hướng dẫn giải đề thi thử đại học 2015

hướng dẫn giải đề thi thử đại học 2015 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả cá...

Giới hạn và tiệm cận: lim lim 3

x (C m ), m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m3

2 Cho hai điểm A( 3; 4) và B(3; 2) Tìm m để trên đồ thị (C m ) có hai điểm P, Q cách đều hai điểm A , B và diện tích tứ giác APBQ bằng 24

x

'

y y

http://boxmath.vn Trang 2

2 Cách 1: (Lời giải của quydo)

Phương trình đường thẳng PQ đi qua trung điểm K(0;1) của AB và vuông góc với AB

Tương tự Q cũng thuộc ( C m) nên Q thỏa mãn b2mb 3 0

Như vậy a,b thỏa mãn phương trình x2mx 3 0

Cách 2: (Lời giải của phamtuankhai )

Tứ giác APBQ có đường chéo PQ là trung trực của AB nên (PQ) :x  y 1 0

2

APBQ APBQ

S

AB

Như vậy ta tìm m sao cho đường thẳng y  cắt (x 1 C m) tại hai điểm phân biệt P,Q và PQ 4 2

Phương trình hoành độ giao điểm 1 2 2 3 0,

Vậy m 2 thỏa mãn điều kiện bài toán

1 Cách 1: (Lời giải của quydo)

Ta có: 2 cos cos sin

http://boxmath.vn Trang 3

1sin 2

2

3cos 2

22

3sin 2

 Với x  1, thay vào (5) ta được: y   1.

 Với xy , thay vào (5) ta được: 1 x3x2x0x x( 2 x 1)0x0

 Với xy   , thay vào (5) ta được: 1

Do điều kiện x 0 nên hai vế phương trình trái dấu  phương trình vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: ( ; )x y   ( 1; 1), (0;1)

(Lời giải của duynhan)

21

(Lời giải của duynhan)

Trên nữa mặt phẳng bờ BD có chứa điểm A dựng tia Bx vuông góc BD

2a 2, mặt phẳng (SBD) tạo với mặt đáy góc 60o Tính thể tích hình chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC theo a

Bất đẳng thức được chứng minh, đẳng thức xảy ra khi abc1.

(Lời giải của phamtuankhai)

1.Theo chương trình Chuẩn

1 Cách 1: (Lời giải của duynhan)

Do ABAC nên tam giác ABC là tam giác đều

Suy ra AB, CD tạo với đường thẳng BD một góc 300

Kẻ PH BDPH BP.sin 300

2 3 1( , )

Câu VI.a (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có phương trình cạnh BD là xy Đường 0

thẳng AB đi qua điểm P(1; 3), đường thẳng CD đi qua điểm Q( 2; 2 3)  Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi, biết độ dài AB AC và điểm B có hoành độ lớn hơn 1

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ABC vuông cân tại C với A(5;3; 5),(3; 1; 1)

B   Lập phương trình đường thẳng d, biết d đi qua đỉnh C của ABC, nằm trong mặt phẳng ( ) : 2 x2y  và tạo với mặt phẳng ( ) : 2z 0  xy2z  góc 455 0 o

Tọa độ trung điểm I của BD: I  ( 1; 1)

Phương trình đường thẳng AC: x   y 2 0

Cách 2: (Lời giải của quydo)

Giả sử phương trìh đường thẳng AB có hệ số góc là k Do ABAC nên tam giác ABC đều

30 tan 30

k k ABD

 Với k  2 3 thì phương trình đường thẳng AB đi qua P có hệ số góc k là: y(2 3)x2

Tọa độ giao điểm B của AB và BD: 0 3 1

B y

D y

Suy ra trung điểm I của BD là ( 1; 1) I  

Từ đó ta viết được phương trình đường thẳng AC: x   y 2 0

Tìm tọa độ điểm A, C tương tự như cách trên ta được A ( 3 1; 3 1)  , C( 3 1;  3 1)

Vậy A ( 3 1; 3 1)  , B(2; 2), C( 3 1;  3 1) , D  ( 4; 4)

http://boxmath.vn Trang 9

2 (Lời giải của kiet321 )

Do d đi qua C mà d nằm trong ( ) nên C( ) C x y( ; ; 2x2 )y

là vectơ chỉ phương của đường thẳng d

Theo giả thuyết ta có 2a2b c 0 (d nằm trong ( ) )

84237

http://boxmath.vn Trang 10

2 Theo chương trình Nâng ca

1 (Lời giải của duynhan)

Gọi (A x A;y A), (B x B;y B)

Gọi phương trình đường OA là: ax by 0, (a2b2 0)

Tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình: 2 2

Câu VI.b (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho elip

16 9

E   Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E),

có hoành độ dương sao cho tam giác OAB vuông tại O và có diện tích nhỏ nhất

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x2y2z  và đường 2 0thẳng ( ) : 2 1

d    

 Mặt cầu (S) có tâm I nằm trên đường thẳng (d) và giao với mặt phẳng

( )P theo một đường tròn, đường tròn này với tâm I tạo thành một hình nón có thể tích lớn nhất Viết phương trình mặt cầu (S), biết bán kính mặt cầu bằng 3 3

http://boxmath.vn Trang 11

2 (Lời giải của Lil.Tee )

Đặt khoảng cách từ I đến (P) bằng x, bán kính đường tròn đáy bằng r

Vậy thể tích khối nón lớn nhất bằng 18 khi x 3

Ta đã có x, tìm tọa độ I bằng cách sử dụng công thức khoảng cách từ tâm I đến (P)

(2 ; 2 ; 1 3 )

I  t t   t

Ta có:

1 2

(Lời giải của khanhsy )

Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng luôn cắt đồ thị (Cm) tại hai điểm phân biệt Avà B Tìm m sao cho

tam giác OAB có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng , trong đó O là gốc tọa độ

————————————————————————

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và là:

mọi m

Ta có và là 2 nghiệm của phương trình (1) nên theo hệ thức Vi-et ta có :

Gọi bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là R Ta có :

—————————————————————————————————————————————————————

Câu II

1 Giải phương trình:

————————————————————————

http://tuhoctoan.net

, nhân 2 vế cho cos x ta có :

Kết luận :Nghiệm của phương trình là :

————————————————————————

http://tuhoctoan.net

Gọi là đường thẳng qua B vuông góc với AD

Gọi H là giao điểm của và Ta có :

Gọi O là giao điểm của và , ta có :

Suy ra góc giữa SBD và mặt phẳng đáy là góc

Hình thoi ABCD có:

Xét tam giác BHC vuông tại B có góc , ta suy ra:

http://tuhoctoan.net

*Tính khoảng cách giữa SB và AC:

Qua B kẻ đường thẳng d// AC, hạ

Bằng quy đồng ta chứng minh được:

Phép chứng minh hoàn tât

Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi và các hoán vị

 Cách 2:

Bất đẳng thức tương đương với:

Nhưng ta lại chứng minh được:

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có , phương trình đường trung trực cạnh BC và trung tuyến xuất phát từ

đỉnh B, C của tam giác

http://tuhoctoan.net

Suy ra

 Cách 2:

thuộc đường trung truyến CM thuộc đường trung truyến CM

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và điểm Viết

phương trình mặt phẳng (P) đi sao cho khoảng cách từ I đến (P) là lớn nhất

————————————————————————

Gọi

Nên dẫn đến điều sau:

Sau khi làm gọn lại ta được phân tích sau:

Với tính chất của 2 số phức bằng nhau

————————————————————————

Ta chứng minh min khi thảng hàng Thật vậy:

[U]TH1[/U] Nếu 2 đường tròn tiếp xúc ngoài

Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi thẳng hàng.(1)

[U]TH2[/U]Nếu 2 đường tròn tiếp xúc trong Ta chỉ có ở trong vì A nằm trong (loại trường hợp nằm trong )

Vì thế cho nên

Dễ thấy

Dấu “=” xảy ra khi thẳng hàng.(2)

Từ (1) và (2) suy ra khi thẳng hàng và nằm trong và tiếp xúc

http://tuhoctoan.net

Vậy

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

Các bạn có thể xem lại đề thi thử số 3 ở đây Đây là lời giải của các bạn trên diễn đàn Toán học BOXMATH.VN

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi

2 Tìm để cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt và diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị với trục hoành có diện tích phía trên và phía dưới trục hoành bằng nhau

Giải:

Phương trình hoàn độ giao điểm của (C) và trục hoành:

Đặt

Phương trình theo t:

(C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có 2 nghiệm dương phân biệt:

Gọi S là phần phía trên của diện tích giới hạn giữa (C) với trục hoành và S’ là phần phía dưới của diện tích giới hạn giữa (C) với trục hoành Và do hàm trùng phương nhận trục tung làm trục đối xứng nên

Yêu cầu bài toán:

Mặt khác:

Lấy (2)-(1) ta được

Thay vào (2) ta có

cân tại Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo

Giải:

Câu VI.a (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác có đỉnh , trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác

Giải:

Gọi M là trung điểm của BC ta luôn có :

Pt đường thằng BC đi qua M nhận nên có pt:

Lại có: nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có pt:

Dễ có tọa độ điểm B,C là nghiệm của hệ pt:

Vậy tọa độ điểm B,C là hoán vị của

2 Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện , biết các điểm lần lượt nằm trên các trục tọa độ

tương ứng sao cho mặt phẳng đi qua điểm và tam giác nhận làm trực tâm

Giải hệ này ta được :

Như vậy bài toán bây giờ trở thành viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm O;A;B:C quen thuộc Khi đó ta viết được pt mặt cầu có dạng là :

Câu VI.b (2 điểm)

cắt tại hai điểm sao cho tứ giác có diện tích bằng Viết phương trình đường tròn

(1)

Vậy tọa độ của là

Vậy ta có 2 phương trình đường tròn như sau:

và

Câu VI.b (2 điểm)

2 Trong không gian với hệ tọa độ , cho

phẳng song song với mặt phẳng Biết hình nón tạo bởi tâm của mặt cầu ngoại tiếp

tứ diện và đáy là giao tuyến của mặt phẳng với mặt cầu tâm có bán kính mặt cầu nội tiếp bằng

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành : x43(m1)x23m20

Đặt tx2 Để đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì điều kiện là phương trình 0

t  m t m  có 2 nghiệm dương phân biệt

Ta có phương trình luôn có nghiệm 1

+ Phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại điểm A là:y(6m2) 3m2(x 3m2)

Giao điểm của tiếp tuyến với trục Oy là: (0; (6B  m2)(3m2))

Diện tích tam giác 1 3 2 (6 2)(3 2) 3 2 (3 1)(3 2) 24

3 2

(3m 1)(3m 2) 24

+ Xét hàm số

3 2

Khi đó ta có: A2ABB2  ( do trường hợp A=B=0 không xảy ra) và 0 C2C  1 0

Nhân với liên hợp của 2 vế ta có:

x dx I

3 0 2

S

- Gọi H là trung điểm AC suy ra SH vuông góc với mp(ABCD) Gọi E là trung điểm của AD thì

ABCE là hình vuông nên H là giao điểm của AC và BE 2

2

a BH

62

f b  b  b suy ra max ( )f b max{f(0);f(2)} f(2)2067

Vậy MaxP 2067 khi a1;b2;c 0

b k c

NB k NC

c k

21

x

x x

Trở lại bài toán ta có: f t( )log (5 t1) là hàm đồng biến và (0)f  nên ( )0 f t  f(0) f t( )luôn cùng dấu hoặc cùng triệt tiêu với t 0 t

6

Vậy bất phương trình đã cho tương đương với

2 2

5

0(2 3 )

231

2

x x x

Véc tơ chỉ phương của (d’) là u(1; 2; 2);MN(  a c 4; b c; 2 a b 3 )c

Gọi P là trung điểm của MN thì ( 4; ;2 3 )

Nhận xét: u 2t2 là hàm số chẵn theo t nên mỗi giá trị của u [1; 2) sẽ cho 2 giá trị của đối

nhau của t   1;1do đó sẽ cho 2 giá trị của 1; 2

1

ĐỀ SỐ: 06

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Câu I)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x3ax2bx c (*) a b c là tham số thực , ,

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi a 3;b0;c 2

2 Giả sử đồ thị hàm số (*) có đúng hai điểm chung M N với trục Ox Gọi , P là giao

điểm của đồ thị hàm số (*) với trục Oy Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số (*) tại M đi qua

P.Tìm a b c để diện tích tam giác , , MNP bằng 1

1) Học sinh tự làm

2) Giả sử đồ thị hàm số cắt Ox tại M m( ;0),N n( ; 0) và cắt Oy tại (0; ) P c

Tiếp tuyến tại M có dạng: y(3m22am b x m )(  ) Vì tiếp tuyến qua P nên:

Vì đồ thị hàm số cắt Ox tại 2 điểm M, N nên đồ thị tiếp xúc với Ox:

Ta thấy M không thể là tiếp điểm của đồ thị hàm số với Ox vì nếu điều đó xảy ra thì trục Ox sẽ

đi qua P (Vô lý)

Vậy đồ thị tiếp xúc với Ox tại N Do đó ta có: x3ax2bx c (x n ) (2 x m )

a b c

cos 5x(cos 5xcos 3 ) (cos 3x  xcos ) cosx  x2 cos 4 cosx x2 cos 2 cosx xcosx

Suy ra cos 5 2 cos 4 2 os2 1

2cos 5 1

f t t  t với t (1; có ) f t'( )3t23t với t (1; suy ra ) f t  '( ) 0

Vậy hàm số f t đồng biến trên (1;( )  )

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x 102 29

Câu III) Tính tích phân:

2 6 0

3sin sin cossin cos

2sin sin cos 1 cos (2sin cos )(sin cos ) 1

Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABCA B C' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông

ABBCa, mặt phẳng (AB C tạo với (' ) BCC B góc ' ')  với tan 3

2

  ; Gọi M là trung điểm của BC Tính thể tích khối chóp MA B C' ' và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B ACM' theo a

4

Ta có

3 ' ' ' ' '

Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

Gọi O' là tâm vòng tròn ngoại tiếp của tam giác AMC thì tâm O’ thuộc đường trung trực của

MC vị trí O’ được xác định theo hệ thức: ' ' . . 10

Qua O’ dựng O z' vuông góc với (ABC) thì O z' là trục đường tròn đáy (AMC)

Suy ra tâm O của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B’AMC nằm trên O z' và tâm O thuộc mặt phẳng trung trực của B’C ( Mặt phẳng qua trung điểm I của B’C vuông góc với B’C ở I)

Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp là R thì:

11

thỏa mãn điều kiện

II PHẦN RIÊNG (3 điểm)

1.Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (T):x12y32  và hai điểm 5(2;1), (0;5)

A B Từ điểm M thuộc đường thẳng (d):x2y  kẻ hai tiếp tuyến đến (T) Gọi 1 0

E, F là hai tiếp điểm tương ứng Tìm tọa độ điểm E, F biết ABEF là một hình thang

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các điểm , A(1;0;0), B(0;1;0),C(0;3;2) và mặt phẳng (): x  y2 20.Tìm toạ độ của điểm M biết rằng M cách đều các điểm A, B,C và mặt phẳng ( )

1) Ta thấy A,B là đường kính của (T)ABEF là hình thang khi và chỉ khi EF/ /AB

6

I

B

A F

E M

Phương trình đường thẳng EF: 4 x2y  Tọa độ ,5 0 E F là giao điểm của EF và đường

Viết được phương trình: ( ) :P  x y0; ( ) :Q  x 3y2z  6 0

Đường thẳng  có véc tơ chỉ phương là un P;n Q2; 2; 2 / /(1;1; 1)  





Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình: 2.6x4x 33.12x2.8x 2.3x

Chia 2 vế phương trình cho 2x ta thu được phương trình:

2 Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2 điểm)

1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có phương trình các cạnh BC, AB

lần lượt là x2y  và 32 0 x y 10 Tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, biết 0điểm M2; 2 thuộc cạnh AC

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng 1

1

x t y

và hai điểm A(2;1;-1),

B(-1;2;0) Viết phương trình đường thẳng  qua B cắt  sao cho khoảng cách từ A đến 1  là

nhỏ nhất? lớn nhất?

1) Phương trình đường thẳng MN qua M song song với BC là MN x: 2y  6 0

Gọi N là giao điểm của MN và AB, H là trung điểm của MN thì tọa độ N thỏa mãn hệ phương

HẾT

suy ra điều kiện:

2 sin x+2 sin cosx x+sinx−cosx= ⇔1 2 sin x+(2 cosx+1) sinx−cosx− =1 0

Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn sin x ta có:

(2 cosx 1) 8(cosx 1) 4 cos x 12 cosx 9 (2 cosx 3)

3

Suy ra

1sin1

2

1sin

x x

222

2 2

2 2

x x

x x

(4 4(sin cos ) sin 2 )

2 cos2

H

K I

A M

C

B' C'

Câu IV Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ tam giácABCA B C có đáy ABC là tam giác ' ' '

Đẳng thức xảy ra khi x= = =y z 1 hay a= =b c

Vậy minP= 2 khi a= =b c

Câu VIa

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( ) : (C x+6)2+ −(y 6)2 =50 Viết phương trình đường thẳng ( )∆ tiếp xúc với đường tròn (C) tại điểm M cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm , A B

sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB

2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P):x+y-2z-8=0, (Q):2x-y+z=0

và điểm I(1;1;1) Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) cắt hai mặt phẳng (P), (Q) tại A,B sao cho I là trung điểm của AB

y x

Nếu x>0 thì ( )f x đồng biến suy ra f x( )> f(0)= ⇔0 5x > +1 xln 5

Nếu x<0 thì ( )f x nghịch biến suy ra f x( )< f(0)= ⇔0 5x < +1 xln 5

Khi x=0 thì (0)f =0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=0