácphép biến đổi sau đây, chú ý sau mỗi phép biến đổi ta tìm được ma trận phépbiến đổi hệ toạ độ, lấy nghịch đảo ma trận này ta được ma trận biến đổiđiểm,nhờ ma trận biến đổi điểm ta tính được toạ độ điểm trong hệ mới

* Phép biến đổi 1

_ Tịnh tiến hệ Oxyz thành hệ Sx1y1z1 (gốc O thành S) Khi đó gọi F1 là matrận biến đổi, toạ độ M trong hệ này là (x1,y1,z1) tính được từ (x,y,z) theo công thức

(x1 y1, z1 1) = (x y z 1)F1

_ F1 là nghịch đảo của ma trận tịnh tiến theo vect¬ OS, bằng cách thay vect¬

OS bởi vect¬ - OS ta được

-a -b -c 1

* Phép biến đổi 2:

Quay hệ Sx1y1z1 quanh trục Sz1 một góc –(90 - 0) để được hệ Sx2y2z2 có

Sy2 cắt Oz Khi đó G2 là ma trận biến đổi điểm, toạ độ P trong hệ này là (x2,y2,z2)tính được từ (x1,y1,z1) theo công thức :

(x2 y2 z2) = (x1 y1 z1).F2

_ F2 là nghịch đảo của ma trận quay quanh OZ Bằng cách thay α

bằng –α vào ma trận phép quay quanh Oz, sau đó thay α =- (90 - 0) ta được:

*Phép biến đổi 3.

_ Quay hệ Sx2y2z2 quanh trục Sx2 một góc (90 + ) để được hệ Sx3y3z3 có Sz3

đi qua gốc O Khi đó gọi F3 là ma trận biến đổi điểm, toạ độ P trong hệ này là(x3y3z3) tính được từ (x2y2z2) theo công thức :

(x3 y3 z3 1) = (x 2 y2 z2 1).F3

_ F3 là nghịch đảo của ma trận quay quanh Ox, bằng cách thay α bằng -α

vào ma trận phép quay quanh Ox, sau đó thay α = (90 + ) ta được: